Medie statistiche Processi stazionari Trasformazioni di processi casuali Ergodicità di processi WSS Analisi spettrale di processi WSS

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1 Teoria dei segnali Unià 4 Teoria dei processi casuali a empo coninuo Teoria dei processi casuali a empo coninuo Medie saisiche Processi sazionari Trasformazioni di processi casuali Ergodicià di processi WSS Analisi sperale di processi WSS Poliecnico di Torino 1

2 Obieivi Inrodurre il conceo di segnale non prevedibile a priori Capire come è possibile caraerizzare i segnali casuali uilizzando gli srumeni della eoria della probabilià Inrodurre il conceo di sazionarieà e di ergodicià Capire come è possibile caraerizzare i segnali casuali nel dominio della frequenza e inrodurre il rumore gaussiano bianco 3 Teoria dei processi casuali a empo coninuo Prima lezione: 2005 Poliecnico di Torino 2

3 Concei inroduivi ed esempi Il ruolo della eoria della probabilià Definizione e descrizione saisica Tipi di processi casuali 5 I argomeno: Concei inroduivi ed esempi (Lucidi 2-7) 2005 Poliecnico di Torino 3

4 Considerazioni inroduive I segnali deerminai (sudiai finora) hanno un andameno noo a priori Esempio: sinusoide generaa da un oscillaore I segnali deerminai sono generalmene descrivibili per mezzo di una funzione maemaica: x() Esisono segnali che non sono prevedibili a priori 7 Esempio 1: l elerocardiogramma Ad ogni nuova misura corrisponde un nuovo racciao quindi un nuovo segnale x i () L andameno esao (ad ogni nuova misura) non è prevedibile a priori Poliecnico di Torino 4

5 Esempio 2: il rumore acusico Rumore di fondo nella cabina passeggeri di un aereo segnale molo ripeiivo ad ogni nuova misura cambia leggermene non è mai perfeamene uguale a se sesso 9 Esempio 3: sisema di acquisizione dai Segnale di ineresse (vibrazione) Disurbo eserno Sisema di acquisizione Disurbo inerno Si vuole conoscere la frequenza della vibrazione, ma il segnale acquisio coniene un disurbo di naura imprevedibile Poliecnico di Torino 5

6 Esempio 3: Modello maemaico s ( ) s ( ) + n( ) n( ) + 11 Esempio 4: il rumore ermico Resisenza non alimenaa n( ) n( ) Poliecnico di Torino 6

7 II argomeno: Il ruolo della eoria della probabilià (lucidi 8-11) Il ruolo della eoria della probabilià La eoria della probabilià è lo srumeno maemaico idoneo a sudiare i segnali non prevedibili a priori Tali segnali possono essere visi come il risulao di un esperimeno casuale Ad ogni nuova misura si ha un nuovo segnale x i () x 1 () x 2 () Poliecnico di Torino 7

8 Lo spazio campione Possiamo inrodurre uno spazio campione Ω= { ωωω 1, 2, 3, } i cui elemeni sono ui i segnali che possono essere generai dall esperimeno casuale x i () ω i x j () ω j 15 Lo spazio e le funzioni campione Funzioni campione: x i () Ω = { } ω i ω i Spazio campione Un segnale ( ; ω i ( ; ) = x ( ) i Tui i segnali Poliecnico di Torino 8

9 La marice comune I segnali sono imprevedibili, ma hanno una marice comune: l esperimeno casuale ω i ( ; ω i ) ( ; Il processo casuale Tui i segnali 17 III argomeno: Definizione e descrizione saisica (Lucidi 12-18) 2005 Poliecnico di Torino 9

10 Definizione di processo casuale Modello probabilisico di un insieme di forme d onda ( ; ( ; ( ) Noazione semplificaa 19 Leura per orizzonale ( ( s ); ; ( ; ω1) = x1( ) Membro o realizzazione del processo casuale (segnale deerminao) Poliecnico di Torino 10

11 Leura per vericale ( ; ( = 1 ; τ ( = 2 ;, 2,...,... 1 i Variabili casuali Descrizione saisica ( ; s ;) v. c. 1 f 1 ( x 1 ) x 1 Densià di probabilià v. c. 2 f 1 ( x 2 ) x 2 Densià di probabilià Poliecnico di Torino 11

12 Saisica del primo ordine ( ; s; ) Densià di probabilià del primo ordine ( ) f x; x ( x ) f ; 23 Saisiche del secondo ordine ( ( ; s ); 1 2 Densià di probabilià del secondo ordine f ( x, x ;, ) Poliecnico di Torino 12

13 Saisiche di ordine superiore ( ( ; s ); 1 3 Densià di probabilià di ordine superiore (,,, ;,,, ) f x x x III argomeno: Tipi di processi casuali (Lucidi 19-26) 2005 Poliecnico di Torino 13

14 Tipi di processi casuali Processi sreamene casuali ogni realizzazione è imprevedibile a priori generalmene non sono descrivibili per mezzo di una funzione maemaica Processi quasi deerminai (o paramerici) indicai nel seguio come processi QD segnali deerminai che conengono parameri casuali 27 Processi QD Segnale deerminao (oscillaore) ~ ( ) = sin2π 0 s A f s( ) Processo quasi deerminao (oscillaore con fase casuale) s 1 ( ) ~ S( ; Φ ) = Asin( 2π f 0 +Φ) Sconosciua (modellabile come una variabile casuale) s 2 ( ) Poliecnico di Torino 14

15 Processi QD: descrizione saisica ( ; Φ ) = sin( 2π +Φ) S A f variabile casuale 0 s 1 ( ) s 2 ( ) fφ ( ϕ) fs (;) s 29 Processo gaussiano (1/3) Un processo () è deo gaussiano se qualsiasi n-upla di variabili casuali esrae dal processo è un insieme di variabili casuali congiunamene gaussiane per qualsiasi valore di n Densià di probabilià del primo ordine ( x ) f ; 1 f ( x ; ) = e σ() 2π ( x m() ) σ () m() x Poliecnico di Torino 15

16 Processo gaussiano (2/3) Definizioni necessarie per inrodurre la densià di probabilià di ordine n () = m= x = [,,, ] = 1, 2 3 n L [,,, ] 1, 2 3 n [ m m, m,, ] 1, 2 3 m n [ x x, x,, ] 1, 2 3 x n Marice di covarianza con elemeni λ ij = E {( m )( m )} i i j j 31 Processo gaussiano (3/3) = [,,, ] 1, 2 3 n = m = x = [ 1, 2, 3,, n ] [ m m, m,, ] 1, 2 3 m n [ x x, x,, ] 1, 2 3 x n f ( x; ) = ( 2π ) n L T 1 [ ( x m) L ( x )/2] 1 exp / 2 m del Poliecnico di Torino 16

17 Processo uniforme ( ) ( ) f x ; = f x = px ( ) 1 b a f ( x) px ( ) a b x Poliecnico di Torino 17