Un po di giochi. Prof. Giorgio Bolondi Università degli Studi di Bologna ForMATH project. Giorgio Bolondi

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1 Un po di giochi Prof. Università degli Studi di Bologna ForMATH project

2 Palline, pallette e pallone (per le classi III, IV e V). Gabriele è molto orgoglioso della sua collezione di palle rimbalzine; ne ha appena comperata una bellissima, grande e gialla. Ne ha di tre colori: gialle, verdi e blu. Alcune sono grandi, altre piccole e altre ancora medie. Un giorno, mettendole in ordine, nota una cosa curiosa: per ognuno dei tre ha palline di due dimensioni diverse; e per ogni dimensione ci sono palle di due colori diversi. Rimettendo via la collezione nel cassetto (prima che la sorellina gliene porti via qualcuna) pensa tra sé e sé: - Bisogna proprio che compri una pallina piccola verde, perché mi manca. Sapresti dire di che colore sono le palle medie? E di che misura sono le palle blu? Euro e centesimi (per le classi II e III). Giacomo vuole comperare l ultimo numero di Topolinik, che costa 4 euro e 38 centesimi. Quante monete dovrà preparare, per pagare esattamente questa somma, senza dover ricevere del resto? Naturalmente potrà pagare in tanti modi diversi; vince chi riesce a pagare esattamente questa somma usando meno monetine (cerchiamo quindi il numero minimo di monete necessario). Sua sorella Elena ha invece un problema un po diverso. Vuole comperare l ultimo numero di Squinzy, con in regalo un disco di canzoni di moda, che costa 8 euro e 20. Ha un biglietto da 10 euro, e non vuole ricevere troppe monetine di resto. Così pensa: - Se pago con 10 euro ricevo parecchie monetine; se però do al giornalaio il biglietto da 10 e una monetina, mi può dare il resto usando una sola moneta. Quante monetine di resto riceve, come minimo, se paga con la banconota da 10 euro? Da quanto deve essere la monetina che aggiunge, per ricevere una sola moneta di resto? Una strana moneta (per le classi III, IV e V). Nel paese di Complicanza usano come moneta lo Sgrock. Siccome amano le cose complicate, esistono solo banconote da 1 Sgrock, da 3 Sgrock, da 10, da 16 e da 21 Sgrock. Giovanni deve comperare una macchinina che costa 35 Sgrock. Come fare per pagare esattamente 35 Sgrock? Naturalmente, anche qui ci sono tantissime soluzioni.

3 Riesci a trovare il modo per pagare esattamente questa somma usando il minimo numero di banconote? E usando il massimo numero di banconote (per far arrabbiare il negoziante)? Contiamo i quadrati (per le classi III, IV e V) Guarda bene questa figura. Puoi trovarci quadrati piccoli e quadrati più grandi. Quanti quadrati riesci a contare in tutto? Contiamo i rombi (per le classi IV e V) Adesso proviamo a lavorare sui rombi. Anche in questa figura ci sono rombi piccoli e rombi più grandi. Quanti rombi riesci a contare? Che pasticcio (per le classi II, e III) Giuliana aveva fatto un bel disegno di quadrati, tutti uguali. Leopoldo, che è molto dispettoso, glielo ha tutto pasticciato.

4 Quanti quadrati aveva disegnato Alessia? Giochiamo a dadi (per le classi III, IV e V) Emanuela e Silvana stanno giocando con due dadi, uno rosso e uno blu. Sanno molto bene che il numero che esce più facilmente è il 7, perché lo possono ottenere tirando i dadi in molti modi: Sanno anche che i numeri più difficili da ottenere tirando due dadi sono il 2 e il 12, perché c è solo un tiro possibile: 1 1 per il 2, e 6 6

5 per il 12. Adesso si sono messe a giocare con 3 dadi, e non riescono a mettersi d accordo: Quali sono i numeri più difficili da tirare? E quale invece il numero che esce più facilmente? Una salita costosa (classi I e II) In questo gioco bisogna salire un passo alla volta dal piano terra (quello dove ci sono le posizioni con i numeri 1, 2, 3 e 4) fino alla cima; ad ogni passo, bisogna pagare (per poter salire) un euro per ogni numero di differenza tra la casella di partenza e quella di arrivo. Se ad esempio salgo dalla casella con il 3 alla casella con il 6, devo pagare 3 euro; se salgo dalla casella con il 7 alla casella con il 9 devo pagare 2 euro. Quale è il percorso più economico dal piano terra alla cima? E quale è il percorso più economico per scalare questa montagna?

