L insieme di Cantor. C n. C = n. n=0. per cui utilizzando la formula della somma di una serie geometrica, si ha [0, 1] \ C = 1 e di conseguenza

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1 L insieme di Cantor Più precisamente chiamato insieme ternario di Cantor, o poeticamente polvere di Cantor (Cantor dust), denotato con C. Si ottiene per svuotamenti reiterati dell intervallo compatto [0, 1]. Nel primo svuotamento si divide [0, 1] in tre intervalli di uguale lunghezza e si elimina quello medio aperto, il risultato è quindi C 1 := [0, 1] \ (1/3, 2/3) = [0, 1/3] [2/3, 1]. Si applica la stessa procedura agli intervalli [0, 1/3] e [2/3, 1], cioè si dividono ambedue in tre intervalli uguali e si elimina quello intermedio aperto ottenendo C 2 := [0, 1] \ ( (1/9, 2/9) (1/3, 2/3) (7/9, 8/9) ) = [0, 1/9] [2/9, 1/3] [2/3, 7/9] [8/9, 1]. Iterando si costruisce una successione di compatti C n decrescente rispetto all inclusione, nel senso che C n+1 C n per ogni n. Si definisce C mediante C = n C n si tratta di un insieme non vuoto in quanto, ad esempio, i punti 0 e 1 non vengono eliminati in nessun passo dello svuotamento, inoltre essendo intersezione di compatti, C è compatto. Inoltre si ha Proposition 0.1. L insieme C ha misura nulla. Proof. Secondo la costruzione descritta sopra, al primo passo si toglie 1 intervallo aperto di ampiezza 1, al secondo 2 intervalli di ampiezza 1 e all n simo passo 2n intervalli di ampiezza 1. Sfruttando la proprietà della misura per successioni di 3 n insiemi crescenti ripetto all inclusione viene [0, 1] \ C = 1 ( ) n per cui utilizzando la formula della somma di una serie geometrica, si ha [0, 1] \ C = 1 e di conseguenza n=0 C = [0, 1] [0, 1] \ C = 0. La genialità della costruzione si coglie scrivendo i numeri di [0, 1] in base 3, cioè nella forma a i con a 3 k i = 0, 1, 2. i 1

2 La rimozione dell intervallo [1/3, 1/9] equivale a eliminare i numeri con a 1 = 1 con l eccezione degli estremi per cui sussiste un ambiguità di scrittura, difatti 1 3 può essere rappresentato dalle cifre (in base 3) a i = { 1 per i = 1 0 per i > 1 oppure a i = { 0 per i = 1 2 per i > 1 e similmente le cifre di 1 sono 9 { 1 per i = 2 a i = 0 per i 1 oppure a i = { 0 per i = 1, 2, 3 2 per i > 3. Quindi, a essere precisi, togliendo (1/3, 2/3) abbiamo rimosso i numeri che ammettono rappresentazioni in base 3 solo con a 1 = 1. Possiamo, a partire da questa osservazione, enunciare Proposition 0.2. I punti dell insieme di Cantor sono tutti e soli quelli che ammettono una rappresentazione ternaria con a i 1 per ogni i. Tale rappresentazione è unica. Useremo sempre la scrittura, chiamata canonica, che esclude la cifra 1 per rappresentare gli elementi di C. Il fatto di avere eliminato in questo modo le ambiguità di scrittura ha la conseguenza rimarchevole che possiamo leggere la convergenza di una successione dall andamento delle cifre delle loro rappresentazioni canoniche. Definition 0.3. una successione x n = a n i i di C si dice stabilizzata se le successioni a i n, al variare di n con i fissato, sono definitivamente costanti per ogni i, 3 i oppure equivalentemente, dato che le cifre sono numeri interi, se a i n è convergente per ogni i. È chiaro che se una successione x n = a n i i è stabilizzata è anche convergente 3 i e il suo limite ha come cifra ternaria i sima lim n a n i, tuttavia il viceversa non è vero in generale a causa delle ambiguità di scrittura. Ad esempio è facile costruire una successione (non contenuta in C) convergente a 1 senza stabilizzazione sfruttando 3 il fatto che tale numero ha due rappresentazioni ternarie distinte, come illustrato sopra. Proposition 0.4. Una successione di C è convergente se e solo se è stabilizzata nella sua rappresentazione canonica. Una conseguenza della Proposizione 0.4 è che si può definire una funzione continua da C a R N mediante trasformazioni continue di ogni cifra nella scrittura canonica. Questo vale anche se le cifre dell immagine sono in una base differente. Useremo questo principio per definire di sotto tre funzioni continue, le cifre dell immagine saranno in base 2. 2

