INTRODUZIONE ALLA MODELIZZAZIONE DEI DATI FINANZIARI
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- Gianluca Ruggiero
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1 INTRODUZIONE ALLA MODELIZZAZIONE DEI DATI FINANZIARI
2 MODELIZZARE LE SERIE STORICHE DELLE AZIONI Dall'ipotesi dell'eficcienza del mercato ricaviamo che il prezzo delle azioni può esser descritto da un random walk. Però il valore delle azioni non può esser negativo quindi non è il valore S di un'azione che viene modelizzato con un random walk ma è log(s) che viene modelizzato con un random walk, questo perchè il logaritmo assume valori su tutto l'asse reale.
3 Abbiamo arguito prima che log S si evolve come un cammino casuale abbiamo visto che dopo un numero sufficiente di passi un cammino casuale può esser approsimato dalla gaussiana ossia S t = t ~N t, 2 t S t Come facciamo ad estrarre i parametri della gaussiana dalle serie storiche?
4 Esempio uso le quotazioni di chiusura: al tempo t=3 giorni calcolo t S mu drift. variance. t=1giorno 3 =log S 4 S 3 ~ S 4 S 3 1=.6 similmente agli altri tempi. Poi calcolo μ e σ giornalieri dagli ε. Quelli annuali sono 1Y =252 1d 1Y = 252 1d
5 Questo non è l'unico modo per misurare la volatilità. L'idea intuitiva che si può applicare è quella di misurare le oscillazioni giornaliere usando il minimo ed il massimo. Questo punto di vista porta a definire un'altra misura della volatilità (Parkinson 198) come 1 = N h 2 i log i=1 4 log 2 N l i dove h è il massimo del giorno e l è il minimo. Questo stimatore ha un bias verso il basso perché non considera i salti dei prezzi in apertura.
6 Note: 1) per il calcolo della volatilità annuale si usano i giorni di apertura borsa 2) tipici valori della volatilità sono 1Y ~2% 4% 3) per stimare la volatilità si usano i prezzi degli ultimi 9-18 giorni. Però per un'opzione di durata 2Y si usano 2Y di dati.
7 Deviazioni dalla normalità La distr. di probabilità delle variazioni nei risk factors probabilità normale fat-tailed rendimento
8 Deviazioni dalla normalità La distr. di probabilità delle variazioni nei risk factors frequenza Std. : 15,91% Asimmetria (N = ): -4,81 Curtosi (N = 3): 11,7 1% (N = -2,33): -2,49 5% (N = -1,65): -1,4 95% (N = 1,65): 1,33 99% (N = 2,33): 2, standard deviations dalla media
9 SPMIB rispetto 2 set di dat gaussiani stessi parametri
10 La violazione dalla normalità può esser verificata con un semplice Programma #!/usr/bin/octave -qf csvfile='^spmib.29517_2791.csv'; x=csvread(csvfile); close=x(2:rows(x),7); %calcolo returns eps=zeros(rows(close),1); for i=1:rows(close)-1 eps(i)=log(close(i)/close(i+1)); endfor
11 %calcolo I parametri della distribuzione m=mean(eps); s=sqrt( var(eps) ) %genero due sample di dati gaussiano g=normrnd(m,s,2,1); g1=normrnd(m,s,2,1); %calcolo la probabilità della normalita' dei dati [pval, ks, d] = kolmogorov_smirnov_test_2(eps,g)
12 %faccio il grafico dei dati veri e di quelli simulati bins=3; xbins= (:bins) /bins* (max(eps) - min(eps)) + min(eps); figure(1); hist(eps,xbins,1) he=hist(eps,xbins,1); hg=hist(g,xbins,1); hg1=hist(g1,xbins,1); figure(2) plot(xbins,he, xbins,hg, xbins,hg1)
13 Deviazione dalla normalità lognormal
14 Deviazione dalla normalità I momenti interessati alla deviazione Asimmetria (momento di ordine 3) E[ x 3 ] E[ x 2 ] 3/2 normale = Curtosi (momento di ordine 4) E[ x 4 ] E[ x 2 ] 2 normale =3 NB Nelle tabelle la curtosi non e' normalizzata
15 Deviazione dalla normalità Il fenomeno della Lepto -Curtosi Asimmetria < Curtosi > 3
16 Deviazioni dalla normalità SAMPLE RETURN STATISTICS FOR SELECTED MARKETS Nome Volatilità AsimmetriaCurtosi<-1 Std. (annuale) <-5 Std. > 5 Std. > 1 Std.,4 % 99,6 % MERCATO EQUITIES Borse americane S&P 5 15,9-4,8 11, ,64 2,76 Nasdaq 15,2-5,1 19, ,57 2,62 NYSE All share 14,7-5,2 121, ,54 2,68 Mexico Bolsa (pesos) 26,3 -,2 7, ,59 3,75 Mexico Bolsa (U.S.$) 32 14, ,98 3,44
17 Deviazioni dalla normalità Qual'è la probabilità di trovare un evento nella coda sinistra a meno di 5 sigma? Erfc x = 1 1 x dy e 2 y2 = x e 2 x2 d u e x2u 2 e x2 u 2 ~ 1 2 L'andamento asintotico è dato da 1 2 e x2 x Erfc x = x e 2 x 2 1 n 2 n 1!! n= x 2n 2 Qual'è la probabilità di trovare un evento nella coda sinistra a meno di 5 sigma? Erf(-5)=.297 =>.8 eventi ogni 1 y= 252 d
18 Deviazioni dalla normalità Tabella 2: Sample Return Statistics for Selected Markets-Daily Return Statatistics Nome Volatilità Asimmetria Kurtosi <-1 Std. <-5 Std. > 5 Std. > 1 Std.,4% 99,6% (annuale) Borse europee FTSE ,7 28, ,37 2,94 FTSE All Share 13,6-1,9 29, ,94 2,94 German DAX 3 Pref. 19,7 -,9 15, ,25 3,37 France DS Market 17,5 -,9 13, ,72 3,14 France CAC 4 19,4 -,6 1, ,37 3,17 Sweden Veckans Aff. 18,4 -,4 12, ,76 3,96 Milan B.C.I. 2,3 -,9 13, ,58 3,25 Swiss Performance 15,6-2, ,65 3,71
19 Deviazioni dalla normalità Tabella 2: Sample Return Statistics for Selected Markets-Daily Return Statatistics Nome Volatilità Asimmetria Kurtosi <-1 Std. <-5 Std. > 5 Std. > 1 Std.,4% 99,6% (annuale) Borse dell Asia e Australia Australia Ordinaries All 17,1-7,8 198, ,54 2,34 Nikkei 5 2,4 -,4 34, ,7 3,5 Hang Seng 26,7-6,4 143, ,8 2,93 Bankok S.E.T. 25 -,6 9, ,86 3,59 Taiwan Weighted 36,1 -, ,8 3,2
20 Deviazione dalla normalità Curtosi Equitie s: borse americane S&P 5 Nasdaq NYSE All Share Mexico Bolsa (pesos) Curtos i As immetria Mexico Bolsa (U.S.$) -5,5-5 -4,5-4 -3,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -,5 Asimme tria Curtosi Curtos i As immetria Equities: borse europee -3-2,5-2 -1,5-1 Asimme tria 5 -,5 FTSE 1 FTSE All Share German DAX 3 Perf. France DS Market France CAC 4 Sweden Veckans Aff. Milan B.C.I. Swiss Performance Curtosi Equitie s: borse de ll'asia e Australia Australia All Ordinaries Nikkei 5 Hang Seng Bangkok S.E.T. Curtos i As immetria Taiwan Weight ed -8,5-8 -7,5-7 -6,5-6 -5,5-5 -4,5-4 -3,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -,5 Asimme tria
21 Deviazione dalla normalità giorni S&P N NY S&P Equities: bors e americane N M.B. (US) NYM.B. (p) S&P N NY M.B. (p) M.B. (US) < -1 Std. < -5 Std. >5 Std. >1 Std. rendimenti S&P 5 Nasdq NYSE M.B.(peso) M.B.(US $) giorni Equities: bors e europee FTSE 1 FTSE All Share S DAX 3 Perf. S SP D D F France DS M. FC FA M France CAC 4 FC F1 FA F Sweden Veck. Aff. SP F1 SP F1FA Milan B.C.I. D M M Swiss Perf. < -1 Std. < -5 Std. >5 Std. >1 Std. rendimenti giorni Equities: bors e dell'asia e Australia Australia Nikkei 5 B Hang Seng A Bangkok S.E.T. HS N B Taiwan Weighted N A N A HS HS TW N < -1 Std. < -5 Std. >5 Std. >1 Std. rendimenti
22 Deviazione dalla normalità Tabella 2 (continua): Sample Return Statistics for Selected Markets-Daily Return Statatistics Nome Volatilità Asimmetria Kurtosi <-1 Std. <-5 Std. > 5 Std. >1 Std.,4% 99,6% (annuale) Mercato delle valute English pound 11 -,2 2, ,6 3,2 Mexican New Peso 18,9-8,1 214, ,15 3,2 Germa Mark (DM) 11,3 -,1 2,3 1-3,4 3,4 French Franc (FF) 1,9, 2,7 2-3,5 3,45 Swedish Krone (SK) 1,5 -,6 7, ,5 3,3 Italian Lira 11,3 -,6 5,6 4-3,6 3,3 Swiss franc (SF) 12,6, 1,9 1-3,2 3,3 Australian Dollar 9,4 -,7 5, ,3 2,75 Japanese Yen 11,1,4 5, ,1 3,68 Hong Kong Dollar,8 -,6 14, ,4 4,3 Thai Baht 2,4,7 3, ,8 4,95 Canadian Dollar 4,4 -,1 4, ,8 3,25
23 Deviazione dalla normalità Curtosi English pound M N P DM FF SK Mercato delle valute Italian Lira Swiss Franc Aust ria Dollar Japanese yen Hong kong $ Curtos i As immetria Thai Baht Canadian Dollar -8,5-8 -7,5-7 -6,5-6 -5,5-5 -4,5-4 -3,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 Asimmetria Curtosi English M N P pound DM FF SK Mercato delle valute Italian Lira Swiss Franc Aust r. Dollar Japanese Hong yen kong $ Curtos i As immetria T hai Baht Canadian Dollar -8,5-8 -7,5-7 -6,5-6 -5,5-5 -4,5-4 -3,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 Asimmetria
24 Deviazione dalla normalità giorni M SK T E M Mercato delle valute SK I A J H T C M SK FF E DM S A < -1 Std. < -5 Std. >5 Std. >1 Std. rendimenti J H T C M English pound M exican New Peso DM FF SK Italian Lira Swiss Franc Austrialian Dollar Japanese yen Hong kong Dollar Thai Baht Canadian Dollar T
25 Deviazione dalla normalità Tabella 2 (continua): Sample Return Statistics for Selected Markets-Daily Return Statatistics Nome Volatilità Asimmetria Kurtosi <-1 Std. <-5 Std. > 5 Std. >1 Std.,4% 99,6% (annuale) Mercato delle merci Gold (First Nearby) 13,4 -,7 8, ,24 3,44 Oil (First Nearby) 38,7 -,8 18, ,14 4,7 Oil (Sixth Nearby) 27,5 -,6 12, ,82 3,82
26 Deviazione dalla normalità Curtosi Curtosi Asimmetria Gold (First Nearby) Mercato delle merci Oil (First Nearby) Oil (Sixth Nearby) -,9 -,8 -,7 -,6 -,5 -,4 -,3 -,2 -,1 Asimmetria
27 Deviazione dalla normalità giorni O Oil G Mercato delle merci O O Oil < -1 Std. < -5 Std. >5 Std. >1 Std. rendimenti G Oil Gold (First Nearby) Oil (First Nearby) Oil (Sixth Nearby)
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