ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI

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1 ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI cur di Michele Scgli RICHIAMI TEORICI INTEGRALI IMPROPRI NOTEVOLI L integrle CONVERGE dx, < <, α, β R x α (log x) β per α < e per ogni β per α = e per β > DIVERGE per α > e per ogni β, per α = e per β. L integrle CONVERGE dx, >, α, β R x α (log x) β per α > e per ogni β per α = e per β > DIVERGE per α < e per ogni β, per α = e per β. L integrle CONVERGE dx, < <, β R (log x) β per β < DIVERGE per β.

2 2 L integrle CONVERGE dx, >, α R eγx per γ > (cioè se l esponenzile rimne denomintore) DIVERGE per γ (se l esponenzile sprisce o finisce numertore) Per studire l convergenz/divergenz dell integrle improprio per x + si tiene presente quest regol: dx, >, α, β, γ R e γx x α (log x) β Se γ > (cioè se l esponenzile rimne denomintore), l integrle CONVERGE per ogni vlore di α e β. Se γ < (cioè l esponenzile finisce numertore), l integrle DIVERGE per ogni vlore di α e β. Se γ = (cioè l esponenzile vle costntemente e quindi scompre), l integrle si riduce l secondo cso illustrto, l qule rimndimo le csistiche di convergenz/divergenz. Osservimo che, in un intorno di x =, lo studio dell integrle improprio dx, < <, α, β, γ R e γx x α (log x) β non coinvolge l esponenzile, in qunto, per x, si h e γx, quindi, per il criterio del confronto sintotico, lo si può omettere. Pertnto lo studio del crttere è il medesimo del primo cso esposto in questi richimi teorici.

3 3 ESERCIZI SVOLTI ) Si studi il crttere dell integrle improprio sinh (x) sin 2 ( x) (e 2x ) log( + e x3 ) dx. Svolgimento. Cerchimo nzitutto di cpire qule si il dominio dell funzione f integrnd. Devono essere soddisftte le condizioni seguenti: Risolvimo x (e 2x ) + e x3 > log( + e x3 ) e 2x. Si h e 2x, ossi e 2x e, d cui x. L disequzione + e x3 > è invece soddisftt per ogni x R (in qunto l esponenzile è sempre positivo). Infine log( + e x3 ) diviene (pssndo ll esponenzile entrmbi i membri) + e x3, d cui e x3,

4 4 che è sempre verifict (in qunto l esponenzile è mggiore strettmente di ). In definitiv, il sistem che fornisce il dominio di f è l cui soluzione è ovvimente x x x R x R x >., Pertnto il dominio di f è domf =]; + [. Osservimo che l integrle ssegnto è definito sull intervllo (; + ): tle integrle è quindi improprio in qunto, nzitutto, l intervllo I di integrzione è ilitto; inoltre, in x = l funzione f non è definit e present un singolrità che potrebbe trdursi in un ilittezz dell f stess con eventule divergenz dell integrle. Pertnto, come osservto in clsse, l integrle converge se e soltnto se converge si in un intorno di, si per x +. Dobbimo quindi studire due convergenze. Possimo inftti pensre l integrle ssegnto come f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx, essendo un qulsivogli vlore numerico intermedio tr e +. In tle vlore l integrle non present ovvimente problemi in qunto l funzione non è definit solo in x =. L integrle improprio di prtenz convergerà se e soltnto se entrmbi gli integrli impropri secondo membro risultno convergenti. Risulterà invece divergente nel cso in cui lmeno uno dei due diverg (positivmente, trttndosi di un integrnd positiv). Osservimo inoltre che l funzione integrnd è sempre positiv o null (quindi possimo pplicre i criteri di integrbilità per funzioni positive). Comincimo studire l integrbilità impropri in un intorno di, vle dire sinh (x) sin 2 ( x) (e 2x ) log( + e x3 ) dx. Si quindi x.

5 5 Vogo pplicre il criterio del confronto sintotico. Dobbimo esibire un funzione g(x) più semplice di f(x) che verifichi f(x) x g(x) = l (; + ). Come cpitv per le serie numeriche, noi, per comodità, cercheremo di pprossimre f(x) con un g(x) che verifichi un condizione più forte di quell richiest dl teorem. L g(x) che introdurremo srà tle che f(x) x g(x) =, cioè g(x) f(x) per x. A tle scopo, è necessrio stbilire cos tendno i vri fttori che costituiscono l integrnd f qundo x. fttore: sinh x. Si h sinh x = ex e x. 2 Pertnto Il primo fttore è quindi infinitesimo. e x e x sinh x = x + x + 2 Sostituiremo tle fttore infinitesimo per x con un infinitesimo equivlente dedotto di iti notevoli o dgli sviluppi di Tylor. Seguimo l second possibilità (in qunto lezione non bbimo mi dto iti notevoli che coinvolgno le funzioni iperboliche). Si h sinh x = x + 6 x3 + o(x 4 ), =. cioè sinh x x + 6 x3 per x. In questo cso è sufficiente rrestrsi l primo ordine in qunto il fttore const solo del termine sinh x e non si produce quindi lcun cncellzione. Pertnto possimo sostituire, per x, sinh x x per x.

