L. Pandolfi. Lezioni di Analisi Matematica 2

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1 L. Pandolfi Lezioni di Analisi Matematica 2

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3 i Il testo presenta tre blocchi principali di argomenti: A Successioni e serie numeriche e di funzioni: Cap., e 2. B Questa parte consta di due, da studiarsi in sequenza. B Funzioni di più variabili e integrazione (multipla, di curva e di superficie): Cap B2 Campi conservativi,cap. 9. C Sistemi di equazioni differenziali: Cap.. Lo studio dei blocchi A e B può scambiarsi di ordine senza problemi. Invece, è consigliabile studiare C per ultimo. Infatti, lo studio del Cap. richiede il concetto di continuità e differenziabilità di funzioni di più variabili, studiato ai paragrafi Ovunque nello studio del Cap. è necessario conoscere il concetto di curva (ma non le proprietà differenziali delle curve, né gli integrali di curva). L esponenziale di matrici richiede la definizione di serie, Cap., e 2 e il paragrafo.4 richiede il Cap. 9.

4 ii

5 Indice Serie numeriche. Successioni numeriche: ricapitolazione Le serie numeriche Serie telescopiche Criteri di convergenza Il teorema di Cauchy per le serie Monotonia e serie a termini di segno costante Il test di McLaurin Serie a termini di segno qualsiasi Alcuni esempi numerici Convergenza condizionata ed incondizionata Serie dipendenti da un parametro e serie di funzioni Operazioni algebriche e serie Prodotto alla Cauchy Appendici Appendice: ancora sul test di McLaurin La dimostrazione del Teorema di Leibniz Successioni e serie di funzioni Introduzione Distanze tra funzioni Il prodotto interno su L 2 (a, b) Proprietà della convergenza uniforme Serie di funzioni Serie di potenze Operazioni sulle serie di potenze Serie di potenze nel campo complesso Serie di Taylor Serie di potenze ed equazioni differenziali lineari Serie di Fourier: introduzione iii

6 iv INDICE 2.5. Premesse: le funzioni periodiche Premesse: le formule d Eulero La serie di Fourier in L 2 ( L, L) Estensioni pari e dispari, e serie di Fourier La convergenza puntuale della serie di Fourier Lo spazio lineare normato R n Lo spazio lineare R n Connessione e convessità Vettori liberi e vettori applicati Basi e basi ordinate Il piano e lo spazio Norme e distanze Completezza di R n La norma euclidea R 2 e R 3 con la norma euclidea Il prodotto vettoriale Coordinate curvilinee nel piano e nello spazio Funzioni da R in R n Funzioni da R n in R m 5 4. Limiti e continuità Funzioni continue su insiemi Le proprietà di differenziabilità Il differenziale delle funzioni a valori reali Regole di derivazione La direzione del gradiente e la direzione di massima velocità crescita Le funzioni definite tramite integrali Le derivate di ordine superiore La formula di Taylor per le funzioni a valori reali Gli estremi Il differenziale delle funzioni a valori in R m Regole di calcolo della matrice jacobiana Campi vettoriali Operatori differenziali e campi vettoriali Appendici Appendice: Rappresentazione di funzioni di due variabile Appendice: Propagazione ondosa Appendice: Funzioni omogenee

7 INDICE v Appendice: La dimostrazione del teorema Appendice: la dimostrazione del teorema di Schwarz Funzioni implicite ed estremi vincolati Insiemi di livello Il teorema della funzione implicita Curve piane definite implicitamente Superfici definite implicitamente Curve intersezione di due superfici Il teorema della funzione inversa ed i cambiamenti di variabili Ulteriori esempi Superfici assegnate in modo implicito e curve intersezione di due superfici Estremi vincolati Estremi vincolati ad una curva piana Estremi vincolati ad una superficie Estremi vincolati ad una curva dello spazio Osservazione importante Appendice: la dimostrazione del teorema Curve e superfici Curve parametriche I cambiamenti di parametro e la definizione di curva Lunghezza di un arco Proprietà differenziali delle curve piane e dello spazio Curve piane Le superfici Superfici definite parametricamente Il piano tangente e la normale a una superficie Appendici Appendice: le formule di Frenet per curve nello spazio Appendice: Curve in R n Integrazione delle funzioni di più variabili Integrazione delle funzioni di due variabili Le proprietà dell integrale Domini di integrazione definiti mediante curve di Jordan Riduzione di integrali doppi ad integrali iterati Integrazione delle funzioni di tre variabili Formula di riduzione per gli integrali tripli