6 Tagliamo la pizza! (per le classi terze, quarte e quinte) Abbiamo una bella pizza, e la vogliamo tagliare in tante parti con dei bei tagli dritti. Se facciamo un taglio, naturalmente la dividiamo in due parti: che naturalmente potranno essere più o meno grandi, dipende da dove facciamo il taglio. Se facciamo due tagli, quante saranno le parti in cui viene divisa la pizza? Ci sono due modi per farlo: possiamo tagliarla così

7 e quind la dividiamo in tre parti; oppure possiamo tagliarla così e trovare 4 parti. Perché succede questo? Che differenza c è tra i due modi di tagliare la pizza? Prova a pensarci un po. Hai visto dove sta la differenza? Nella prima pizza i due tagli non si incontrano, e quindi il secondo taglio semplicemente divide in due uno dei pezzi che avevamo fatto con il primo; nella seconda pizza invece il secondo taglio incontra il primo, e quindi divide in due ciascuno dei due pezzi.

8 Naturalmente, i tagli che facciamo devono essere dritti: se facciamo dei tagli strani possiamo dividere la pizza in quante parti vogliamo! Ecco, adesso puoi provare a risolvere la prossima domanda. In quante parti si può dividere una pizza con tre tagli dritti? Dovresti riuscire facilmente a dividerla in 4 parti oppure in 6 parti. Riesci anche a dividerla in 7 parti? E in 5? E sempre più difficile: in quante parti di può dividere una pizza con 4 tagli dritti?

9 Le soluzioni Palline, pallette e pallone (soluzione) Siccome Gabriele non ha palline verdi piccole, nella sua collezione ci sono palle verdi medie e palle verdi grandi: sappiamo che per ogni colore ci sono palle di due dimensioni. Nella storia si dice anche che ha comprato una palla grande gialla; quindi, di palle grandi, ne ha di verdi e di gialle. Nella collezione mancano allora le palle grandi blu, perché per ogni grandezza ha palle di due colori. Le palle blu sono allora piccole e medie, e le palle medie sono verdi e blu. Euro e centesimi (soluzione). Giacomo può pagare il suo Topolinik con 2 monete da due euro, una da venti centesimi, una da dieci, una da cinque, una da due e una da un centesimo: dunque gli servono almeno 7 monete per avere la somma esatta. Il primo problema di Elena è del tutto simile: il suo resto è di 1 euro e 80 centesimi, e quindi riceve almeno 4 monete: una da 1 euro, una da cinquanta centesimi, una da venti e una da dieci. Se vuole ricevere solo una monetina di resto, basta che aggiunga al biglietto da 10 euro una moneta da 20 centesimi: in questo modo il giornalaio le può dare di resto una moneta da 2 euro. Una strana moneta (per le classi III, IV e V). Le soluzioni possibili sono tante: ad esempio, posso pagare con 35 banconote da 1 Sgrock, e questo è sicuramente il numero massimo possibile. Ce la posso fare anche solo con tre banconote: basta usarne due da 16 e una da 3 Sgrock. Contiamo i quadrati (per le classi III, IV e V) Ci sono in tutto 11 quadrati. Se prendiamo come unità di misura il lato del quadrato piccolo, ce ne sono 6 piccoli di lato 1,

10 3 di lato 2 uno di lato 3 e infine tutta la figura, che è un quadrato di lato 4. Contiamo i rombi (soluzione) Ci sono 17 rombi piccoli (chiamiamoli rombi base ), 9 rombi di lato 2 (composti da 4 rombi base), 3 rombi di lato 3 (composti da 9 rombi base); quindi in tutto ci sono 29 rombi. rombo base : ce ne sono 17

11 qui puoi vedere alcuni dei rombi di lato 2: ce ne sono in tutto 9 I 3 rombi di lato 3 Che pasticcio (per le classi II, e III) Leopoldo aveva disegnato due file di 7 quadrati, quindi 14 quadrati piccoli. Questi poi formavano altri 6 quadrati di lato doppio: in tutto c erano quindi 20 quadrati. Ecco il disegno prima del pasticcio, dove abbiamo annerito uno dei quadrati grandi.