6 6 Secondo fttore: sin 2 ( x). Bnle è osservre che ( x sin2 x ) =. Il fttore è quindi infinitesimo. Per il ben noto ite notevole d cui sin t t t =, sin t t per t, si h subito, per il teorem di sostituzione, d cui sin ( x ) x per x, sin 2 ( x ) ( x ) 2 = x per x. Terzo fttore: (e 2x ). Si h chirmente x (e2x ) =. Il fttore è quindi infinitesimo. Poiché risult, posto t = 2x, e t t per t, (e 2x ) 2x per x. Qurto fttore: log( + e x3 ). Si h log( + ) = [ log( + e ) ] = [log( + )] = log 2. x ex3 Il qurto fttore tende quindi un quntità finit e positiv. Lo sostituiremo con l costnte log 2 nell introdurre l funzione g(x).

7 7 Pertnto, dett g(x) = x x (2x) log 2 = log 2 2x, risult g(x) f(x) per x. Per il criterio del confronto sintotico, i due integrli f(x) dx e g(x) dx hnno esttmente lo stesso crttere. Poiché (omettendo l costnte moltiplictiv ) l integrle log 2 g(x) dx = dx 2x è convergente in qunto α = < (non dimentichimoci che simo in un intorno di x =, non di x = + ), ne segue che pure f(x) dx = sinh (x) sin 2 ( x) (e 2x ) log( + e x3 ) dx è convergente. Per or bbimo mostrto che l singolrità in x = per f non provoc l divergenz dell integrle. Occupimoci or di stbilire se l ilittezz dell intervllo I di integrzione comporti o meno l divergenz dell integrle stesso. Studimo cioè il cso x +, vle dire l integrle improprio sinh (x) sin 2 ( x) (e 2x ) log( + e x3 ) dx. Si quindi x +. Anche in questo cso vogo semplificre lo studio dell integrle. Solo che, differenz del cso precedente, or non si può pplicre direttmente il criterio del confronto sintotico (il qule coinvolge iti), in qunto non esiste il x + sin2 ( x ), essendo l funzione sin continumente oscillnte tr e e di conseguenz l funzione sin 2 oscillnte tr e. In questi csi si cerc di utilizzre il criterio del confronto, esibendo un funzione g(x) tle che f(x) g(x) per ogni x (; + ),

8 8 confidndo nel ftto che l integrle improprio risulti convergente. Poiché g(x) dx sin 2 ( x ) per ogni x >, ne segue che f(x) = sinh (x) sin2 ( x) (e 2x ) log( + e x3 ) sinh (x) (e 2x ) log( + e x3 ) Cerchimo quindi di stbilire il crttere dell integrle improprio g(x) dx = sinh (x) (e 2x ) log( + e x3 ) dx. = g(x) per ogni x >. Per questo integrle improprio possimo invece pplicre il criterio del confronto sintotico in qunto tutti i fttori dell integrnd mmettono ite per x +. Considerimo i vri fttori. fttore: sinh x. Si h, essendo x + ex = + e x ex =, sinh x = e x e x x + x + 2 = +. Poiché tle fttore è ilitto per x +, lo sostituiremo, nell introdurre l nuov funzione f(x), con l ddendo di infinito mggiore. In questo cso si trtt di 2 ex. Pertnto sinh x e x per x +. Secondo fttore: (e 2x ). Si h bnlmente ( e 2x ) = +. x + Anche questo fttore tende ll infinito; ne segue che (e 2x ) e 2x per x.

9 9 Ribdimo che srebbe stto errto utilizzre in questo cso il ite notevole e sostituire (e 2x ) con 2x. Inftti, per x +, i due termini e 2x e 2x tendono ll infinito (non sono infinitesimi) e non hnno fftto lo stesso comportmento: l esponenzile v ll infinito molto più rpidmente delle potenze x α, α >. Terzo fttore: log( + e x3 ). Si h, per il teorem di sostituzione, log( + x + ex3 ) = +. In preticolre, l rgomento del logritmo tende ll infinito. Sppimo che in questi csi possimo tenere solo l ddendo di infinito mggiore, vle dire e x3. Si h quindi log( + e x3 ) log(e x3 ) = x 3 log e = x 3, per x +. Introducimo quindi l funzione h(x) dtt l criterio del confronto sintotico con g(x). Si h h(x) = 2 ex e 2x x = 3 2 e x x 3 g(x) per x +. Poiché (ricordndo gli integrli notevoli) h(x) dx = e x x 3 dx converge (essendo l esponenzile denomintore), ne segue, per confronto sintotico, che converge pure l integrle improprio g(x) dx = sinh (x) (e 2x ) log( + e x3 ) dx. Quindi, ritornndo ll integrle originrio di f, per il criterio del confronto, converge pure l integrle f(x) dx = Pertnto si h convergenz nche per x +. In conclusione l integrle di prtenz sinh (x) sin 2 ( x) (e 2x ) log( + e x3 ), dx. sinh (x) sin 2 ( x) (e 2x ) log( + e x3 ) dx risult convergente in qunto si in che per x + c è convergenz.

