Metodi matematici 2 8 giugno 2006

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1 Metodi matematici 2 8 giugno 2006 TEST (Nuovo ordinamento) Cognome Nome Matricola Rispondere alle dieci domande sbarrando la casella che si ritiene corretta nel caso di risposta multipla (una sola risposta è corretta). Si indichi la risposta ma non il procedimento in caso di risposta aperta.. Nel caso si intenda annullare una risposta cerchiare la corrispondente casella. CIFRE CORRETTE AL SECONDO DECIMALE, TASSI IN FORMA PERCENTUALE. Risposte corrette altrimenti Punteggio INS 50 min. 1 - Si acquista un BOT con scadenza 6 mesi al prezzo di 98. All emissione, 6 mesi prima, il prezzo era stato di 97. Il rendimento al netto delle tasse nell ipotesi che si detenga il titolo sino a scadenza è (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): 2 - Si acquista un CTZ con scadenza residua 15 mesi al prezzo di 95. Era stato acquistato all emissione 9 mesi prima ad un prezzo di 94. Il rendimento al netto delle tasse nell ipotesi di detenerlo sino a scadenza è (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): 3 - Determinare il prezzo secco di un obbligazione a cedola trimestrale indicizzata al tasso euribor a 3 mesi ( ssata all inizio del godimento della cedola), spread nullo, scadenza 2 anni, prossima cedola tra 2 mesi. Si prescinda da tasse e commissioni. I dati in possesso sono: cedola in corso corrispondente al 5% (annuo) e tasso euribor a 2 mesi pari al 4%: 4 - Un decisore con un costo opportunità del 4% per i prossimi 3 anni ed un capitale disponibile di 1700 valuta la possibilità di e ettuare un investimento, che richiede un impiego iniziale di 2000, congiuntamente all attivazione di un nanziamento. I ussi delle due operazioni sono descritti nella tabella sottostante. Quale decisione risulta essere la più vantaggiosa? tempi Invest Finanz a inv. con n.; b solo n.; c non fare nulla; d dipende!

2 MM.II Prova Generale - Test Nuovo Ordinamento, 8 giugno Si consideri un Btp scadente fra 2 anni a cedola annuale del x%. Se il tasso spot ad 1 anno e pari al 4% e quello forward per impieghi da 1 a 2 anni è pari al 5%, quale deve essere il tasso cedolare a nchè il titolo risulti quotato alla pari (100)? 6 - Si ammortizza su di un orizzonte di 15 mesi, con il metodo francese, un debito di ammontare e10000 con rate trimestrali posticipate ad un tasso del 7% annuo. L importo della rata è: 7 - Le soluzioni 2 del seguente 3 2sistema 3 lineare Ax = b, dove: A = ; b = sono: a 1; b unica; c non esistono; d 1 2 ; 8 - Due gestori di portafoglio ripartiscono il proprio portafoglio tra due attività (p.e., non rischiosa e rischiosa) in proporzioni rispettivamente 0.8 e 0.2 il primo e 0.4 0:8 0:4 e 0.6 il secondo. In forma vettoriale, e. La politica di gestione di un 0:2 0:6 terzo gestore che ripartisse in parti uguali il proprio portafoglio tra le due attività, ; potrebbe essere vista come una politica combinazione lineare delle politiche dei primi due gestori? In caso a ermativo si indichino i coe cienti di tale c.l.: SI, con coe cienti a 1 =, a 2 =, NO 9 - Un gestore di portafoglio deve ripartire un capitale di 1000 tra 2 titoli che quotano entrambi 20. Il gestore desidera costruire un portafoglio immune ad un fattore di rischio rispetto al quale i due titoli hanno sensibilità rispettivamente 0:2 e 0:8. Le quantità da detenere dei due titoli, n 1 ; n 2 ; sono: 10 - Dato il sistema dinamico descritto dalla seguente matrice di transizione, A = 0:9 0:2, stabilire quale sia il punto di equilibrio se la composizione iniziale è 0:1 0:8 35% x 0 = : 65%