12 Giochiamo a dadi (soluzioni) I numeri che escono più raramente sono il 3 e il 18, che si possono tirare solo in un modo: per il 3, e per il 18. I numeri che escono più di frequente sono il 10 e l 11, che escono con 27 combinazioni diverse dei dadi (questo gioco è un po difficile!). Una salita costosa- Soluzione. La salita più economica è quella che parte dalla casella con il 4: alla fine dovrò pagare soltanto 6 euro. Se partiamo dalla casella con l 1, spendiamo 9 euro; se partiamo dalla casella con il 2 spendiamo 8 euro, qualunque sia il percorso; se partiamo dalla casella con il 3 spendiamo 7 euro, qualunque sia il percorso che facciamo. Perché? Partendo dalla casella con il 2, possiamo salire con il percorso , oppure con il percorso , oppure con il percorso In ogni caso alla fin fine spendiamo un euro per ogni numero di distanza del 10 dal 2: cioè 10-2= 8 euro. Allora quale sarà il percorso più economico? Quello che sceglie il punto di partenza più alto, cioè il 4. Con questa osservazione non è difficile trovare, senza dover fare troppi tentativi, il percorso migliore nella seconda montagna: basta partire dalla casella con il numero 6, e spenderemo in tutto 18 6 = 12 euro, qualunque sia il percorso che scegliamo. Abbiamo tre percorsi possibili: ma il risultato, naturalmente, non dipende dal percorso.

13 Tagliamo la pizza! Soluzione Con tre tagli dritti possiamo dividere la pizza in 4, 5, 6 oppure 7 parti. Ecco qua come bisogna farli. Per fare 4 parti, basta fare dei tagli che non si incontrano: Fare 6 parti è abbastanza facile:

14 e per farne 5 occorre un po d astuzia; o, meglio ancora, un po di ragionamento: Per farcela, abbiamo preso la pizza tagliata in 4 parti e poi abbiamo fatto il terzo taglio in modo da dividere solo una di queste 4. Il massimo numero di parti in cui si può dividere una pizza con 3 tagli dritti è 7, e si ottiene con 3 tagli ognuno dei quali incontra gli altri due:

15 Con 4 tagli dritti si possono ottenere 5, 6, 7, 8, 9, 10 o 11 parti; eccole qui. Come al solito, 5 parti si ottengono con tagli che non si incontrano: 6 parti si trovano se si incontrano solo due tagli:

16 E poi via via facendo incontrare sempre di più i tagli che facciamo;

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19 Spunti per gli insegnanti Palline, pallette e pallone (note per l insegnante). Questo è un gioco di logico, in cui la costruzione della soluzione avviene per passi successivi, con una serie di argomentazioni del tipo dato che allora Non è facile, per i bambini, seguire questi ragionamenti, e tenere conto di tutti i dati via via acquisiti. Capiterà spesso che, arrivati alla fine, si dimentichino di qualche dato ricavato all inizio, o che si smarriscano tra i colori e le grandezze. La strategia migliore per risolvere il problema è quella di riuscire a rappresentarlo in qualche forma: una rappresentazione permette di registrare i dati mano a mano che li acquisiamo, e di visualizzare i passi da compiere per procedere nella soluzione. Una rappresentazione molto semplice è quella mediante una tabella, in cui inseriamo mano a mano che procediamo i nostri dati: in questo modo non li dimenticheremo e soprattutto riusciremo a vedere come sfruttarli. VERDI GIALLE BLU PICCOLE MEDIE GRANDI Il primo dato che abbiamo a disposizione è che Gabriele ha comperato una palla gialla grande: possiamo segnare questo dato in tabella a doppia entrata: VERDI GIALLE BLU PICCOLE MEDIE GRANDI sì Una informazione fondamentale per il problema è la seguente: per ogni colore, ci sono palle di due grandezze, e per ogni grandezza ci sono palle di due colori. Come si traduce, sulla nostra tabella, questa informazione? In ogni riga (colore) ci saranno due sì e un no, e analogamente in ogni colonna (grandezza) ci saranno due sì e un no. Un altro dato che ci viene dato dal testo è che Gabriele non ha una palle piccola verde: riportiamo anche questo dato nella tabella. VERDI GIALLE BLU PICCOLE MEDIE GRANDI no sì

