Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace

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1 Appunti di Anlisi mtemtic Polo Acquistpce 23 febbrio 205

2 Indice Numeri 4. Alfbeto greco Insiemi Funzioni Il sistem dei numeri reli Assiom di completezz Numeri nturli, interi, rzionli L formul del binomio Rdici n-sime Vlore ssoluto L funzione esponenzile Geometri nel pino Numeri complessi Successioni Limiti di successioni Serie Successioni monotone Criteri di convergenz per le serie Convergenz ssolut e non Successioni di Cuchy Serie di potenze Riordinmento dei termini di un serie Moltipliczione di serie Funzioni Spzi euclidei R m e C m Funzioni reli di m vribili Limiti Proprietà delle funzioni continue Asintoti Clcolo differenzile L derivt Derivte przili

3 4.3 Proprietà delle funzioni derivbili Condizioni sufficienti per l differenzibilità Differenzibilità di funzioni composte Derivte successive Confronto di infinitesimi e infiniti Formul di Tylor Mssimi e minimi reltivi per funzioni di un vribile Forme qudrtiche Mssimi e minimi reltivi per funzioni di più vribili Convessità Clcolo integrle L integrle Proprietà dell integrle Alcune clssi di funzioni integrbili Il teorem fondmentle del clcolo integrle Metodi di integrzione Integrzione delle funzioni rzionli Formul di Stirling Integrli impropri Equzioni differenzili Generlità Alcuni tipi di equzioni del primo ordine Anlisi qulittiv Equzioni lineri del secondo ordine Indice nlitico 392 3

4 Cpitolo Numeri. Alfbeto greco Un ingrediente indispensbile per lo studente che ffront un corso di nlisi mtemtic è l conoscenz dell lfbeto greco, di cui verrnno uste vrio titolo grn prte delle lettere (minuscole e miuscole). Eccolo: Esercizi. lf α A iot ι I ro ρ P bet β B cpp κ K sigm σ Σ gmm γ Γ lmbd λ Λ tu τ T delt δ mu (mi) µ M iupsilon υ Y epsilon ε E nu (ni) ν N fi ϕ Φ zet ζ Z csi ξ Ξ chi χ X et η H omicron o O psi ψ Ψ tet ϑ Θ pi π Π omeg ω Ω. Scrivere il proprio nome e cognome in lettere greche..2 Insiemi Il concetto di insieme è un concetto primitivo, che quindi non può essere definito se non ricorrendo circoli viziosi; comunque in modo vgo m efficce possimo dire che un insieme è un collezione di elementi. Indicheremo gli insiemi con lettere miuscole A, B,... e gli elementi di un insieme con lettere minuscole, b, x, t,.... Per evitre prdossi logici, è bene prlre di insiemi solo dopo ver fissto un insieme universo X, che è l mbiente dentro l qule lvorimo, e considerrne i vri sottoinsiemi (cioè gli insiemi A contenuti in X). L scelt dell mbiente X v ftt di volt in volt e srà comunque chir dl contesto. Come si descrive un insieme? Se esso è finito (ossi h un numero finito di elementi), e questi elementi sono pochi, l descrizione può vvenire semplicemente elencndoli; m se l insieme h molti elementi, o ne h ddirittur un quntità infinit (si dice 4

5 llor che l insieme è infinito), esso si può descrivere individundo un proprietà p(x) che gli elementi x dell universo X possono possedere o no, e che crtterizz l insieme che interess. Per esempio, l insieme è ltrettnto bene descritto dll proprietà A = {, 2, 3, 4, 6, 2} p(x) = x è divisore di 2, l qule, ll interno dei numeri nturli (che in questo cso costituiscono il nostro universo), contrddistingue esttmente gli elementi dell insieme A. Introducimo lcuni simboli che useremo costntemente nel seguito. x A signific: x pprtiene d A, ovvero x è un elemento di A. A B, B A significno: A è contenuto in B, ovvero B contiene A, ovvero ogni elemento di A è nche elemento di B, o nche A è sottoinsieme di B. A = B signific: A coincide con B, ovvero A e B hnno gli stessi elementi, ovvero A B e B A. A B, B A significno: A è strettmente contenuto in B, ovvero A è sottoinsieme proprio di B, ovvero ogni elemento di A è elemento di B m esiste lmeno un elemento di B che non è elemento di A, ovvero A B m A non coincide con B. Per negre le proprietà precedenti si mette un sbrrett sul simbolo corrispondente: d esempio, x / A signific che x non pprtiene ll insieme A, A B signific che gli insiemi A e B non hnno gli stessi elementi (e dunque vi è lmeno un elemento che st in A m non in B, oppure che st in B m non in A), ecceter. Si X un insieme e sino A, B sottoinsiemi di X. Definimo: A B = unione di A e B, ossi l insieme degli x X che pprtengono d A oppure B (oppure d entrmbi). A B = intersezione di A e B, ossi l insieme degli x X che pprtengono si d A che B. A \ B = differenz fr A e B, ossi l insieme degli x X che pprtengono d A, m non B. A c = X \ A = complementre di A in X, ossi l insieme degli x X che non pprtengono d A. = insieme vuoto, ossi l unico insieme privo di elementi. 5