3 MM.II Prova Generale - Test Nuovo Ordinamento, 8 giugno Metodi matematici 2 8 giugno 2006 TEST (Vecchio ordinamento) Cognome Nome Matricola Rispondere alle dieci domande sbarrando la casella che si ritiene corretta nel caso di risposta multipla (una sola risposta è corretta). Si indichi la risposta ma non il procedimento in caso di risposta aperta.. Nel caso si intenda annullare una risposta cerchiare la corrispondente casella. CIFRE CORRETTE AL SECONDO DECIMALE, TASSI IN FORMA PERCENTUALE. Risposte corrette altrimenti Punteggio INS 50 min. 1 - Si acquista un BOT con scadenza 6 mesi al prezzo di 98. All emissione, 6 mesi prima, il prezzo era stato di 97. Il rendimento al netto delle tasse nell ipotesi che si detenga il titolo sino a scadenza è (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): 2 - Si acquista un CTZ con scadenza residua 15 mesi al prezzo di 95. Era stato acquistato all emissione 9 mesi prima ad un prezzo di 94. Il rendimento al netto delle tasse nell ipotesi di detenerlo sino a scadenza è (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): In un problema di PL la funzione obiettivo è f (x; y) = x 2y sub x 0; y 0; x + y 4; y 2. Il problema a ha regione ammissibile illimitata; b ha un max in (4,0) c ha un massimo in (2; 2); d ha un minimo in (4; 0); 4 - Un decisore con un costo opportunità del 4% per i prossimi 3 anni ed un capitale disponibile di 1700 valuta la possibilità di e ettuare un investimento, che richiede un impiego iniziale di 2000, congiuntamente all attivazione di un nanziamento. I ussi delle due operazioni sono descritti nella tabella sottostante. Quale decisione risulta essere la più vantaggiosa? tempi Invest Finanz a inv. con n.; b solo n.; c non fare nulla; d dipende!

4 MM.II Prova Generale - Test Nuovo Ordinamento, 8 giugno Si consideri un Btp scadente fra 2 anni a cedola annuale del x%. Se il tasso spot ad 1 anno e pari al 4% e quello forward per impieghi da 1 a 2 anni è pari al 5%, quale deve essere il tasso cedolare a nchè il titolo risulti quotato alla pari (100)? 6 - Si ammortizza su di un orizzonte di 15 mesi, con il metodo francese, un debito di ammontare e10000 con rate trimestrali posticipate ad un tasso del 7% annuo. L importo della rata è: 7 - Le soluzioni 2 del seguente 3 2sistema 3 lineare Ax = b, dove: A = ; b = sono: a 1; b unica; c non esistono; d 1 2 ; 8 - Due gestori di portafoglio ripartiscono il proprio portafoglio tra due attività (p.e., non rischiosa e rischiosa) in proporzioni rispettivamente 0.8 e 0.2 il primo e 0.4 0:8 0:4 e 0.6 il secondo. In forma vettoriale, e. La politica di gestione di un 0:2 0:6 terzo gestore che ripartisse in parti uguali il proprio portafoglio tra le due attività, ; potrebbe essere vista come una politica combinazione lineare delle politiche dei primi due gestori? In caso a ermativo si indichino i coe cienti di tale c.l.: SI, con coe cienti a 1 =, a 2 =, NO 9 - Un gestore di portafoglio deve ripartire un capitale di 1000 tra 2 titoli che quotano entrambi 20. Il gestore desidera costruire un portafoglio immune ad un fattore di rischio rispetto al quale i due titoli hanno sensibilità rispettivamente 0:2 e 0:8. Le quantità da detenere dei due titoli, n 1 ; n 2 ; sono: 10 - Sia data f (x; y) = ln x 2 y. f(0; 1)

5 MM.II Prova Generale - Soluzioni Test, 8 giugno Metodi matematici 2 Prova Generale 8 giugno 2006 Soluzioni Test Domanda Nuovo Ordin. Vecchio Ordin % 3.69% 2 3.8% 3.8% b 4 a a % % 6 e e a a 8 SI: a 1 = 0:25; a 2 = 0:75 SI: a 1 = 0:25; a 2 = 0: n 1 = 66:66 n 2 = 16:66 2=3 1=3 n 1 = 66:66 n 2 = 16:66 0