10 2) Si studi, l vrire del prmetro α R, il crttere dell integrle improprio Svolgimento. Clcoo il dominio di f. /2 (x sin x) cos 2 (x) x 4 α log 2 x log ( + x) dx Dobbimo risolvere il sistem x > x log 2 x + x > log( + x). L equzione log 2 x, che equivle log x, dà per risultto (pssndo ll esponenzile) x. Risolvendo log( + x) si trov + x e, d cui x. Quindi il sistem è

11 x > x x x > x, che h per soluzione x > con x. Pertnto il dominio di f è domf =]; [ ]; + [. Osservimo che l funzione non è definit in x = e in x =. D ltr prte l integrle sotto studio h per intervllo ] I =, [, 2 l qule non pprtiene il punto x =. L integrle è quindi improprio solo cus del punto x = in cui, second dei vlori del prmetro α, l funzione potrebbe diventre ilitt e rendere l integrle divergente. Cerchimo quindi di cpire per quli vlori di α l integrle, in un intorno di, risulti convergente. Applicheremo il criterio del confronto sintotico, esibendo un opportun funzione positiv g(x) tle che g(x) f(x) per x. Per introdurre tle funzione dobbimo studire i vri fttori dell integrnd f(x). fttore: (x sin x). Si h (x sin x) =. x Il fttore è infinitesimo ed è dto dll sottrzione di due infinitesimi. L sostituzione di sin x con l infinitesimo equivlente dedotto di iti notevoli, cioè sin x x per x, porterebbe un cncellzione. Utilizzimo llor gli sviluppi di Tylor.

12 2 Si h sin x = x 6 x3 + x5 5! + o(x6 ), per x. Nel nostro cso è sufficiente fermrsi l terzo ordine (inftti l potenz di grdo 3 non si cncell). Si h quindi (x sin x) 6 x3 per x. Secondo fttore: cos 2 x. Si h x cos2 x = 2 =. Quindi tle fttore lo sostituiremo col vlore fisso. Terzo fttore: x 4 α. Tle fttore si present già in un form fvorevole (pensndo lle tvole degli integrli notevoli cui vorremo fre riferimento). Qurto fttore: log 2 x. Anche tle fttore già si present in form dtt. Quinto fttore: log( + x). Risult bnlmente log( + x) =. x Dl ite notevole si h immeditmente che log( + x) x per x. Possimo quindi introdurre l funzione g(x) dtt l criterio del confronto sintotico. Risult g(x) = 6 x3 x 4 α log 2 x x = 6 x 4 α 2 log 2 x f(x) per x. Studimo quindi per quli vlori del prmetro α si h l convergenz dell integrle improprio

13 3 /2 g(x) dx = /2 x 4 α 2 log 2 x dx. Ricordndo l tvol degli integrli impropri notevoli, si h che il precedente integrle converge sicurmente se 4 α 2 <, cioè 4 α < 3. Tle disequzione con vlore ssoluto equivle 3 < 4 α < 3, vle dire l sistem { 4 α > 3 4 α < 3. Il precedente sistem diviene che h per soluzione { α < 7 α >, < α < 7. Se 4 α 2 = c è comunque convergenz in qunto l esponente del logritmo è 2 >. Clcoo quindi gli α per cui 4 α = 3. Si h d cui 4 α = 3 4 α = 3, α = 7 α =. In definitiv, l integrle improprio /2 g(x) dx

14 4 converge se e solo se α 7. Per il criterio del confronto sintotico segue che pure l integrle di prtenz converge per /2 f(x) dx = /2 (x sin x) cos 2 (x) x α log 2 x log ( + x) dx α 7. 3) Si studi, l vrire del prmetro α R, il crttere dell integrle improprio 5 [sin (e x )] α log x x 2/3 (e 3x ) dx. Svolgimento. Osservimo nzitutto che, per ogni x >, l funzione integrnd è positiv. Clcoo il dominio dell integrnd f. Osservimo che, ffinché bbi senso l potenz rele [ sin ( e x )] α bbi senso, l bse deve essere strettmente mggiore di. Quindi, osservti nche gli ltri fttori che costituiscono l integrnd, il sistem d impostre per individure il cmpo di esistenz è il seguente: sin (e x ) > x >. e 3x Considerimo l prim disequzione. Osservimo che sin ( e x) ( ) = sin. e x Essendo e x > per ogni x > (nel nostro cso, dire il vero, è x > 5), ne segue che <, x > 5. ex

15 5 Pertnto, l rgomento del sin è minore o ugule di un rdinte (circ 57 ). Quindi l funzione sin ssume tutti vlori positivi. L disequzione è soddisftt per ogni x > 5. L condizione e 3x, ossi dà per risultto e 3x e 3x, cioè x. Inoltre, il logritmo è definito per x >. Il sistem d risolvere è quindi che risolto dà x R x > x x >., Il dominio di f è quindi domf =]; + [. D ltr prte, nel nostro esercizio, l intervllo di integrzione è I =]5; + [, e l singolrità x = non pprtiene tle intervllo. L funzione è quindi continu su tutto I. L integrle ssegnto è quindi improprio solmente cus dell ilittezz dell intervllo di integrzione I. Dovremo cercre llor di stbilire per quli vlori del prmetro α l integrle non diverge per x +. Si quindi x +. Considerimo i vri fttori. Primo fttore: [sin (e x )] α.

16 6 Per il momento considerimo l rgomento dell potenz, vle dire [ sin ( e x )]. Studimone il ite per x + : osservto che teorem di sostituzione, Il fttore è pertnto infinitesimo. Poiché [ ( )] sin e x = [sin()] =. x + sin t t per t, x + e x = e che sin t =, si h, per il t si h, posto t = e x, sin ( e x) e x per x +, d cui, pssndo ll potenz, [ sin ( e x )] α [ e x ] α = e αx per x +. Secondo fttore: log x. Tle fttore si present già in form fvorevole. Terzo fttore: x 2/3. Anche questo fttore è già in form fvorevole. Qurto fttore: (e 3x ). Si h, essendo x + ex = +, ( e 3x ) = +. x + Poiché il fttore tende ll infinito, dobbimo tenere l ddendo di infinito mggiore, cioè e 3x (in verità è nche l unico ddendo che tende ll infinito ll interno del fttore). Quindi ( e 3x ) e 3x per x +.

17 7 Pertnto, l funzione g(x) dtt l criterio del confronto sintotico è g(x) = Ne segue che i vlori di α per cui converge 5 g(x) dx = e αx x 2/ e 3x. 5 e αx dx x 2/3 e3x sono tutti e soli i vlori di α per cui converge l integrle di prtenz Studimo quindi l convergenz di Riscrivimo come Sicurmente, se 5 5 f(x) dx = 5 5 g(x) dx = [sin (e x )] α log x x 2/3 (e 3x ) 5 e αx dx. x 2/3 e3x dx. + dx = dx. x 2/3 e αx e3x 5 e (α+3)x x2/3 α + 3 >, ossi se α > 3 l integrle converge, poiché il fttore esponenzile rimne denomintore. Se, invece, α < 3, l integrle sicurmente diverge. Anlizzimo or il cso α = 3, nel qule non compre più l funzione esponenzile. L integrle diviene divergente, in qunto α = 2 3 <. In definitiv, si h convergenz se e solo se 5 dx, x2/3 α > 3.

18 8 4) Si clcoli l integrle improprio 2 (x ) e x2 +2x dx. Svolgimento. L funzione integrnd è definit su tutto R. L integrle d clcolre è improprio cus dell ilittezz dell intervllo I di integrzione. Si h inftti I =]2; + [. Per definizione di integrle improprio si h [ t ] (x ) e x2 +2x dx := t + (x ) e x2 +2x dx. Comincimo clcolre l integrle 2 t 2 (x ) e x2 +2x dx. Per prim cos procurimoci un primitiv dell integrnd. Risolvimo cioè l integrle indefinito (x ) e x2 +2x dx. 2 Per prim cos cerchimo di cpire se l integrle si risolubile per mezzo di un sostituzione. Ponimo x 2 + 2x = y, d cui, derivndo ll Leibniz, ( 2x + 2) dx = dy, 2(x ) dx = dy. Moltiplichimo e dividimo l integrnd per il fttore costne 2. Risult occorre moltiplicre e dividere l integrnd per il fttore 2: si h (x ) e x2 +2x dx = 2 ( 2)(x ) e x2 +2x dx =

19 9 = 2 e y dy = 2 ey + c = 2 e x2 +2x + c. Dett d esempio F l primitiv con c = risult t 2 (x ) e x2 +2x dx = F (t) F (2) = = +2t 2 e t2 ( 2 ) e 4+4 = +2t 2 e t2 +. Clcoo quindi +2t t + 2 e t Poiché t + ( t2 + 2t) port ll form indetermint [+ ], occorre tenere il termine corrispondente ll infinito di ordine superiore. Si h Pertnto Ne segue che L integrle è quindi convergente. 5) [T.E. 26//29] t + ( t2 + 2t) = t + t2 =. +2t t + 2 e t2 + 2 = 2 e + 2 = = 2. Si clcoli l integrle improprio seguente 2 (x ) e x2 +2x dx = 2. rctn ( 7x ) ( + 7x) 7x dx. Svolgimento.