8 vi INDICE 7.3. Integrazione e Cambiamento di variabili Alcuni jacobiani che è importante ricordare Volumi delimitati da superfici di rotazione Appendici Appendice: Integrali impropri Appendice: Teorema dei valori intermedi e Teorema di Brower Integrali di curva e di superficie Funzioni definite su curve: la densità Gli integrali di curva Integrali di curva di prima specie Integrali di curva di seconda specie Integrali di curva di prima e di seconda specie Integrali di curva di seconda specie e forme differenziali Il flusso Analisi vettoriale nel piano Una considerazione preliminare Formula di Green Formula di Green e forme differenziali Le forme differenziali e le aree piane Le estensioni Integrali di superficie Area di una calotta Densità superficiale Integrali di superfici di prima specie Integrale di superficie di seconda specie Integrale di superficie di seconda specie e forme differenziali Analisi vettoriale nello spazio Formula della divergenza e formula di Gauss La formula di Stokes: il caso delle superfici parametriche Estensioni Appendici Appendice: fatti da ricordare Appendice: osservazioni sulla terminologia Appendice: Una dimostrazione del Teorema di Stokes

9 INDICE vii 9 Campi conservativi Potenziale Il calcolo del potenziale Il linguaggio delle -forme differenziali Primitive di 2-forme differenziali Alcune formule importanti I sistemi di equazioni differenziali 277. Introduzione Esistenza e unicità di soluzione Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti Il caso dell equazione completa e delle equazioni di ordine superiore Il comportamento in futuro delle soluzioni La stabilità Sistemi piani ed integrali primi Integrali primi e stabilità Stabilità asintotica e perturbazioni

10

11 Capitolo Serie numeriche Le serie numeriche vogliono generalizzare la somma di un numero finito di termini al caso in cui si sommano infiniti termini. Per questo si introduce il limite di una opportuna successione di somme parziali. Prima di tutto quindi ricapitoleremo i concetti fondamentali relativi alle successioni numeriche.. Successioni numeriche: ricapitolazione Una successione numerica è una funzione definita su N ed a valori in R (oppure in C. Noi qui ci limitiamo a considerare successioni a valori reali). Una successione si indica col simbolo (x n ) e si sottintende che n N. Talvolta, n è un qualsiasi numero intero maggiore od uguale ad un certo n che può anche essere negativo. Se è necessario specificare il primo dei valori dell indice n scriveremo (x n ) n n. La successione si chiama: limitata quando esiste M tale che x n < M per ogni n; convergente, quando esiste finito il limite lim n + x n, che spesso si indica semplicemente come lim x n ; divergente quando lim x n = + oppure quando limx n = ; regolare quando è convergente oppure divergente; oscillante quando non è regolare; ossia quando lim x n non esiste, né finito né + né. Ricordiamo che una successione si dice fondamentale o di Cauchy quando

12 2 CAPITOLO. SERIE NUMERICHE per ogni ɛ > esiste un N ɛ tale che per ogni n > N ɛ e per ogni m > si ha: x n x n+m < ɛ. In simboli: ɛ > N ɛ n > N ɛ, m > = x n x n+m < ɛ. Vale: Teorema Ogni successione convergente è fondamentale; ogni successione fondamentale è limitata e quindi ogni successione convergente è limitata. Naturalmente, esistono successioni limitate e non convergenti. Per esempio la successione di termine generale x n = ( ) n. Invece: Teorema 2 Ogni successione fondamentale è convergente. Dim. Accenniamo ai passi cruciali della dimostrazione, che si trova nei testi di Analisi Matematica. Sia (x n ) la successione. Prima di tutto si prova che la successione (x n ) ammette s.successioni convergenti. Questo si vede così: dato che una successione fondamentale è limitata, l immagine di (x n ), ossia l insieme {x n } è limitato. Se è finito, almeno uno dei suoi elementi è immagine di infiniti n e quindi la successione (x n ) ha una s.successione (x nk ) costante e quindi convergente, di ciamo ad x. Se l insieme {x n } è infinito, esso ammette almeno un punto di accumulazione x, per il Teorema di Bolzano-Weierstrass. Si costruisce quindi una s.successione (x nk ) convergente ad x. L ultimo passo della dimostrazione consiste nel mostrare che è la successione (x n ) stessa che converge ad x, usando la definizione di successione fondamentale. Una successione (x n ) è crescente quando n > m implica x n x m ; decrescente quando n > m implica x n x m. Un altro risultato importante da ricordare è il teorema delle funzioni monotone, la cui formulazione particolarizzata al caso delle successioni è la seguente: Teorema 3 Sia (x n ) una succesione monotona. Esiste lim x n ; ossia, ogni successione monotona è regolare. Infine, ricordiamo che se una successione (x n ) è regolare, anche la successione che si ottiene da essa trascurandone un numero finito di termini, ossia (x n ) n>m è regolare, ed ha il medesimo limite. in realtà vale di più: ogni sottosuccessione (x nk ) ha il medesimo limite della (x n ).

13 .2. LE SERIE NUMERICHE 3.2 Le serie numeriche Sia (x n ) una successione di numeri. Per fissare le idee sia n, ma in modo analogo si può trattare il caso in cui il primo indice sia per esempio o comunque sia diverso da. Si chiama serie dei numeri x n una nuova successione (s n ) costruita come segue: k s = x, s 2 = x + x 2, s k = x n, ossia, detto in modo più conciso: s = x, s k = s k + x k. I numeri s n si chiamano le somme parziali della serie. La nuova successione (s n ) si indica anche col simbolo n= x n n= o, più semplicemente, xn. I numeri x n si chiamano i termini della serie e si dice che x n è il termine generale della serie. Nella definizione precedente niente si richiede al comportamento della successione (x n ) o della successione (s n ). Se però la successione (s n ) converge allora si dice che la serie converge ; se la successione (s n ) diverge (a + oppure a ) allora si dice che la serie diverge (rispettivamente a + oppure a ). Se la successione (s n ) è priva di limite, si dice che la serie è oscillante o indeterminata. Una serie si dice regolare quando converge oppure diverge. Il carattere della serie o comportamento della serie è la proprietà di essere convergente, divergente o oscilante. Ricapitolando, se la successione (s n ) converge ad l oppure diverge, dovremmo indicare questo col simbolo k lim x n = α, k + n= α rispettivamente uguale a l oppure + oppure. Più brevemente si scrive x n = α n= o anche xn = α.

14 4 CAPITOLO. SERIE NUMERICHE Si dice brevemente che α è la somma della serie. Ovviamente, scambiando l ordine di un numero finito di termini di una serie, non si cambia nè il comportamento della serie nè la sua somma, nel caso che la serie sia convergente (diremo più avanti cosa accade scambiando tra loro infiniti termini della serie). E anche vero che, sopprimento o aggiungendo un numero finito di termini, oppure cambiando il valore di un numero finito di termini, la serie rimane convergente, divergente o oscillante; ossia: Teorema 4 Il carattere di una serie non muta alterandone un numero finito di termini. Va detto esplicitamente che se la serie è convergente, la somma della serie cambia alterandone un numero finito di termini. Se invece è divergente, la sua somma non cambia. Inoltre: Teorema 5 Se x n converge allora lim n + x n =. Dim. Si indichi con s k = k n= x n. L ipotesi è che la successione (s k ) converge e quindi anche la successione s k converge, ed al medesimo limite. Dunque, = lim k + s k lim k + s k = lim k + (s k s k ) = lim k + x k. Di conseguenza: Esempio 6 La serie di termine generale ( ) n n, ossia la serie ( ) n n non converge. Invece: Esempio 7 La successione (q n ) n (con q R fissato) si chiama progressione geometrica (di ragione q). La serie + q n n=

15 .2. LE SERIE NUMERICHE 5 si chiama serie geometrica. E noto che, se q, e quindi q N+ lim N + q n= = N n= + n= q n = qn+ q /( q) se q < q n = + se q oscillante altrimenti. Si noti che la serie geometrica per definizione inizia con l indice n =. Se per qualche ragione si deve iniziare con un primo indice diverso, di ciò va tenuto conto nel calcolo della somma. Per esempio + 2 = + n /2 = 2, 2 = 2 =. n.2. Serie telescopiche Sia (b k ) k una successione e sia n= a n = b n b n (ovviamente definita per n ). Consideriamo la serie + n= a n. (.) Una serie ottenuta con questo procedimento si chiama serie telescopica. E facile calcolare le somme parziali di una serie telescopica: s = a = b b, s 2 = a + a 2 = (b b ) + (b 2 b ) = b 2 b e, in generale, Dunque: s k = b k b. Teorema 8 La serie telescopica costruita sopra converge se e solo se e in tal caso lim b k = l R + n= a n = l b ; diverge se lim b k = + oppure se lim b k =. La serie è oscillante se e solo se la successione (b k ) è priva di limite.

16 6 CAPITOLO. SERIE NUMERICHE Esempi Vediamo alcuni esempi. Esempio 9 Consideriamo la serie + ( log + ). n n= Questa serie diverge. Infatti, ( log + ) = log n + = log(n + ) log n. n n k n= Sia ha quindi una serie telescopica e ( log + ) = log(k + ) da cui lim n Esempio Consideriamo la serie + n= n 2 + n. k k + n= Si vede che questa è una serie telescopica notando che n 2 + n = n [ n + = n + ] n e inoltre b n = /n. Dunque, + n= n 2 + n =. ( log + ) = +. n Se per qualche ragione si devono sommare i termini con n n, allora Consideriamo ora la serie + n=n n 2 + n = n. + n= 4n 2 + 8n + 3. Decomponendo in fratti semplici, 4n 2 + 8n + 3 = [ ] 4 n + 3/2 n + /2 = 4 [b n+ b n ], b n = n + /2. Si tratta quindi di una serie telescopica, la cui somma è 2/3.

17 .3. CRITERI DI CONVERGENZA 7 Infine: Esempio Anche la serie seguente è una serie telescopica: + ( log + ) /(n ). n n=2 (n + ) /(n ) n Infatti, e quindi la serie è uguale a + n=2 [ n ( + ) /(n ) (n + )/n = n n (n + ) /(n ) n /(n ) ] + log(n + ) n log n = [b n+ b n ], b n = log(n + ). n=2 n Dunque, la serie converge e la sua somma è (/2) log 3. Nonostante gli esempi importanti della serie geometrica e delle serie telescopiche, calcolare esplicitamente le somme parziali di una serie è pressoché impossibile. L unica cosa che si può fare è dare condizioni per la convergenza o divergenza di serie, e quindi, se già si sa che la serie converge, approssimarne numericamente la somma..3 Criteri di convergenza Come si è detto, è ben difficile calcolare esplicitamente le somme parziali di una serie. Per questo è necessario conoscere dei criteri che assicurino la convergenza o meno di una serie, senza calcolarne le somme parziali. Dato che la somma di una serie è il limite della successione delle somme parziali, dovremo basarci su criteri per l esistenza del limite, che non facciano intervenire la preliminare conoscenza del limite stesso. Essenzialmente, questi criteri si riducono a due soli: il teorema di Cauchy per le successioni e il teorema delle funzioni monotone. Esaminiamone le conseguenze per il caso delle serie..3. Il teorema di Cauchy per le serie Vediamo come si trascrive il Teorema di Cauchy nel caso in cui (s n ) è la successione delle somme parziali della serie x k. (.2) k

18 8 CAPITOLO. SERIE NUMERICHE Sia, per fissare le idee, m > n. Allora, m s m s n = x k. k=n+ Possiamo quindi enunciare il Teorema di Cauchy come segue: Teorema 2 La serie (.2) converge se e solo se per ogni ɛ > esiste N ɛ tale che per ogni coppia di indici n, m con vale D altra parte, notiamo che m e quindi: Corollario 3 Se la serie converge, anche la serie converge. m > n > N ɛ m x k < ɛ. k=n+ x k m k=n+ k=n+ x k k x k k Dim. Infatti, se k x k converge, per ogni ɛ > esiste N ɛ tale che per m > n > N ɛ si ha m x k m x k < ɛ. k=n+ k=n+ x k E quindi anche la serie k x k converge, grazie al Teorema 2. Più avanti vedremo una diversa dimostrazione di questo corollario. Si dice che la serie k x k converge assolutamente quando è convergente la serie k x k. Il corollario precedente quindi può enunciarsi in questo modo: Teorema 4 Una serie assolutamente convergente è convergente. Questo risultato è molto importante perché la serie k x k è una serie a termini positivi. Criteri di convergenza facilmente usabili esistono appunto per il caso delle serie a termini positivi, come ora andiamo a vedere.

19 .3. CRITERI DI CONVERGENZA Monotonia e serie a termini di segno costante Usando il teorema delle funzioni monotone, è facile vedere che Teorema 5 Sia (x n ) una successione a termini positivi. La serie degli x n converge se e solo se esiste M tale che s n < M per ogni n. Dim. Ricordiamo il significato di n x n : prima si costruisce la successione k s k = x n n= e poi si studia il limite lim k + s k. La successione (s k ) è crescente perché, essendo x k per ogni k, [ k+ k ] k s k+ = x n = x n + x k+ x n = s k. n= n= n= Dunque la successione (s k ) ammette limite, finito o meno, per il teorema delle funzioni monotone. Il limite è finito se e solo se la successione (s k ) è superiormente limitata, ossia se e solo se esiste M tale che s k < M per ogni k. Il teorema facilmente si estende al caso di successioni a termini negativi oppure definitivamente positive o negative. Inoltre: Teorema 6 (Teorema del confronto) siano x n e y n due serie a termini positivi, con x n y n per ogni n. Allora, se y n converge, anche x n converge; se x n diverge lo stesso fa y n. Questo semplice risultato ha come conseguenza due importanti criteri di convergenza per le serie a termini positivi: Teorema 7 (Criterio della radice) Sia x n per ogni n: Se esiste q [, ) ed esiste N tale che allora la serie converge. n xn < q n > N, Se esiste q > e se esiste una s.successione (x nk ) tale che allora la serie diverge. n k xnk > q

20 CAPITOLO. SERIE NUMERICHE Dim. Da n x n < q < segue infatti x n < q n e, se q <, la convergenza della serie x n segue dall esempio 7 e dal Teorema del confronto. Se per un q > vale n k xnk > q ossia x nk > q n k allora 2 lim x nk = +. Di conseguenza il termine generale della serie non tende a zero, e quindi la serie non converge. Si ha inoltre: Teorema 8 (Criterio del rapporto) Se vale definitivamente x n+ x n < q < (.3) allora x n converge; se x n+ x n > q > allora x n diverge. Dim. Proviamo l asserto nel caso in cui la (.3) valga per ogni n. Se x n+ x n < q < allora x 2 < qx, x 3 < qx 2 < q 2 x e, in generale, x n < q n x. Si sa che se q < allora x q n = x q n converge, si veda l esempio 7. L asserto segue quindi dal Teorema del confronto. In modo analogo si vede il secondo asserto. Ricordando i teoremi sui limiti, si può enunciare il corollario seguente: Corollario 9 Sia x n una serie a termini positivi. Vale: se lim n + x n+ x n = q < allora la serie converge; se lim n + n x n = q < allora la serie converge; se lim n + x n+ x n = q > allora la serie diverge; se lim n + n x n = q > allora la serie diverge. Concludiamo con un esempio: 2 per provarlo si usi il teorema di confronto per i limiti.

