Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15.

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1 Appunti di Analisi Matematica Docente:Fabio Camilli SAPIENZA, Università di Roma A.A. 4/5 (Versione del 9 luglio 5) Note scritte in collaborazione con il prof. Klaus Engel, Università dell Aquila

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3 Indice Capitolo. Concetti Fondamentali 5 Insiemi 5 Funzioni 8 Fattoriale e Coefficienti Binomiali 9 Formula del Binomio di Newton Principio di Induzione Capitolo. I numeri complessi 3 Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso 5 Radici di un numero complesso 6 Capitolo. Successioni Numeriche 8 Convergenza, Divergenza e Irregolarità per Successioni 8 Regole per il Calcolo dei Limiti Limiti e Ordinamento 3 Confronto tra Successioni 6 Capitolo 3. Serie numeriche 8 Convergenza e prime Proprietà 8 Serie a Termini Positivi 3 Serie a Termini di Segno Variabili 34 Capitolo 4. Limiti per Funzioni Reali di una Variabile Reale 37 Operazioni e Composizione tra Funzioni 37 Proprietà di Funzioni Reali 38 Funzioni Elementari 4 Limiti delle Funzioni Reali 44 Capitolo 5. Funzioni Continue di una Variabile Reale 5 Funzioni Continue 5 Funzioni Continue su Intervalli 5 Altre Funzioni Invertibili 54 Funzioni Continue su Intervalli Chiusi e Limitati 56 Capitolo 6. Calcolo Differenziale per Funzioni di una Variabile 58 Derivata: Definizione e prime Proprietà 58 Regole per la Derivazione 6 Estremi Locali e il Teorema di Fermat 64 I Teoremi di Rolle e Lagrange 67 Conseguenze del Teorema di Lagrange 68 Le Regole di de l Hospital 7 Approssimazione Lineare di Funzioni 73 La Formula di Taylor 74 Applicazioni della Formula di Taylor 79 Serie di Taylor 88 Studio di Funzione 89 3

4 4 INDICE Capitolo 7. Calcolo Integrale per Funzioni di una Variabile 96 Integrale: Definizione e prime Proprietà 96 Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale Metodi di Integrazione 3 Integrazione di Funzioni Razionali Calcolo di Aree Piane 4 Calcolo di Volumi di Corpi di Rotazione 5 Integrali Impropri 6 Capitolo 8. Le equazioni differenziali ordinarie 4 Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine 5 Equazioni differenziali del ordine a coefficienti costanti. 3 Capitolo 9. Funzioni Reali di Più Variabili: limiti e continuità 38 La Struttura di R N 38 Funzioni Reali di più Variabili Reali: Prime Proprietà 39 Limiti di Funzioni Reali di più Variabili Reali 4 Calcolo dei Limiti in R N 4 Continuità 44 Capitolo. Calcolo Differenziale per Funzioni Reali di più Variabili 45 I Concetti di Derivabilità in R N 45 Derivate di Ordine Superiore 49 Estremi in R N 5 Capitolo. Funzioni a Valori Vettoriali 56 Trasformazioni Regolari di Coordinate 57 Capitolo. Calcolo Integrale per Funzioni di più Variabili 6 Integrali Doppi: Definizione e prime Proprietà 6 Teorema di Fubini Tonelli 6 Cambiamento di Variabili negli Integrali Doppi 65 Integrali Tripli 69 Note 74 Appendice A. Appendice 75 Tre Principali Modi di Dimostrazioni 75 Elenco di alcuni Limiti Notevoli 76 Definizione alternativa dei Limiti per Funzioni 77 Elenco delle figure 78

5 CAPITOLO Concetti Fondamentali In questo capitolo introduttivo raccoglieremo alcuni concetti di matematica che servono successivamente ed inoltre stabiliremo le principale notazioni. Insiemi Intuitivamente un insieme è una raccolta di oggetti (chiamati elementi) distinguibili tra di loro che formano una totalità. Per indicare un insieme si usano generalmente lettere maiuscole A, B, C,..., X, Y, Z, per gli elementi invece lettere minuscole a, b, c,...,, y, z. Prima di fare esempi introduciamo alcune Notazioni. Spesso useremo i cosiddetti quantificatori = per ogni e = esiste Per evidenziare che A = B per definizione scriviamo A := B oppure B =: A. indica un implicazione. indica una contraddizione. indica il simbolo di appartenenza, / indica il simbolo di non-appartenenza., indicano i simboli di inclusione. Per definire un insieme ci sono in pratica possibilità: elencando tutti gli elementi tra parentesi graffe, per esempio A := {,, 3}, oppure attraverso una proprietà che caratterizza tutti gli elementi dell insieme, per esempio P := {n : n è un numero primo} Consideriamo alcuni Esempi. Siano A := {,, 3}, B := {, 7, 8}, C := {,, 3, 5, 7, 8}, allora A, 5 / B, A C, A / C, A / A. L insieme senza alcun elemento si chiama insieme vuoto e si usa la notazione := {}. Questa vista semplificata di insiemi, che comunque è sufficiente per i nostri scopi, porta facilmente a problemi come si vede dal seguente Esempio. Paradosso di Russell: Consideriamo l insieme A := {X : X è un insieme tale che X / X}. Ora per A stesso si deve verificare A A oppure il contrario A / A. Però A A A / A poiché A non verifica la condizione che definisce gli elementi X di A, ma anche A / A A A poiché A per ipotesi verifica la condizione che definisce gli elementi X di A. Operazioni tra insiemi. Dati due insiemi A e B chiamiamo A B := { : A oppure B} l unione tra A e B, A B := { : A e B} l intersezione tra A e B, A \ B := { : A e / B} la differenza tra A e B, 5

6 6. CONCETTI FONDAMENTALI A B := {(a, b) : A e B} il prodotto cartesiano tra A e B, gli elementi (a, b) si chiamano coppie ordinate. Osservazione. Se A e B sono insiemi, allora vale sempre A B = B A e A B = B A; in generale A \ B B \ A e A B B A; se A ha n elementi e B ha m elementi, allora A B ha n m elementi; definiamo A := A A. Consideriamo un Esempio. Se A := {,, 3}, B := {, 7, 8}, allora A B = {,, 3, 7, 8}, A B = {}, A \ B = {, 3} =: C, A C = {(, ), (, 3), (, ), (, 3), (3, ), (3, 3)} con 3 = 6 elementi. Insiemi Numerici. Definiamo i seguenti insiemi numerici N : = {n : n è un numero naturale} = {,,, 3, 4, 5,... } = insieme dei numeri naturali, Z : = {n : n è un numero intero} = {...,,,,,,... } = insieme dei numeri interi, { } Q : = {r : r è un numero razionale} = p q : p, q Z, q = insieme dei numeri razionali, R : = { : è un numero reale} = { p, α α α α 3... : p Z, α k {,,,..., 9} k N } = insieme dei numeri reali. Esempi. R \ Q ( corso di Algebra e Geometria), =, , cioè qui abbiamo p =, α = 4, α =, α = 4, α 3 =, α 4 =, α 5 = 3. Oppure per π R \ Q vale π = }{{} 3, }{{} }{{} 4 }{{} }{{} 5 }{{} 9 }{{} }{{} 6... =p =α =α =α =α 3 =α 4 =α 5 =α 6 Proprietà dei Numeri Reali R. () In R valgono per le operazioni somma + e prodotto tutte le regole dell algebra, per esempio, y, z R vale + y = y +, (y z) = ( y) z, (y + z) = y + z. Più precisamente si dice che (R, +, ) è un campo corso di Algebra e Geometria. () In R esiste un ordinamento totale <, cioè per, y R vale una ed una sola delle relazioni = y, < y oppure y <. (3) R è completo, cioè la retta reale non ha buchi. Prima di spiegare meglio la Proprietà (3) di R facciamo alcune Osservazioni. anzichè y < scriviamo anche > y, y significa < y oppure = y. Usando l ordinamento in R definiamo per a, b R i seguenti insiemi detti intervalli: [a, b] : = { R : a b} = intervallo chiuso, (a, b) : = { R : a < < b} = intervallo aperto, [a, b) : = { R : a < b}, (a, b] : = { R : a < b}, (, b] : = { R : b} = intervallo chiuso, [a, + ) : = { R : a } = intervallo chiuso, (, b) : = { R : < b} = intervallo aperto, (a, + ) : = { R : a < } = intervallo aperto. (, + ) : = R.

7 INSIEMI 7 Valgono le seguenti regole: Se a b e y allora a + b + y. Se a b e > allora a b. Attenzione: Se a b e < allora a b. Se < a b allora < b a. Le Proprietà () e () valgono anche in Q, cioè anche Q è un campo ordinato. Per continuare servono i concetti di Maggioranti ed Estremo Superiore. Sia A R. (a) Se s R tale che a s per ogni a A, allora s si chiama maggiorante di A. (b) Se s R è un maggiorante di A tale che s s per ogni maggiorante s di A, allora s si chiama estremo superiore di A. Notazione: sup A := s = maggiorante più piccolo di A. (c) se s = sup A A allora s si chiama anche massimo di A. Notazione: ma A := s = elemento più grande di A. Osservazioni. Valgono le seguenti caratterizzazioni: { s = sup A a s a A (cioè s è un maggiorante) ε > a A tale che s ε < a (cioè s ε non è più un maggiorante), { s = ma A a s a A s A. Esempi. Se A = (, ], allora sup A = ma A =. Se A = (, ), allora sup A = / A e quindi ma A non esiste. Osservazione. Non tutti gli insiemi hanno maggioranti, per esempio A = N non ha maggiorante poiché non esiste s R tale che n s per ogni n N. In tal caso si scrive sup A = +. Nell ipotesi che A R abbia un maggiorante (e in tal caso ne ha infiniti), allora si dice che A è superiormente limitato. Per esempio A = (, ) è superiormente limitato poiché s = è un maggiorante di A. Dopo questo intermezzo torniamo alla Proprietà 3, cioè alla completezza di R. L Assioma della Completezza. R è completo, cioè ogni insieme A R superiormente limitato ammette estremo superiore. In altre termini, se A ha maggioranti, allora esiste sempre il maggiorante più piccolo. Esempi. A := { R : < } è superiormente limitato. Per esempio, s =, 5 è un maggiorante poiché se é tale che >, 5 > (, 5) =, 5 cioè A. Quindi la completezza di R implica che esiste s = sup A. Ora si può verificare che s =, cioè s =. Sia A = {( + n )n : n N, n } Q. Usando la formula del binomio di Newton (cfr. pagina ) si può verificare che s = 3 è un maggiorante di A. Quindi esiste s = sup A =: e. Osservazioni. e =, / Q viene chiamato numero di Nepero. Il secondo esempio dimostra che in Q la proprietà (3) non vale, cioè Q non è completo. In parole povere questo significa che la retta razionale ha buchi, per esempio in oppure in e. Analogamente ai concetti di maggiorante ed estremo speriore possiamo introdurre i concetti di

8 8. CONCETTI FONDAMENTALI Minoranti ed Estremo Inferiore. Sia A R. (a) Se r R tale che r a per ogni a A, allora r si chiama minorante di A. (b) Se r R è un minorante di A tale che r r per ogni minorante r di A, allora r si chiama estremo inferiore di A. Notazione: inf A := r = minorante più grande di A. (c) se r = inf A A allora r si chiama anche minimo di A. Notazione: min A := r = elemento più piccolo di A. Osservazioni. Valgono le seguenti caratterizzazioni: { r = inf A r a a A (cioè r è un minorante) ε > a A tale che r + ε > a (cioè r + ε non è più un minorante), { r = min A r a a A r A. Esempi. Se A = [, ], allora inf A = min A =. Se A = (, ], allora inf A = / A quindi min A non esiste. Osservazione. Non tutti gli insiemi hanno minoranti, per esempio A = Z non ha minoranti poiché non esiste r R tale che r n per ogni n Z. In tal caso si scrive inf A =. Nell ipotesi che A R abbia un minorante (e in tal caso ne ha infiniti), allora si dice che A è inferiormente limitato. Per esempio A = (, + ) è inferiormente limitato poiché s = è un minorante di A. Se A è superiormente e anche inferiormente limitato, allora si chiama limitato. Per esempio A = (, ] [3, 5) è limitato mentre N non lo è. Funzioni Definizione.. Se A, B sono insiemi, allora una funzione da A a B è una legge (spesso in forma di una formula) che ad ogni a A associa un unico b B. In breve si scrive f : A B, f(a) = b. Inoltre si chiama A il dominio di f, B il codominio di f, f(a) := {f(a) : a A} l immagine di f, G(f) := {( a, f(a) ) : a A } A B il grafico di f. Esempio. Il modulo: Per R definiamo il suo modulo (oppure valore assoluto) come { se, := se <. Per esempio 3 = 3, 4 = ( 4) = 4. Quindi f() :=, R definisce una funzione f : R R con immagine f(r) = [, + ). Il grafico G(f) R è riportato nella seguente figura. Osservazioni. Per il modulo valgono le seguente relazioni importanti: Se, y, l R, allora e = =. < l l < < l. = e =. y = y e y = y. + y + y (disuguaglianza triangolare).

9 FATTORIALE E COEFFICIENTI BINOMIALI Figura. Il grafico del modulo. y y. L importanza del modulo si basa in particolare sulla seguente Osservazione. Per ogni, y R, y = distanza tra e y sulla retta reale Quindi il modulo ci permette di misurare distanze. Fattoriale e Coefficienti Binomiali Definizione.. Per n N definiamo il suo fattoriale { se n =, n! :=... n se n >. Per esempio 4! = 3 4 = 4. Osservazioni. n! = numero di permutazioni di n oggetti distinti. Per esempio per tre oggetti a, b, c esistono 3! = 6 permutazioni: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Se n allora vale n! = n (n )!. Definizione.3. Per n, k N con k n definiamo il coefficiente binomiale ( ) n n! := k k! (n k)! Per esempio ( ) 4 = 4!! (4 )! = 4 = 6. Osservazioni. Per n, k N con k n vale ( n k) N, cioè i coefficienti binomiali sono sempre numeri naturali. ( n k) = numero di sottoinsiemi di {,, 3,..., n} di k elementi. Per esempi l insieme {,, 3,..., 89, 9} ha ( ) 9 6 = sottoinsiemi con 6 elementi. Quindi la probabilita di fare 6 al Superennalotto giocando una scheda è = ( ) n k = n (n ) (n )... (n k+) 3... (k ) k, per esempio ( ) 4 = 4 3 = = 6. Osservazioni. Per i coefficienti binomiali valgono le seguenti proprietà. ( ( n ) = n n) = per ogni n N. ( ) ( n k = n ) ( k + n ) k. ( ) ( n k = n n k). Le prime due regole si possono utilizzare per calcolare coefficienti binomiali con il triangolo di Tartaglia. La terza regola stabilisce la simmetria di questo triangolo.

10 . CONCETTI FONDAMENTALI ( n ) k k= = = =3 =4 n= = = + = =3 3 3 = per esempio ( ) + ( ) = ( 3 ). Formula del Binomio di Newton Introduciamo dapprima il concetto di sommatoria: Se m, n N con m n e a m, a m+,..., a n R allora poniamo per la loro somma n a k := a m + a m a n. k=m Per esempio n k= k = n. Per le sommatorie valgono le seguente regole n n n a k = a i =... a l. k=m n a k = k=m r i=m n+ n a k = k=m n a k = k=m n a k + k=m k=m+ a k. l=m n r a k per ogni r R. k=m l a k + k=m n b k = k=m n k=l+ a k per ogni m l < n. n (a k + b k ). k=m Se inoltre definiamo a := per ogni a R allora vale la Proposizione.4 (Formula del Binomio di Newton). Se a, b R e n N, allora n ( ) n (a + b) n = a k b n k. k k= Per esempio per n = 4 troviamo i coefficienti binomiali necessari nella 4. riga del triangolo di Tartaglia e quindi risulta: (a + b) 4 = a b a b a b + 4 a 3 b + a 4 b = b ab a b + 4 a 3 b + a 4. Principio di Induzione Passiamo a un principio che è collegato ai numeri naturali. Dato un numero fisso n N supponiamo che per ogni n N con n n sia data un affermazione A(n). Problema. Verificare che A(n) sia vera per ogni n n, cioè verificare un numero infinito di affermazioni. Esempio. Per n =: n sia A(n) l affermazione che vale la formula n = n (n + ).

11 PRINCIPIO DI INDUZIONE Per esempio A(3): = 3 (3+) = 6 che è vera. Abbiamo quindi dato un numero infinito di formule da verificare e ovviamente non si può procedere verificandole una per una. Per risolvere questo problema useremo il seguente Teorema.5 (Principio di Induzione). Se (base dell induzione) A(n ) è vera, e (passo induttivo) l ipotesi A(n) vera } {{ } ipotesi dell induzione implica che anche A(n + ) è vera, allora A(n) è vera per ogni n n. Esempio. Verifichiamo per induzione che n = n (n+) per ogni n. Base: Dobbiamo verificare A(), cioè che vale = (+) che è vero. Passo induttivo: Sotto l ipotesi che A(n) sia vera per un certo n n (non per tutti, quello infatti è da verificare!) dobbiamo verificare che anche A(n + ) vale. Allora per ipotesi vale quindi risulta n = n (n + ) n (n + ) ( n) + (n + ) = + (n + ) (n + ) (n + ) = che è esattamente A(n + ), cioè la formula che si ottiene sostituendo in A(n) il numero n con (n + ). In un certo senso il principio di induzione formalizza l effetto domino: La base fa cadere il primo pezzo mentre il passo induttivo afferma che con un pezzo cade anche sempre quello successivo. Quindi se facciamo cadere il primo pezzo alla fine cadranno tutti i pezzi. Consideriamo altre due esempi. Esempio (Disuguaglianza di Bernoulli). Se, allora Dimostrazione. Per induzione. ( + ) n + n per ogni n N. Base: Per n = l affermazione diventa ( + ) = + che è vera. Passo induttivo: Supponiamo che per un certo n N vale ( ) ( + ) n + n per ogni n N. Sotto questo ipotesi dobbiamo verificare la disuguaglianza che si ottiene sostituendo n con n +. Perciò moltiplichiamo ( ) con + che era da verificare. ( + ) n+ = ( + ) ( + ) n ( + ) ( + n ) = + (n + ) + n } {{ } + (n + )

12 . CONCETTI FONDAMENTALI Esempio (Progressione Geometrica). Sia q R, allora n q k = qn+ per ogni n N. q k= Dimostrazione. Per induzione. Base: Per n = l affermazione diventa q k = q = q+ q k= Passo induttivo: Supponiamo che per un certo n N vale (#) n k= q k = qn+. q che è vera. Sotto questo ipotesi dobbiamo verificare la formula che si ottiene sostituendo n con n +. Perciò sommiamo su entrabi i lati di (#) la quantità q n+ n+ q k = k= che era da verificare. n k= Concludiamo con la seguente domanda. q k + q n+ = qn+ q Dov è l errore? Tutti i cavalli sono bianchi. + q n+ = qn+ + q n+ q n+ q = qn+ q Sia A(n) l affermazione tutti i cavalli in un insieme di n cavalli hanno lo stesso colore. Base: Per n = l affermazione è ovviamente vera. Passo induttivo: Supponendo che in un insieme di n cavalli tutti hanno sempre lo stesso colore dobbiamo verificare che anche in un insieme di n + cavalli tutti hanno lo stesso colore. Allora togliendo dall insieme di n + cavalli un cavallo rimangono n cavalli che per ipotesi hanno lo stesso colore. Rimettiamo il cavallo tolto dall insieme e togliamo un altro. Di nuovo rimane un insieme con n cavalli che per ipotesi hanno lo stesso colore. Quindi per transitività tutti i n + cavalli hanno lo stesso colore. Inoltre l altro ieri ho visto un cavallo bianco in televisione e quindi tutti cavalli sono bianchi.

13 CAPITOLO I numeri complessi In questo capitolo introduciamo la definizione ed alcune proprietà dei numeri complessi. Nell insieme R := {(a, b) : a, b R} consideriamo le operazioni di somma e prodotto così definite (.) (.) (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) (a, b) (c, d) := (ac bd, ad + bc) La terna (R, +, ) é un campo. Tale campo viene detto il campo dei numeri complessi ed indicato con il simbolo C. Osservazione. Si può verificare facilmente che la coppie (, ) e (, ) sono rispettivamente l elemento neutro rispetto alla somma e rispetto al prodotto, cioé (a, b) + (, ) = (a, b) e, se (a, b) (, ), (a, b) (, ) = (a, b). Inoltre (a, b) + ( a, b) = (a, b) R ( ) a (a, b) a + b, b a + b = (, ) (a, b) R, (a, b) (, ) cioé ( a, b) e (a/(a + b ), b/(a + b )) sono rispettivamente l opposto e l inverso (se (a, b) (, )) di (a, b). Le altre proprietà caratterizzanti un campo (commutativa, associativa, distributiva) si verificano facilmente. L insieme dei reali come sottoinsieme di C. Nel campo dei numeri complessi C consideriamo il sottoinsieme C = {(a, ) : a R}. L insieme C puó essere messo in corrispondenza con R associando alla coppia (a, ) il numero reale a. Inoltre in C le operazioni di somma e prodotto definite in (.)-(.) si riducono alle corrispondenti operazioni definite in R. Infatti (a, ) + (b, ) = (a + b, ) (a, ) (b, ) = (ab, ). Quindi l insieme (C, +, ) puó essere identificato con il campo dei numeri reali e risulta essere un sotto-campo del campo dei numeri complessi C. L unità immaginaria e la forma algebrica. Consideriamo la coppia (, ) C e osserviamo che (a, b) = (a, ) + (, ) (b, ) := a + ib, a, b R avendo identificato le coppie (a, ), (b, ) con i numeri reali a, b e la coppia (, ) con il simbolo i. La rappresentazione di un numero complesso nella forma z = a + ib, a, b R, si dice forma algebrica dei numeri complessi. Il numero a si dice parte reale di z e si indica con il simbolo R(z), mentre il numero b si dice parte immaginaria di z e si indica con il simbolo I(z). Osservando che i = i i = (, ) (, ) = (, ) =, 3

14 4. I NUMERI COMPLESSI possiamo calcolare facilmente somma e prodotto di numeri complessi z = a + ib, w = c + id z + w = (a + ib) + (c + id) = (a + b) + i(c + d) z w = (a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i bd = (ac bd) + i(ad + bc) o equivalentemente R(z + w) = R(z) + R(w), I(z + w) = I(z) + I(w) R(z w) = R(z)R(w) I(z)I(w), I(z w) = R(z)I(w) + I(z)R(w) Esempio. Si ha (3 + 4i) + (7 + 8i) = + i (3 + 4i) (7 + 8i) = + 5i Piano di Gauss. Possiamo identificare il numero complesso z = a + ib con il punto del piano di coordinate (a, b). Si noti che l asse delle ascisse corrisponde ai numeri reali (i.e. b = ), mentre l asse delle ordinate agli immaginari puri (i.e. a = ).La rappresentazione geometrica dei numeri complessi nel piano euclideo viene detta rappresentazione nel piano di Gauss. Nel piano di Gauss l addizione di due numeri complessi corrisponde alla somma tra i vettori che li rappresentano ottenuta attraverso la regola del parallelogramma. Coniugato e modulo di un numero complesso. Introduciamo la definizione di coniugato e modulo di un numero complesso. Definizione.. Dato z = a + ib, si definisce coniugato di z il numero complesso z definito da Esempio. z = a ib Se z = 4 + 3i, allora z = 4 3i; se z = i, allora z = i; se z = 4, allora z = 4. Osservazioni. Per il coniugato valgono le seguenti proprietà: Se z, w C, allora z + w = z + w; z w = z w; ( ) z = z ; Se z = a + ib, allora z z = a + b (verificare per esercizio le proprietà precedenti attraverso la definizione di coniugato) Definizione.. Dato z = a + ib, si definisce modulo di z il numero reale z definito da z = a + b Si osservi che per i numeri reali ritroviamo la definizione di modulo data in R. Infatti se z = a, allora z = a = a. Nel piano di Gauss z rappresenta la distanza di z = a+ib dall origine, cioé la lunghezza del segmento che congiunge il punto di coordinate (a, b) con (, )

15 Esempio. RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA DI UN NUMERO COMPLESSO 5 Se z = 4 + 3i, allora z = = 5; se z = i, allora z = ; se z = 4, allora z = 4. Osservazioni. Per il modulo valgono le seguenti proprietà: Se z, w C, allora z e z = z =. z = z. z = z e z = z. z + w z + w (disuguaglianza triangolare). z w z w. (verificare per esercizio le proprietà precedenti attraverso la definizione di modulo) Esercizio. Scrivere in forma algebrica i numeri complessi + i (3 + i) (6 + i), i, 3 + i 3 i. Trovare modulo e coniugato dei numeri precedenti. Riportare i numeri precedenti nel piano di Gauss. Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso Richiamiamo brevemente la definizione di coordinate polari. Un punto del piano Euclideo si puó rappresentare sia attraverso le coordinate cartesiane sia attraverso le coordinate polari (ρ, ϑ) ove ρ [, + ) rappresenta la distanza del punto dall origine; ϑ [, π) rappresenta l angolo (in radianti) che il vettore posizione del punto forma con l asse delle ascisse. Le formule di passaggio da coordinate cartesiane (a, b) a coordinate polari (ρ, ϑ) e viceversa sono date da { { ρ = a + b a = ρ cos(ϑ) tan(ϑ) = b b = ρ sin(ϑ) a (si ricordi che la tangente non é invertibile in [, π)). Dato z = a + ib, utilizzando le formule di passaggio precedenti si ottiene la forma trigonometrica di un numero complesso z = ρ ( cos(ϑ) + i sin(ϑ) ). L angolo ϑ é detto argomento di z e si denota con arg(z), mentre, come giá visto, ρ coincide con il modulo di z. Esempio. Se z = + i, allora ρ = z = ( ) ( ) + = tan(ϑ) = ϑ = π 4 quindi la forma trigonometrica di z é Analogamente z = cos ( π ) ( π ) + i sin. 4 4 ( π ) ( π ) i = cos + i sin, = cos() + i sin()

16 6. I NUMERI COMPLESSI Utilizzando la forma trigonometrica di un numero complesso e proprietà delle funzioni trigonometriche si possono dimostrare le seguenti formule per il prodotto e il rapporto di numeri complessi: Se z = ρ (cos(ϑ ) + i sin(ϑ )), z = ρ (cos(ϑ ) + i sin(ϑ )), allora o, equivalentemente, z z = ρ ρ (cos(ϑ + ϑ ) + i sin(ϑ + ϑ )), z z = ρ ρ (cos(ϑ ϑ ) + i sin(ϑ ϑ )) z z = z z, arg(z z ) = arg(z ) + arg(z ), z z = z z, arg ( z z ) = arg(z ) arg(z ). Dalle formule precedenti segue subito la formula di De Moivre z n = ρ n( cos(nϑ) + i sin(nϑ) ), n N. Esempio. Per calcolare (+i) 7, rappresentiamo il numero +i in forma trigonometrica, quindi + i = ( ( π ) ( π )) cos + i sin. 4 4 Dalla formula di De Moivre si ha ( + i) 7 = 7/ (cos ( ) ( )) π + i sin 4 π = 7/ ( i ) = 8 8i Ricordiamo infine la formula di Eulero che lega le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa (.3) e i ϑ = cos(ϑ) + i sin(ϑ) ϑ R. Dalla formula di Eulero (.3) seguono subito le due identità cos(ϑ) = eiϑ + e iϑ sin(ϑ) = eiϑ e iϑ i Radici di un numero complesso Introduciamo la definizione di radice n-sima di un numero complesso Definizione.3. Dato n N, diremo che z é una radice n-sima di w C se w = z n. Proposizione.4. Sia w C, w, allora esistono sempre n radici n-sime di w. Se w = r ( cos(ϑ) + i sin(ϑ) ), allora tali radici sono date da ove (.4) z k = ρ ( cos(ϑ k ) + i sin(ϑ k ) ), k =,..., n ρ = r n ϑ k = ϑ + kπ, k =,..., n n

17 RADICI DI UN NUMERO COMPLESSO 7 Dimostrazione. Posto z = ρ ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ) allora dalla formula di De Moivre, z n = ρ n( cos(nϕ) + i sin(nϕ) ). Quindi, se w = r ( cos(ϑ) + i sin(ϑ) ), allora z n = w se e solo se { ρ n = r, nϕ = ϑ + kπ, k Z, da cui, osservando che nella seconda identità per la periodicità delle funzioni trigonometriche si ottengono valori distinti solo per k =,..., n, otteniamo le formule (.4). Esempio. Per calcolare 3 i, dapprima riportiamo i in forma trigonometrica. Quindi i = cos( π ) + i sin( π ), cioé r =, ϑ = π. Quindi le radici cubiche di i sono date da ( ) ( ) π/ + kπ π/ + kπ z k = cos + i sin, k =,, 3 3 cioé ( π ) ( π ) 3 z = cos + i sin = i ( ) ( ) z = cos 6 π + i sin 6 π = + i ( ) ( ) 9 9 z = cos 6 π + i sin 6 π = Osservazione. Rappresentando le radici n-sime di w nel piano di Gauss, si puó osservare che esse sono i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di centro e raggio w /n Concludiamo con il Teorema Fondamentale dell Algebra Teorema.5. L equazione algebrica a n z n + + a z + a = ove a i C, a n ammette n radici in C ove tali radici siano contate con la loro molteplicità.

18 CAPITOLO Successioni Numeriche Lo scopo di questo capitolo è di studiare il comportamento di un espressione dipendente da un parametro naturale n per n sempre più grande, cioe per n tendente a +. Iniziamo con la definizione rigorosa di una successione. Definizione.. Una successione numerica è una funzione a : N R, cioè una regola che fa corrispondere ad ogni n N un unico a(n) R. Generalmente si usa la notazione a n := a(n). Inoltre si rappresenta una successione elencando tutti i valori assunti in ordine crescente oppure attraverso una formula che definisce gli elementi a n. Esempio. a : N R, a(n) := n+ definisce una successione che si può rappresentare come (a n ) n N = ( ( ),, 3, 4,...) oppure (a n ) n N = n + n N Può accadere che una formula che definisce gli elementi a n di una successione non ha senso per alcuni valori di n, cioè il dominio di a non è tutto N = {,,, 3, 4,...} ma soltanto un sottoinsieme della forma {n, n +, n +, n + 3,...}. Comunque anche in questo caso si parla di successioni. Esempio. La formula a n := n (n 3) definisce una successione a : {4, 5, 6, 7,...} R (il problema è che qui il denominatore si annulla per n = e n = 3 e quindi non sono definiti gli elementi a e a 3 ). In questo caso si scrive ( ) (a n ) n 4 = n (n 3) Altri esempi di successioni sono (, 3, 5, 7,, 3,...) (successione dei numeri primi), (( + ) n ) n n, (q n ) n N = (q, q, q, q 3,...) per un q R fisso (successione geometrica). n 4 Convergenza, Divergenza e Irregolarità per Successioni Come già accennato sopra vogliamo studiare il seguente Problema. Studiare il comportamento degli elementi a n di una successione (a n ) n N per n sempre più grande. Consideriamo alcuni Esempi. Per la successione (a n ) n N = ( ) n n = (,, 3, 4, 5,...) gli elementi n tendono a l = se n diventa sempre più grande. Per la successione (a n ) n N = (n) n N = (,,, 3, 4, 5,...) n N gli elementi superano qualsiasi valore fissato se n diventa sempre più grande. Per la successione (a n ) n N = (( ) n ) n N = (+,, +,, +,,...) n N gli elementi oscillano tra i valori e. Nelle seguenti definizioni formalizziamo questi tre tipi di comportamenti per le successioni. 8

19 CONVERGENZA, DIVERGENZA E IRREGOLARITÀ PER SUCCESSIONI 9 Definizione. (Successione convergente). (i) Si dice che la successione (a n ) n N è convergente al limite l R se per ogni ε > esiste n N tale che (ii) Se In questo caso si scrive l a n < ε per ogni n n. lim n + a n = l oppure a n l per n + lim a n =, allora (a n ) n N si chiama successione infinitesima. n + Esempio. Vogliamo verificare che lim n + n =. Perciò è da verificare che per ε > esiste n tale che n = n < ε n > ε. Quindi, se scegliamo n N tale che n > ε allora n < ε per ogni n n, cioè lim n + n =, in altre parole ( ) n n è infinitesima. Proposizione.3 (Unicità del limite). Il limite di una successione (a n ) n N, se esiste, è unico. Dimostrazione. Per assurdo supponiamo che esiste una successione (a n ) n N tale che lim a n = l e lim a n = l n + n + con l, l R e l l. Allora ε := l l 4 > e quindi esistono n, n N tale che l a n < ε per ogni n n e l a n < ε per ogni n n Usando la disuguaglianza triangolare risulta per N := ma{n, n } l l = (l a N ) + (a N l ) l a N + a N l < ε + ε = ε = l l. Dividendo per l l > segue <. Quindi il limite è unico. Esercizio. Utilizzando la definizione di convergenza verificare che lim n + n n+5 =. Definizione.4 (Successione divergente). Si dice che la successione (a n ) n N diverge a +, se per ogni M > esiste n N tale che a n > M per ogni n n e in questo caso si scrive lim a n = + oppure a n + per n + ; n + diverge a, se per ogni M < esiste n N tale che a n < M per ogni n n e in questo caso si scrive lim a n = oppure a n per n +. n + diverge se diverge a + oppure. Per esempio lim n = +. Se (a n) n N ammette limite finito (cioè se converge) oppure n + infinito (cioè se diverge), allora si dice regolare. Rimane quindi la classe delle successioni che non ammettono limite. Per i tre principali modi di dimostrazioni cfr. pagina 75.

20 . SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione.5 (Successione irregolare). Se la successione (a n ) n N non è convergente né divergente allora si dice irregolare (oppure oscillante). Per esempio la successione (( ) n ) n N è irregolare. Più in generale consideriamo il seguente Esempio (Successione geometrica). Per q R fisso definiamo a n successione geometrica (a n ) n N (i) diverge a + se q >, (ii) è costante (cioè a n = a per ogni n N) se q = e quindi (iii) è infinitesima se q <, (iv) è irregolare se q. := q n. Allora la lim a n = a =, n + Dimostrazione. Verifichiamo soltanto (i). Per ipotesi q > e quindi q >. Per la disuguaglianza di Bernoulli segue q n = ( + (q ) ) n + n (q ) per ogni n N. Ora per M > scegliamo n N con n > M q. Allora risulta che q n + n (q ) + n (q ) > + M q (q ) = M per ogni n n. Quindi lim n + qn = + per ogni q >. Consideriamo un altra successione importante. Esempio (Successione armonica). Per α R fisso definiamo a n := n α. Allora la successione armonica (a n ) n (i) diverge a + se α >, (ii) è costante (cioè a n = a per ogni n N) se α = e quindi lim a n = a =, n + (iii) è infinitesima se α <, Il prossimo risultato dà una condizione necessaria per la convergenza di una successione. Proposizione.6. Una successione convergente (a n ) n N è limitata, cioè esistono m, M R tale che m a n M per ogni n N. Dimostrazione. Se l := lim a n allora per ε = esiste n N tale che l a n <, n + cioè l < a n < l +, per ogni n n. Quindi per m := min{l, a, a,..., a n } e M := ma{l +, a, a,..., a n } segue m a n M per ogni n N, cioè (a n ) n N è limitata. Il contrario della proposizione precedente non vale, cioè una successione limitata non deve essere convergente, basta considerare la successione (( ) n ) n N che è limitata ma non converge. Cerchiamo ora modi per semplificare lo studio della convergenza di una successione senza dover verificare direttamente la definizione. Regole per il Calcolo dei Limiti Problema. Data una successione complicata (a n ) n N, studiare la sua convergenza. Una soluzione parziale per questo problema fornisce il seguente risultato Proposizione.7 (Regole per il calcolo dei limiti). Siano (a n ) n N, (b n ) n N due successioni convergenti con a n l e b n l per n +. Allora per n + (i) a n ± b n l ± l ; (ii) a n b n l l ;

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