Esercizi svolti sugli integrali

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Regina Carnevale
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1 Esercizio. Calcolare il seguente integrale indefinito x dx. Soluzione. Poniamo da cui x = t derivando rispetto a t abbiamo t = x x = t dx dt = quindi ( t x dx = ) poiché t = t, abbiamo t dt = = in definitiva: t = t dt t dt = dt t C + C = ( x) + C = 9 ( x) + C x dx = ( x) + C 9

2 Esercizio. Calcolare x dx. Soluzione. Risolviamo l esercizio in due modi. Per parti abbiamo: x dx = x dx = x x quindi da cui = x x = x x x x xdx = x x dx = x x dx = x x x dx x = x x x dx + = x x x dx + x dx = x x x dx = x dx = ( ) dx x ( ) x x dx + arcsin x dx = x ( x x + arcsin x dx = x ( ) x x + 6 arcsin per quanto riguarda l integrale definito abbiamo: [ ( x x x dx = x + 6 arcsin )] ) = + π. Per sostituzione: l integrale x dx può essere calcolato ponendo x = cost : = = 0 π π 0 x dx = 0 cos t ( sin t) dt = cos( t) π cos t ( sin t) dt = 0 π dt = 6 cos( t) dt = 6 0 π π sin t dt = sin t dt 0 [ t ] π sin( t) 0 = π.

3 Esercizio. Calcolare x 9 x 4 x + dx. Soluzione. Il denominatore si scompone nel modo seguente: x 4 x + = (x )(x ). Osservazione. Per chi fosse in difficoltà su questo passaggio, ricordiamo che basta trovare le radici x e x del polinomio di secondo grado e sfruttare la formula a x +bx+c = a(x x )(x x ). Cerchiamo ora i coefficienti A e B in modo tale che risulti svolgendo i calcoli a destra abbiamo x 9 x 4 x + = x 9 x 4 x + A x + B x = A(x ) + B(x ) x 4 x + e quindi x 9 (A + B)x + ( A B) = x 4 x + x 4 x + a questo punto risolviamo il sistema lineare seguente: ; { A + B = A B = 9 { A = 7 B =. Osservazione. Invece di risolvere il sistema lineare, è possibile seguire una scorciatoia: poiché stiamo cercando i coefficienti A e B in modo tale che x 9 = A(x )+B(x ), tale uguaglianza deve valere anche per x = e per x =, per cui risulta: per x = 9 = A ( ) + B ( ) 4 = A A = 7 ; per x = 9 = A ( ) + B ( ) 4 = B B =. L integrale iniziale, dunque, può essere calcolato così: x 9 x 4 x + dx = 7 x x dx = 7 ln x ln x + C.

4 Esercizio 4. Calcolare x + 6 x 8 x + x 4 x 4 dx. Soluzione. Scomponiamo il denominatore: x + x 4 x 4 = x (x + ) 4(x + ) = (x 4)(x + ) ricordando che x 4 = (x + )(x ), abbiamo x + x 4 x 4 = (x + )(x )(x + ). Cerchiamo ora i coefficienti A, B, C in modo tale che risulti svolgendo i calcoli a destra abbiamo x + 6 x 8 x + x 4 x 4 x + 6 x 8 x + x 4 x 4 = A x + + B x + C x + = A(x )(x + ) + B(x + )(x + ) + C(x + )(x ) x + x 4 x 4 e quindi x + 6 x 8 x + x 4 x 4 = (A + B + C)x + ( A + B)x + ( A + B 4 C) ; x + x 4 x 4 a questo punto risolviamo il sistema lineare seguente: A + B + C = A = A + B = 6 B =. A + B 4 C = 8 C = 4 Osservazione. Invece di risolvere il sistema lineare, è possibile ragionare così: poiché stiamo cercando i coefficienti A, B, C in modo tale che x + 6 x 8 = A(x )(x + ) + B(x + )(x + ) + C(x + )(x ), tale uguaglianza deve valere anche per x =, per x = e per x =, per cui risulta: per x = ( ) + 6 ( ) 8 = A( )( + ) + B( + )( + ) + C( + )( ) = 4A A = ; per x = = A( )( + ) + B( + )( + ) + C( + )( ) = B B = ; per x = ( ) + 6 ( ) 8 = A( )( + ) + B( + )( + ) + C( + )( ) = C C = 4. L integrale iniziale, dunque, può essere calcolato così: x + 6 x 8 x + x 4 x 4 dx = x + + x + 4 x + dx = ln x + + ln x + 4 ln x + + C.

5 Esercizio. Calcolare 4 x + x x + 4 x x 4 Soluzione. Per prima cosa, dato che il grado del numeratore è del grado del denominatore, dobbiamo eseguire la divisione polinomiale (si trova che il quoziente è x + ed il resto è x + 6): 4 x + x x + 4 x x 4 = x + + dx. x + 6 x x 4. x + 6 Occupiamoci ora della frazione algebrica ; visto che la scomposizione del denominatore è x x 4 = (x + )(x ), cerchiamo i coefficienti A e B in modo tale che x x 4 risulti x + 6 x x 4 = ( A x + + B ) x x + 6 x x = ( ) A(x ) + B(x + ) x x moltiplicando entrambi i membri per si ottiene x + 6 x x a questo punto risolviamo il sistema lineare seguente: { A + B = A + B = 6 = (A + B)x + ( A + B) x x { A = B = 6 Osservazione. Invece di risolvere il sistema lineare, è possibile seguire una scorciatoia: poiché stiamo cercando i coefficienti A e B in modo tale che x+6 = A(x )+B(x+), tale uguaglianza deve valere anche per x = e per x =, per cui risulta: per x = + 6 = A ( ) + B ( + ) = A A = ; per x = + 6 = A ( ) + B ( + ) 8 = B B = 6.. ; L integrale iniziale, dunque, può essere calcolato così: 4 x + x x + 4 dx = x + + x x 4 x + dx + x x dx = x + 6 x x dx = x + x + ( ln x ln x ) + C = x + x ln x + + ln x + C.

6 Esercizio 6. Calcolare x 4 x 6x + x + 6 x + x 8x Soluzione. Per prima cosa, dato che il grado del numeratore è del grado del denominatore, dobbiamo eseguire la divisione polinomiale (si trova che il quoziente è x ed il resto è x x + ): x 4 x 6x + x + 6 x + x 8x Occupiamoci ora della frazione algebrica = x + x x + x + x 8x dx. x x + x + x 8x. ; visto che la scomposizione del denominatore è x + x 8x = (x )(x + ), cerchiamo i coefficienti A, B, C in modo tale che risulti svolgendo i calcoli a destra abbiamo x x + x + x 8x = A x + B x + + C (x + ) x x + x + x 8x = A(x + ) + B(x )(x + ) + C(x ) x + x 8x x x + x + x 8x = (A + B)x + (4A B + C)x + (4A 6B C) x + x ; 8x a questo punto risolviamo il sistema lineare seguente: A + B = A = 4A B + C = B =. 4A 6B C = C = Osservazione. Invece di risolvere il sistema lineare, è possibile seguire una scorciatoia: poiché stiamo cercando i coefficienti A, B, C in modo tale che x x + = A(x + ) + B(x )(x + ) + C(x ), tale uguaglianza deve valere anche per x = e per x =, per cui risulta: per x = () + = A ( + ) + B ( )( + ) + C( ) = A A = ; per x = ( ) ( ) + = A ( + ) + B ( )( + ) + C( ) = C C = ; per determinare B basta sostituire nell equazione x x + = A(x + ) + B(x )(x + ) + C(x ) x = 0 (ma va bene anche un qualsiasi numero diverso da e da ) ed i valori già trovati per A e C: = (0 + ) + B (0 )(0 + ) (0 ) = 4 6B + 9 B =. L integrale iniziale, dunque, può essere calcolato così: x 4 x 6x + x + 6 x + x dx = x + 8x x + x + x + (x + ) dx = x x + ln x + ln x + + x + + C. x x + x + x 8x dx =

