x Indice Valutazione dell efficienza di isolamento delle vibrazioni Esercizio Determinaz

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1 Indice 1 Modelli lineari ad 1 g.d.l Introduzione Equazione differenziale del moto Vibrazioni libere Assenza smorzamento viscoso Presenza smorzamento viscoso Vibrazioni forzate Metodo dei fasori Stima del fattore di smorzamento Metodo del decremento logaritmico Metodo della mezza ampiezza Isolamento dalle vibrazioni Isolamento dalle forze Isolamento dagli spostamenti Potenza media dissipata Risposta del sistema ad un impulso L integrale di Duhamel Spettro della risposta Sollecitazione a mezza sinosoide Il modello standard Coefficiente di trasmissibilità delle forze per il modello standard Il modello di attrito coulombiano Esempio introduttivo Equazioni differenziali con discontinuità Moto di una massa con impatto elastico Rigidezza variabile linearmente Rigidezza variabile con legge cubica Velocità critica flessionale Esercizi e Complementi Un metodo per la rilevazione della pulsazione propria Isolamento dalle vibrazioni Scelta supporti isolanti ix

2 x Indice Valutazione dell efficienza di isolamento delle vibrazioni Esercizio Determinazione sperimentale del fattore di smorzamento Isolamento delle vibrazioni Coefficiente di trasmissibilità delle vibrazioni Confronto tra coefficienti di trasmissibilità Vibrazioni forzate di un sistema non smorzato Esercizio Vibrazione libera con smorzamento: accelerazione della massa Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Applicazioni dell integrale di Duhamel Integrale di Duhamel Esercizio Riduzione forze trasmesse al telaio Esercizio Esercizio Potenza necessaria a sostenere una vibrazione armonica in presenza di azioni dissipative Esercizio Esercizio Dinamica di un rotismo elementare Simulazione dinamica urto tra due vagoni Una variante del modello standard Vibrazioni forzate di un sistema con molla e smorzatore in serie Analisi di un impatto Simulazione moto relativo tra due masse con attrito Analisi dinamica di un sistema non lineare Modelli lineari a due gradi di libertà Introduzione Equazioni differenziali del moto Vibrazioni libere Equazione caratteristica con tutte radici reali Equazione caratteristica con solo due soluzioni reali Equazione caratteristica con tutte soluzioni complesse

3 Indice xi 2.4 Vibrazioni forzate Lo smorzatore dinamico delle vibrazioni Modello senza smorzamento viscoso Modello con smorzamento viscoso Deduzione delle equazioni del moto Trattazione secondo Den Hartog Fondamenti teorici del procedimento proposto Impostazione delle equazioni di progetto Tipologie di smorzatore dinamico Riduzione delle vibrazioni nei cavi elettrici Smorzatore viscoso delle vibrazioni Pendolo centrifugo Cenni sull analisi modale Analisi dinamica di un modello di veicolo a 2 g.d.l I coefficienti di trasmissibilità degli spostamenti assoluti Esercizi e complementi Calcolo dei parametri di uno smorzatore dinamico Pulsazioni proprie di un sistema in cui è presente lo smorzatore dinamico Scelta di uno smorzatore dinamico Scelta ottima di uno smorzatore dinamico Esercizio Progetto di uno smorzatore Houdaille Modello dinamico di trasmissione a cinghia Doppio pendolo con molla Pendolo doppio Pattino con pendolo Coefficienti di tramissibilità degli spostamenti assoluti Modelli lineari a più gradi di libertà Introduzione Formulazione delle equazioni del moto Vibrazioni libere non smorzate Formulazione classica del problema agli autovalori Proprietà dei modi di vibrazione Ortogonalità Autovalori reali Disaccoppiamento delle equazioni del moto Vibrazioni forzate non smorzate Vibrazioni smorzate Smorzamento viscoso non proporzionale Smorzamento viscoso proporzionale Modi di vibrazione rigidi

4 xii Indice 3.10 Sulla stabilità del moto Il quoziente di Rayleigh Il metodo dei coefficienti di influenza Metodi iterativi di calcolo degli autovalori Metodo della potenza Il metodo di Jacobi per matrici simmetriche Il metodo di Jacobi generalizzato Riduzione di Guyan Dinamica dei sistemi lineari composti Modello dinamico del corpo umano Esercizi e Complementi Calcolo delle pulsazioni naturali Vibrazioni libere Disaccoppiamento delle equazioni del moto Vibrazioni forzate non smorzate Vibrazioni forzate in sistemi con smorzamento viscoso Applicazione del quoziente di Rayleigh Calcolo numerico degli autovalori: metodo della potenza Un applicazione del metodo di Jacobi Implementazione del metodo di Jacobi Applicazione del metodo di Jacobi generalizzato Un applicazione della riduzione di Guyan Deduzione delle equazioni del moto nei sistemi composti Moto 3D di una massa collegata al telaio tramite molle Dinamica dei rotori Premessa Equazione delle frequenze Metodo di Dunkerley Metodo della linea elastica Il modello Föppl-de Laval L influenza della forza di gravità Effetto deformata iniziale Il bilanciamento degli alberi rigidi Bilanciamento statico Bilanciamento dinamico Macchine e metodi per il bilanciamento Bilanciamento statico Bilanciamento dinamico Vibrazioni torsionali Concetti di base Il metodo di Holzer Riduzione delle lunghezze

5 Indice xiii 4.15 riduzione di masse e lunghezze Alberi collegati in serie Alberi collegati in parallelo Esercizi e complementi Stima di velocità critiche flessionali Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Bilanciamento statico-metodo della massa ausiliaria Bilanciamento statico-metodo del coefficiente di influenza Bilanciamento dinamico - Metodo dei coefficienti di influenza Bilanciamento dinamico - Metodo dei coefficienti di influenza Esercizio Calcolo pulsazione torsionale propria di un albero con tre volani calettati Esercizio Un esempio di applicazione del metodo di Holzer Calcolo pulsazioni torsionali in una linea di trasmissione con ingranaggi Analisi di sistemi soggetti ad impatto Premessa Analisi dello spettro della risposta allo shock Esempi di moti impulsivi notevoli Analisi di impatto al suolo Ipotesi semplificative Massima accelerazione e spostamento Imbottitura caratterizzata da elasticità lineare Imbottitura caratterizzata da elasticità non lineare Legge cubica dell elasticità Elasticità tangenziale Relazioni accelerazione-tempo Sviluppo del modello in assenza di smorzamento L influenza dello smorzamento viscoso Fattore di amplificazione Fattore di amplificazione per m 2 soggetta ad una accelerazione a mezza sinusoide Fattore di amplificazione per m 2 soggetta ad una accelerazione a sinusoide smorzata Esercizi e Complementi Fasi del programma per il calcolo numerico dello SRS Verifica strutturale di oggetti che cadono al suolo

6 xiv Indice Scelta caratteristiche dell imbottitura in funzione del carico dinamico Fattore di amplificazione per bassi valori del rapporto ω 1 /ω Scelta caratteristiche dell imbottitura in funzione del carico dinamico e della pulsazione naturale ω 1 del componente Esercizio Analisi di Fourier Premessa Cenni storici Funzioni periodiche Ottimizzazione nel calcolo dei coefficienti Serie di Fourier in notazione complessa Risposta a sollecitazione periodica Integrale di Fourier Proprietà notevoli Traformazione nel dominio delle frequenze Trasformata discreta di Fourier-DFT Un algoritmo di FFT Il teorema di convoluzione Errori nella DFT Aliasing Leakage Esercizi e complementi Esercizio Esercizio Esercizio Calcolo numerico dei coefficienti della serie di Fourier Esercizio Esercizio Vibrazioni forzate di un sistema ad 1 g.d.l Risposta dinamica di un sistema elastico La funzione di Dirac Trasformate di Fourier di funzioni elementari Verifica della linearità della trasformata di Fourier Implementazione algoritmo FFT Esempi di applicazione della FFT Convoluzione mediante FFT Vibrazioni longitudinali di travi Deduzione equazione del moto Soluzione per separazione di variabili Trave con estremi liberi Trave con un estremo incastrato

7 Indice xv Trave con estremi incastrati Ortogonalità dei modi di vibrare Vibrazioni forzate di una trave con estremo incastrato Esercizi e complementi Esercizio Ortogonalità dei modi di vibrare: caso particolare Vibrazioni forzate Vibrazioni longitudinali di una trave a sezione variabile Caso particolare di vibrazione forzata Caso particolare di vibrazione forzata Esercizio Dinamica delle molle torsionali Premessa Nomenclatura Comportamento statico delle molle elicoidali Formule per il calcolo della deflessione statica Comportamento dinamico delle molle elicoidali Un modello a massa distribuita Azioni dinamiche longitudinali Equazione dinamica del moto Soluzioni dell equazione del moto Risposta dinamica di una molla elicoidale Esercizi e Complementi Calcolo della deflessione statica di una molla elicoidale Risposta dinamica di una molla elicoidale Vibrazioni trasversali di travi Introduzione Modello di Euler-Bernoulli: Deduzione delle equazioni del moto Esempi di condizioni al contorno Vibrazioni trasversali libere Ortogonalità dei modi di vibrare Vibrazioni forzate Il modello di Timoshenko Modello di Timoshenko Trave appoggiata agli estremi Trave con incastro Esercizi e Complementi Influenza del carico assiale sulla pulsazione propria Trave incastrata e massa all estremità libera Esercizio Esercizio

8 xvi Indice Esercizio Vibrazioni forzate di travi appoggiate Trave semplicemente incastrata soggetta ad una forza armonica trasversale Vibrazioni trasversali forzate Esercizio Esercizio Metodi variazionali Il metodo di Rayleigh-Ritz Sintesi dei modi componenti Algoritmo di Lanczos Esercizi e Complementi Vibrazioni trasversali di una trave appoggiata Vibrazioni di una trave appoggiata con massa concentrata Vibrazioni trasversali di una trave Vibrazioni trasversali di una trave incastrata Vibrazioni trasversali di una trave incastrata a sezione variabile Vibrazioni trasversali di una trave appoggiata a sezione variabile Applicazione del metodo della sintesi dei modi componenti Base vettoriale di Ritz: Applicazione del metodo di Lanczos Modifica dell algoritmo di Lanczos Il metodo degli elementi finiti Introduzione Elemento trave soggetto a forza assiale Elemento trave soggetto a torsione Masse e rigidezze concentrate Elemento di trave:modello Euler-Bernoulli L elemento trave nel piano L elemento trave: modello Timoshenko Funzioni di forma Matrice delle rigidezze Matrice delle masse Calcolo forze nodali generalizzate Sistemi di coordinate locali e globale Assemblaggio delle matrici Condizioni al contorno Assemblaggio delle matrici:metodo alternativo Cenni sull implementazione del metodo Esercizi e complementi Vibrazioni longitudinali di una trave incastrata Modello di Euler-Bernoulli

9 Indice xvii Implementazione del metodo Modello di Timoshenko Vibrazioni trasversali forzate Equazioni differenziali Introduzione Metodo di Eulero Metodo di Heun Metodo di Runge del secondo ordine I metodi del secondo ordine Metodo di Runge-Kutta del quarto ordine Interpolazione mediante differenze finite Formula di interpolazione di Newton Esempio numerico Formule di integrazione Il metodo di Milne Metodi di Runge-Kutta espliciti Equazioni differenziali di ordine superiore Stabilità del modello Classificazione dei metodi di integrazione numerica Il metodo di Newmark La scelta del passo di integrazione Esercizi e Complementi Integrazione numerica di un sistema ad 1 g.d.l Implementazione del metodo di Newmark Esempi di impiego di librerie per l integrazione numerica A Cenni di algebra lineare 573 A.1 Alcune definizioni A.2 Autovalori ed autovettori A.3 Diagonalizzazione di una matrice A.4 Matrici simmetriche A.5 La fattorizzazione di Choleski A.6 La decomposizione QR A.6.1 Ortogonalizzazione secondo Gram-Schmidt A.6.2 Calcolo delle matrici Q ed R A.6.3 Soluzione di sistemi lineari sovrabbondanti A.7 Una proprietà delle matrici positive definite A.7.1 Fattorizzazione di matrici positive definite A.7.2 Decomposizione del valore singolo A.8 La matrice generalizzata inversa di Moore-Penrose A.8.1 Calcolo matrice pseudoinversa mediante fattorizzazione di Gram- Schmidt A.8.2 Calcolo matrice pseudoinversa mediante decomposizione SVD. 593

10 xviii Indice A.8.3 Calcolo matrice pseudoinversa mediante algoritmo di Greville. 594 A.8.4 Calcolo matrice pseudoinversa con il metodo di Varga A.9 Matrici partizionate A.10 Soluzione a blocchi di un sistema lineare di equazioni B Cenni sulla trasformata di Laplace 601 B.1 Definizione B.1.1 Trasformate di Laplace di funzioni elementari B.1.2 Alcune proprietà notevoli B.2 Soluzione di un equazione differenziale B.3 Scomposizione in frazioni B.4 Matrice di transizione B.5 Analisi dinamica di sistemi a più g.d.l C Cenni di dinamica analitica 619 C.1 Il principio dei lavori virtuali C.1.1 Condizioni di equilibrio di un corpo rigido C.2 Principio di d Alembert C.3 Il principio di d Alembert-Lagrange C.4 Principio di Hamilton C.5 Equazioni di Lagrange C.5.1 Equazioni di Lagrange e principio di d Alembert C.6 Grado di libertà di un sistema C.7 Equazioni di Lagrange per sistemi non conservativi Bibliografia 629 Indice dei nomi 635 Indice alfabetico 639