6 Si noti che A B = B A, A B = B A, m in generle A \ B B \ A. Se A B =, gli insiemi A e B si dicono disgiunti. Vi sono ltre importnti proprietà degli insiemi e delle operzioni su di essi, di cui non ci occupimo qui: ne prleremo di volt in volt qundo ci occorrernno. Introducimo or lcuni insiemi importnti: N = insieme dei numeri nturli = {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}. N + = insieme dei numeri nturli diversi d 0 = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}. Z = insieme dei numeri interi = {0,,, 2, 2, 3, 3, 4, 4,...}. Q = insieme dei numeri rzionli, cioè di tutte le frzioni p q con p Z, q N+. R = insieme dei numeri reli: su questo insieme ci soffermeremo lungo; esso contiene Q, m nche numeri irrzionli come π, e, 2, 3. C = insieme dei numeri complessi, cioè i numeri dell form + ib, con, b R; l quntità i si chim unità immginri e verific l uguglinz i 2 = : ess non è un numero rele. Anche su questo insieme vremo molto d dire. Notimo che vlgono le inclusioni proprie N + N Z Q R C. Nelle nostre formule useremo lcuni ltri simboli che sono delle vere e proprie bbrevizioni stenogrfiche, e che ndimo d elencre. Il simbolo signific per ogni : dunque dire che x B x A equivle dichirre che ogni elemento di A st nche in B, cioè che A B. Il simbolo signific esiste lmeno un : dunque ffermre che x A tle che x B vuol dire che c è lmeno un elemento di A che st nche in B, ossi che A B non è vuoto. i due simboli, vengono detti quntifictori esistenzili. Il simbolo! signific esiste un unico : dunque l frse! x A tle che x B indic che c è uno ed un solo elemento di A che st in B, ossi che A B è costituito d un solo elemento. Il simbolo : signific tle che : dunque l enuncito! x A : x B h lo stesso significto dell ffermzione del punto precedente. 6

7 Il simbolo = signific implic : quindi l frse x A = x B vuol dire che se x A llor x B, ossi che A B. Useremo nche il simbolo contrrio = per indicre un impliczione nel verso opposto: con l frse x A = x B intendimo dire che se x B llor x A, ossi che B A. Il simbolo signific se e solo se : si trtt dell doppi impliczione, l qule ci dice che i due enunciti confronto sono equivlenti. Ad esempio l frse x A x B indic che A = B. Nel nostro corso non ci occuperemo di questioni di logic formle e non prleremo di predicti, proposizioni, vribili, tbelle di verità, ecceter; cercheremo di rgionre secondo il nostro buon senso, ffinto (si sper) dlle psste esperienze scolstiche, rimndndo l corso di logic l sistemzione rigoros di questi spetti. Ci limitimo d osservre che l pulizi formle è sempre fondmentle, m non determinnte l fine di dire cose giuste: l ffermzione di poco sopr x A : x B è formlmente perfett m, se d esempio A = {n N : n 5}, B = {n N : n 2 > 25}, ess risult inequivocbilmente fls. Come si f negre un ffermzione dell form x A y B : x = y? Dobbimo formulre l estto contrrio dell enuncito precedente: dunque, lume di nso, ci srà lmeno un x A per il qule, comunque si scelg y B, risulterà sempre x y; e dunque, x A : x y y B. Si noti come i quntifictori e si sino scmbiti di posto: quest è un regol generle delle negzioni. Un ltr importnte operzione fr due insiemi X, Y è il prodotto crtesino X Y : esso è definito come l insieme di tutte le coppie (x, y) con x X e y Y. Può nche succedere che Y = X, ed in tl cso scriveremo spesso X 2 in luogo di X X; in questo cso si noti che entrmbe le coppie (x, y) e (y, x) pprtengono ll insieme X 2, e che esse sono diverse l un dll ltr. Esercizi.2. Si A R. Scrivere l negzione delle seguenti ffermzioni: (i) y R : x < y x A, (ii) x A y A : x < y, (iii) y, z R : y < x < z x A, (iv) x A y, z A : y < x < z. 2. Elencre gli elementi di ciscuno dei seguenti insiemi: A = { k Z : k Z} ; B = {k Z : h Z : k = 6h}; C = {n N : m N : m 0, n = 6m}; 7