20 Allora siamo in grado di completare la prima riga: c è un no, quindi le altre due caselle devono essere sì. PICCOLE MEDIE GRANDI VERDI no sì sì GIALLE BLU Ma allora adesso sappiamo completare anche la terza colonna: PICCOLE MEDIE GRANDI VERDI no sì sì GIALLE BLU e poi la terza riga sì sì no PICCOLE MEDIE GRANDI VERDI no sì sì GIALLE BLU sì sì no e a questo punto tutta la tabella PICCOLE MEDIE GRANDI VERDI no sì sì GIALLE sì no sì BLU sì sì no sì Abbiamo tradotto l informazione fondamentale in una regola della tabella, e questo ci permette di utilizzare questa informazione in maniera quasi automatica: non dobbiamo più pensare in termini di palline colorate grandi e piccole, ma soltanto riempire delle righe e delle colonne seguendo una regola (formale) di comportamento. Abbiamo cioè seguito una procedura tipicamente matematica: individuato la struttura del problema, spogliandola dalle caratteristiche materiali non influenti, e l abbiamo tradotta, mediante uno schema di rappresentazione, in un insieme di regole formali; poi abbiamo utilizzato il gioco di queste regole per avere una descrizione completa della nostra situazione. Per gli amanti dei diagrammi di Venn, può essere interessante cercare di disegnare l insieme delle palle rimbalzine di Gabriele

21 Dunque anche un giochino così semplice, se ben utilizzato, può servirci per allenare i bambini a rappresentare una situazione, usando gli strumenti necessari, e a procedere con metodo: due delle capacità fondamentali per saper affrontare e risolvere i problemi. Euro e centesimi (note per l insegnante). Un gioco, questo, per vedere come i nostri bambini sanno contare con gli euro e i centesimi. Approfittiamone per vedere se li usano con un po di buon senso (e di logica). Quale è la strategia migliore per usare sempre il minor numero possibile di monete, senza dover andare a tentativi? E naturalmente quella di usare i pezzi più grossi possibile: per pagare 4 euro e 38 prenderò le monete da 2 euro, poi scarterò quelle da uno e da 50 centesimi(che non mi servono), poi ne prenderò una da 20, e così via. Una strana moneta (note per l insegnante). Tutte le volte in cui un problema offre molte soluzioni possibili, possiamo cercare di vedere quali siano ottimali sotto un aspetto o sotto un altro. Questo ci permette di andare in profondità nella natura del problema. Qui i nostri bambini avranno fatto un po di esercizio di calcolo, e probabilmente avranno trovato a occhio ( o a tentativi) la combinazione migliore.

22 Possiamo vedere che la strategia che avevamo messo a punto per gli euro non funziona più. Se infatti proviamo a procedere partendo dai tagli più grossi, troviamo che ci servono una banconota da 21, una da 10, una da 3 e una da 1 Sgrock. In generale, non abbiamo un metodo per trovare il minimo numero di banconote necessarie per comporre una somma data: questo dipende dal fatto che la Banca Centrale di Complicanza ha scelto dei tagli molto strani! Proviamo a proporre questa domanda ai nostri bambini: Qualunque somma inferiore a 10 centesimi può essere composta usando, al massimo, 4 monetine e qualunque somma inferiore a un euro può essere composta usando, al massimo, 8 monetine. Sei capace di farlo? Qualunque somma inferiore a 100 euro può essere composta usando, al massimo, 16 pezzi tra banconote e monete. Sei capace di farlo? Nel paese di Complicanza le cose non sono così semplici Contiamo i quadrati (per le classi III, IV e V) Questo gioco, con i seguenti, è un classico per educare le capacità di vedere le figure geometriche. La prima cosa da sottolineare con i bambini è che i quadrati che stiamo cercando possono avere diverse dimensioni, magari facendo loro vedere uno di quelli di lato 2. Dopodiché, la cosa più importante da osservare è quale metodo i bambini usano per contarli. Quello più efficiente si sviluppa in due passi: prima individuiamo quali tipo di quadrati sono presenti nella figura (in questo caso, abbiamo 4 tipi che differiscono per la dimensione), poi cerchiamo e contiamo tutti quelli di un dato tipo. Fino a quando i bambini non mettono in atto un metodo la loro ricerca e il loro conteggio sarà confuso, e inevitabilmente li porterà a dimenticare qualche quadrato o a contarne qualcuno due volte. Infine, stiamo attenti al fatto che a molti potrà sfuggire che anche la figura nel suo insieme è un quadrato. Contiamo i rombi (per le classi IV e V) Questo gioco è molto simile al precedente; valgono le stesse osservazioni sul metodo di risoluzione.

