Risolvere la seguente disequazione significa determinare gli archi aventi estremo di ordinata 1 maggiore di

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Risolvere la seguente disequazione significa determinare gli archi aventi estremo di ordinata 1 maggiore di"

Agnolo Ferrari
7 anni fa
Visualizzazioni

1 Trigonometria parte 5 easy matematica Eliana pagina 5 DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Disequazioni goniometriche elementari: Si definisce disequazione goniometrica elementare un equazione della forma sen < > m, cos < > m dove m è un qualsiasi numero reale, poiché sen e cos, una disuguaglianza fra due espressioni goniometriche che viene definita per alcuni valori che si attribuiscono agli angoli. Esempi di disequazioni goniometriche elementari sono: ( METODO) Esempio sen > Risolvere la seguente disequazione significa determinare gli archi aventi estremo di ordinata maggiore di associando l equazione: sen troviamo le soluzioni di tale equazione (che rappresentano gli estremi degli archi), che sono: k e k 6 6 rappresentando graficamente i punti P e P di ordinata otterremo: y P P 6 6 Come è facile vedere dal grafico, la disequazione risulterà verificataper k < < k 6 6 ( Metodo) Tale metodo permette di risolvere una disequazione goniometrica mediante l uso delle rappresentazioni sinusoidali e cosinusoidali delle funzioni sen e cos. Tale metodo è comunque poco usato nelle risoluzioni di disequazioni non elementari. sen > ponendo la seguente condizione

2 Trigonometria parte 5 easy matematica Eliana pagina 6 y sen y > la prima rappresenta la funzione seno che ha come grafico la sinusoide, la seconda cui va associata l equazione y rappresenta una retta parallela all asse. Rappresentando graficamente noteremo che: y 6 6 Y > Y < Esempio cos avremo: cos di cui le soluzioni sono: ± k rappresentando graficamente avremo: y P O P La disequazione come si nota dal grafico avrà per soluzioni k k Esempio cos associando l equazione avremo:

3 Trigonometria parte 5 easy matematica Eliana pagina cos di cui le soluzioni sono: k k rappresentando graficamente La disequazione, come si nota dal grafico avrà per soluzione k k DISEQUAZIONI RICONDUCIBILI A ELEMENTARI Sono disequazioni riconducibili ad elementari tutte quelle disequazioni che attraverso abbassamento di grado o semplificazione assumono la forma sen < > m Esempio cos cos 0 risolvendo l equazione di grado associata, avremo: > ± cos e quindi cos o cos

4 Trigonometria parte 5 easy matematica Eliana pagina 8 Come si nota dal grafico la disequazione è verificata per κ κ k Esempio sin sin 0 sin sin e quindi sin sin 0 sin ( sin ) 0 0 Si ha sin 0 sin e quindi da sistemare 0 sin Si ha il sistema sin 0 sin y Come è facile vedere dal grafico, la disequazione sarà verificata per

5 Trigonometria parte 5 easy matematica Eliana pagina 9 κ κ DISEQUAZIONI LINEARI IN sin E cos Una disequazione lineare generica in sen e cos avrà forma: a sin b cos c > 0 se c0 la disequazione è omogenea. Si possono utilizzare diversi metodi per la risoluzione di tali disequazioni. metodo (Risoluzione con formule parametriche) Tale metodo può essere utilizzato supposto che k e k. le formule parametriche del seno e del coseno sono: t t sen cos t t Esempio sin cos < 0 sostituendo otteniamo t t < 0 t t attraverso vari calcoli otterremo le soluzioni: k < < k Si ricordi che tale metodo prevede numerosi calcoli, è pertanto poco usato, consigliamo pertanto l utilizzazione del metodo grafico. Metodo (Metodo grafico) Una equazione lineare in sen e cos può essere risolta attraverso il metodo che consente graficamente di trovare le soluzioni. Tale metodo consiste (come nelle equazioni) nel porre: cos sen Y dando così alla disequazione la forma: Y c < > 0 associando a questa l equazione di una circonferenza goniometrica, dunque: Y otterremo un sistema del tipo: Y c < > 0 Y le soluzioni del sistema rappresentate graficamente, daranno le soluzioni dell equazione. N.B. Si ricorda che tale metodo è il più usato ed il più semplice nella risoluzione di un equazione lineare.

6 Trigonometria parte 5 easy matematica Eliana pagina 50 Esempi: cos sin > 0 ponendo: cos sen Y e associando la circonferenza goniometrica otterremo un sistema del tipo: Y > 0 Y sviluppando la disequazione come un equazione otterremo: Y Y Y 6Y Y Y 6Y 0 Y Y Y 0 ± Y Y otterremo così le coordinate dei due punti: A ( 0;) ; A B 6 B ; La soluzione dell equazione è data da. k < < k 6 Esempio sin cos > 0 poniamo cos sin Y Avremo il sistema

7 Trigonometria parte 5 easy matematica Eliana pagina 5 Y > 0 Y Y Y Y Y e quindi ± Y Y otterremo così le coordinate dei due punti A ; B ; B A Le soluzioni, come si nota dal grafico, sono: k < < k Esempio sin cos 0 sin Y ponendo: avremo cos Y 0 Y Y Y Y Y Y Y ± Y Y Y

8 Trigonometria parte 5 easy matematica Eliana pagina 5 Y Y otteniamo così due punti: A ; B ; B 6 A 6 Le soluzioni saranno: k < < k 6 6 Quindi: k < < k DISEQUAZIONI FRATTE Esempio tg tg < 0 sen cos Numeratore: tg tg > 0 > 0 0 tg la disequazione è verificata per intervalli esterni, dunque tg ] ;0[ ] ; [ rappresentando ora sulla circonferenza goniometrica avremo:

9 Trigonometria parte 5 easy matematica Eliana pagina 5 O 0 5 tg > o tg < 0 le soluzioni sono 5 < < < < k Denominatore: sen cos > 0 poniamo sin Y cos risolvendo mediante il metodo grafico abbiamo Y 0 Y Y Y Y ± Y Y A ; B ; rappresentando graficamente, avremo:

10 Trigonometria parte 5 easy matematica Eliana pagina La soluzione del denominatore è: < < 6 6 Rappresentando numeratore e denominatore graficamente, otterremo: Le soluzioni della disequazione sono dunque: 5 k < < k k < < k k < < k Esempio sen < 0 cos Numeratore: sen > 0 < 0 la disequazione risulterà pertanto sempre verificata Denominatore: cos > 0 cos sen > 0 cos > 0 e quindi cos < o cos > Le soluzioni saranno 5 < < < <

11 Trigonometria parte 5 easy matematica Eliana pagina 55 rappresentando l intera disequazione graficamente otterremo: 5 Le soluzioni della disequazione sono dunque: k < < k N.B. Come si nota dal grafico le soluzioni della disequazione sarebbero, 5 k < < k k < < k, ma essendo simmetriche una può essere omessa sostituendo a k solo k, che le comprende entrambe.

Documenti analoghi

DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

Pagina 5 Disequazioni goniometriche elementari: DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Si definisce disequazione goniometrica elementare ed ha la forma sen < > m dove m è un qualsiasi numero reale poiché sen e cos,