20 2 L integrle è improprio: inftti, l intervllo I di integrzione è ilitto. Inoltre, l funzione integrnd non è definit in x =. Tuttvi rctn ( 7x ) f(x) = x + x + ( + 7x) 7x =, grzie l ite notevole rctn t t t Quindi, in un intorno di x = l funzione integrnd è itt. Pertnto, pur non essendo f definit in x =, l integrle non diviene improprio cus di x =. Osservimo infine, che l ulteriore condizione d imporre per individure il dominio di f è x 7, =. m tle punto non è di nostro interesse in qunto non pprtiene ll intervllo I =]; + [. L integrle d clcolre diviene dunque, per definizione di integrle improprio, [ t rctn ( 7x ) ] t + ( + 7x) 7x dx. Clcooci quindi un primitiv F di f risolvendo rctn ( 7x ) Operimo un sostituzione. Ponimo ( + 7x) 7x dx. rctn 7x = y, d cui, derivndo ll Leibniz, ottenimo d cui + 7x dx = dy, 7x ( + 7x) dx = dy. 7x Pertnto si h, osservto che 7x = ( 7x ) 2 = y 2, ( ) rctn 7x ( + 7x) 7x dx = rctn ( ) 7x ( + 7x) 7x dx

21 2 = 2 7 y dy = 2 7 y2 2 + c = 7 y2 + c = = 7 ( rctn 7x) 2 + c Dett F l primitiv con d esempio c =, bbimo t rctn ( 7x ) ( + 7x) dx = F (t) F () = 7x = [ ( 7 rctn ) 2 ( 7t rctn ) ] 2 = ( rctn 2 7t). 7 In conclusione, essendo rctn t = π, risult, per il teorem di sostituzione, t + 2 rctn ( 7x ) ( + 7x) ( dx = rctn 2 7t) = 7x t + 7 = 7 L integrle improprio è quindi convergente. 6) [T.E. 29//2] ( π 2 ) 2 = π Studire l vrire del prmetro α R il crttere dell integrle improprio Svolgimento. e x/4 dx. (sinh x) α x3/2 L integrle è d considerrsi improprio si cus dell ilittezz dell intervllo I di integrzione, si cus del ftto che l funzione f non è definit in x = e potrebbe presentre in tle punto, l vrire di α, un ilittezz tle d comportre l divergenz dell integrle medesimo in un intorno di x =. I vlori di α per i quli l integrle converge sono quindi tutti e soli i vlori di α per cui si h convergenz si in un intorno di x = si per x +. Possimo scrivere l integrle come f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx, essendo un qulsivogli vlore numerico intermedio tr e +. In tle vlore l integrle non present ovvimente problemi in qunto l funzione f non è definit solo in x =.

22 22 Comincimo studire il cso x +, cercndo di pplicre il criterio del confronto sintotico. Considerimo quindi l integrle improprio f(x) dx = e x/4 dx. (sinh x) α x3/2 Studimo il comportmento di ciscun fttore per x +. fttore: ( e x/4 ). Si h bnlmente Il fttore è quindi infinitesimo. Poiché ( e x/4 ) = [e ] =. x + cioè e t t t =, e t t per t, risult, posto t = x 4, e x/4 x 4 x per x +. 2 fttore: (sinh x) α. Sppimo che sinh x =. x Il fttore è quindi infinitesimo. Ricorrimo gli sviluppi in serie di Tylor. Si h sinh x = x + 6 x3 + o(x 3 ) per x. Poiché il fttore è infinitesimo per conto suo (e non è dto dll somm di ddendi infinitesimi), è sufficiente rrestrsi l primo ordine, in qunto non potrnno esserci cncellzioni di monomi nello sviluppo. Pertnto sinh x x per x +, d cui, pssndo ll potenz,