6 MM.II Prova Generale - Soluzioni Test, 8 giugno

7 MM.II Prova Generale - Soluzioni Test, 8 giugno Metodi matematici 2 8 giugno 2006 TEST (Nuovo ordinamento) SOLUZIONI 1 - Si acquista un BOT con scadenza 6 mesi al prezzo di 98. All emissione, 6 mesi prima, il prezzo era stato di 97. Il rendimento al netto delle tasse nell ipotesi che si detenga il titolo sino a scadenza è (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): Risposta %. I ussi di cassa per il compratore, al netto della ritenuta (12,50% dello scarto di emissione pagato all emissione dall acquirente al quale dobbiamo riconoscere 9 12 di quanto pagato) sono: T empi F lussi 98: Il tasso semplice che regge l operazione è appunto quello indicato: 100 = 98; x 12 6 : 2 - Si acquista un CTZ con scadenza residua 15 mesi al prezzo di 95. Era stato acquistato all emissione 9 mesi prima ad un prezzo di 94. Il rendimento al netto delle tasse nell ipotesi di detenerlo sino a scadenza è (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): Risposta - 3.8%. I ussi di cassa per il compratore, al netto della ritenuta (12,50% dello scarto di emissione che verrà pagato alla scadenza dal detentore a quell epoca 9 del titolo e per il cui importo il venditore deve riconoscere i ) sono:9=24 0:75 = 95 0: = 94: 719 T empi F lussi 94:719 99:25 Il tasso composto che regge l operazione è appunto quello indicato: 99:25 = 94:719 (1 + x) 15= Determinare il prezzo secco di un obbligazione a cedola trimestrale indicizzata al tasso euribor a 3 mesi ( ssata all inizio del godimento della cedola), spread nullo, scadenza 2 anni, prossima cedola tra 2 mesi. Si prescinda da tasse e commissioni. I dati in possesso sono: cedola in corso corrispondente al 5% (annuo) e tasso euribor a 2 mesi pari al 4%: Risposta - 100:163. Tra 2 mesi il titolo varrà valore cedola, ovvero Il 101:25 valore scontato di esso, = 108; conduce al prezzo tel quel cui va sottratto 1+0: il rateo pari a = 0:41667: 4 - Un decisore con un costo opportunità del 4% per i prossimi 3 anni ed un capitale disponibile di 1700 valuta la possibilità di e ettuare un investimento, che richiede 24

8 MM.II Prova Generale - Soluzioni Test, 8 giugno un impiego iniziale di 2000, congiuntamente all attivazione di un nanziamento. I ussi delle due operazioni sono descritti nella tabella sottostante. Quale decisione risulta essere la più vantaggiosa? tempi Invest Finanz a inv. con n.; b solo n.; c non fare nulla; d dipende! Risposta - a. E su ciente calcolare gli APV dell operazione congiunta investimento + nanziamento, del solo investimento e del solo nanziamento per stabilire che, essendo positivi con l importo del primo maggiore degli altri due, che conviene attivare sia l investimento sia il nanziamento. 5 - Si consideri un Btp scadente fra 2 anni a cedola annuale del x%. Se il tasso spot ad 1 anno e pari al 4% e quello forward per impieghi da 1 a 2 anni è pari al 5%, quale deve essere il tasso cedolare a nchè il titolo risulti quotato alla pari (100)? Risposta %. Data la richiesta dovrà valere: 100 = x 1: x 1:04 1:05 la cui soluzione porge il risultato indicato. 6 - Si ammortizza su di un orizzonte di 15 mesi, con il metodo francese, un debito di ammontare e10000 con rate trimestrali posticipate ad un tasso del 7% annuo. L importo della rata è: Risposta - e La rata è data da: R = a 5ji4 Poichè i 4 = 1:07 0:25 1 = 1:7059%, si ha: R = (1:017059) 5 0: = 2103:5 7 - Le soluzioni 2 del seguente 3 2sistema 3 lineare Ax = b, dove: A = ; b = sono: a 1; b unica; c non esistono; d 1 2 ; Risposta - a. Riducendo la matrice orlata si giunge ad una matrice, per esempio la seguente:

9 MM.II Prova Generale - Soluzioni Test, 8 giugno il cui blocco di sinistra presenta 2 righe non nulle, così come la matrice orlata. Il sistema è possibile con in nite soluzioni ed una sola variabile libera. 8 - Due gestori di portafoglio ripartiscono il proprio portafoglio tra due attività (p.e., non rischiosa e rischiosa) in proporzioni rispettivamente 0.8 e 0.2 il primo e 0.4 0:8 0:4 e 0.6 il secondo. In forma vettoriale, e. La politica di gestione di un 0:2 0:6 terzo gestore che ripartisse in parti uguali il proprio portafoglio tra le due attività, ; potrebbe essere vista come una politica combinazione lineare delle politiche dei primi due gestori? In caso a ermativo si indichino i coe cienti di tale c.l.: SI, con coe cienti a 1 =, a 2 =, NO Risposta - SI con a 1 = 0:25; a 2 = 0:75: Si richiede di stabilire se il vettore sia rappresentabile come c.l. dei primi due vettori 0:8 0:4 a 1 + a 0:2 2 = 0:6 risolvendo il semplice sistema lineare si ottiene la soluzione. 9 - Un gestore di portafoglio deve ripartire un capitale di 1000 tra 2 titoli che quotano entrambi 20. Il gestore desidera costruire un portafoglio immune ad un fattore di rischio rispetto al quale i due titoli hanno sensibilità rispettivamente 0:2 e 0:8. Le quantità da detenere dei due titoli, n 1 ; n 2 ; sono: n1 66:66 Risposta - = : Si deve risolvere il sistema lineare: 16:66 n :2 0:8 n1 n 2 = Dato il sistema dinamico descritto dalla seguente matrice di transizione, A = 0:9 0:2, stabilire quale sia il punto di equilibrio se la composizione iniziale è 0:1 0:8 35% x 0 = : 65% 2=3 Risposta - x = : Lo stato stazionario è determinato individuando le 1=3 soluzioni del sistema: (A I) x = 0 0:1 0:2 x1 0 cioè: =. Si ottengono in nete soluzioni, la distribuzione 0:1 0:2 x 2 0 stazionaria viene individuata imponendo che la somma delle componenti del vettore soluzione sia pari ad 1; si ottiene così la distribuzione stazionaria.

10 MM.II Prova Generale - Soluzioni Test, 8 giugno Metodi Matematici 2 8 giugno 2006 P arte B Tempo a disposizione: 50 minuti. ESERCIZIO 1 - Algebra Lineare Si discuta al variare del parametro reale c e si risolva il sistema lineare omogeneo Ax = 0 dove 2 A = c 3 5 ESERCIZIO 2 - Matematica Finanziaria E dato il seguente progetto di investimento: Epoche F lussi Il progetto è nanziabile al 50% mediante il seguente nanziamento Epoche F lussi Il costo opportunità del capitale proprio è pari al 5%. stabilire se il TIR del nanziamento sia inferiore o meno al 5%; determinare l APV del progetto e stabilire se convenga utilizzare il nanziamento. Quale costo iniziale dell investimento a parità di incassi futuri renderebbe indi erente l attivazione dell investimento?

11 MM.II Prova Generale - Soluzioni Test, 8 giugno Metodi Matematici 2 8 giugno 2006 P arte B SOLUZIONI Tempo a disposizione: 50 minuti. ESERCIZIO 1 - Algebra Lineare Si discuta al variare del parametro reale c e si risolva il sistema lineare omogeneo Ax = 0 dove SOLUZIONE - Si ha det A = c c = 2 2c per cui se c 6= 1 il sistema ammette l origine come unica soluzione. In caso contrario, c = 1; il sistema ammette in nite soluzioni: < x 3 = S = : x 2 R3 : x = x 3 5 ; con x 3 2 R ; : x 3 ESERCIZIO 2 - Matematica Finanziaria E dato il seguente progetto di investimento: Epoche F lussi Il progetto è nanziabile al 50% mediante il seguente nanziamento Epoche F lussi Il costo opportunità del capitale proprio è pari al 5%. stabilire se il TIR del nanziamento sia inferiore o meno al 5%; determinare l APV del progetto e stabilire se convenga utilizzare il nanziamento. Quale costo iniziale dell investimento a parità di incassi futuri renderebbe indi erente l attivazione dell investimento?

12 MM.II Prova Generale - Soluzioni Test, 8 giugno SOLUZIONE Si ha 100 1:05 = 1:4966 > 0 per cui, essendo un nanziamento in 1:05 2 senso stretto ( ussi di entrata anteriori ad i ussi di uscita) il tir è inferiore al 5%. Conviene attivare il nanziamento visti i risultati del punto precedente. L APV è : :05 2 = 62:721 dunque conviene e ettuare l operazione congiunta investimento + nanziamento. Risulterebbe indi erente attivare il solo investimento rispetto alla gestione ordinaria se risultasse x : :05 2 = 0 L uguaglianza è veri cata per x = 261:22: