Analisi e Geometria 1

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1 Anlisi e Geometri Esercizi sugli integrli Integrli propri. Clcolre i seguenti integrli immediti: I = I = I 5 = ln e e d I = e + e + 6e + e d I = rtg ln ( + ln ) d I 6 = e e + d d rtg + ( + ) ( + ( + ) ) d. Clcolre i seguenti integrli: I = I = I 5 = ln ln /. Clcolre i seguenti integrli rzionli: () ( + )( + ) d + (b) ( + )( ) d + (c) ( ) ( + ) d (d) + + d d I = e d I = + d I 6 =. Clcolre, integrndo per prti, i seguenti integrli: I = I = rtg d I = ln d I = 5. Clcolre, integrndo per prti, i seguenti integrli: () e cos e d (b) e sin e d + d e d + + d π rtg d sin d

2 6. Clcolre, integrndo per prti, i seguenti integrli: () ln d (b) ln d (c) ln d 7. Clcolre, integrndo per prti, i seguenti integrli: () rcsin d (b) rcsin d (c) rcsin d 8. Clcolre, integrndo per prti, l integrle ( rtg + ) + ln d 9. Clcolre, integrndo per sostituzione, gli integrli + e () e d (b) (c) + ln( + ) + ln( + ) + rtg + rtg d + d +. Clcolre, integrndo per sostituzione, gli integrli () d 5/6 (b) d (c) + + d. Clcolre, integrndo per sostituzione, l integrle + sin + cos sin d

3 Integrli impropri. Clcolre i seguenti integrli impropri immediti. I = I = I 5 = I 7 = I 9 = I = I = + d I = e + e d I = + e rtg + π/ π/ + d I 6 = ln(rtg ) ( + )rtg d I 8 = ( + ) π rtg d I = ( + ln ) d I = + tn (tn ) / d I =. Stbilire se i seguenti integrli impropri convergono. () (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) rtg ( + e ) ( + + ) d + e + ln ( + e ) ( + + ) d + + ln( + e ) + d + (e ) sin d d e + + d e rtg d + d. Clcolre i seguenti integrli impropri. () (b) (c) + + d ( + )( + ) d ( + )( + ) d + + e rcsin d + π/ π/ e d ( + e ) / e + e rtg e d e + e ln( + e ) d + ln + ln d + ln d d cos (tn ) /

4 + (d) ( + + ) d (e) (f) + + ( + ) d + d. Clcolre, per ogni n N, l integrle I n = ln n d. 5. Dire per quli vlori del prmetro rele α è convergente l integrle Appliczioni geometriche + ( + + )( + + ) α ( + ) d Lunghezz di un rco di curv. curv γ di equzione y = f() è Si f :, b] R un funzione derivbile. L lunghezz dell L γ = b + f () d. Bricentro di un rco di curv. Si f :, b] R un funzione derivbile. Le coordinte del bricentro (geometrico) B ( b, y b ) dell curv γ di equzione y = f() sono B = L γ b + f () d e y B = L γ b f() + f () d. Are e volume di un superficie di rotzione. Si f :, b] R un funzione derivbile. Si γ l curv di equzione y = f() e si Σ l superficie che si ottiene fcendo ruotre γ ttorno ll sse y. L re e il volume dell superficie Σ sono dte d A Σ = π b Integrli ellittici (completi). Integrle ellittico completo di prim specie: K() = f() + f () d e V Σ = π π/ Integrle ellittico completo di second specie: E() = π/ b f() d. dϑ ( R, < ). sin ϑ sin ϑ dϑ ( R, ).. Clcolre l lunghezz e le coordinte del bricentro di un semicirconferenz γ di rggio r.

5 . Clcolre l re e il volume di un cilindro e di un cono venti ltezz h e rggio di bse r.. Clcolre l re e il volume di un sfer di rggio r.. Clcolre il volume dell ellissoide Σ ottenuto dll rotzione rotzione ttorno ll sse y dell ellisse di equzione + y b =. 5. Clcolre il volume delle superfici ottenute dll rotzione ttorno ll sse y delle seguenti curve: () y = sin, con, π] (b) y = ln, con, ] (c) y =, con, ] ln 6. Clcolre, se possibile, l re e il volume dell superficie dell superficie Σ ottenut fcendo ruotre ttorno ll sse y l curv di equzione y = /, con, + ). 7. Clcolre l re e il volume del toro, ossi dell superficie che si ottiene fcendo ruotre un circonferenz γ ttorno d un rett che non intersec γ. 8. Dimostrre il seguente Teorem di Pppo. Si f :, b] R un funzione derivbile. Si γ l curv di equzione y = f(), si B ( B, y B ) il bricentro di γ e si Σ l superficie che si ottiene fcendo ruotre γ ttorno ll sse y. Allor 9. Clcolre E(), E(), K() e K(). A Σ = π y B L γ.. Mostrre che gli integrli ellittici completi possono essere rppresentti nche nell form seguente K() = dt ( t )( t ) e E() = t t dt.. Clcolre (medinte gli integrli ellittici) l lunghezz dell rco di sinusoide di equzione y = sin, con, π].. Clcolre (medinte gli integrli ellittici) l lunghezz dell ellisse di equzione + y b =.. Clcolre l derivt prim dell integrle ellittico E(). 5

6 Risposte Integrli propri. Si h. Si h I = I = I = I = I 5 = I 6 = ln e ( ) e d = e ] e e e d = ( + 6e + e ) + 6e + e d = ( ) d = (rtg ln ) rtg ln d = I = I = = I = = e(e ) (e ) e e d = e ] e = e e ln( + 6e + e ) ( ) ] / rtg ln (rtg + ) rtg + d = I = I 5 = I 6 = ( ) d + ( )( ) d ( + ) d ln / e d + e d + ln + d + + d +. () ln + ln + + c ( ) d = 5 ] e = π ] ln = ( + ) d + e d = e d = e (b) 5 ln + ln + (c) ln c + d = ln 5 + d + + c (d) rtg ln c = 6 ln 5 rtg ] ln + d = + ln 6 9 = rtg 7 π 6 ( + ) d = 6 6

7 . Integrndo per prti, si ottiene I = π I = 8 ln 7 9 I = π ln I = π 5. () Integrndo per prti, si h e (e cos e ) d = e sin e e sin e d = e sin e + cos e + c. (b) Anlogmente, si ottiene e cos e + sin e + c. 6. () Integrndo per prti, si h ln d = ln ln d = ln ln d = ln ln + + c. (b) Integrndo per prti ed usndo il risultto precedente, si h ln d = ln ln d = = ln ln d = ln ln + 6 ln 6 + c. (c) Integrndo per prti ed usndo il risultto precedente, si ottiene ln ln + ln ln + + c. 7. () Integrndo per prti, si ottiene rcsin d = rcsin + + c. (b) Integrndo per prti ed usndo il risultto precedente, si h ( rcsin + ) ( rcsin + ) d = rcsin + I d. Poiché si h d = + rcsin + rcsin + cost., rcsin + cost. ossi rcsin + + cost. 7

8 (c) Integrndo per prti ed usndo il risultto precedente, si h ( = rcsin + ) ( rcsin + I + rcsin + rcsin d ) d d. Poiché d = ( ) d = ( ) + cost., si h 8. Poiché ossi rcsin + + ( rcsin + ) + + cost. + rcsin + + cost. 9 ( rtg ) ln d, integrndo per prti, si h rtg ( rtg ) ln d = ( rtg ) ln rtg d ossi ( rtg ) ln rtg + ln + + c. 9. () Posto t = e, si h d = dt/t e ( + t ( t)t dt = t + ) dt = ln t + ln t + c = ln e + + c. t (b) Posto t = ln( + ), si h dt = d/( + ) e ln ln + t + t dt = ln ln (c) Posto t = rtg, si h dt = d/( + ) e π/ π/. () Posto t = 6, si h = t 6, d = 6t 5 dt e ( 5 ) ] ln dt = 5 ln + t + t = ln ln 9 + t + t dt = rtg + ] π/ ln( + t ) = rtg π π/. + t + t 6t 5 ( dt + t t 5 = 6 + ( ) ] 5 + ln. + ln t ) + t dt = 6 t + ] ln + t + c. Quindi, si h ln( + ) + c. 8

9 (b) Posto t = 6 +, si h = t 6, d = 6t 5 dt e t + t 6t 5 dt t ( ) + t t t 6 = 6 t dt = 6 t t dt = 6 ln t t t /] + c. Quindi, si h ln c. (c) Posto t = 6, si ottiene. Posto t = tn /, si h π + ln 8. Quindi l integrle divent sin = t t dt, cos =, d = + t + t + t. + t + t dt t + t + t = + t + t (t )(t )(t + ) dt. Spezzimo l funzione integrnd in somm di frzioni semplici. Si h + t + t (t )(t )(t + ) = A t + B t + C + Dt t +. Sommndo e semplificndo secondo membro e uguglindo i numertori, si trov il sistem linere A + B + D = A B + C D = A + B C + D = A B + C =. Risolvendo questo sistem, si ottiene A =, B = /5, C = /5, D = /5. Quindi, si h ( t + 5 t ) t 5 + t dt = ln t + 5 ln t 5 rtg t + 5 ln( + t ) + c. Infine, si h ln tn 8 tn + 5 ln 5 + ( 5 ln + tn ) + c. 9