23 Possiamo sfruttarlo anche per qualche semplice osservazione di geometria: ad esempio, possiamo osservare che i rombi di lato 2 sono composti da 4 rombi base, e i rombi di lato 3 sono composti da 9 rombi base. Dunque per queste figure se raddoppiamo il lato l area si quadruplica, se triplichiamo il lato l area diventa 9 volte più grande. Prendiamo questo spunto e proviamo con altre figure (un triangolo, un rettangolo, figure anche più complesse e composte, se vogliamo osare anche un cerchio ) a vedere cosa succede se raddoppiamo le lunghezze dei lati, o se le triplichiamo. Scopriremo che questa proprietà è un fatto generale: se modifichiamo le misure di una figura moltiplicandole per un fattore k, allora l area viene moltiplicata per k 2. Naturalmente, in tutte le formule che insegniamo (l area del quadrato, del triangolo, dei poligoni, del cerchio.) possiamo ritrovare questa proprietà: ma vale anche per le figure per le quali non c è la formula! Che pasticcio (per le classi II, e III) E un gioco simile ai precedenti, ma serve con i bambini più piccoli per abituarli a vedere (con gli occhi della mente) anche senza disegno, a ricostruire una figura rispettando una regolarità assegnata. Possiamo variarlo in molti modi, per abituarli a utilizzare il calcolo e il ragionamento. Ad esempio, nel disegno qui sotto, quanti quadrati aveva disegnato Leopoldo prima che Giuliana gli pasticciasse tutto?

24 I bambini (di seconda) devono unire il ragionamento spaziale (cercando di ricostruire la figura) al calcolo (stanno imparando le caselline, e qui devono eseguire l operazione 6x4). Giochiamo a dadi (per le classi III, IV e V) Quante sono le possibili combinazioni di 2 dadi? Naturalmente sono 6x6=36: il primo dado può presentare un numero da 1 a 6, e per ciascuna possibilità ci sono 6 possibilità per il secondo. Dunque in tutto 36 possibilità. Le possibili uscite si distribuiscono in questo modo: Risultato uscite Il 2 e il 12 si possono ottenere solo in un modo, il 5 in 4 modi, il 7 in 6 modi, e così via. Questo è abbastanza semplice, e possiamo costruire con i bambini la tabellina elencando tutte le possibilità e raccogliendo i risultati. Ma se iniziamo a considerare 3 dadi il discorso si complica parecchio. E facile infatti convincersi che le uscite più rare (molto rare) sono quelle estreme, 1 e 18. Ma quanti sono i possibili lanci di 3 dadi? Abbiamo 6 possibilità per il primo, per ciascuna di queste ci sono 6x6=36 combinazioni degli altri due: dunque in tutto abbiamo 6x6x6=216 possibili uscite! Sono troppe per poter sperare di elencarle tutte, e quindi dobbiamo trovare un modo per arrivarci con il ragionamento. Immaginiamo allora di avere tre dadi, uno rosso, uno blu e uno grigio, e che la tabella qui sopra riporti i risultati del lancio dei dadi rosso e blu. A questo punto, cosa succede se nel dado grigio esce il numero 1? I possibili risultati del lancio dei tre dadi sono riportati in questa tabella: Risultato uscite Se invece nel dado grigio esce il 2, i possibili risultati del lancio di 3 dadi sono i seguenti Risultato uscite Proseguiamo con gli altri casi: Dado grigio=3 Risultato uscite Dado grigio=4 Risultato uscite Dado grigio=5 Risultato

25 uscite Dado grigio=6 Risultato uscite Osserviamo che è sempre la stessa tabella, in cui sommiamo al risultato dei lanci dei dadi rosso e blu il dado grigio; la riga di sotto è sempre la stessa e quella di sopra si sposta. Per avere un quadro complessivo delle uscite del lancio di tre dadi basta allora sommare ordinatamente queste tabelle: ris uscite Dunque i numeri che è più probabile ottenere lanciando 3 dadi sono il 10 e l 11: anche qui, come nel caso dei due dadi, sono quelli più centrali nella gamma delle possibilità. Una salita costosa. Note per l insegnante. Ecco un gioco semplice di artimetica per i bambini del primo ciclo. Molti di loro proveranno un po a casaccio dei percorsi: niente di male, così facendo centreranno uno degli obbiettivi che questo giochino persegue, quello di far fare esercizio sulle operazioni. Calcolare il costo di un percorso ci porta a fare tre sottrazioni (che si presentano qui sotto la forma della ricerca del numero complementare). In realtà, se non introduciamo un elemento di riflessione e argomentazione sulla situazione, è difficile per i bambini elaborare una strategia per trovare il percorso più economico, o semplicemente trovare una dimostrazione del fatto che un certo percorso è il migliore. Eppure, argomentare, elaborare strategie, dimostrare sono proprio le capacità che l educazione matematica dovrebbe stimolare e sviluppare. Ecco allora il secondo obbiettivo di questo gioco: capire (attraverso la riflessione sui numeri) che quello che conta è solamente il dislivello tra il punto di partenza e il punto di arrivo, la differenza tra il numero cui giungiamo e quello da cui siamo partiti. Una volta che siamo riusciti ad osservare questo, anche il secondo quesito (che di per sé si presenta complicato per dei bambini piccoli: di solito lo risolvono andando a tentativi, ed accontentandosi del primo o del secondo risultato trovato) diventa elementare. Da un punto di vista matematico, siamo di fronte ad una applicazione della proprietà associativa (e di quella commutativa) dell addizione (con i numeri interi, cioè interpretando l operazione 8 6 come 8 + (-6). Ragioniamo infatti sul percorso Dovremo pagare (5 2) + (8 5) + (10 8) = = 10 2 = 8 euro. Per il percorso dovremo pagare (6 2) + (9 6) + (10 9) = = 10 2 = 8 euro. Tagliamo la pizza! Indicazioni per l insegnante. Sono due gli obiettivi che cerchiamo di raggiungere con questo gioco: esercitare la capacità di visualizzazione, e sviluppare un ragionamento di tipo geometrico. Nella prima situazione presentata (quella dei due tagli) ci abituiamo a vedere il problema, e soprattutto individuiamo la proprietà geometrica che ci serve per rispondere alla domanda. E importante che i bambini mettano bene a fuoco questo fatto: se il nuovo taglio non incontra il precedente, allora non fa altro che dividere in due uno dei pezzi che avevamo, e quindi il numero

26 dei pezzi aumenta di uno; se invece il nuovo taglio incontra il precedente, allora divide in due tutti e due i pezzi che avevamo, e quindi il numero di parti aumenta di due. Questo è il ragionamento cruciale, che nasce da una osservazione, e che dovremo generalizzare per rispondere alla domanda. Il ragionamento geometrico unisce dimostrazioni, intuizioni e costruzioni; e qui vediamo proprio l interazione tra queste componenti. Il passaggio decisivo è nella domanda sui tre tagli, in cui si vede se i bambini riescono a generalizzare questa osservazione, e passare dalla semplice esperienza alla dimostrazione. E possibile (e anche probabile) che molti riescano a rispondere a tentativi. Questo va bene, ma non accontentiamoci. Prendiamo le loro figure e ragioniamo su come hanno fatto i tagli, osservando come si incontrano. Infatti, senza un metodo, giustificato dalla dimostrazione ottenuta generalizzando l osservazione, è molto difficile che i bambini riescano a rispondere alla domanda sui quattro tagli. E se i tagli fossero 5, 6,7,, n? Dovrebbe essere facile rispondere alla domanda: Quale è il numero minimo di parti in cui viene divisa una pizza da n tagli? Facendo ad esempio tagli tutti paralleli troviamo esattamente n+1 parti. Decisamente più difficile è rispondere a questa domanda: Quale è il numero massimo di parti in cui una pizza viene divisa da n tagli? Proviamo a costruire una tabella in cui riportiamo i valori di questi numeri (i matematici parlerebbero di funzione) numero di tagl i numero minimo di parti numero massimo di parti Come abbiamo trovato il numero massimo? Di nuovo, generalizzando quello che abbiamo fatto fino a questo punto. Il terzo taglio, se fatto in modo da incontrare i primi due, divide in due parti ciascuno tre pezzi di pizza, e quindi aggiunge 3 pezzi; il quarto taglio, se fatto in modo da incontrare i primi tre, divide in due parti ciascuno quattro pezzi di pizza, e quindi aggiunge 4 pezzi; e allora il 5 taglio, se fatto in modo da incontrare i primi 4, aggiunge 5 pezzi; il sesto ne aggiunge 6 e così via. Passo dopo passo si può calcolare, ad esempio, che con 9 tagli possiamo dividere la pizza in 46 parti (sempre più piccole, purtroppo ). C è anche una formula diretta, per non dover fare tutte le tappe intermedie prima di arrivare al numero che ci interessa, ed è la seguente: numero massimo di pezzi ottenibili con n tagli=(n 2 + n + 2)/2, ma dimostrarla richiede delle tecniche un po particolari ( si può fare per induzione).

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