ESERCIZI SUPPLEMENTARI CAP Libro di testo: D. Kreps, Microeconomia per manager, Egea 2005 ESERCIZIO 1

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1 ESERCIZI SUPPLEMENTARI CAP Libro di testo: D. Kreps, Microeconomia per manager, Egea 2005 ESERCIZIO 1 Roberto deve decidere se effettuare un investimento finanziario in un fondo azionario che egli stima possa dargli un rendimento positivo di 300 euro con probabilità 0,5 e un rendimento negativo di 64 euro con probabilità 0,5. Le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilità U(x) = x 100 a) Si calcoli se Roberto effettuerà questo investimento? b) Roberto è avverso o propenso al rischio? c) Lucia ha invece preferenze rappresentate dalla funzione utilità U(x) = x+10. Si calcoli se effettuerà lo stesso investimento e si determini quale atteggiamento ha Lucia rispetto al rischio d) Roberto e Lucia formano una società e decidono di effettuare un investimento che entrambi stimano che possa dare un profitto di 150 euro con probabilità 0,4 e possa subire una perdita di 100 con probabilità 0,6. Si determini la ripartizione efficiente del rischio d impresa tra Roberto e Lucia. e) Si ipotizzi che nel caso dell investimento al punto (d) Roberto intenda sottoscrivere una quota del 40% dell investimento. Quanto chiederebbe a Lucia per sottoscrivere tale quota? f) Si calcoli se Lucia trova vantaggioso sottoscrivere il 60% dell investimento e pagare il compenso richiesto da Roberto. SOLUZIONE ES. 1 (a) L investimento è vantaggioso per Roberto perché egli ottiene un equivalente certo positivo Utilità di Roberto U(x) = x 100. U(x=300) = = 400 = 20 U(x=-64) = = 36 = 6 Utilità attesa di Roberto dall Investimento = (0.5)(20)+(0.5)(6) = 13 Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x)=13 U(x) = x 100 => 13 = x 100 => (13) 2 = ( x 100 ) 2 => 169 = x +100 => x=69 L equivalente certo di Roberto per U=13 è uguale a 69 (b) Se Roberto fosse avverso al rischio non accetterebbe una scommessa che ha un valore atteso uguale a 0. Per esempio, non troverebbe conveniente effettuare una scommessa che dà 100 euro con probabilità 0.5 e -100 euro con probabilità 0.5 Utilità di Roberto U(x) = x 100 U(x=100) = = 200 ~ 14,14 U(x=-100) = = 0 = 0 Utilità attesa di Roberto dall Investimento = (0.5)(14,14)+(0.5)(0) = 7,07 Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x) = 7,07 U(x) = x 100 => 7,07 = x 100 => (7,07) 2 = ( x 100 ) 2 => 49,98 = x +100 L equivalente certo per U=7,07 è uguale a 50,02 quindi Roberto è avverso al rischio perché il suo equivalente certo per una scommessa con valore atteso uguale a 0 è negativo. (c) L investimento è vantaggioso per Lucia perché ella ottiene un equivalente certo positivo 1

2 Utilità di Lucia U(x) = x+10. U(x=300) = = 310 U(x=-64) = = -54 Utilità attesa di Lucia dall investimento = (0.5)(310)+(0.5)(-54) = 128 Calcolo equivalente certo per U(x) = 128 U(x) = x+10 => 128 = x+10 => x = 118 L equivalente certo di Lucia per U=128 è uguale a 118. Se Lucia fosse avversa al rischio non accetterebbe una scommessa che ha un valore atteso uguale a 0. Per esempio non troverebbe conveniente effettuare una scommessa che dà 100 con probabilità 0.5 e -100 con probabilità 0.5 Utilità di Lucia U(x) = x+10 U(x=100) = = 110 U(x=-100) = = -90 Utilità attesa di Lucia dall investimento = (0.5)(110)+(0.5)(-90) = 10 Calcolo equivalente certo per U(x) = 10 U(x) = x+10=> 10= x+10=> x =0 L equivalente certo per U=10 è uguale a 0 quindi Lucia è neutrale rispetto al rischio in quanto è indifferente tra accettare e non accettare un investimento che ha un valore atteso nullo (d) La ripartizione efficiente è che Lucia sopporti tutto il rischio in quanto Lucia è neutrale rispetto al rischio e Roberto nessun rischio in quanto è avverso al rischio (e) Utilità di Roberto U(x) = x 100 U[x=0,4*150] = = 160 = 12,65 U[x=0,4*(-100)} = = 60 = 7,74 Utilità attesa di Roberto dall Investimento = (0,4)(12,65)+(0,6)(7,74) = 9,70 Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x)=9,70 U(x) = x 100 => 9,70 = x 100 => (9,70) 2 = ( x 100 ) 2 => 94,09 = x +100 => x = -5,91 L equivalente certo di Roberto per U=9,7 è uguale a Roberto dovrebbe quindi ricevere almeno 5,91 da Lucia per sottoscrivere il 40% dell investimento (f) Utilità di Lucia U(x) = x+10 U(x=0,6*150) = = 100 U[x=0,6*(-100)] = = -50 Utilità attesa di Lucia dall investimento = (0,4)(100)+(0,6)(-50) = 10 Calcolo equivalente certo per U(x)=10 U(x) = x+10=> 10= x+10=> x=0 L equivalente certo per U=10 è uguale a 0 Quindi se deve pagare 5,91 a Roberto, Lucia non troverà vantaggioso sottoscrivere il 60% dell investimento. 2

3 ESERCIZIO 2 Marco intende acquistare un impresa edile che egli stima possa dargli un profitto di euro con probabilità 0,5 e un profitto nullo con probabilità 0,5. Le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilità U(x) = x a) Si calcoli se Mario acquisterà l impresa edile? b) Si assuma adesso che vi sia la possibilità che venga offerta a Mario un altra impresa che produce beni infiammabili e che può dargli un profitto di euro con probabilità 0,6 e un profitto di euro con probabilità 0,4. Si calcoli se Mario acquisterà l impresa di beni infiammabili se può escludere tutti i rischi di incendio. c) Si consideri adesso che il rischio di impresa comprende anche la possibilità che lo stabilimento vada a fuoco e non produca quindi alcun profitto. La probabilità stimata che ciò avvenga è 0,1. Mario può acquistare anche un assicurazione contro l incendio che costa euro e che gli garantisce un rimborso di euro in caso di incendio. Si calcoli se Mario acquisterà l assicurazione. SOLUZIONE ES. 2 a) L impresa edile è vantaggiosa per Mario perché egli ottiene un equivalente certo positivo Utilità di Mario U(x) = x U(x=40.000) = = = 244,95 U(x=0) = = = 141,42 Utilità attesa di Mario dall impresa = (0.5)( 244,95)+(0.5)( 141,42) = 193,18 Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x)=193,18 U(x) = x => 193,18 = x => (193,18) 2 = ( x ) 2 => ,51 = x => x=17.318,51 L equivalente certo di Mario per U=193,18 è uguale a ,51 b) L impresa di beni infiammabili è vantaggiosa per Mario perché egli ottiene un equivalente certo positivo Utilità di Mario U(x) = x U(x=50.000) = = = 264,57 U(x=10.000) = = = 173,20 Utilità attesa di Mario dall impresa senza rischio di incendio = (0.6)( 264,57)+(0.4)( 173,20) = 228,02 Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x)=228,02 U(x) = x => 228,02 = x => (228,02) 2 = ( x ) 2 => ,12 = x => x=31.993,12 L equivalente certo con cui Mario valuta l investimento nell impresa di beni infiammabile è uguale a ,12 c) L impresa con il rischio di incendio è svantaggiosa per Mario perché egli ottiene un equivalente certo negativo. CASO CON ASSICURAZIONE Utilità di Mario U(x) = x U(x= ) = = = 254,95 U(x= ) = = = 158,11 3

4 U(x= ) = = = 187,08 Utilità attesa di Mario dall impresa con rischio di incendio e con assicurazione= (0,9)(0,6)( 254,95) + (0.9)(0,4)( 158,11) + (0.1)(187,08) = 213,30 Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x)=213,30 U(x) = x => 213,30 = x => (213,30) 2 = ( x ) 2 => 45,496,89 = x => x=25.496,89 CASO SENZA ASSICURAZIONE Utilità di Mario U(x) = x U(x=50.000) = = = 264,57 U(x=10.000) = = = 173,20 U(x=0) = = = 141,42 Utilità attesa di Mario dall impresa senza rischio di incendio = (0,9)(0,6)( 264,57) + (0.9)(0,4)( 173,20) + (0.1)(141,42) = 219,36 Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x)=219,36 U(x) = x => 219,36 = x => (219,36) 2 = ( x ) 2 => ,81 = x => x=28.118,81 Mario non acquisterà l assicurazione perché l equivalente certo del caso senza assicurazione (28.118,81) è maggiore di quello con assicurazione (25.496,89). 4

5 ESERCIZIO N. 3 Enrica, la cui funzione di utilità è U ENRICA =, sta valutando se investire in un attività che lei ritiene potrebbe procurarle un guadagno di euro con probabilità 0,6 o causarle una perdita di euro con probabilità 0,4. Riccardo, la cui funzione di utilità è U RICCARDO = potrebbe entrare in società con quote paritarie con Enrica ma ritiene che le probabilità con cui la stessa attività possa rendergli euro o euro siano rispettivamente 0,2 e 0,8. a) Si calcoli se Enrica troverà vantaggioso investire da sola nell attività b) Si calcoli se Enrica troverà vantaggioso investire nel 50% dell attività insieme a Riccardo c) Si determini se Ricardo troverà vantaggioso investire in una quota del 50% dell attività d) Se esiste una sovvenzione pubblica per la costituzione di società di euro che va a esclusivo vantaggio di Enrica, Enrica troverà vantaggioso entrare in società con Riccardo? SOLUZIONE ESERCIZIO N. 3 a) U ENRICA = U ENRICA (x=40.000) = 360,55 U ENRICA (x= ) = 173,20 Uattesa ENRICA = 0,6 (360,55) + 0,4 (173,20) = 285,61 Calcolo EC ENRICA (U ENRICA = 285,61) 285,61 = (285,61) 2 =( ) ,07 = 2x ,07 = 2x x=15.786,54 Poiché l equivalente certo che ottiene è maggiore di 0, Enrica troverà vantaggioso investire da sola nell attività b) U ENRICA = U ENRICA (x=0,5*40.000) = 300 U ENRICA [x=0,5*( )] = 200 Uattesa ENRICA = 0,6 (300) + 0,4 (200) = 260 Calcolo EC ENRICA (U ENRICA = 260) 260 = (260) 2 =( ) = 2x = 2x x=8.800 Poiché l equivalente certo che ottiene è maggiore di 0, Enrica troverà vantaggioso investire nel 50% nell attività c) U RICCARDO = 5

6 U RICCARDO (x=0,5*30.000) = 254,95 U RICCARDO [x=0,5*( )] = 212,13 Uattesa RICCARDO = 0,2 (254,95) + 0,8 (212,13) = 50,99+169,70=220,69 Calcolo EC RICCARDO (U RICCARDO = 220,69) 220,69 = (220,69) 2 =( ) ,08 = x x=-1295,92 Poiché l equivalente certo che ottiene è minore di 0, Riccardo troverà vantaggioso investire nel 50% dell attività d) L EC a cui rinuncia Enrica costituendo la società con Riccardo è uguale a , = 6.986,54 Enrica deve inoltre finanziare Riccardo con la somma di 1.295,92 affinché Riccardo accetti di entrare a far parte della società. Il finanziamento pubblico (7.500 euro) ottenuto costituendo la società è minore di 6.986, ,92=8282,46 che è la somma totale persa da Enrica per costituire la società Quindi Enrica non troverà vantaggioso formare la società con Riccardo. 6

7 ESERCIZIO N. 4 Un imprenditore propone ad un proprio dipendente, che ha la responsabilità delle attività commerciali dell impresa e che ha una funzione di utilità uguale a U DIP =, la scelta tra un salario fisso senza incentivazione z uguale a euro ed una retribuzione incentivante x composta da una quota a di retribuzione fissa uguale a euro e da un bonus b che dipende dal valore dei contratti di vendita conclusi dall impresa. Se i contratti conclusi assumono un valore y, il dipendente otterrà un bonus uguale a 0,2(y). La retribuzione incentivante sarà quindi uguale a x = a + b = a + 0,2(y) Per decidere il livello di sforzo da adottare, il dipendente stima che un suo elevato livello di sforzo e A produrrà contratti con un valore totale di euro con probabilità 0,6 e di euro con probabilità 0,4, mentre un basso livello di sforzo e B produrrà contratti con un valore totale di euro con probabilità 0,4 e di euro con probabilità 0,6. I costi che il dipendente sostiene esercitando un alto livello di sforzo sono uguali a euro mentre quelli che sostiene esercitando un livello di sforzo basso sono nulli. a) Si determini se il dipendente opterà per il salario fisso o per la retribuzione incentivante. b) Si consideri adesso la possibilità che l imprenditore non ritenga opportuno offrire il contratto di incentivazione perché non ritiene che il valore dei contratti di vendita sia un segnale accurato del livello di sforzo esercitato dal dipendente. Offre quindi al dipendente di acquistare l impresa al prezzo di euro. Si determini se il dipendente preferirà acquistare l impresa o accettare il salario fisso senza incentivazione z uguale a SOLUZIONE ESERCIZIO N. 4 a) U DIP = U DIP (e A ) [x= (0,6*0,2* ,4*0,2* )] = = 1.697,05 U DIP (e B ) [x= (0,4*0,2* ,6*0,2* )] = = 1.649,24 Calcolo EC [U DIP (e B )] per U DIP = 1.697, ,05 = (1.697,05) 2 =( ) = 2x x = Calcolo EC [U DIP (e B )} per U DIP = 1.649, ,24 = (1.649,24) 2 =( ) = 2x x= Guadagno dipendente se esercita il livello di sforzo alto e A = = Guadagno dipendente se esercita il livello di sforzo basso e B =

8 Il dipendente quindi ha convenienza ad esercitare un livello di sforzo alto e A e ad accettare il salario incentivante, da cui ottiene un guadagno ( ) maggiore del salario fisso senza incentivazione ( ) b) U DIP = b) U DIP (e A ) [x= (0,6* ,4* ) ] = = 1.612,45 U DIP (e B ) [x= (0,4* ,6* ) ] = = 1.341,64 Calcolo EC [U DIP (e B )] per U DIP = 1.612, ,45 = x = Calcolo EC [U DIP (e B )} per U DIP = 1.341, ,64= x= Guadagno dipendente se esercita il livello di sforzo alto e A = = Guadagno dipendente se esercita il livello di sforzo basso e B = Il dipendente quindi ha convenienza ad accettare il salario fisso senza incentivazione da cui ottiene un guadagno ( ) maggiore del contratto offertogli dall imprenditore ( ). 8