10 Integrli impropri. Integrndo in senso improprio, si h I = rcsin ] = π I = I = I = I 5 = I 6 = I 7 = I 8 = I 9 = π I = I = I = I = I = ] rcsin / (rcsin ) rcsin d = ( + e ) ] + + e d = ln( + e ) = ln ( + e ) ( + e ) / d = + e (rtg ) e rtg d = e rtg ] + = e π/ (ln( + e )) ln( + e ) d = e = rcsin/ = π ] + = (rtg e ) rtg e d = rtg e ] + = π (ln(rtg )) ln(rtg ) d = (ln(rtg )) /] + = ] ln ( + e ) d = ( + ) ( π rtg ) ( + ln ) + ln d = ln( + ln ) + π/ π/ π/ ] ] e rcsin = ln( + e) = ln )] ( π rtg ( ) d = = ( + ln ) + ln d = ( + ln ) /] + = + (tn ) ] π/ d = = (tn ) / tn π/ (tn ) d = (tn ) / π/ ] π/ tn π/ =. π ( ln / π π ) ln/ = rcsin = π. () L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo, + ). Inoltre, per +, si h f() = = (α = / > ). / Per il criterio del confronto sintotico, l funzione f() è integrbile in senso improprio sull intervllo di integrzione e l integrle converge. (b) L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo, + ). Inoltre, per +, si h f() e e = (α = > ). Per il criterio del confronto sintotico, l funzione f() è integrbile in senso improprio sull intervllo di integrzione e l integrle converge.

11 (c) L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo, + ). Inoltre, per +, si h f() / ln e = (α = ). Per il criterio del confronto sintotico, l funzione f() non è integrbile in senso improprio sull intervllo di integrzione e l integrle non converge. (d) L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo (, ]. Inoltre, per +, si h e = o( ) = + o( ), e quindi f() = (α = / ). / Per il criterio del confronto sintotico, l funzione f() non è integrbile in senso improprio sull intervllo di integrzione e l integrle non converge. (e) L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo (, + ). Inoltre, gli estremi dell intervllo, si h: U() : f() = integrbile in senso improprio (/ < ) / U(+ ) : f() = non integrbile in senso improprio (/ ). / L integrle non converge. (f) L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo (, + ). Inoltre, gli estremi dell intervllo, si h: U() : f() = U(+ ) : L integrle converge. f() e = integrbile in senso improprio (/ < ) / e = integrbile in senso improprio (/ > ). (g) L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo (, + ). Inoltre, poiché l funzione rcotngente è limitt e e per ogni, si h: e rtg π e = π e π. Quindi l integrle converge ssolutmente. Di conseguenz, l integrle converge. (h) L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo (, + ). Inoltre, per +, si h: f() = non integrbile in senso improprio (/ < ). / L integrle non converge.. () L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo, ) e f() /( ) / per. Quindi l integrle converge. Posto t =, si h = t, d = tdt e t tdt = t ] ( ( t ) dt = t t = ) =.

12 (b) L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo, + ) e f() / +. Quindi l integrle converge. Spezzndo f() nell di frzioni semplici, si h + = ( ) + d = ln( + ) + rtg + ln( + ) + ( ) + d = = ] + + ln + + rtg = π (c) L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo, + ) e f() / +. Quindi l integrle converge. Spezzndo f() nell di frzioni semplici, si h + = ( + + ) + d = ln( + ) + rtg ln( + ) + ] + ] + ( ) + d = = ln + ] + + rtg = π + per per (d) L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo, + ) e f() /( ) per +. Quindi l integrle converge. Posto t = + +, si h = (t )/(t), d = (t + )/(t ) dt e + t + t t dt = + ( t + ) t 5 dt = t ] + t = 8. (e) L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo (, + ). Inoltre si h f() / per + e f() / / per +. Quindi l integrle converge. Posto t =, si h = t, d = t dt e + t dt + ( + t )t = dt + t = rtg t ] + = π. (f) L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo (, + ). Inoltre si h f() / per + e f() / per +. Quindi l integrle converge. Posto t =, si h = t, d = t dt e. Per n =, si h Per n >, integrndo per prti, si h I n = = lim β + ln n d = lim ( β ln n β n + β + β β I = t dt + t + t = dt + t = π. d = ] =. ln n d = lim ) ln n d β + ( ] ln n n β = lim β + β lnn β n lim β + β β ) ln n d ln n d, ossi I n = ni n.