8 D = { n N : n+2 N} ; E = {n N : m N : n = 3 m }; F = {n N : n + m > 25 m N}. 3. Dimostrre che { } x R : x2 5x + 6 x 2 3x + 2 > 0 =], [ ]3, + [. 4. Sono vere le seguenti ffermzioni? (i) {x R : x 2 < }, (ii) 0 {x R : x 2 < }, (iii) {x R : x 2 = }, (iv) 2 {x R : x 2 4}. 5. Disegnre i seguenti sottoinsiemi di R 2 : A = {(x, y) R 2 : y = 2x}, B = {(y, x) R 2 : y = 2x}, C = {(x, y) R 2 : x = 2y}. 6. Sino A, B, C, D sottoinsiemi di un insieme X. Provre le seguenti relzioni (formule di de Morgn): (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C), (A B) (C D) = (A C) (B D), (A B) (C D) (A C) (B D), (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), (A B) \ C = (A \ C) (B \ C)..3 Funzioni Uno dei concetti più importnti dell mtemtic, e non solo dell nlisi, è quello di funzione. Un funzione f è un corrispondenz (di qulunque ntur) fr due insiemi X e Y, con l unic regol di ssocire d ogni elemento x di X uno e un solo elemento di Y, che viene indicto con f(x). Si suole scrivere f : X Y (si legge f d X in Y ) e si dice che f è definit su X, vlori in Y. L insieme X è il dominio di f, mentre l immgine, o codominio, di f è il sottoinsieme f(x) di Y costituito d tutti i punti di Y che sono immgini medinte f di punti di X, cioè sono dell form f(x) per qulche x X. Può benissimo cpitre che uno stesso y si immgine di diversi punti di X, ossi che si bbi y = f(x) = f(x ) per x, x X e x x ; quello che non può succedere è che d un x X vengno ssociti due distinti elementi di Y, cioè che risulti f(x) = y e f(x) = y con y y. 8

9 Esempi di funzioni ppiono dppertutto: ciscun membro dell insieme S degli studenti che sostengono un esme si può ssocire il reltivo voto: quest è un funzione S N. Ad ogni cpoluogo d Itli si possono ssocire le temperture minim e mssim di un dt giornt: quest è un funzione dll insieme C delle città cpoluogo itline nel prodotto crtesino Z 2. Ad ogni corridore che port termine un dt cors ciclistic si può ssocire il tempo impiegto, misurto d esempio in secondi: vremo un funzione vlori in R (se tenimo conto dei decimi, centesimi, millesimi, ecceter). Il grfico di un funzione f : X Y è il sottoinsieme del prodotto crtesino X Y costituito d tutte le coppie dell form (x, f(x)), cioè d tutte e sole le coppie (x, y) X Y che risolvono l equzione y = f(x). Le funzioni si possono comporre : se f : X Y e g : Y Z sono funzioni, h senso considerre l funzione compost g f : X Z, definit d g f(x) = g(f(x)) per ogni x X. Nturlmente, ffinché l composizione bbi senso, occorre che il codominio di f si contenuto nel dominio di g. Un funzione si dice iniettiv se punti distinti vengono ssocite immgini distinte, ovvero se f(x) = f(x ) = x = x. Un funzione si dice surgettiv se si h f(x) = Y, cioè se ogni y Y è immgine di lmeno un x X. Un funzione si dice bigettiv, o invertibile, o biunivoc, se è si iniettiv che surgettiv: in tl cso, per ogni y Y vi è un unico x X tle che f(x) = y. In questo cso è definit l funzione invers f (si legge f ll meno uno ); f è definit su Y, vlori in X, e d ogni y Y ssoci quell unico x per cui f(x) = y. Si dice llor che f definisce un corrispondenz biunivoc fr gli insiemi X e Y. In prticolre, se f è bigettiv si h f (f(x)) = x per ogni x X ed nche f(f (y)) = y per ogni y Y : in ltre prole, risult f f = I X, f f = I Y, vendo indicto con I X e I Y le funzioni identità su X e su Y, definite d I X (x) = x per ogni x X e I Y (y) = y per ogni y Y. Osservzione.3. Se f : X X è un funzione invertibile e f : X X è l su funzione invers, le equzioni y = f(x) e x = f (y) sono equivlenti e descrivono entrmbe il grfico di f. Invece, scmbindo fr loro le vribili x, y (ossi effettundo un simmetri rispetto ll rett y = x nel pino crtesino X X), l second equzione divent y = f (x) e descrive il grfico di f, il qule è dunque il simmetrico del grfico di f rispetto ll bisettrice del primo qudrnte. 9