3 La costruzione è piuttosto sottile perche si svolge a due livelli: un livello aritmetico di trasformazione delle cifre, che sono numeri naturali, e un livello per cosi dire semantico nel cambio della base in cui sono scritte le cifre del numero di partenza e di arrivo. Definiamo χ : C [0, 1] Ξ : C [0, 1] [0, 1] x = i x = i a i 3 i a i 3 i ( a 2i 1 /2 2 i, 2 i ) a 2i /2 2 i Possiamo generalizzare la definizione di Ξ a un codominio N dimensionale usando la congruenza modulo N denotata con e prendendo come immagine di x = a i i 3 i ( i 1 2 i, i 2 2 i,, i N 1 2 i, i 0 ). 2 i Proposition 0.5. La funzione definite precedentemente sono continue e suriettive. Proof. In base alle osservazioni precedenti, la continuità viene dal fatto che tutte le funzioni sono basate sulla divisione per due delle cifre, e questa operazione è continua. Per provare la suriettività della funzione χ, si considera un qualsiasi punto y di [0, 1] ed una sua scrittura in base 2, non necessariamente unica. Si moltiplicano le cifre per due e si intepretano i risultati in base 3 ottenendo quindi una controimmagine di y contenuta in C. La mancanza di iniettività viene dal fatto che la scrittura in base 2 non è univoca. La suriettività di Ξ nella versione bidimensionale o N dimensionale si ottiene adattando l ragomento utilizzato per χ. Corollary 0.6. L insieme di Cantor ha la potenza del continuo. Proof. L asserzione viene dal fatto che, come provato nel risultato precedente c e una funzione suriettiva tra C e [0, 1] che ha la potenza del continuo. Questo implica inlinea di principio che C ha una potenza superiore o uguale a quella del continuo, ma essendo un sottoinsieme di [0, 1] deve allora avere precisamente la potenza del continuo. 3

4 È ben noto che tutti gli insiemi con potenza numerabile hanno misura di Lebesgue nulla in ogni dimensione. Il viceversa tuttavia non è vero nemmeno in dimensione 1. Combinando il risultato precedente alla Proposizione 0.1, si vede infatti che C fornisce un esempio di insieme con potenza del continuo e misura di Lebesgue unidimensionale nulla. Per andare avanti nell analisi conviene capire meglio la struttura del complementare di C in [0, 1]. Per ogni j and ogni (j 1) pla di cifre 0 o 2 (b 1,, b j 1 ), denotiamo con y(b 1,, b j 1 ) C il punto con rappresentazione canonica b i per i < j 0 per i = j 2 per i > j (1) e z(b 1,, b j 1 ) C con rappresentazione canonica b i per i < j 2 per i = j 0 per i > j (2) Dato che gli indici j sono numerabili e le (j 1) ple di {0, 2} sono finite, gli elementi definiti sopra sono numerabili. Questi sono in effetti tutti e soli i punti di C con ambiguità di scrittura, cioè punti che oltre alla scrittura canonica utilizzata sinora, posseggono anche una scrittura in cui compare la cifra 1. Infatti y(b 1,, b j 1 ) si può anche scrivere e z(b 1,, b j 1 ) Proposition 0.7. Vale la relazione b i per i < j 1 per i = j 0 per i > j b i per i < j 1 per i = j 2 per i > j [0, 1] \ C = (y(b 1,, b j 1 ), z(b 1,, b j 1 )) dove y( ), z( ) sono definiti in (1), (2), e l unione (numerabile) è rispetto a j N e a tutte le (j 1) ple di cifre {0, 2}. Proof. Sia x C, e fissiamo una sua rappresentazione ternaria a i i, ci devono 3 i essere delle cifre uguali a 1. Sia j il più piccolo indice per cui a j = 1. Allora, tenuto conto dell ordinamento lessicografico x (y(a 1,, a j 1 ), z(a 1,, a j 1 )). 4 (3) (4)

5 Consideriamo un numero di C con prime (j 1) cifre uguali a a 1,, a j 1. Se la j sima cifra è pari a 0 allora è maggiore o uguale di y(a 1,, a j 1 ), se invece la j sima cifra è uguale a 2 allora è minore o uguale a z(a 1,, a j 1 ). Questo prova che (y(a 1,, a j 1 ), z(a 1,, a j 1 )) C = e conclude la dimostrazione. Proposition 0.8. Sia (b 1,, b j 1 ) una (j 1)-pla di cifre {0, 2} allora χ(y(b 1,, b j 1 )) = χ(z(b 1,, b j 1 )). Proof. Tenendo conto della definizione di χ e di (1), (2), χ(y(b 1,, b j 1 )) si scrive in base 2 con le cifre e χ(zb 1,, b j 1 )) b i /2 per i < j 0 per i = j 1 per i > j b i /2 per i < j 1 per i = j 0 per i > j Le due scrittura binarie di sopra individuano lo stesso numero. Il risultato precedente consente di estendere in maniera continua la funzione χ a tutto [0, 1] semplicemente ponendola costante su ogni intervallo del tipo [y(b 1,, b j 1 ), z(b 1,, b j 1 )]. La funzione cosi ottenuta, sempre denotata con χ, si chiama scala di Cantor. Mettiamo in luce due proprietà rilevanti di χ è monotona crescente è localmente costante attorno ad ogni punto del complementare di C. La prima proprietà si ricava direttamente dalla definizione tenendo presente che l ordinamento naturale di [0, 1] letto sulle cifre si riduce a quello lessicografico. Si noti che la monotonia più il fatto che l immagine è un intervallo consente di dare una dimostrazione alternativa, senza fare uso delle cifre, della continuità. Noi infatti sappiamo che ogni funzione monotona che trasforma un intervallo in un intervallo è continua. La seconda proprietà viene dal fatto che la χ è costante su ogni intervallo aperto la cui unione costituisce il complementare di C. Da questo e dal fatto che il complementare di C ha misura piena in [0, 1] viene 5

6 Proposition 0.9. La funzione χ è derivabile quasi ovunque con derivata nulla. L aspetto inquietante, per cosi dire, di quest ultimo fatto è che la scala di Cantor è suriettiva su [0, 1] quindi ascende da 0 a 1 ma ha quasi ovunque derivata nulla. In altri termini non vale il Teorema Fondamentale del calcolo in quanto 1 0 χ (t) dt = 0 χ(1) χ(0) = 1. Naturalmente non c e nessuna contraddizione con la teoria dato che χ non è una primitiva, ma una primitiva quasi dappertutto, non ci sono informazioni su quello che succede in C. Intuitivamente si capisce la scala sale veramente solo sull insieme di Cantor, nell intorno di ogni punto di C vi sono infiniti scalini corrispondenti a intervalli di costanza di χ di lunghezza infinitesima. Quasi l effetto di una scala mobile. Possiamo prolungare per continuità anche Ξ in qualsiasi dimensione ponendo su ogni intervallo del tipo [y, z] con y = y(b 1,, b j 1 ) z = z(b 1,, b j 1 ) Ξ((1 t)y + tz) = (1 t) Ξ(y) + t Ξ(z), cioè in altri termini completando la Ξ con un segmento che unisce Ξ(y) a Ξ(z). L interesse di questa costruzione è che la Ξ cosi prolungata è un esempio di curva di Peano. Una curva continua in R N con parametro che varia in [0, 1] il cui sostegno o immagine, in questo caso [0, 1] N, ha interno non vuoto. Non un oggetto unidimensionale quindi, come l intuizione porterebbe a pensare. Naturalmente questo non può succedere se la curva è regolare. Definiamo una nuova funzione ψ(x) = x + χ(x) Dato che la scala di Cantor è monotona e continua, La funzione ψ è continua e strettamente monotona con immagine l intervallo [0, 2]. Quindi anche la sua inversa è continua cosicchè ψ è un omeomorfismo. Ordiniamo gli intervalli aperti che costituiscono il complementare di C in una successione denotata con I k. Lemma Per ogni k N, ψ(i k ) è il traslato di I k tramite un opportuna costante. Proof. Basta tener presente che χ è costante in I k, denotando tale costante con a k viene ψ(i k ) = I k + a k come si voleva dimostrare. 6