7 Esercizio 7. Calcolare x + 7 x 7 x + x 4 8 x + x 8 x + dx. Soluzione. Scomponiamo il denominatore: x 4 8 x + x 8 x + = (x ) 4 cerchiamo i coefficienti A, B, C, D in modo tale che risulti x + 7 x 7 x + x 4 8 x + x 8 x + = ( ) A x + B (x ) + C (x ) + D (x ) 4 svolgendo i calcoli a destra abbiamo x + 7 x 7 x + x 4 8 x + x 8 x + = ( ) A(x ) + B(x ) + C(x ) + D (x ) 4 ; moltiplicando entrambi i membri per si ottiene x + 7 x 7 x + x 4 4 x + 6 x 4 x + = A x + ( A + B)x + ( A B + C)x + ( A + B C + D) ; x 4 4 x + 6 x 4 x + a questo punto risolviamo il sistema lineare seguente: A = A + B = 7 A B + C = 7 A + B C + D = A = B = 0 C = 0 D = 6. L integrale iniziale, dunque, può essere calcolato così: x + 7 x ( ) 7 x + x 4 8 x + x 8 x + dx = x + 0 (x ) 6 (x ) 4 ( ln x 0 ) x + (x ) + C = dx = ln x x + (x ) + C.

8 Esercizio 8. Calcolare x + x + 7 dx. Soluzione. Il polinomio a denominatore non ha radici reali (risulta = < 0); con la tecnica del completamento del quadrato possiamo scrivere: x + x + 7 = ( x + ) ( = x + ) + ( 4 = x + + ) ( ). Osservazione. In generale, se il polinomio a x +bx+c non ha radici reali, è possibile scriverlo nel modo seguente: [ a x + bx + c = a x + b a x + c ] [ ( = a x + b ) ] + c a a a b. 4 a Ricordando la formula (x + m) + k dx = ( ) x + m k arctan + C, k l integrale iniziale, dunque, può essere calcolato così: x + x + 7 dx = ( x + ) ( ) dx = + arctan x + + C semplificando si trova x + x + 7 dx = ( arctan x + ) + C. e quindi x + x + 7 dx = ( ) x + arctan + C.

9 Esercizio 9. Calcolare x 8 x + x + dx. Soluzione. Poiché il polinomio a denominatore non ha radici reali (risulta = < 0), l idea di base è quella di riscrivere la funzione integranda come somma di due addendi, di cui uno avente al numeratore la derivata del denominatore, l atro avente come numeratore una costante. Poiché dobbiamo avere x + al numeratore, per ottenere x dobbiamo moltiplicare e, per pareggiare i conti, moltiplichiamo fuori per : x 8 x + x + dx = x 8 x + x + dx = a questo punto sommiamo e sottraiamo al numeratore: x + 6 x + x + dx = x + dx x + x + x + x + x + dx + x + x + dx x 6 x + x + dx ; 6 x + x + dx = il primo integrale è molto semplice (si risolve con il logaritmo), mentre per il secondo dobbiamo, con la tecnica del completamento del quadrato, riscrivere il denominatore: Ricordando la formula x + x + = (x + ) + = (x + ) + 4 = (x + ) + (). (x + m) + k dx = ( x + m k arctan k ) + C, abbiamo x 8 x + x + dx = [ ( )] x + ln(x + x + ) arctan + C = ln(x + x + ) ( ) x + arctan + C. Osservazione. Non è necessario mettere il valore assoluto all argomento del logaritmo, in quanto x + x + > 0 per ogni x R.

10 Esercizio 0. Calcolare x sin xdx. Soluzione. Assumiamo come fattore finito x e come fattore differenziale sin x: x sin xdx = x ( cos x) x ( cosx) dx = quindi x sin xdx = x cosx + x cosxdx. ( ) Integrando ora per parti x cos x considerando come fattore finito x e come fattore differenziale cosx, si trova: x cosxdx = x sin x x sin xdx ; x cosxdx = x sin x x sin xdx ; infine, integrando x sin x (sempre per parti, con x fattore finito e sinx fattore differenziale), si ha: x sin xdx = x ( cos x) ( cosx) dx x sin xdx = x cosx + cosxdx x sin xdx = x cosx + sin x. ( ) ( ) Riprendendo l integrale (*), con la formula (**) possiamo scrivere: ( ) x sin xdx = x cosx + x sin x x sin xdx = = x cos x + x sin x 6 x sin xdx ; infine, mediante la formula (***), si trova: x sin xdx = x cos x + x sin x 6 ( x cosx + sin x) + C = = x cosx + x sin x + 6 x cosx 6 sin x + C.

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