21 .3. CRITERI DI CONVERGENZA Esempio 2 Consideriamo la serie + n= Mostriamo che questa serie è divergente. Si noti che per ogni x vale x log( + x). n. (.4) Infatti, la funzione log( + x) è concava e quindi ha grafico che sta sotto a ciascuna delle sue tangenti; e y = x è la tangente nell origine. In particolare vale ( n log + ). n Abbiamo visto che la serie a termini positivi + n= ( log + ) n diverge, si veda l esempio 9. Dunque, per confronto, anche la serie (.4) diverge 3. La serie (.4) si chiama serie armonica. Si osservi che il carattere della serie armonica non può determinarsi usando il criterio del rapporto oppure quello della radice. Infatti, nel caso della serie armonica, lim x n+ x n = lim n n + =, lim n x n = lim n n =. All esempio 24 vedremo una serie di termine generale x n che è convergente e tale che anche per essa vale Combinando questi due esempi si ha: lim x n+ x n =, lim n x n =. niente può dedursi dai criteri della radice e del rapporto, se il numero q che compare in tali criteri è uguale ad. 3 L esempio 24 presenta una diversa dimostrazione di questo fatto.

22 2 CAPITOLO. SERIE NUMERICHE Le serie a termini positivi hanno una notevole proprietà, che non è condivisa dalle generiche serie a termini di segno variabile: se si altera l ordine di infiniti termini di una serie si trova una nuova serie, che generalmente ha un comportamento diverso da quello della serie di partenza. Invece: Teorema 2 Due serie a termini positivi, con gli stessi elementi in ordine diverso, hanno la medesima somma. La formula di Stirling Per ragioni che vedremo, molto spesso il termine generale di una serie contiene dei fattoriali. I fattoriali hanno un buon comportameno rispetto al rapporto, nel senso che permettono facilmente di fare semplificazioni. Invece, il criterio della radice sembra difficile da usare in presenza dei fattoriali. In realtà non è così grazie alla formula di Stirling n! n n e n 2πn ossia lim nn e n 2πn n! La dimostrazione si trova nei testi di Analisi Matematica..3.3 Il test di McLaurin Consideriamo le somme parziali di una serie a termini positivi Esse sono + n= a n. s = a = a s 2 = a + a 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3 = a + a 2 + a 3. =. (.5) Queste espressioni si possono interpretare come somma di aree di rettangoli interpretando come misura della base ed a n come misura dell altezza. ove a(x) è la funzione costante a tratti k k s k = a n = a(x) dx n= a(x) = a n se n x < (n + ).

23 .3. CRITERI DI CONVERGENZA 3 Dunque, la somma della serie è l integrale improprio di a(x): + n= + a n = lim s k = a(x) dx. k + Figura.: y y x x Pensiamo ora ai rettangoli messi come in figura., a sinistra, e supponiamo di poter trovare due funzioni, f(x) e g(x), che prendono valori maggiori o uguali a zero e tali che inoltre valga x [n, n + ) = g(x) a n f(x). Si veda la figura., a destra. In tal caso si ha k g(x) dx s k k f(x) dx. La serie è a termini positivi e quindi regolare; le funzioni sono non negative e quindi ammettono integrale improprio finito o meno. Dunque, dal teorema di confronto per i limiti, si ha Ricapitolando, + g(x) dx + n= a n + Se + g(x) dx = + allora la serie diverge; f(x) dx. Se + f(x) dx < + allora la serie converge. In questo caso si trovano anche stime, da sotto e da sopra, per la somma della serie.

24 4 CAPITOLO. SERIE NUMERICHE Il caso tipico in cui quest argomento si applica facilmente è il caso in cui esiste una funzione g(x) definita su [, + ), decrescente e inoltre In questo caso, a n = g(n). x [n, n + ) = g(x) a n = g(n) g(x ). (.6) Definiamo, per x, e notiamo che la (.6) si scrive Inoltre, + + f(x) = g(x ) g(x) a n = g(n) f(x) x [n, n + ). f(x) dx = + g(x) dx < + g(x ) dx = + g(x) dx + f(x) dx < +. + g(x) dx, Ossia, nel caso descritto, i due integrali impropri hanno il medesimo comportamento e questo comportamento è ereditato dalla serie. Possiamo quindi enunciare: Teorema 22 ( Test di McLaurin ) Sia g(x) una funzione non negativa e decrescente definita su [, + ). Si consideri la serie Le sue somme parziali verificano + n= g(n). k k k g(x)dx s k = a n g(x)dx + g(s) ds. (.7) n= In particolare, la serie a termini positivi converge se e solo se + + n= g(n) g(x)dx < +.

25 .3. CRITERI DI CONVERGENZA 5 L interesse di questo teorema sta nel fatto che talvolta l integrale di g(x) può esplicitamente calcolarsi mediante il calcolo delle primitive; e comunque esistono test efficienti per lo studio della convergenza o divergenza degli integrali impropri. Esempio 23 Si sa già che la serie armonica diverge. La serie + n= n + n=2 n log 2 n converge, come si vede dal criterio di MacLaurin. Infatti, la funzione f(x) = ha integrale improprio convergente: T lim T + 2 x log 2 dx = lim x T + x log 2 x Procedendo in modo analogo 4 si provi invece che + n=2 n log n = +. Esempio 24 Si calcola immediatamente Dunque, + (x + ) γ dx = + n= converge per γ >, diverge altrimenti. [ log 2 ] = log T log 2. { < + se γ > = + se γ. n γ 4 si usi d log [log x] = dx xlog x.

26 6 CAPITOLO. SERIE NUMERICHE Possiamo combinare l esempio 24 col criterio di confronto, ottenendo: Corollario 25 Consideriamo la serie + n= a n. Vale: se esitono M > e γ > tali che allora la serie converge. se esistono m > e γ tali che a n M n γ, allora la serie diverge. In particolare, possiamo enunciare: a n m n γ Se a n e se esiste γ > tale che allora la serie a n converge. ( ) a n = o, (.8) n γ Per ora, stiamo lavorando con serie a termini positivi, ma non abbiamo scritto esplicitamente questa condizione perché vedremo, al Corollario 27, che il test precedente vale per ogni serie..3.4 Serie a termini di segno qualsiasi Sulle serie a termini di segno qualsiasi, limitiamoci ad osservare due proprietà. Si è già detto che se la serie x n converge, si dice che la serie x n converge assolutamente. Ricordiamo, dal teorema 5: Teorema 26 Una serie assolutamente convergente è convergente. Ricordiamo ora che f = o(g) quando f/g è un infinitesimo, e ciò accade se e solo se f / g è un infinitesimo. Quindi: Corollario 27 Se esite γ > tale che a n = o ( n), allora la serie an converge assolutamente, ed è quindi convergente.

27 .4. ALCUNI ESEMPI NUMERICI 7 Infine, si dice che una serie è a segni alterni se ha forma ( ) n x n con x n > ; (.9) ossia se gli addendi si susseguono cambiando segno ad ogni passo. Esiste, per le serie a segni alterni, una notevole condizione sufficiente di convergenza, e anche una stima per la somma della serie: Teorema 28 ( Criterio di Leibniz ) Se valgono ambedue le condizioni lim n + x n = la succesione {x n } è decrescente, ossia x n x n+ per ogni n allora la serie a segni alterni (.9) converge; inoltre, detta s la somma della serie, per ogni n vale: la differenza k s ( ) n x n n= ha segno opposto ad x k ; ossia, l approssimazione è per eccesso se l ultimo termine sommato è positivo; per difetto se è negativo. Vale la stima k s x n x k+. n= La dimostrazione della convergenza è nell Appendice.8.2. Esempio 29 Consideriamo la serie + n= ( ) n. n Questa serie si chiama serie di Mengoli. Il criterio di Leibniz mostra che questa serie converge. La somma della serie è nota: + n= ( ) n n = log 2. Il Teorema 28 dà anche una stima dell errore che si commette sommando N termini: l errore è minore di /(n + ).

28 8 CAPITOLO. SERIE NUMERICHE Figura.2: + n= (/2) n = 2 a sinistra, + n= ( /2) n = 2/3 a destra Figura.3: + n= /n! = e a sinistra, + n= ( ) n /n = log 2 a destra Alcuni esempi numerici Le figure.2,.3 e.4 mostrano alcuni esempi numerici di somme parziali di serie convergenti. Le serie sono specificate nelle intestazioni delle figure..5 Convergenza condizionata ed incondizionata Il concetto di serie generalizza quello di somma finita. In una somma finita il risultato non dipende dall ordine degli addendi (proprietà commutativa del-

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