7 Lemma L insieme ψ(c) ha misura 1. Proof. Tenuto conto che ψ è una biiezione tra [0, 1] a [0, 2] e sfruttando la σ additività della misura, si ha 2 = [0, 2] = ψ([0, 1]) = ψ(c) + k ψ(i k ). (5) Dato che e ψ(i k ) = I k per ogni k k I k = I k = 1 a causa del lemma precedente, dell invarianza per traslazioni della misura e il fatto che ha l insieme di Cantor ha misura nulla, deriviamo da (5) che da la tesi. 2 = ψ(c) + 1 la rilevanza del prossimo risultato sta nel fatto che marca la profonda differenza tra le condizioni l immagine inversa di ogni Boreliano è un insieme misurabile che è precisamente la definizione di funzione misurabile e l immagine inversa di ogni insieme misurabile è un insieme misurabile. La seconda è in effetti decisamente più forte e, come mostreremo ora, non è soddisfatta neanche da tutte le funzioni continue. Nel prossimo risultato porremo φ = ψ 1. Ribadiamo che φ è una funzione continua. Theorem Esiste un insieme misurabile in [0, 1] tale che la sua immagine inversa tramite φ non è misurabile. Proof. Sappiamo che ogni insieme misurabile di R con misura positiva contiene un sottoinsieme non misurabile, vedi la parte dedicata agli insiemi di Vitali nelle note sulla teoria di Lebesgue. Siccome ψ(c) = 1 per il lemma precedente esiste quindi D ψ(c) non misurabile. D altro canto φ(d ) φ(ψ(c)) = C che ha misura nulla e noi sappiamo che ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla è misurabile con misura nulla. In particolare D := φ(d ) è misurabile. Si ha che prova l asserzione. φ 1 (D ) = D 7

8 Consideriamo due funzioni da R a R f : x 1 3 x g : x = x. Si tratta di due contrazioni, anzi più precisamente di due similitudini contrattive. Il termine similitudine è relativo alla seguente proprietà di verifica immediata f(x) f(y) = 1 3 x y e g(x) g(y) = 1 x y e (6) 3 Sia x C e a i la sua scrittura canonica, allora 3 i f(x) = a i g(x) = 2 3 i a i 3 i+1 in altri termini f agisce su C facendo slittare di una posizione tutte le cifre della scrittura canonica di ogni elemento e a sostituendo la prima cifra con 0, mentre l applicazione di g equivale a fare slittare di una posizione tutte le cifre della scrittura canonica e a sostituire la prima cifra con 2. Da questo si vede che Proposition L insieme di Cantor C è invariante per f e g, cioè f(c) C e g(c) C. Questo implica che i punti fissi di f, che sono poi 0 e 1 rispettivamente, appartengono a C. C e tuttavia una proprietà più generale che descriviamo senza dimostrazione. Costruiamo iterativamente una successione, a partire da qualsiasi punto iniziale x R, tramite applicazione di f e g con scelta random tra le due ad ogni passo. Si ha Proposition Per ogni punto iniziale x la successione costruita con la procedura casuale descritta sopra ha come insieme dei punti limite precisamente C. Un modello Darwiniano in miniatura dove una miscela di caso e necessità, cioè scelte random ma tra due trasformazioni ben definite, porta al limite ad una situazione ordinata cioè all insieme di Cantor. Antonio Siconolfi, Dipartimento di Matematica, Università di Roma La Sapienza. siconolf@mat.uniroma1.it 8