Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15.

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15. http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio."

Transcript

1 Appunti di Analisi Matematica Docente:Fabio Camilli SAPIENZA, Università di Roma A.A. 4/5 (Versione del 9 luglio 5) Note scritte in collaborazione con il prof. Klaus Engel, Università dell Aquila

2

3 Indice Capitolo. Concetti Fondamentali 5 Insiemi 5 Funzioni 8 Fattoriale e Coefficienti Binomiali 9 Formula del Binomio di Newton Principio di Induzione Capitolo. I numeri complessi 3 Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso 5 Radici di un numero complesso 6 Capitolo. Successioni Numeriche 8 Convergenza, Divergenza e Irregolarità per Successioni 8 Regole per il Calcolo dei Limiti Limiti e Ordinamento 3 Confronto tra Successioni 6 Capitolo 3. Serie numeriche 8 Convergenza e prime Proprietà 8 Serie a Termini Positivi 3 Serie a Termini di Segno Variabili 34 Capitolo 4. Limiti per Funzioni Reali di una Variabile Reale 37 Operazioni e Composizione tra Funzioni 37 Proprietà di Funzioni Reali 38 Funzioni Elementari 4 Limiti delle Funzioni Reali 44 Capitolo 5. Funzioni Continue di una Variabile Reale 5 Funzioni Continue 5 Funzioni Continue su Intervalli 5 Altre Funzioni Invertibili 54 Funzioni Continue su Intervalli Chiusi e Limitati 56 Capitolo 6. Calcolo Differenziale per Funzioni di una Variabile 58 Derivata: Definizione e prime Proprietà 58 Regole per la Derivazione 6 Estremi Locali e il Teorema di Fermat 64 I Teoremi di Rolle e Lagrange 67 Conseguenze del Teorema di Lagrange 68 Le Regole di de l Hospital 7 Approssimazione Lineare di Funzioni 73 La Formula di Taylor 74 Applicazioni della Formula di Taylor 79 Serie di Taylor 88 Studio di Funzione 89 3

4 4 INDICE Capitolo 7. Calcolo Integrale per Funzioni di una Variabile 96 Integrale: Definizione e prime Proprietà 96 Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale Metodi di Integrazione 3 Integrazione di Funzioni Razionali Calcolo di Aree Piane 4 Calcolo di Volumi di Corpi di Rotazione 5 Integrali Impropri 6 Capitolo 8. Le equazioni differenziali ordinarie 4 Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine 5 Equazioni differenziali del ordine a coefficienti costanti. 3 Capitolo 9. Funzioni Reali di Più Variabili: limiti e continuità 38 La Struttura di R N 38 Funzioni Reali di più Variabili Reali: Prime Proprietà 39 Limiti di Funzioni Reali di più Variabili Reali 4 Calcolo dei Limiti in R N 4 Continuità 44 Capitolo. Calcolo Differenziale per Funzioni Reali di più Variabili 45 I Concetti di Derivabilità in R N 45 Derivate di Ordine Superiore 49 Estremi in R N 5 Capitolo. Funzioni a Valori Vettoriali 56 Trasformazioni Regolari di Coordinate 57 Capitolo. Calcolo Integrale per Funzioni di più Variabili 6 Integrali Doppi: Definizione e prime Proprietà 6 Teorema di Fubini Tonelli 6 Cambiamento di Variabili negli Integrali Doppi 65 Integrali Tripli 69 Note 74 Appendice A. Appendice 75 Tre Principali Modi di Dimostrazioni 75 Elenco di alcuni Limiti Notevoli 76 Definizione alternativa dei Limiti per Funzioni 77 Elenco delle figure 78

5 CAPITOLO Concetti Fondamentali In questo capitolo introduttivo raccoglieremo alcuni concetti di matematica che servono successivamente ed inoltre stabiliremo le principale notazioni. Insiemi Intuitivamente un insieme è una raccolta di oggetti (chiamati elementi) distinguibili tra di loro che formano una totalità. Per indicare un insieme si usano generalmente lettere maiuscole A, B, C,..., X, Y, Z, per gli elementi invece lettere minuscole a, b, c,...,, y, z. Prima di fare esempi introduciamo alcune Notazioni. Spesso useremo i cosiddetti quantificatori = per ogni e = esiste Per evidenziare che A = B per definizione scriviamo A := B oppure B =: A. indica un implicazione. indica una contraddizione. indica il simbolo di appartenenza, / indica il simbolo di non-appartenenza., indicano i simboli di inclusione. Per definire un insieme ci sono in pratica possibilità: elencando tutti gli elementi tra parentesi graffe, per esempio A := {,, 3}, oppure attraverso una proprietà che caratterizza tutti gli elementi dell insieme, per esempio P := {n : n è un numero primo} Consideriamo alcuni Esempi. Siano A := {,, 3}, B := {, 7, 8}, C := {,, 3, 5, 7, 8}, allora A, 5 / B, A C, A / C, A / A. L insieme senza alcun elemento si chiama insieme vuoto e si usa la notazione := {}. Questa vista semplificata di insiemi, che comunque è sufficiente per i nostri scopi, porta facilmente a problemi come si vede dal seguente Esempio. Paradosso di Russell: Consideriamo l insieme A := {X : X è un insieme tale che X / X}. Ora per A stesso si deve verificare A A oppure il contrario A / A. Però A A A / A poiché A non verifica la condizione che definisce gli elementi X di A, ma anche A / A A A poiché A per ipotesi verifica la condizione che definisce gli elementi X di A. Operazioni tra insiemi. Dati due insiemi A e B chiamiamo A B := { : A oppure B} l unione tra A e B, A B := { : A e B} l intersezione tra A e B, A \ B := { : A e / B} la differenza tra A e B, 5

6 6. CONCETTI FONDAMENTALI A B := {(a, b) : A e B} il prodotto cartesiano tra A e B, gli elementi (a, b) si chiamano coppie ordinate. Osservazione. Se A e B sono insiemi, allora vale sempre A B = B A e A B = B A; in generale A \ B B \ A e A B B A; se A ha n elementi e B ha m elementi, allora A B ha n m elementi; definiamo A := A A. Consideriamo un Esempio. Se A := {,, 3}, B := {, 7, 8}, allora A B = {,, 3, 7, 8}, A B = {}, A \ B = {, 3} =: C, A C = {(, ), (, 3), (, ), (, 3), (3, ), (3, 3)} con 3 = 6 elementi. Insiemi Numerici. Definiamo i seguenti insiemi numerici N : = {n : n è un numero naturale} = {,,, 3, 4, 5,... } = insieme dei numeri naturali, Z : = {n : n è un numero intero} = {...,,,,,,... } = insieme dei numeri interi, { } Q : = {r : r è un numero razionale} = p q : p, q Z, q = insieme dei numeri razionali, R : = { : è un numero reale} = { p, α α α α 3... : p Z, α k {,,,..., 9} k N } = insieme dei numeri reali. Esempi. R \ Q ( corso di Algebra e Geometria), =, , cioè qui abbiamo p =, α = 4, α =, α = 4, α 3 =, α 4 =, α 5 = 3. Oppure per π R \ Q vale π = }{{} 3, }{{} }{{} 4 }{{} }{{} 5 }{{} 9 }{{} }{{} 6... =p =α =α =α =α 3 =α 4 =α 5 =α 6 Proprietà dei Numeri Reali R. () In R valgono per le operazioni somma + e prodotto tutte le regole dell algebra, per esempio, y, z R vale + y = y +, (y z) = ( y) z, (y + z) = y + z. Più precisamente si dice che (R, +, ) è un campo corso di Algebra e Geometria. () In R esiste un ordinamento totale <, cioè per, y R vale una ed una sola delle relazioni = y, < y oppure y <. (3) R è completo, cioè la retta reale non ha buchi. Prima di spiegare meglio la Proprietà (3) di R facciamo alcune Osservazioni. anzichè y < scriviamo anche > y, y significa < y oppure = y. Usando l ordinamento in R definiamo per a, b R i seguenti insiemi detti intervalli: [a, b] : = { R : a b} = intervallo chiuso, (a, b) : = { R : a < < b} = intervallo aperto, [a, b) : = { R : a < b}, (a, b] : = { R : a < b}, (, b] : = { R : b} = intervallo chiuso, [a, + ) : = { R : a } = intervallo chiuso, (, b) : = { R : < b} = intervallo aperto, (a, + ) : = { R : a < } = intervallo aperto. (, + ) : = R.

7 INSIEMI 7 Valgono le seguenti regole: Se a b e y allora a + b + y. Se a b e > allora a b. Attenzione: Se a b e < allora a b. Se < a b allora < b a. Le Proprietà () e () valgono anche in Q, cioè anche Q è un campo ordinato. Per continuare servono i concetti di Maggioranti ed Estremo Superiore. Sia A R. (a) Se s R tale che a s per ogni a A, allora s si chiama maggiorante di A. (b) Se s R è un maggiorante di A tale che s s per ogni maggiorante s di A, allora s si chiama estremo superiore di A. Notazione: sup A := s = maggiorante più piccolo di A. (c) se s = sup A A allora s si chiama anche massimo di A. Notazione: ma A := s = elemento più grande di A. Osservazioni. Valgono le seguenti caratterizzazioni: { s = sup A a s a A (cioè s è un maggiorante) ε > a A tale che s ε < a (cioè s ε non è più un maggiorante), { s = ma A a s a A s A. Esempi. Se A = (, ], allora sup A = ma A =. Se A = (, ), allora sup A = / A e quindi ma A non esiste. Osservazione. Non tutti gli insiemi hanno maggioranti, per esempio A = N non ha maggiorante poiché non esiste s R tale che n s per ogni n N. In tal caso si scrive sup A = +. Nell ipotesi che A R abbia un maggiorante (e in tal caso ne ha infiniti), allora si dice che A è superiormente limitato. Per esempio A = (, ) è superiormente limitato poiché s = è un maggiorante di A. Dopo questo intermezzo torniamo alla Proprietà 3, cioè alla completezza di R. L Assioma della Completezza. R è completo, cioè ogni insieme A R superiormente limitato ammette estremo superiore. In altre termini, se A ha maggioranti, allora esiste sempre il maggiorante più piccolo. Esempi. A := { R : < } è superiormente limitato. Per esempio, s =, 5 è un maggiorante poiché se é tale che >, 5 > (, 5) =, 5 cioè A. Quindi la completezza di R implica che esiste s = sup A. Ora si può verificare che s =, cioè s =. Sia A = {( + n )n : n N, n } Q. Usando la formula del binomio di Newton (cfr. pagina ) si può verificare che s = 3 è un maggiorante di A. Quindi esiste s = sup A =: e. Osservazioni. e =, / Q viene chiamato numero di Nepero. Il secondo esempio dimostra che in Q la proprietà (3) non vale, cioè Q non è completo. In parole povere questo significa che la retta razionale ha buchi, per esempio in oppure in e. Analogamente ai concetti di maggiorante ed estremo speriore possiamo introdurre i concetti di

8 8. CONCETTI FONDAMENTALI Minoranti ed Estremo Inferiore. Sia A R. (a) Se r R tale che r a per ogni a A, allora r si chiama minorante di A. (b) Se r R è un minorante di A tale che r r per ogni minorante r di A, allora r si chiama estremo inferiore di A. Notazione: inf A := r = minorante più grande di A. (c) se r = inf A A allora r si chiama anche minimo di A. Notazione: min A := r = elemento più piccolo di A. Osservazioni. Valgono le seguenti caratterizzazioni: { r = inf A r a a A (cioè r è un minorante) ε > a A tale che r + ε > a (cioè r + ε non è più un minorante), { r = min A r a a A r A. Esempi. Se A = [, ], allora inf A = min A =. Se A = (, ], allora inf A = / A quindi min A non esiste. Osservazione. Non tutti gli insiemi hanno minoranti, per esempio A = Z non ha minoranti poiché non esiste r R tale che r n per ogni n Z. In tal caso si scrive inf A =. Nell ipotesi che A R abbia un minorante (e in tal caso ne ha infiniti), allora si dice che A è inferiormente limitato. Per esempio A = (, + ) è inferiormente limitato poiché s = è un minorante di A. Se A è superiormente e anche inferiormente limitato, allora si chiama limitato. Per esempio A = (, ] [3, 5) è limitato mentre N non lo è. Funzioni Definizione.. Se A, B sono insiemi, allora una funzione da A a B è una legge (spesso in forma di una formula) che ad ogni a A associa un unico b B. In breve si scrive f : A B, f(a) = b. Inoltre si chiama A il dominio di f, B il codominio di f, f(a) := {f(a) : a A} l immagine di f, G(f) := {( a, f(a) ) : a A } A B il grafico di f. Esempio. Il modulo: Per R definiamo il suo modulo (oppure valore assoluto) come { se, := se <. Per esempio 3 = 3, 4 = ( 4) = 4. Quindi f() :=, R definisce una funzione f : R R con immagine f(r) = [, + ). Il grafico G(f) R è riportato nella seguente figura. Osservazioni. Per il modulo valgono le seguente relazioni importanti: Se, y, l R, allora e = =. < l l < < l. = e =. y = y e y = y. + y + y (disuguaglianza triangolare).

9 FATTORIALE E COEFFICIENTI BINOMIALI Figura. Il grafico del modulo. y y. L importanza del modulo si basa in particolare sulla seguente Osservazione. Per ogni, y R, y = distanza tra e y sulla retta reale Quindi il modulo ci permette di misurare distanze. Fattoriale e Coefficienti Binomiali Definizione.. Per n N definiamo il suo fattoriale { se n =, n! :=... n se n >. Per esempio 4! = 3 4 = 4. Osservazioni. n! = numero di permutazioni di n oggetti distinti. Per esempio per tre oggetti a, b, c esistono 3! = 6 permutazioni: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Se n allora vale n! = n (n )!. Definizione.3. Per n, k N con k n definiamo il coefficiente binomiale ( ) n n! := k k! (n k)! Per esempio ( ) 4 = 4!! (4 )! = 4 = 6. Osservazioni. Per n, k N con k n vale ( n k) N, cioè i coefficienti binomiali sono sempre numeri naturali. ( n k) = numero di sottoinsiemi di {,, 3,..., n} di k elementi. Per esempi l insieme {,, 3,..., 89, 9} ha ( ) 9 6 = sottoinsiemi con 6 elementi. Quindi la probabilita di fare 6 al Superennalotto giocando una scheda è = ( ) n k = n (n ) (n )... (n k+) 3... (k ) k, per esempio ( ) 4 = 4 3 = = 6. Osservazioni. Per i coefficienti binomiali valgono le seguenti proprietà. ( ( n ) = n n) = per ogni n N. ( ) ( n k = n ) ( k + n ) k. ( ) ( n k = n n k). Le prime due regole si possono utilizzare per calcolare coefficienti binomiali con il triangolo di Tartaglia. La terza regola stabilisce la simmetria di questo triangolo.

10 . CONCETTI FONDAMENTALI ( n ) k k= = = =3 =4 n= = = + = =3 3 3 = per esempio ( ) + ( ) = ( 3 ). Formula del Binomio di Newton Introduciamo dapprima il concetto di sommatoria: Se m, n N con m n e a m, a m+,..., a n R allora poniamo per la loro somma n a k := a m + a m a n. k=m Per esempio n k= k = n. Per le sommatorie valgono le seguente regole n n n a k = a i =... a l. k=m n a k = k=m r i=m n+ n a k = k=m n a k = k=m n a k + k=m k=m+ a k. l=m n r a k per ogni r R. k=m l a k + k=m n b k = k=m n k=l+ a k per ogni m l < n. n (a k + b k ). k=m Se inoltre definiamo a := per ogni a R allora vale la Proposizione.4 (Formula del Binomio di Newton). Se a, b R e n N, allora n ( ) n (a + b) n = a k b n k. k k= Per esempio per n = 4 troviamo i coefficienti binomiali necessari nella 4. riga del triangolo di Tartaglia e quindi risulta: (a + b) 4 = a b a b a b + 4 a 3 b + a 4 b = b ab a b + 4 a 3 b + a 4. Principio di Induzione Passiamo a un principio che è collegato ai numeri naturali. Dato un numero fisso n N supponiamo che per ogni n N con n n sia data un affermazione A(n). Problema. Verificare che A(n) sia vera per ogni n n, cioè verificare un numero infinito di affermazioni. Esempio. Per n =: n sia A(n) l affermazione che vale la formula n = n (n + ).

11 PRINCIPIO DI INDUZIONE Per esempio A(3): = 3 (3+) = 6 che è vera. Abbiamo quindi dato un numero infinito di formule da verificare e ovviamente non si può procedere verificandole una per una. Per risolvere questo problema useremo il seguente Teorema.5 (Principio di Induzione). Se (base dell induzione) A(n ) è vera, e (passo induttivo) l ipotesi A(n) vera } {{ } ipotesi dell induzione implica che anche A(n + ) è vera, allora A(n) è vera per ogni n n. Esempio. Verifichiamo per induzione che n = n (n+) per ogni n. Base: Dobbiamo verificare A(), cioè che vale = (+) che è vero. Passo induttivo: Sotto l ipotesi che A(n) sia vera per un certo n n (non per tutti, quello infatti è da verificare!) dobbiamo verificare che anche A(n + ) vale. Allora per ipotesi vale quindi risulta n = n (n + ) n (n + ) ( n) + (n + ) = + (n + ) (n + ) (n + ) = che è esattamente A(n + ), cioè la formula che si ottiene sostituendo in A(n) il numero n con (n + ). In un certo senso il principio di induzione formalizza l effetto domino: La base fa cadere il primo pezzo mentre il passo induttivo afferma che con un pezzo cade anche sempre quello successivo. Quindi se facciamo cadere il primo pezzo alla fine cadranno tutti i pezzi. Consideriamo altre due esempi. Esempio (Disuguaglianza di Bernoulli). Se, allora Dimostrazione. Per induzione. ( + ) n + n per ogni n N. Base: Per n = l affermazione diventa ( + ) = + che è vera. Passo induttivo: Supponiamo che per un certo n N vale ( ) ( + ) n + n per ogni n N. Sotto questo ipotesi dobbiamo verificare la disuguaglianza che si ottiene sostituendo n con n +. Perciò moltiplichiamo ( ) con + che era da verificare. ( + ) n+ = ( + ) ( + ) n ( + ) ( + n ) = + (n + ) + n } {{ } + (n + )

12 . CONCETTI FONDAMENTALI Esempio (Progressione Geometrica). Sia q R, allora n q k = qn+ per ogni n N. q k= Dimostrazione. Per induzione. Base: Per n = l affermazione diventa q k = q = q+ q k= Passo induttivo: Supponiamo che per un certo n N vale (#) n k= q k = qn+. q che è vera. Sotto questo ipotesi dobbiamo verificare la formula che si ottiene sostituendo n con n +. Perciò sommiamo su entrabi i lati di (#) la quantità q n+ n+ q k = k= che era da verificare. n k= Concludiamo con la seguente domanda. q k + q n+ = qn+ q Dov è l errore? Tutti i cavalli sono bianchi. + q n+ = qn+ + q n+ q n+ q = qn+ q Sia A(n) l affermazione tutti i cavalli in un insieme di n cavalli hanno lo stesso colore. Base: Per n = l affermazione è ovviamente vera. Passo induttivo: Supponendo che in un insieme di n cavalli tutti hanno sempre lo stesso colore dobbiamo verificare che anche in un insieme di n + cavalli tutti hanno lo stesso colore. Allora togliendo dall insieme di n + cavalli un cavallo rimangono n cavalli che per ipotesi hanno lo stesso colore. Rimettiamo il cavallo tolto dall insieme e togliamo un altro. Di nuovo rimane un insieme con n cavalli che per ipotesi hanno lo stesso colore. Quindi per transitività tutti i n + cavalli hanno lo stesso colore. Inoltre l altro ieri ho visto un cavallo bianco in televisione e quindi tutti cavalli sono bianchi.

13 CAPITOLO I numeri complessi In questo capitolo introduciamo la definizione ed alcune proprietà dei numeri complessi. Nell insieme R := {(a, b) : a, b R} consideriamo le operazioni di somma e prodotto così definite (.) (.) (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) (a, b) (c, d) := (ac bd, ad + bc) La terna (R, +, ) é un campo. Tale campo viene detto il campo dei numeri complessi ed indicato con il simbolo C. Osservazione. Si può verificare facilmente che la coppie (, ) e (, ) sono rispettivamente l elemento neutro rispetto alla somma e rispetto al prodotto, cioé (a, b) + (, ) = (a, b) e, se (a, b) (, ), (a, b) (, ) = (a, b). Inoltre (a, b) + ( a, b) = (a, b) R ( ) a (a, b) a + b, b a + b = (, ) (a, b) R, (a, b) (, ) cioé ( a, b) e (a/(a + b ), b/(a + b )) sono rispettivamente l opposto e l inverso (se (a, b) (, )) di (a, b). Le altre proprietà caratterizzanti un campo (commutativa, associativa, distributiva) si verificano facilmente. L insieme dei reali come sottoinsieme di C. Nel campo dei numeri complessi C consideriamo il sottoinsieme C = {(a, ) : a R}. L insieme C puó essere messo in corrispondenza con R associando alla coppia (a, ) il numero reale a. Inoltre in C le operazioni di somma e prodotto definite in (.)-(.) si riducono alle corrispondenti operazioni definite in R. Infatti (a, ) + (b, ) = (a + b, ) (a, ) (b, ) = (ab, ). Quindi l insieme (C, +, ) puó essere identificato con il campo dei numeri reali e risulta essere un sotto-campo del campo dei numeri complessi C. L unità immaginaria e la forma algebrica. Consideriamo la coppia (, ) C e osserviamo che (a, b) = (a, ) + (, ) (b, ) := a + ib, a, b R avendo identificato le coppie (a, ), (b, ) con i numeri reali a, b e la coppia (, ) con il simbolo i. La rappresentazione di un numero complesso nella forma z = a + ib, a, b R, si dice forma algebrica dei numeri complessi. Il numero a si dice parte reale di z e si indica con il simbolo R(z), mentre il numero b si dice parte immaginaria di z e si indica con il simbolo I(z). Osservando che i = i i = (, ) (, ) = (, ) =, 3

14 4. I NUMERI COMPLESSI possiamo calcolare facilmente somma e prodotto di numeri complessi z = a + ib, w = c + id z + w = (a + ib) + (c + id) = (a + b) + i(c + d) z w = (a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i bd = (ac bd) + i(ad + bc) o equivalentemente R(z + w) = R(z) + R(w), I(z + w) = I(z) + I(w) R(z w) = R(z)R(w) I(z)I(w), I(z w) = R(z)I(w) + I(z)R(w) Esempio. Si ha (3 + 4i) + (7 + 8i) = + i (3 + 4i) (7 + 8i) = + 5i Piano di Gauss. Possiamo identificare il numero complesso z = a + ib con il punto del piano di coordinate (a, b). Si noti che l asse delle ascisse corrisponde ai numeri reali (i.e. b = ), mentre l asse delle ordinate agli immaginari puri (i.e. a = ).La rappresentazione geometrica dei numeri complessi nel piano euclideo viene detta rappresentazione nel piano di Gauss. Nel piano di Gauss l addizione di due numeri complessi corrisponde alla somma tra i vettori che li rappresentano ottenuta attraverso la regola del parallelogramma. Coniugato e modulo di un numero complesso. Introduciamo la definizione di coniugato e modulo di un numero complesso. Definizione.. Dato z = a + ib, si definisce coniugato di z il numero complesso z definito da Esempio. z = a ib Se z = 4 + 3i, allora z = 4 3i; se z = i, allora z = i; se z = 4, allora z = 4. Osservazioni. Per il coniugato valgono le seguenti proprietà: Se z, w C, allora z + w = z + w; z w = z w; ( ) z = z ; Se z = a + ib, allora z z = a + b (verificare per esercizio le proprietà precedenti attraverso la definizione di coniugato) Definizione.. Dato z = a + ib, si definisce modulo di z il numero reale z definito da z = a + b Si osservi che per i numeri reali ritroviamo la definizione di modulo data in R. Infatti se z = a, allora z = a = a. Nel piano di Gauss z rappresenta la distanza di z = a+ib dall origine, cioé la lunghezza del segmento che congiunge il punto di coordinate (a, b) con (, )

15 Esempio. RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA DI UN NUMERO COMPLESSO 5 Se z = 4 + 3i, allora z = = 5; se z = i, allora z = ; se z = 4, allora z = 4. Osservazioni. Per il modulo valgono le seguenti proprietà: Se z, w C, allora z e z = z =. z = z. z = z e z = z. z + w z + w (disuguaglianza triangolare). z w z w. (verificare per esercizio le proprietà precedenti attraverso la definizione di modulo) Esercizio. Scrivere in forma algebrica i numeri complessi + i (3 + i) (6 + i), i, 3 + i 3 i. Trovare modulo e coniugato dei numeri precedenti. Riportare i numeri precedenti nel piano di Gauss. Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso Richiamiamo brevemente la definizione di coordinate polari. Un punto del piano Euclideo si puó rappresentare sia attraverso le coordinate cartesiane sia attraverso le coordinate polari (ρ, ϑ) ove ρ [, + ) rappresenta la distanza del punto dall origine; ϑ [, π) rappresenta l angolo (in radianti) che il vettore posizione del punto forma con l asse delle ascisse. Le formule di passaggio da coordinate cartesiane (a, b) a coordinate polari (ρ, ϑ) e viceversa sono date da { { ρ = a + b a = ρ cos(ϑ) tan(ϑ) = b b = ρ sin(ϑ) a (si ricordi che la tangente non é invertibile in [, π)). Dato z = a + ib, utilizzando le formule di passaggio precedenti si ottiene la forma trigonometrica di un numero complesso z = ρ ( cos(ϑ) + i sin(ϑ) ). L angolo ϑ é detto argomento di z e si denota con arg(z), mentre, come giá visto, ρ coincide con il modulo di z. Esempio. Se z = + i, allora ρ = z = ( ) ( ) + = tan(ϑ) = ϑ = π 4 quindi la forma trigonometrica di z é Analogamente z = cos ( π ) ( π ) + i sin. 4 4 ( π ) ( π ) i = cos + i sin, = cos() + i sin()

16 6. I NUMERI COMPLESSI Utilizzando la forma trigonometrica di un numero complesso e proprietà delle funzioni trigonometriche si possono dimostrare le seguenti formule per il prodotto e il rapporto di numeri complessi: Se z = ρ (cos(ϑ ) + i sin(ϑ )), z = ρ (cos(ϑ ) + i sin(ϑ )), allora o, equivalentemente, z z = ρ ρ (cos(ϑ + ϑ ) + i sin(ϑ + ϑ )), z z = ρ ρ (cos(ϑ ϑ ) + i sin(ϑ ϑ )) z z = z z, arg(z z ) = arg(z ) + arg(z ), z z = z z, arg ( z z ) = arg(z ) arg(z ). Dalle formule precedenti segue subito la formula di De Moivre z n = ρ n( cos(nϑ) + i sin(nϑ) ), n N. Esempio. Per calcolare (+i) 7, rappresentiamo il numero +i in forma trigonometrica, quindi + i = ( ( π ) ( π )) cos + i sin. 4 4 Dalla formula di De Moivre si ha ( + i) 7 = 7/ (cos ( ) ( )) π + i sin 4 π = 7/ ( i ) = 8 8i Ricordiamo infine la formula di Eulero che lega le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa (.3) e i ϑ = cos(ϑ) + i sin(ϑ) ϑ R. Dalla formula di Eulero (.3) seguono subito le due identità cos(ϑ) = eiϑ + e iϑ sin(ϑ) = eiϑ e iϑ i Radici di un numero complesso Introduciamo la definizione di radice n-sima di un numero complesso Definizione.3. Dato n N, diremo che z é una radice n-sima di w C se w = z n. Proposizione.4. Sia w C, w, allora esistono sempre n radici n-sime di w. Se w = r ( cos(ϑ) + i sin(ϑ) ), allora tali radici sono date da ove (.4) z k = ρ ( cos(ϑ k ) + i sin(ϑ k ) ), k =,..., n ρ = r n ϑ k = ϑ + kπ, k =,..., n n

17 RADICI DI UN NUMERO COMPLESSO 7 Dimostrazione. Posto z = ρ ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ) allora dalla formula di De Moivre, z n = ρ n( cos(nϕ) + i sin(nϕ) ). Quindi, se w = r ( cos(ϑ) + i sin(ϑ) ), allora z n = w se e solo se { ρ n = r, nϕ = ϑ + kπ, k Z, da cui, osservando che nella seconda identità per la periodicità delle funzioni trigonometriche si ottengono valori distinti solo per k =,..., n, otteniamo le formule (.4). Esempio. Per calcolare 3 i, dapprima riportiamo i in forma trigonometrica. Quindi i = cos( π ) + i sin( π ), cioé r =, ϑ = π. Quindi le radici cubiche di i sono date da ( ) ( ) π/ + kπ π/ + kπ z k = cos + i sin, k =,, 3 3 cioé ( π ) ( π ) 3 z = cos + i sin = i ( ) ( ) z = cos 6 π + i sin 6 π = + i ( ) ( ) 9 9 z = cos 6 π + i sin 6 π = Osservazione. Rappresentando le radici n-sime di w nel piano di Gauss, si puó osservare che esse sono i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di centro e raggio w /n Concludiamo con il Teorema Fondamentale dell Algebra Teorema.5. L equazione algebrica a n z n + + a z + a = ove a i C, a n ammette n radici in C ove tali radici siano contate con la loro molteplicità.

18 CAPITOLO Successioni Numeriche Lo scopo di questo capitolo è di studiare il comportamento di un espressione dipendente da un parametro naturale n per n sempre più grande, cioe per n tendente a +. Iniziamo con la definizione rigorosa di una successione. Definizione.. Una successione numerica è una funzione a : N R, cioè una regola che fa corrispondere ad ogni n N un unico a(n) R. Generalmente si usa la notazione a n := a(n). Inoltre si rappresenta una successione elencando tutti i valori assunti in ordine crescente oppure attraverso una formula che definisce gli elementi a n. Esempio. a : N R, a(n) := n+ definisce una successione che si può rappresentare come (a n ) n N = ( ( ),, 3, 4,...) oppure (a n ) n N = n + n N Può accadere che una formula che definisce gli elementi a n di una successione non ha senso per alcuni valori di n, cioè il dominio di a non è tutto N = {,,, 3, 4,...} ma soltanto un sottoinsieme della forma {n, n +, n +, n + 3,...}. Comunque anche in questo caso si parla di successioni. Esempio. La formula a n := n (n 3) definisce una successione a : {4, 5, 6, 7,...} R (il problema è che qui il denominatore si annulla per n = e n = 3 e quindi non sono definiti gli elementi a e a 3 ). In questo caso si scrive ( ) (a n ) n 4 = n (n 3) Altri esempi di successioni sono (, 3, 5, 7,, 3,...) (successione dei numeri primi), (( + ) n ) n n, (q n ) n N = (q, q, q, q 3,...) per un q R fisso (successione geometrica). n 4 Convergenza, Divergenza e Irregolarità per Successioni Come già accennato sopra vogliamo studiare il seguente Problema. Studiare il comportamento degli elementi a n di una successione (a n ) n N per n sempre più grande. Consideriamo alcuni Esempi. Per la successione (a n ) n N = ( ) n n = (,, 3, 4, 5,...) gli elementi n tendono a l = se n diventa sempre più grande. Per la successione (a n ) n N = (n) n N = (,,, 3, 4, 5,...) n N gli elementi superano qualsiasi valore fissato se n diventa sempre più grande. Per la successione (a n ) n N = (( ) n ) n N = (+,, +,, +,,...) n N gli elementi oscillano tra i valori e. Nelle seguenti definizioni formalizziamo questi tre tipi di comportamenti per le successioni. 8