23 23 (sinh x) α (x) α per x +. Infine, il fttore x 3/2 è gi in form fvorevole. Introdott quindi l funzione si h chirmente g(x) = x x α x 3/2 g(x) f(x) per x +. Il criterio del confronto sintotico grntisce che f(x) dx e g(x) dx bbino lo stesso crttere. Individuimo quindi i vlori di α per i quli converge g(x) dx = Poiché l indeterminzione è in x =, l integrle converge qundo x dx = x α x3/2 x dx. x α x3/2 α + 2 <, x α+ 2 ossi qundo α < 2. Di conseguenz, per confronto sintotico, pure l integrle converge per α < 2. f(x) = e x/4 dx (sinh x) α x3/2

24 Individuti i vlori di α che grntiscono l convergenz in un intorno di, preoccupimoci or di trovre i vlori del prmetro α che, invece, grntiscno l convergenz qundo x +. Interessimoci dunque ll integrle e x/4 dx. (sinh x) α x3/2 24 Anlizzimo il comportmento di ciscun fttore per x +. fttore: ( e x/4 ). Si h ovvimente ( e x/4 ) = +. x + Poiché il fttore tende ll infinito, dobbimo tenere l ddendo di infinito mggiore, vle dire e x/4, che, in reltà, è nche l unico ddendo che tende ll infinito. Osservimo che è essenzile tenere il 4 denomintore. Inftti, i termini e x e e x/4 = 4 e x non hnno lo stesso ordine di infinito (il primo è mggiore). Tornndo ll esercizio, qundo introdurremo l funzione g(x) equivlente f(x) per x +, sostituiremo il fttore e x/4 con cioè e x/4, e x/4 e x/4 per x +. 2 fttore: (sinh x) α. Come detto lezione, per studire le funzioni iperboliche qundo x + è buon cos richimre l definizione di tli funzioni. Ricordimo che sinh x = ex e x = 2 2 ex 2 e x.

25 25 Clcoone il ite per x +. Risult ( sinh x = x + x + 2 ex ) 2 e x = +. Il fttore tende quindi ll infinito. Dei due ddendi che lo costituiscono considereremo solmente quello che tende +, vle dire Pertnto, per x +, (sinh x) α = 3 fttore: x 3/2. Tle fttore è già in form fvorevole. Introdott l funzione g(x) = 2 α 2 ex. il criterio del confronto sintotico grntisce che ( ) α 2 ex = 2 eα x. α e x/4 e α x x 3/2, f(x) dx e g(x) dx bbino esttmente lo stesso crttere. Individuimo quindi i vlori di α per cui converge g(x) = 2 α e x/4 dx = e α x x3/2 = 2 α dx. e (α /4) x x3/2 Ricordndo qunto richimto nelle prime pgine, si hnno i seguenti csi: se α >, ossi se α >, l integrle sicurmente converge (perché l esponenzile 4 4 rimne l denomintore); se α 4 =, ossi se α = 4 l integrle diviene dx, x3/2 convergente, in qunto l esponente di x è mggiore di (non dimentichimoci che simo in un intorno di + ).

26 26 se α <, ossi se α <, l integrle sicurmente diverge (in qunto l esponenzile 4 4 finisce numertore cusndo l ilittezz dell funzione). Pertnto, l integrle converge se e solo se g(x) dx α 4. Stesso discorso per f(x) dx. Affinché l integrle complessivo f(x) dx = e x/4 dx (sinh x) α x3/2 converg, si deve quindi vere { α < 2 α 4, d cui 4 α < 2. 7) [T.E. /2/2] Clcolre l integrle indefinito 3 rctn x x 2 dx e quindi utilizzre l primitiv trovt per clcolre l integrle improprio Svolgimento. 3 rctn x x 2 dx. Clcoo l integrle 3 rctn x rctn x dx = 3 dx. x 2 x 2

27 27 Riscrivimo l integrle come 3 (rctn x) x 2 dx. L integrnd è dt dl prodotto di due funzioni di specie diverse non legte l un ll ltr d derivte di composte. Utilizzimo quindi l regol di integrzione per prti. Derivimo rctn x e integrimo x 2. derivo rctn x integro x 2 L integrle diviene 3 + x 2 x [ rctn x (rctn x) x 2 dx = 3 + x ] ( + x 2 )x dx. Risolvimo ( + x 2 )x dx. Si trtt dell integrle di un funzione rzionle frtt in cui il denomintore h grdo mggiore del numertore. Utilizzimo l regol dei frtti. Cerchimo tre numeri A, B, C R tli che x( + x 2 ) = A x + Bx + C + x. 2 Si h A x + Bx + C = A + Ax2 + Bx 2 + Cx + x 2 x( + x 2 ) = x2 (A + B) + Cx + A. x( + x 2 ) Affinché l frzione ottenut coincid con si deve vere x( + x 2 ) A + B = C = A =,