10 Si noti che è sempre possibile supporre che un dt funzione f : X Y si surgettiv: bst pensrl come funzione d X in f(x). Il problem è che nei csi concreti è spesso difficile, e tlvolt impossibile, crtterizzre il sottoinsieme f(x) di Y. Vedremo innumerevoli esempi di funzioni e di grfici nel seguito del corso. Esercizi.3. Posto f : R R, f(x) = 3x, e g : R R, g(t) = t 2, scrivere esplicitmente le funzioni composte g f(x) = g(f(x)), x R, f g(t) = f(g(t)), t R. 2. Quli di queste funzioni vlori in R sono iniettive, quli surgettive e quli invertibili? (i) f(x) = /x, x R \ {0}; (ii) f(x) = x 3 x, x R; (iii) f(x) =, x R; (iv) f(k) = x 2 + ( )k, k Z; { x (v) f(s) = s 2 2 se x 0, s R; (vi) f(x) = x 2 se x < Si f(x) = 2x, x R. Trccire il grfico delle seguenti funzioni: (i) f(x); (iii) mx{f(x), f( x)}; (ii) f( x); (iv) f(f(x)); (v) f(x) f( x) 2 ; (vi) f(x)+f( x) 2 ; (vii) min{f(x), 0}; (viii) mx{ f( x), 0}..4 Il sistem dei numeri reli Definire in modo rigoroso che cos sino i numeri reli è un compito tutt ltro che elementre nche per un mtemtico di professione: non è il cso quindi di ddentrrsi in quest problemtic ll inizio di un corso di nlisi. M nche senz vere pretese fondzionli, per lvorre coi numeri reli occorre conoscerne le proprietà, e riflettere per un momento sul significto dei simboli e delle formule che simo bituti mnipolre più o meno meccnicmente fin dlle scuole elementri. Le proprietà dei numeri reli si possono clssificre in tre gruppi: 0

11 () proprietà lgebriche, rigurdnti le operzioni che si possono eseguire tr numeri reli; (b) proprietà di ordinmento, reltive ll possibilità di confrontre tr loro i numeri reli per identificrne il mggiore ; (c) proprietà di continuità, più profonde e nscoste, legte ll ide che devono esistere bbstnz numeri per rppresentre grndezze che vrino con continuità, quli il tempo o l posizione di un punto su un rett. Tutte queste proprietà crtterizzno il sistem R dei numeri reli, nel senso che esse si possono ssumere come ssiomi che definiscono ed individuno in modo unico il sistem R. Noi non entreremo in quest questione, limitndoci più modestmente mettere in rilievo il ftto che le proprietà () e (b) sono ll bse di tutte le regole di clcolo che bbimo imprto d usre fin dll infnzi. Proprietà lgebriche Nell insieme R sono definite due operzioni, l ddizione e l moltipliczione, le quli ssocino d ogni coppi, b di numeri reli l loro somm, che indichimo con + b, e il loro prodotto, che indichimo con b od nche con b. Vlgono le seguenti proprietà:. ssocitività: + (b + c) = ( + b) + c, (bc) = (b)c per ogni, b, c R; 2. commuttività: + b = b +, b = b per ogni, b R; 3. distributività: (b + c) = b + c per ogni, b, c R; 4. esistenz degli elementi neutri: esistono (unici) due numeri reli distinti, che indichimo con 0 e, tli che + 0 =, = per ogni R; 5. esistenz degli opposti: per ogni R esiste un (unico) b R tle che + b = 0, e tle numero b, detto opposto di, si indic con ; 6. esistenz dei reciproci: per ogni R \ {0} esiste un (unico) b R tle che b = ; tle numero b si dice reciproco di e si indic con od nche con. Dlle proprietà precedenti seguono fcilmente tutte le regole usuli dell lgebr elementre, quli: il ftto che 0 = 0 per ogni R; l semplificzione per l ddizione: se + b = + c, llor b = c; l semplificzione per l moltipliczione: se b = c e 0, llor b = c; l definizione di sottrzione: per ogni, b R esiste un unico c R tle che + c = b, e tle numero c, detto differenz fr b e, si indic con b ;

12 l definizione di divisione: per ogni, b R con 0 esiste un unico c R tle che c = b, e tle numero c, detto quoziente, si indic con b ; l legge di nnullmento del prodotto: se b = 0 llor deve essere = 0 oppure b = 0 (oppure entrmbi). Si provi dimostrre gli enunciti precedenti utilizzndo gli ssiomi -6! Proprietà di ordinmento Nell insieme dei numeri reli esiste un sottoinsieme P, i cui elementi sono detti numeri positivi, dotto delle proprietà seguenti: 7. se, b sono numeri positivi, nche + b e b sono positivi; 8. per ogni R vle un e un sol di queste tre possibilità: è positivo, oppure è positivo, oppure = 0. Si noti che, per l ssiom 8, il numero rele 0 non può essere positivo. I numeri diversi d 0 e non positivi si dicono negtivi: dunque un numero rele è negtivo se e solo se è positivo. Si scrive > 0 qundo è positivo, e b > (o equivlentemente < b) qundo b è positivo, cioè b > 0; in prticolre, x < 0 signific x > 0, cioè x negtivo. Si scrive poi 0 qundo è positivo o ugule 0, e b (o equivlentemente b) qundo b 0. Si osservi che b e b = b. Dgli ssiomi 7-8 discendono i seguenti ltri ftti (esercizi.4.2 e.4.3). Il prodotto di due numeri negtivi è positivo; in prticolre, se x è un numero rele diverso d 0, il suo qudrto, ossi il numero rele x 2 definito come x x, è sempre positivo: x 2 = x x > 0 x R \ {0}. Il numero è positivo (e quindi N + P ). Inoltre si deducono fcilmente tutte le usuli regole di clcolo con le disuguglinze: invitimo il lettore frlo. Introducimo desso lcuni specili sottoinsiemi di R definiti medinte l ordinmento: gli intervlli. Se, b R ed b, ponimo: [, b] = {x R : x b} = intervllo chiuso di estremi, b; ], b[ = {x R : < x < b} = intervllo perto di estremi, b; [, b[ = {x R : x < b} = intervllo semiperto destr di estremi, b; ], b] = {x R : < x b} = intervllo semiperto sinistr di estremi, b; ], b] = {x R : x b} = semirett chius di secondo estremo b; 2

13 ], b[ = {x R : x < b} = semirett pert di secondo estremo b; [, + [ = {x R : x} = semirett chius di primo estremo ; ], + [ = {x R : < x} = semirett pert di primo estremo ; ], + [ = R = rett rele. (I simboli e + si leggono più infinito, meno infinito e non sono numeri reli.) Esercizi.4. Provre che se u è un elemento di R tle che u = u, ove è un fissto numero rele diverso d, llor u = Provre che il prodotto di due numeri negtivi è positivo. 3. Provre che è un numero positivo. 4. Si b. Dimostrre che se c 0 llor c bc, mentre se c < 0 si h c bc..5 Assiom di completezz Le proprietà -8 sin qui viste non sono prerogtiv esclusiv di R, dto che sono ugulmente vere nell insieme dei numeri rzionli Q. Ciò che dvvero crtterizz R è l proprietà di continuità, che si esprime con il corrispondente ssiom di continuità, detto nche ssiom di completezz. Prim di enuncirlo in un delle sue numerose formulzioni equivlenti, conviene dre lcune definizioni. Definizione.5. Si A R. Dicimo che A è limitto superiormente se esiste m R tle che m per ogni A. Tle numero m si dice mggiornte dell insieme A. Definizione.5.2 Si A R. Dicimo che A è limitto inferiormente se esiste µ R tle che µ per ogni A. Tle numero µ si dice minornte dell insieme A. Definizione.5.3 Si A R. Dicimo che A è limitto se è si limitto superiormente, si limitto inferiormente. È chiro che se A è limitto superiormente e m è un mggiornte di A, llor ogni numero rele x m è ncor un mggiornte di A; nlogmente, se A è limitto inferiormente e µ è un minornte di A, llor ogni numero rele x µ è ncor un minornte di A. Ad esempio, se A = [0, ] l insieme dei minornti di A è l semirett ], 0] mentre l insieme dei mggiornti di A è l semirett [, + [. Se A =]0, [, oppure [0, [, oppure ]0, ], succede esttmente lo stesso. Invece, se A = [0, + [, llor A non h mggiornti, mentre sono minornti di A tutti i numeri non positivi. 3

14 Definizione.5.4 Si A R un insieme limitto superiormente. Dicimo che A h mssimo m se: (i) m è un mggiornte di A, (ii) m A. In tl cso, si scrive m = mx A. Definizione.5.5 Si A R un insieme limitto inferiormente. Dicimo che A h minimo µ se: (i) µ è un minornte di A, (ii) µ A. In tl cso, si scrive µ = min A. Non è detto che un insieme limitto superiormente bbi mssimo: per esempio, [0, [ non h mssimo, perché esso è disgiunto dll insieme dei suoi mggiornti. Anlogmente, non è detto che un insieme limitto inferiormente bbi minimo. Notimo nche che se A h mssimo, llor mx A è il minimo dell insieme dei mggiornti di A, e che se A h minimo, llor min A è il mssimo dell insieme dei minornti di A. Definizione.5.6 Due sottoinsiemi non vuoti A, B R si dicono seprti se si h b A, b B. Esempi.5.7 Sono coppie di insiemi seprti: ], 0], [0, [; ], 0], ]0, [; ], 0[, ]0, [; [0, [, [2, 3]; [ 2, ], N; {0}, {3}; {0}, {0}. Sono coppie di insiemi non seprti: { /2}, Z; Q, R \ Q; [0, 2], [, 3]; {x R : x 2 < 2}, {x R : x 2 > 2}. Osservimo inoltre che: se A, B sono insiemi seprti, llor ogni elemento b B è un mggiornte di A e ogni elemento A è un minornte di B; se A è non vuoto e limitto superiormente, e se M è l insieme dei mggiornti di A, llor A e M sono seprti; similmente, se A è non vuoto e limitto inferiormente, e se N è l insieme dei minornti di A, llor N e A sono seprti. 4

15 L ssiom di completezz di R sserisce l possibilità di interporre un numero rele fr gli elementi di qulunque coppi di insiemi seprti: in sostnz, esso ci dice che i numeri reli sono in quntità sufficiente riempire tutti i buchi fr coppie di insiemi seprti. L enuncito preciso è il seguente: 9. (ssiom di completezz) per ogni coppi A, B di sottoinsiemi di R non vuoti e seprti, esiste lmeno un elemento seprtore, cioè un numero rele ξ tle che ξ b A, b B. Questo ssiom sembr vere un crttere bbstnz intuitivo: in effetti è fcile determinre esplicitmente gli elementi seprtori in tutti i csi degli esempi.5.7 in cui essi esistono. Tuttvi, come vedremo, le conseguenze dell ssiom di completezz sono di lrghissim portt. Si osservi che in generle l elemento seprtore fr due insiemi seprti A e B non è unico: se A = {0} e B = {}, sono elementi seprtori fr A e B tutti i punti dell intervllo [0, ]. Però se A è un insieme non vuoto limitto superiormente e sceglimo come B l insieme dei mggiornti di A, llor vi è un unico elemento seprtore fr A e B. Inftti ogni elemento seprtore ξ deve soddisfre l relzione ξ b A, b B; in prticolre, l prim disuguglinz dice che ξ è mggiornte per A, ossi ξ B, e l second ci dice llor che ξ = min B. Poiché il minimo di B è unico, ne segue l unicità dell elemento seprtore. In modo nlogo, se B è non vuoto e limitto inferiormente e prendimo come A l insieme dei minornti di B, llor vi è un unico elemento seprtore fr A e B: il mssimo dei minornti di B. Definizione.5.8 Si A R non vuoto e limitto superiormente, si M l insieme dei mggiornti di A. L unico elemento seprtore fr A e M si dice estremo superiore di A e si denot con sup A. Il numero rele sup A è dunque il minimo dei mggiornti di A. In prticolre, esso coincide con mx A qundo quest ultimo numero esiste. Definizione.5.9 Si A R non vuoto e limitto inferiormente, si N l insieme dei minornti di A. L unico elemento seprtore fr N e A si dice estremo inferiore di A e si denot con inf A. Il numero rele inf A è dunque il mssimo dei minornti di A e coincide con min A qundo quest ultimo numero esiste. L estremo superiore di un insieme A (non vuoto e limitto superiormente), l cui esistenz è conseguenz dirett dell ssiom di completezz, si crtterizz in questo modo: Proposizione.5.0 Si A R non vuoto e limitto superiormente, e si m R. Si h m = sup A se e solo se m verific le seguenti due proprietà: 5

16 (i) m per ogni A; (ii) per ogni ε > 0 esiste A tle che m ε < m. Dimostrzione Se m = sup A, llor m è un prticolre mggiornte di A: quindi vle (i). D ltr prte, essendo m il minimo dei mggiornti di A, per ogni ε > 0 il numero m ε non è un mggiornte per A: quindi c è lmeno un elemento A per il qule m ε <, il che implic l condizione (ii). Vicevers, se m verific (i) e (ii), llor m è mggiornte di A mentre per ogni ε > 0 il numero m ε non può esere mggiornte di A. Ne segue che m è il minimo dei mggiornti di A, ossi m = sup A. Un crtterizzzione nlog, l cui dimostrzione viene omess essendo identic ll precedente, vle per l estremo inferiore: Proposizione.5. Si A R non vuoto e limitto inferiormente, e si µ R. Si h µ = inf A se e solo se µ verific le seguenti due proprietà: (i) µ per ogni A; (ii) per ogni ε > 0 esiste A tle che µ < µ + ε. Esempi.5.2 () Se A = [0, ], si h sup A = mx A =, inf A = min A = 0. (2) Se A = [0, [, si h ncor inf A = min A = 0, sup A =, mentre mx A non esiste. (3) Se A = {, 7, 8}, si h inf A = min A =, sup A = mx A = 8. (4) Questo esempio mostr l importnz dell ssiom di completezz: esso permette di costruire, nell mbito dei reli, il numero 2. Si A = {x R : x 2 < 2}; ovvimente A non è vuoto, perché A. Mostrimo che A è limitto superiormente: questo scopo bst fr vedere che sono mggiornti di A tutti i numeri positivi t tli che t 2 > 2. Inftti se t > 0 e t 2 > 2, e se t non fosse un mggiornte di A, troveremmo un x A con x > t; llor vremmo nche x > 0 e quindi 2 < t 2 < xt < x 2 < 2: m l relzione 2 < 2 è ssurd. Dunque A è limitto superiormente e per l ssiom di completezz esiste m = sup A. Poiché A, si h m ; ffermimo che m 2 = 2. Inftti, non può essere m 2 < 2, poiché in tl cso, scrivendo per ogni ε ]0, [ (m + ε) 2 = m 2 + ε 2 + 2mε < m 2 + ε + 2mε, vremmo (m + ε) 2 < m 2 + ε + 2mε < 2 pur di scegliere ε < min {, 2 } m2 : 2m + tle scelt è sempre possibile, prendendo d esempio come ε l metà del numero secondo membro. Ciò significherebbe che m + ε pprtiene d A, contro il ftto che m 6