19 CONVERGENZA, DIVERGENZA E IRREGOLARITÀ PER SUCCESSIONI 9 Definizione. (Successione convergente). (i) Si dice che la successione (a n ) n N è convergente al limite l R se per ogni ε > esiste n N tale che (ii) Se In questo caso si scrive l a n < ε per ogni n n. lim n + a n = l oppure a n l per n + lim a n =, allora (a n ) n N si chiama successione infinitesima. n + Esempio. Vogliamo verificare che lim n + n =. Perciò è da verificare che per ε > esiste n tale che n = n < ε n > ε. Quindi, se scegliamo n N tale che n > ε allora n < ε per ogni n n, cioè lim n + n =, in altre parole ( ) n n è infinitesima. Proposizione.3 (Unicità del limite). Il limite di una successione (a n ) n N, se esiste, è unico. Dimostrazione. Per assurdo supponiamo che esiste una successione (a n ) n N tale che lim a n = l e lim a n = l n + n + con l, l R e l l. Allora ε := l l 4 > e quindi esistono n, n N tale che l a n < ε per ogni n n e l a n < ε per ogni n n Usando la disuguaglianza triangolare risulta per N := ma{n, n } l l = (l a N ) + (a N l ) l a N + a N l < ε + ε = ε = l l. Dividendo per l l > segue <. Quindi il limite è unico. Esercizio. Utilizzando la definizione di convergenza verificare che lim n + n n+5 =. Definizione.4 (Successione divergente). Si dice che la successione (a n ) n N diverge a +, se per ogni M > esiste n N tale che a n > M per ogni n n e in questo caso si scrive lim a n = + oppure a n + per n + ; n + diverge a, se per ogni M < esiste n N tale che a n < M per ogni n n e in questo caso si scrive lim a n = oppure a n per n +. n + diverge se diverge a + oppure. Per esempio lim n = +. Se (a n) n N ammette limite finito (cioè se converge) oppure n + infinito (cioè se diverge), allora si dice regolare. Rimane quindi la classe delle successioni che non ammettono limite. Per i tre principali modi di dimostrazioni cfr. pagina 75.

20 . SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione.5 (Successione irregolare). Se la successione (a n ) n N non è convergente né divergente allora si dice irregolare (oppure oscillante). Per esempio la successione (( ) n ) n N è irregolare. Più in generale consideriamo il seguente Esempio (Successione geometrica). Per q R fisso definiamo a n successione geometrica (a n ) n N (i) diverge a + se q >, (ii) è costante (cioè a n = a per ogni n N) se q = e quindi (iii) è infinitesima se q <, (iv) è irregolare se q. := q n. Allora la lim a n = a =, n + Dimostrazione. Verifichiamo soltanto (i). Per ipotesi q > e quindi q >. Per la disuguaglianza di Bernoulli segue q n = ( + (q ) ) n + n (q ) per ogni n N. Ora per M > scegliamo n N con n > M q. Allora risulta che q n + n (q ) + n (q ) > + M q (q ) = M per ogni n n. Quindi lim n + qn = + per ogni q >. Consideriamo un altra successione importante. Esempio (Successione armonica). Per α R fisso definiamo a n := n α. Allora la successione armonica (a n ) n (i) diverge a + se α >, (ii) è costante (cioè a n = a per ogni n N) se α = e quindi lim a n = a =, n + (iii) è infinitesima se α <, Il prossimo risultato dà una condizione necessaria per la convergenza di una successione. Proposizione.6. Una successione convergente (a n ) n N è limitata, cioè esistono m, M R tale che m a n M per ogni n N. Dimostrazione. Se l := lim a n allora per ε = esiste n N tale che l a n <, n + cioè l < a n < l +, per ogni n n. Quindi per m := min{l, a, a,..., a n } e M := ma{l +, a, a,..., a n } segue m a n M per ogni n N, cioè (a n ) n N è limitata. Il contrario della proposizione precedente non vale, cioè una successione limitata non deve essere convergente, basta considerare la successione (( ) n ) n N che è limitata ma non converge. Cerchiamo ora modi per semplificare lo studio della convergenza di una successione senza dover verificare direttamente la definizione. Regole per il Calcolo dei Limiti Problema. Data una successione complicata (a n ) n N, studiare la sua convergenza. Una soluzione parziale per questo problema fornisce il seguente risultato Proposizione.7 (Regole per il calcolo dei limiti). Siano (a n ) n N, (b n ) n N due successioni convergenti con a n l e b n l per n +. Allora per n + (i) a n ± b n l ± l ; (ii) a n b n l l ;

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente: Klaus Engel. Università degli Studi dell Aquila Facoltà di Ingegneria A.A. 2011/12

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente: Klaus Engel. Università degli Studi dell Aquila Facoltà di Ingegneria A.A. 2011/12 Appunti di Analisi Matematica Docente: Klaus Engel Università degli Studi dell Aquila Facoltà di Ingegneria A.A. / http://univaq.it/~engel ( = %7E) (Versione del 4 dicembre ) Note scritte in collaborazione

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Successioni e serie numeriche Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16)

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16) Diario del corso di Analisi Matematica (a.a. 205/6) 4 settembre 205 ( ora) Presentazione del corso. 6 settembre 205 (2 ore) Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Introduzione alle

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

Studio del grafico di una funzione reale

Studio del grafico di una funzione reale Capitolo 1 Studio del grafico di una funzione reale Questo testo è una guida per lo studio del grafico di una funzione. Non è un testo completo ma solo una bozza che servirà agli studenti per arrivare

Dettagli

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi Dispense di Matematica Analisi Matematica Riccarda Rossi Corso di Laurea in Disegno Industriale Università degli Studi di Brescia Anno Accademico 2009/2010 2 Capitolo 1 Nozioni preliminari 4 Riccarda Rossi

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3

3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3 CAPITOLO 3 Successioni e serie 3. Successioni Un caso particolare di applicazione da un insieme numerico ad un altro insieme numerico è quello delle successioni, che risultano essere definite nell insieme

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc.

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. Classi Numeriche 1 1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. In questo breve capitolo richiamiamo le definizioni delle classi numeriche fondamentali, già note al lettore,

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 00 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Se il polinomio

Dettagli

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

Analysis for Brixen. Corso Estivo A.A. 2011/12. Paolo Guiotto

Analysis for Brixen. Corso Estivo A.A. 2011/12. Paolo Guiotto Analysis for Brien Corso Estivo A.A. 0/ Paolo Guiotto Avvertenze Questa avvertenze sono rivolte direttamente all allievo/a, con la speranza di fornirgli/le qualche utile indicazione per un utilizzo proficuo

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p.

Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. Le funzioni elementari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 200-20 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari Serie numeriche Definizioni e proprietà elementari Sia { } una successione, definita per ogni numero naturale n n. Per ogni n n, consideriamo la somma s n degli elementi della successione di posto d s

Dettagli

Matematica 3. Dipartimento di Matematica. ITIS V.Volterra San Donà di Piave. Versione [2015-16]

Matematica 3. Dipartimento di Matematica. ITIS V.Volterra San Donà di Piave. Versione [2015-16] Matematica 3 Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [05-6] Indice I Numeri e Funzioni Numeri 3. Premessa............................................. 3. Tipi di numeri..........................................

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

Programma di Matematica

Programma di Matematica Programma di Matematica Modulo 1. Topologia in R 2. Funzioni in R 3. Limite e continuità di una funzione Unità didattiche Struttura algebrica di R Insiemi reali limitati e illimitati Intorno di un punto

Dettagli

Università degli Studi di Catania A.A. 2012-2013. Corso di laurea in Ingegneria Industriale

Università degli Studi di Catania A.A. 2012-2013. Corso di laurea in Ingegneria Industriale Università degli Studi di Catania A.A. 2012-2013 Corso di laurea in Ingegneria Industriale Corso di Analisi Matematica I (A-E) (Prof. A.Villani) Elenco delle dimostrazioni che possono essere richieste

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione: Si chiama successione numerica una funzione definita su IN a valori in IR, cioè una legge che associa ad ogni intero n un numero reale a n. Per abuso di linguaggio, si

Dettagli

Appunti di matematica generale CTF. Alessandro Gambini Federica Ferretti

Appunti di matematica generale CTF. Alessandro Gambini Federica Ferretti Appunti di matematica generale CTF Alessandro Gambini Federica Ferretti 2 dicembre 2015 Indice 1 Concetti di base e insiemi numerici 1 1.1 Insiemi, relazioni e funzioni..................... 1 Simbologia..............................

Dettagli

SERIE NUMERICHE. prof. Antonio Greco 6-11-2013

SERIE NUMERICHE. prof. Antonio Greco 6-11-2013 SERIE NUMERICHE prof. Antonio Greco 6--203 Indice Motivazioni........... 3 Definizione........... 3 Errore tipico........... 3 Un osservazione utile...... 3 Condizione necessaria...... 4 Serie armonica.........

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

Quesiti di Analisi Matematica A

Quesiti di Analisi Matematica A Quesiti di Analisi Matematica A Presentiamo una raccolta di quesiti per la preparazione alla prova orale del modulo di Analisi Matematica A. Per una buona preparazione é consigliabile rispondere ad alta

Dettagli

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE PIANO ANNUALE a.s. 2012/2013 CLASSI PRIME tecnico 4 ORE Settembre Ottobre Novembre dicembre dicembre gennaio- 15 aprile 15 aprile 15 maggio Somministrazione di test di ingresso. Insiemi numerici Operazioni

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I

Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I Lezioni A.A. 2003/2004, prof. G. Stefani primo semiperiodo 22/9/03-8/11/03 Testo consigliato: Robert A. Adams - Calcolo differenziale 1 - Casa

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

Proprietà metriche di R. Funzioni da R in R. Funzioni continue da R in R. Limiti di funzioni da R in R.

Proprietà metriche di R. Funzioni da R in R. Funzioni continue da R in R. Limiti di funzioni da R in R. Università di Trieste - Facoltà d'ingegneria Corsi di Laurea in Ingegneria Chimica, Elettrica, Elettronica, dei Materiali Programma del corso di Analisi Matematica I Anno Accademico 1999-2000 Prof. Pierpaolo

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

I.T.G. <> Battipaglia (SA) PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CORSO SERALE SIRIO RELAZIONE

I.T.G. <<G.C.Gloriosi>> Battipaglia (SA) PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CORSO SERALE SIRIO RELAZIONE I.T.G. Battipaglia (SA) PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CORSO SERALE SIRIO Prof. Lucia D Aniello, CLASSI 3 A, 4 A, 5 A GEOMETRI- SIRIO RELAZIONE Premesse La programmazione è stata redatta

Dettagli

Generalità sulle funzioni

Generalità sulle funzioni Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni

Dettagli

4. Funzioni elementari

4. Funzioni elementari ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 4. Funzioni elementari A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 Funzioni elementari Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante

Dettagli

Alcune note sulle serie di potenze 1

Alcune note sulle serie di potenze 1 Alcune note sulle serie di potenze Contents G. Falqui Preliminari 2 Serie di potenze 3 3 Rappresentazione di funzioni mediante serie di potenze 7 3. Esempi notevoli........................... 9 3.2 Formula

Dettagli

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2 CAPITOLO 2 Funzioni reali di variabile reale Nel capitolo precedente è stata introdotta la nozione generale di funzione f : A B, con A e B insiemi arbitrari. Nel presente capitolo si analizzeranno più

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m = Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha

Dettagli

Funzioni trascendenti

Funzioni trascendenti Funzioni trascendenti Lucia Perissinotto I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave Beatrice Hitthaler I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave 17 novembre 007 Sommario Esponiamo la teoria fondamentale delle funzioni

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue a.a. 203/204 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni continue Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.