28 28 d cui Pertnto risult A = B = C =. x( + x 2 ) = x x + x. 2 Ne segue che x( + x 2 ) dx = x dx x + x = log x 2 2 2x + x 2 dx = = log x 2 log + x2 + c = log x + x 2 + c. In definitiv, tornndo ll integrle originrio, si h [ ] rctn x 3 (rctn x) x 2 x dx = 3 + log x + c. + x 2 Pssimo ll second prte dell esercizio, il clcolo dell integrle improprio. Osservimo che l funzione integrnd, è definit e continu per ogni x. L integrle rctn x x 2 3 rctn x x 2 è improprio solo cus dell ilittezz dell intervllo di integrzione I =], + [. Si trtt dell integrle improprio di un funzione itt su un intervllo ilitto. Il vlore dell integrle lo si ottiene nel seguente modo: 3 rctn x x 2 dx = t + t dx 3 rctn x x 2 Poiché bbimo già clcolto l primitiv generic di f(x), si h fcilmente t dx. 3 rctn x [ ( )] t rctn x x dx = 3 + log = x 2 x + x 2

29 29 {[ rctn t = 3 + log t ] [ t rctn + log + t 2 {[ ] rctn t t = 3 + log + π t + t 2 4 log }. 2 + ]} = Dobbimo or clcolre il ite {[ ] rctn t = 3 t + log + π t + t + t 2 4 log } = 2 = 3 [ π 4 log ] [ ] rctn t t log. 2 t + t + t 2 Considerimo l ddendo Poiché [ ] rctn t t + log. t + t + t 2 t = t 2, si h [ ] [ ] rctn t t rctn t t 2 + log = + log = t + t + t 2 t + t t 2 + [ ] rctn t t 2 = + log t + t t 2 = [ rctn t = + log ] = t + t [ π ] =. Pertnto, 3 rctn x [ π dx = x 2 4 log ] [ π = log ], 2 il che signific che l integrle improprio è convergente.

30 3 8) [T.E. /6/22] Determinre per quli vlori di β R converge l integrle improprio rctn ( ) x 3 x β log ( + rctn x) dt. Svolgimento. L funzione integrnd f(x) = rctn ( x 3 ) x β log ( + rctn x) è definit su ], + [, cus del fttore x β, con β R (potenz con esponente rele). Osservimo ltresì che, per x >, il termine rctn x è strettmente mggiore di, per cui l rgomento del logritmo è strettmente mggiore di, quindi il denomintore dell frzione non si nnull mi. Poiché >, ne segue che rctn ( ) x 3 x >. Pertnto l funzione integrnd è positiv su 3 ], + [. Per studire il crttere fremo ricorso i criteri di convergenz per funzioni positive. L integrle risult improprio cus dell singolrità in e cus dell ilittezz d destr dell intervllo di integrzione. I vlori di β per cui l integrle risult convergente sono quindi tutti e soli quei vlori per cui si h convergenz in un intorno di e per x +. Dobbimo quindi studire l convergenz dei due integrli I = f(x) dx e I 2 = f(x) dx, con >. Comincimo con lo studio di I. Vogo pplicre il criterio del confronto sintotico. Cerchimo quindi un funzione g(x) > tle che o, per semplicità, f(x) x + g(x) = l ], + [ g(x) f(x) per x +. Per fre ciò, è necessrio cpire cos tendno, per x +, i vri fttori che costituiscono l funzione f(x). Comincimo col primo fttore, ( ) rctn. x 3

31 3 Poiché per x + risult + ed essendo nche x rctn t = π, si h 3 t + 2 ( ) rctn = π x + x 3 2. Nell introdurre l funzione g(x), sostituiremo tle fttore il vlore π 2. Il secondo fttore, x β, è già in form fvorevole. Anlizzimo il terzo fttore, log ( + rctn x). Si h, per il teorem di sostituzione, log ( + rctn x) = log( + ) =. x + Poiché si h e log( + y) y per y, rctn x x per x, si trov, per il teorem di sostituzione, log ( + rctn x) rctn x x per x +. Pertnto, l funzione g(x) dtt ll ppliczione del criterio del confronto sintotico è Studimo quindi il crttere di g(x) = π 2 x β x f(x) per x +. g(x) dx = π 2 Sppimo che tle integrle converge se e solo se β + <, dx. xβ+ cioè, se e solo se β <.

32 32 Per il criterio del confronto sintotico, si h che l integrle I converge se e solo se β <. Considerimo or l convergenz dell integrle I 2, cioè f(x) dx. Per l ppliczione del criterio del confronto sintotico, dobbimo studire il comportmento dei vri fttori per x +, per poter così esibire un funzione h(x) > tle che h(x) f(x) per x +. Per qunto rigurd il primo fttore, essendo per x +, si h x3 ( ) rctn = rctn =. x + x 3 In forz del ite notevole già richimto precedentemente, possimo ffermre che ( ) rctn per x +. x 3 x 3 Il secondo fttore, x β, è già in form fvorevole. Per il terzo fttore, invece, si h ( log ( + rctn x) = log + π ), x + 2 che è un costnte mggiore strettmente di, che chimeremo K per semplicità. Un funzione h(x) f(x) qundo x + è quindi h(x) = Studimo, l vrire di β R, il crttere di x 3 x β K. h(x) dx = K dx. x3+β Quest ultimo integrle converge se e solo se 3 + β >, cioè se e solo se β > 2.