17 è uno dei mggiornti di A. D ltr prte non può nemmeno essere m 2 > 2, poiché in tl cso vremmo per ogni ε ]0, m[ (m ε) 2 = m 2 + ε 2 2mε > m 2 2mε, e dunque (m ε) 2 > m 2 2mε > 2 pur di scegliere ε < m2 2 2m. Ciò significherebbe, per qunto osservto ll inizio, che m ε è un mggiornte di A; m llor m non può essere il minimo dei mggiornti di A, e ciò è ssurdo. Pertnto l unic possibilità è che si m 2 = 2. Si noti che m è l unic rdice rele positiv dell equzione x 2 = 2; tle numero si dice rdice qudrt di 2 e si denot con 2; l equzione x 2 = 2 h poi un ltr rdice rele che è negtiv: è il numero 2. Osservzione.5.3 Si vede fcilmente che il numero rele 2 non può essere un numero rzionle. Inftti supponimo che si 2 = p q con p, q N+, e che l frzione si stt ridott i minimi termini: llor si h p2 = 2, ossi p 2 = 2q 2. Ciò implic che q 2 p 2, e quindi nche p, è un numero pri: srà dunque p = 2k, con k N +. M llor 4k 2 = p 2 = 2q 2, d cui 2k 2 = q 2 : ne segue che q 2 è pri e pertnto nche q è pri. Ciò però è ssurdo, perché l frzione srebbe ulteriormente semplificbile, cos che er stt esclus. Dunque 2 non è un numero rzionle. In modo ssolutmente nlogo (esercizio.5.2) si prov l esistenz dell rdice qudrt di un rbitrrio numero positivo x, che srà in generle un numero irrzionle. In definitiv, imponendo l ssiom 9 simo necessrimente usciti dll mbito dei numeri rzionli, che sono troppo pochi per rppresentre tutte le grndezze: per misurre l digonle del qudrto di lto unitrio occorre il numero irrzionle 2. In ltre prole, nell insieme Q non vle l ssiom di completezz. Osservzione.5.4 Nel seguito del corso useremo mssiccimente, più che l ssiom di completezz in sé, il ftto che ogni insieme non vuoto e limitto superiormente è dotto di estremo superiore. Notimo questo proposito che se, invece, A R non è limitto superiormente, A non h mggiornti e dunque l estremo superiore non esiste; in questo cso si dice per convenzione che A h estremo superiore + e si scrive sup A = +. Anlogmente, se A non è limitto inferiormente, si dice per convenzione che A h estremo inferiore e si scrive inf A =. In questo modo, tutti i sottoinsiemi non vuoti di R possiedono estremo superiore ed inferiore, eventulmente infiniti. Per l insieme vuoto, invece, non c è niente d fre! Esercizi.5. Provre che 2 = inf {x R : x 2 < 2}. 7

18 2. Provre che per ogni numero rele > 0, l equzione x 2 = h esttmente due soluzioni reli, un l oppost dell ltr; quell positiv si chim rdice qudrt di e si indic con. Si provi inoltre che = sup {x R : x 2 < }, = inf {x R : x 2 < }. Cos succede qundo = 0? E qundo < 0? 3. Determinre l insieme delle soluzioni reli delle seguenti equzioni: (i) x 2 = x, (ii) ( x) 2 = x, (iii) ( x2 x) 2 =. 4. Dimostrre che 3 è un numero irrzionle. 5. Si n N. Dimostrre che n è un numero rzionle se e solo se n è un qudrto perfetto. [Trcci: Si consideri dpprim il cso in cui n è un numero primo; si ricordi poi che ogni numero nturle n h un unic scomposizione in fttori primi.] 6. Sino m, n N e supponimo che lmeno uno dei due non si un qudrto perfetto. Provre che il numero m + n è irrzionle. 7. Provre che per ogni n N + il numero 4n è irrzionle. 8. Stbilire se i seguenti sottoinsiemi di R sono seprti e determinrne eventulmente gli elementi seprtori: (i) [0, ], [, 7]; (ii) [0, 2[, {2, 3}; (iii) {x R : x 3 < 2}, {x R : x 3 > 2}; (iv) {n N : n < 6}, {n N : n 6}; (v) {r Q : r 2 < 2}, ] 2, + [; (vi) {x R : x 2 < }, {x R : x 4 > }. 9. Un sezione di R è un coppi (A, B) di sottoinsiemi seprti di R, tli che A B = R, e b per ogni A e per ogni b B. Si dimostri che l enuncito per ogni sezione (A, B) di R esiste un unico elemento seprtore fr A e B è equivlente ll ssiom di completezz di R. 0. Si provi che esistono sezioni (A, B) di Q prive di elemento seprtore in Q. [Trcci: si considerino A = {x Q : x 0} {x Q : x > 0, x 2 < 2} e B = Q \ A.]. Provre che se A B R e A, llor inf B inf A sup A sup B; si forniscno esempi in cui un o più disuguglinze sono strette. 8