Dettagli

Matematica di base. Marco Di Francesco. October 28, 2015

Matematica di base. Marco Di Francesco. October 28, 2015 Matematica di base Marco Di Francesco October 28, 2015 2 Chapter 1 Insiemi, numeri e introduzione alle funzioni 1.1 Insiemi La teoria degli insiemi permette di definire in modo sintetico e generale i problemi

Dettagli

CLASSI PRIME Scienze Applicate 5 ORE

CLASSI PRIME Scienze Applicate 5 ORE CLASSI PRIME Scienze Applicate 5 ORE Settembre Ottobre Somministrazione di test di ingresso. Novembre dicembre Insiemi numerici Operazioni negli insiemi N, Q Operazioni negli insiemi Z, Q. Potenze con

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

L unità immaginaria si indica con la lettera i oppure con la lettera j

L unità immaginaria si indica con la lettera i oppure con la lettera j I s t i t u t o P r o f e s s i o n a l e d i S t a t o p e r l I n d u s t r i a e l A r t i g i a n a t o CAVOUR-MARCONI Loc. Piscille Via Assisana, 40/d-06154 PERUGIA Tel. 075/5838322 Fax 075/32371

Dettagli

1. I limiti delle funzioni.

1. I limiti delle funzioni. 1. I iti delle funzioni. 1.1. Considerazioni introduttive. La nozione di ite di una funzione reale di variabile reale costituisce una naturale generalizzazione della nozione di ite di una successione.

Dettagli

Numeri Complessi R 2. P = (x P,y P ) x P. z = (x,y) y P (0,0)

Numeri Complessi R 2. P = (x P,y P ) x P. z = (x,y) y P (0,0) Numeri Complessi Un numero complesso z può essere definito come una coppia ordinata (x,y) di numeri reali x e y. L insieme dei numeri complessi è denotato con C e può essere identificato con il piano cartesiano

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Serie numeriche

Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 25 1 Definizione e primi esempi 2 Serie a

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA Istituto Istruzione Superiore A. Venturi Modena Liceo artistico - Istituto Professionale Grafica Via Rainusso, 66-41124 MODENA Sede di riferimento (Via de Servi, 21-41121 MODENA) tel. 059-222156 / 245330

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Capitolo 9 Esponenziali e logaritmi... Capitolo 0 Funzioni circolari 0. Descrizione di fenomeni periodici Tra le funzioni elementari ne esistono due atte a descrivere fenomeni che si ripetono periodicamente

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Insiemi con un operazione

Insiemi con un operazione Capitolo 3 Insiemi con un operazione 3.1 Gruppoidi, semigruppi, monoidi Definizione 309 Un operazione binaria su un insieme G è una funzione: f : G G G Quindi, un operazione binaria f su un insieme G è

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Sessione straordinaria - a.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Tema di: MATEMATICA a.s. 9- Svolgimento a cura di Nicola De Rosa Il candidato risolva uno

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA Anno Accademico 2012/2013 REGISTRO DELL ATTIVITÀ DIDATTICA Docente: ANDREOTTI MIRCO Titolo del corso: MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA Corso: CORSO UFFICIALE Corso

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI In matematica, per semplificare la stesura di un testo, si fa ricorso ad un linguaggio specifico. In questo capitolo vengono fornite in maniera sintetica le nozioni

Dettagli

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE pag. 131 Appendice: Nozioni base e varie G. Gerla APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE 1. Funzioni e relazioni di equivalenza Questi appunti sono rivolti a persone che abbiano già una conoscenza elementare della

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Programmazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio

Programmazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio Programmazione per del corso Matematica, Secondo biennio Competenze di area Traguardi per lo sviluppo delle degli elementi del calcolo algebrico algebriche di primo e secondo grado di grado superiore al

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE

PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE STATALE IRIS VERSARI - Cesano Maderno (MB) PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE Indirizzo: LICEO SCIENTIFICO MATERIA: MATEMATICA ANNO SCOLASTICO: 2014-2015 PROF: MASSIMO BANFI

Dettagli

Programma precorso di matematica

Programma precorso di matematica Programma precorso di matematica a.a. 015/16 Quello che segue è il programma dettagliato del precorso. Si fa riferimento al testo [MPB] E. Acerbi, G. Buttazzo: Matematica Preuniversitaria di Base, Pitagora

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo grado.. IL PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano.

Dettagli

MODALITA E DATE DEGLI ESAMI

MODALITA E DATE DEGLI ESAMI A.A. 2015/16 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 PER I CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA I semestre, 12 crediti Teoria: 9 crediti, tenuti da me Esercitazioni: 3 crediti, tenuti dal Dott. Bruno Scardamaglia

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 LIBRO DI TESTO:L. Sasso Nuova Matematica a colori Algebra e Geometria 1 edizione Azzurra ed. Petrini TEMA A I numeri e linguaggio della Matemati Unità 1

Dettagli

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi 1. Studio del grafico di una funzione: esercizi Esercizio 1.6. Studiare ciascuna delle seguenti funzioni in base allo schema di pagina 194, eseguendo anche il computo della derivata seconda e lo studio

Dettagli

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile 1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

Programmazione Matematica classe V A. Finalità

Programmazione Matematica classe V A. Finalità Finalità Acquisire una formazione culturale equilibrata in ambito scientifico; comprendere i nodi fondamentali dello sviluppo del pensiero scientifico, anche in una dimensione storica, e i nessi tra i

Dettagli

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3 livello A1 modulo A1.1 modulo A1.2 matematica livello A2 modulo A2.1 modulo A2.2 livello A insiemi e appartenenza interpretazione grafica nel piano traslazioni proprietà commutatività associatività elemento

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15 Materia: FISICA 1) INTRODUZIONE ALLA SCIENZA E AL METODO SCIENTIFICO La Scienza moderna. Galileo ed il metodo sperimentale. Grandezze

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli