Formule di addizione o sottrazione e traslazioni del piano. Daniela Valenti, Treccani scuola

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1 Formule di addizione o sottrazione e traslazioni del piano 1

2 Espressioni con funzioni trigonometriche e traslazioni del piano cartesiano Ecco un animazione per riflettere: una cosinusoide disegnata su un piano cartesiano che trasla. Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta1a 2

3 Espressioni con funzioni trigonometriche e traslazioni del piano cartesiano Ecco un altra animazione: una sinusoide disegnata su un piano cartesiano che trasla. Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta1b 3

4 Funzioni trigonometriche e traslazioni Attenzione alla lettura delle formule A. Funzioni trigonometriche e priorità delle operazioni In un espressione dove compaiono funzioni trigonometriche, addizioni (e sottrazioni), moltiplicazioni (e divisioni) i calcoli si eseguono in questo ordine stabilito: 1. funzioni trigonometriche; 2. moltiplicazioni e divisioni; 3. addizioni e sottrazioni. Le parentesi cambiano questo ordine stabilito cosπ π 3 = 1 π 2,05 cos π π 3 3 prima il coseno Esempi = cos 2π = = 0,5 prima la parentesi 4

5 Funzioni trigonometriche e traslazioni Attenzione alla lettura delle formule B. In espressioni con solo moltiplicazione e addizione Con lettere e numeri affiancati è sottintesa la moltiplicazione Applico la proprietà distributiva e distribuisco il fattore a C. In espressioni con funzioni trigonometriche e addizione NON c è moltiplicazione sottintesa fra sin e α, perciò NON POSSO DISTRIBUIRE il fattore sin sin π + π 6 = sin 7π 6 = 1 2 MA sinπ + sin π 6 = = 1 2 Ricordate perché non c è moltiplicazione sottintesa fra sin e α o fra cos e α?! 5

6 Definizione di sin e cos P percorre la circonferenza goniometrica in verso antiorario sin = y P cos = x P P(cos, sin ) sin α è una sigla (come SIM, DVD, ) che sintetizza il procedimento per ottenere sin α. Analoga osservazione vale per cos α. 6

7 La circonferenza goniometrica Con misura di angoli. P percorre la circonferenza in verso antiorario. L angolo AOP ampio α ha: - primo lato il semiasse positivo delle x; - secondo lato la semiretta OP. Circonferenza disegnata nel piano cartesiano con centro O(0; 0) e raggio r = 1 7

8 Formule di sottrazione e addizione Finora è chiaro che cosa NON si può fare in espressioni con funzioni trigonometriche, addizioni e sottrazioni: - non posso dimenticare le parentesi; - non posso dimenticare che sin α è una sigla, perciò non posso immaginare una moltiplicazione sottintesa fra sin e α (o fra cos e α). Ma allora ci sono delle regole di calcolo per sviluppare formule come cos(α-β) o sin(α+β)?! Sì. Prendono il nome di Formule di addizione e sottrazione e le studiamo in questa lezione. 8

9 Formula di sottrazione del coseno Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta1c 9

10 Formule di addizione e sottrazione Per arrivare alla formula di sottrazione del coseno ho seguito un procedimento lungo e parecchi calcoli, perciò conviene ricordare a memoria la formula ottenuta. Invece le altre formule non richiedono uno sforzo di memoria, perché si ricavano rapidamente a partire dalla formula di sottrazione del coseno. Bisogna però ricordare due nozioni richiamate qui sotto. Seno e coseno di angoli opposti Seno e coseno di angoli complementari 10

11 Attività 1. Ricavare tutte le formule di addizione e sottrazione Nel lavoro di gruppo sarete voi a partire dalla formula di sottrazione del coseno per ricavare le altre formule di addizione e sottrazione e vederne immediate applicazioni. Dividetevi in gruppi di 2 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare. Avete 30 minuti di tempo 11

12 Ecco che cosa abbiamo trovato 12

13 Formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno 13

14 Formule di addizione e sottrazione della tangente Perde significato se = 90 = 90 = 90 Perde significato se + = 90 = 90 = 90 Non esiste tan90 14

15 Formule di addizione e sottrazione della tangente 15

16 Formule e tavole trigonometriche I calcoli appena eseguiti ci immergono in una storia che ha radici antiche, ma arriva fino a circa trent anni fa, quando non erano diffuse le calcolatrici tascabili: per calcolare seno, coseno o tangente di un angolo si usavano le tavole e le formule. Per questo erano importanti le formule appena studiate e quelle al centro della prossima attività. 16