19 2. Si A un sottoinsieme non vuoto e limitto di R, e ponimo B = { x : x A}. Si provi che sup B = inf A, inf B = sup A. 3. Provre che se A, B sono sottoinsiemi non vuoti e limitti di R si h sup A B = mx{sup A, sup B}, inf A B = min{inf A, inf B}. 4. Provre che se A, B sono sottoinsiemi di R con A B, llor sup A B min{sup A, sup B}, inf A B mx{inf A, inf B}; si verifichi che le disuguglinze possono essere strette. 5. Sino A, B sottoinsiemi di ]0, [. Se esiste K > 0 tle che xy K per ogni x A e per ogni y B, si provi che sup A sup B K. 6. Clcolre l estremo superiore e l estremo inferiore dei seguenti sottoinsiemi di R, specificndo se si trtt di mssimi o di minimi: (i) (iii) (v) (vii) { 2x : x R} ; (ii) {x 2 + y 2 : x, y [, ], x < y}; x 2 + { x + : x > 0} ; (iv) {x 2 y 2 : 0 < x < y < 4}; { x n : n N+} { ; (vi) : x R } ; n +x { } 2 ( ) k { : k N + ; (viii) : k Z \ {0} }. k k 3 7. Sino, b, c, d Q. Mostrre che: (i) + b 2 = 0 = b = 0; (ii) + b 2 + c 3 = 0 = b = c = 0; (iii) + b 2 + c 3 + d 5 = 0 = b = c = d = Per quli x R sono vere le seguenti sserzioni? (i) ( x) x 2 > x; (ii) x 2 = x; (iii) ( x 2 ) 2 > 6. 9

20 .6 Numeri nturli, interi, rzionli A prtire dgli ssiomi di R, ed in prticolre dll ssiom di continuità, possimo or rivisitre in mnier più rigoros lcuni concetti che bbimo conosciuto e doperto su bse intuitiv fin dll scuol dell obbligo. Comincimo d esminre l insieme N dei numeri nturli e le sue pprentemente ovvie proprietà. Ci occorre nzitutto l seguente Definizione.6. Un insieme A R si dice induttivo se verific le seguenti condizioni: (i) 0 A, (ii) per ogni x A si h x + A. Ad esempio sono insiemi induttivi R, [, + [ per ogni 0, ]b, + [ per ogni b < 0. Si noti che se A, B R sono induttivi, nche l loro intersezione A B lo è; nzi, dto un qulunque insieme di indici I e pres un rbitrri fmigli di insiemi induttivi {A i } i I, l loro intersezione A i = {x R : x A i i I} i I è un insieme induttivo: inftti 0 A i per ogni i I in qunto ciscun A i è induttivo, e se x A i per ogni i I, lo stesso si h per x +, sempre cus dell induttività di ciscun A i. Definizione.6.2 Chimimo insieme dei numeri nturli, e denotimo con N, l intersezione di tutti i sottoinsiemi induttivi di R. D quest definizione segue subito che N è il più piccolo insieme induttivo: inftti se A R è induttivo, esso viene fr prte dell fmigli di insiemi di cui N è l intersezione, cosicché N A. Dunque in N c è il minimo indispensbile di numeri che occorre per essere induttivo: perciò ci srà 0, ci srà = 0+, ci srà 2 = +, ci srà 3 = 2+, e così vi. Quest definizione di N è stt però introdott proprio per evitre di fr uso dell locuzione...e così vi : questo scopo conviene introdurre il seguente fondmentle Teorem.6.3 (principio di induzione) Si A N un insieme definito d un cert proprietà p(n), ossi A = {n N : p(n)}. Supponimo di spere che (i) p(0) è ver, ovvero 0 A; (ii) p(n) = p(n + ) per ogni n N, ovvero se n A llor n + A. Allor p(n) è ver per ogni n N; in ltre prole, si h N A e dunque A = N. Dimostrzione Si trtt di un immedit conseguenz dell definizione di N. In effetti, per ipotesi A è contenuto in N; le condizioni (i) e (ii) ci dicono d ltronde che l insieme A è induttivo, e quindi A contiene N per definizione di N: se ne deduce che 20

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