13 Pertnto, si h I n = ni n = n(n )I n = n(n )(n )I n = = ( ) n n! I, ossi I n = ( ) n n!. 5. L funzione integrnd f() è continu e positiv sull intervllo (, + ). Per + si h f() α+. Quindi f() è integrbile in = per α + <, ossi per α <. Per + si h f() α = α+5/ = α+/. Quindi f() è integrbile + per α + / >, ossi per α > /. In conclusione, l integrle converge per / < α <. Appliczioni geometriche. Considerimo l circonferenz di centro l origine e rggio r. Poiché l su equzione è + y = r, l semicirconferenz γ h equzione y = r, con, r]. Allor, l lunghezz di γ è r r L γ = + r d = r r r d = d (/r) ] r = r rcsin r = r(rcsin rcsin( )) = r ( π + ) π = πr. Per simmetri, si h B =. Inoltre, si h y B = r r πr + r d = r π d = r π.. Il cilindro Σ può essere generto dll rotzione ttorno ll sse y dell curv di equzione y = r, con, h]. Anlogmente, il cono Σ può essere generto dll rotzione ttorno ll sse y dell curv di equzione y = m, con, h], dove r = mh. Allor, i volumi sono V Σ = π h r d = πhr e V Σ = π h In prticolre, si h V Σ = V Σ. Le ree sono m d = πm h = πhr. A Σ = π h r d = πhr e V Σ = π h m + m d = πmh + m = πr h + r.. L sfer S di rggio r può essere genert dll rotzione ttorno ll sse y dell semicirconferenz di equzione y = r, con, r]. Pertnto, si h r A S = π r + r r V S = π (r ) d = π r d = π r ] r r d = πr = πr.

14 . L ellissoide Σ può essere generto dll rotzione dell semiellisse di equzione y = b /, con, ]. Pertnto, si h V Σ = π b ( / ) d = πb. 5. () V Σ = π (b) (c) V Σ = π V Σ = π π sin d = π ] π sin cos = π ln d = π ln ln + ln 6. Il volume di Σ è dto d Per l re, invece, si h d = π ln / ln ln. ]. = π(ln ). + V Σ = π d = π ] + = π. + A Σ = π + d = +, poiché, per +, l funzione funzione integrnd non è integrbile, essendo Il toro può essere generto dll rotzione ttorno ll sse y dell circonferenz γ di centro (, R) e rggio r, con R > r. L circonferenz γ h equzione + (y R) = r. Spezzimo or γ nell semicirconferenz superiore γ e nell semicirconferenz inferiore γ, come in figur: y γ R γ r Allor γ h equzione y = R + r e γ h equzione y = R r. Sino Σ e Σ le superfici di rotzione generte d queste due semicirconferenze. Allor, si h V Σ = π r (R + r ) d e V Σ = π r (R r ) d.

15 Quindi, il volume del toro Σ è ossi V Σ = V Σ V Σ = π = π = π r r r = Rπ = Rπ Anlogmente, si h r (R + r ) d π r (R r ) d (R + r ) (R r ) ] d (R + r R + r )(R + r + R r ) d = Rπ πr A Σ = πr Quindi, l re del toro è r r d r + r rcsin r ] r V Σ = π Rr. R + r r R r d e A Σ r = πr d. r ossi A Σ = A Σ A Σ = πr = πr = πr = πr r r r = πr rπ R + r r R r d (/r) d r rcsin r ] r A Σ = π Rr. r R r d + πr d r 8. Utilizzndo le formule dte, si h A Σ = π b f() + f () d = π ( L γ b f() + f () d ) L γ = π y b L γ. 9. Si h E() = K() = π/, E() =. L integrle K() diverge, ossi K() + per.. Posto t = sin, si h dt = cos d = sin dt = t d. Pertnto, gli integrli ellittici K() ed E() diventno K() = t dt = t 5 dt ( t )( t )

16 E() = t. L lunghezz dell rco di sinusoide considerto è L γ = π = dt = t π + cos d = sin d = π/ sin d + π Posto t = π, si h dt = d e il secondo integrle divent π π/ sin d = π/ π/ sin (t + π) dt = t t dt. π sin d. π/ sin d sin t dt. Pertnto, si h L γ = E(/).. Per simmetri, l lunghezz L dell ellisse in questione è quttro volte l lunghezz L dell rco di equzione y = b /, con, ]. Posto k = b/, si h L = + k d = Posto t = /, si h d = dt e L = Quindi, l lunghezz dell ellisse è. Derivndo E() rispetto, si h E () = π/ = ( k ) d = ( k )t t dt = E( k ). ) L = E ( b. d π/ sin ϑ dϑ = d π/ ( sin ϑ) sin ϑ dϑ = sin ϑ sin ϑ dϑ ( π/ sin ϑ ( k ) / / d. ) dϑ sin ϑ ossi E () = E() K(). 6

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