33 33 Pertnto, per il criterio del confronto sintotico, l integrle I 2 converge se e solo se β > 2. In definitiv, l integrle di prtenz converge se e solo convergono contempornemente l integrle I e l integrle I 2, cioè per tutti e soli i β tli che { β <, β > 2 cioè per β ] 2, [. 9) Si α R. Determinre il crttere dell integrle improprio ( ) cos 2 x log(x 2 + )(x ) dx. α Svolgimento. Osservimo che l integrle è improprio per due motivi: cus del ftto che il dominio di integrzione è ilitto m nche cus del ftto che l funzione integrnd non è definit in x = e, per certi vlori di α, potrebbe divergere e rendere l integrle infinito. Dobbimo quindi individure gli α R per cui l integrle non diverge né in un intorno di x = né qundo x +. Comincimo studire il comportmento per x +, cioè studimo il crttere di f(x) dx, essendo un rbitrrio numero rele strettmente mggiore di in cui f non present problemi di definizione. Essendo f un funzione positiv (il numertore è un qudrto, l rgomento del log è strettmente mggiore di, il termine (x ) è mggiore di essendo l integrle definito su x > ), possimo pplicre il criterio del confronto sintotico e cercre un funzione g tle che g(x) f(x) per x +. e studire il crttere di g(x) dx.

34 34 Per introdurre l g(x) bisogn cpire cos tendono i vri fttori che costituiscono f(x) qundo x. Il fttore ( cos ) 2 x tende ( cos ) 2, quntità positiv (e non null, visto che il coseno di rdinte è diverso d ), che possimo denotre con K. Anche il fttore log( + x 2 ), tendendo log 2, non cre problemi. L unico fttore problemtico è (x ) α. Inftti, come osservto ll inizio, il contenuto dell tond tende. Simo in presenz di un cso nlogo x α dx, in cui l singolrità è in x =. Nel nostro cso, l x tende e, chirmente, il fttore problemtico è (x ) α. In entrmbi i csi, l rgomento dell potenz tende. L discussione del crttere è quindi l medesim. Generlizzndo, il crttere di è il medesimo di quello di x α dx = b (x ) α dx = (x b) α dx, cus del ftto che, per mezzo dell sostituzione x b = t, ci si riconduce ll integrle improprio con l singolrità in (nel nostro esercizio è b = ). Detto ciò, il fttore (x ) α è già in form dtt per lo studio del crttere. Quindi, dett g(x) = K log 2 (x ) α,

35 35 si h che l integrle converge se e solo se g(x) dx = K log 2 (x ) α dx = α <. K log 2 (x ) α dx Per il criterio del confronto sintotico, nche f(x) dx converge se e solo se α <. Preoccupimoci or del crttere dell integrle in un intorno di +. Considerimo il ite dei vri fttori che compongono f qundo x +. Per qunto rigurd il primo fttore (per il momento omettimo il qudrto, lo reintroduremmo qundo definiremo g(x)), si h x + ( cos ) = cos = =. x Si trtt cioè di un fttore infinitesimo. Nell introdurre g(x) dovremo sostituire tle fttore o con l prte mncnte di un ite notevole o con lo sviluppo di Tylor opportunmente rrestto. Poiché dl ite notevole si h cos t 2 t2 per t, segue che, posto t = x qundo x +, cos x 2 x 2 per x +. Per qunto rigurd il secondo fttore si h log( + x + x2 ) = +. Tendendo +, simo interessti tenere l ddendo di ordine più lto nell rgomento del log. Pertnto sostituiremo tle fttore con log(x 2 ) = 2 log x.

36 36 Infine, poiché (x ) = +, x + possimo sostituire l bse del terzo fttore con x. L funzione di cui studire il crttere dell integrle è dunque Poiché converge se e solo se g(x) = ( ) 2 2 x 2 2 log x x = α 2 2 x 4+α log x. g(x) dx = 4 α + 4 >, x 4+α log x dx cioè se e solo se α > 3, ne segue che nche converge se e solo se f(x) dx α > 3. In conclusione, l integrle di prtenz converge per tutti e soli gli α per cui converge si in x = che +, cioè per tutti e soli gli α che risolvono il sistem { α <, α > 3 cioè per 3 < α <.