Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)

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1 Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di aolo Urbani maggio 0) efinizioni rova casuale: prova il cui esito è legato al caso. Evento casuale: evento che può verificarsi o meno a seconda del caso; un e.c. è legato all esito di una prova casuale Esempio rova casuale: lancio un dado ossibili eventi casuali: E: esce la faccia E: esce una faccia pari E: esce una faccia con un numero primo E: esce la faccia 8 E: esce una faccia con un numero intero Come si può facilmente intuire vi sono alcuni eventi casuali che si verificheranno più facilmente rispetto ad altri; ad esempio sarà più probabile che si verifichi E rispetto a E in quanto un dado ha facce pari ed una sola faccia con il. La probabilità è una misura della possibilità del verificarsi di eventi casuali. Nell esempio precedente l evento E, che non può verificarsi, è detto evento impossibile; viceversa l evento E, che si verificherà sicuramente, è detto evento certo. Calcolo della probabilità er il calcolo della probabilità si sono sviluppate nel tempo diverse teorie. Teoria classica E sicuramente la più conosciuta; chiunque, anche prima di leggere questo scritto, sa che la probabilità che esca testa nel lancio di una moneta è il 0%, o ½; sta, inconsapevolmente, applicando la teoria classica. La probabilità viene calcolata come rapporto fra due numeri: k E n Casi favorevoli Casi possibili, supposti tutti ugualmente possibili (tutti gli esiti della prova casuale): formano lo spazio campionario In riferimento all esempio si avrà:

2 n= (sono tutte le possibilità che si possono verificare nel lancio di un dado; supponendo che il dado sia bilanciato sono tutte ugualmente possibili) E ; E ; E ; E 0; E 0 0 E a questo semplice esempio si può dedurre che ; gli estremi valgono per gli eventi impossibile e certo. La teoria classica è prevalentemente utilizzate nei giochi di sorte, ovvero dove conta solo la fortuna. Non si presta invece a valutare le probabilità dei seguenti eventi: A: Esce faccia testa nel lancio di una moneta truccata A: Un 0 enne sarà in vita fra anni A: La mia auto non verrà rubata nel prossimo anno La teoria classica non si può applicare in quanto i casi possibili non sono tutti ugualmente possibili: A: la moneta è sbilanciata per cui Testa/Croce avranno diverse possibilità di verificarsi A: i casi possibili sono (vita o morte) ma non sono tutti ugualmente possibili; per un 0 enne sano che fa una vita normale sarà molto probabile restare in vita per due anni A: anche in questo caso c è diversa possibilità dei casi possibili, legata anche dalla zona in cui si vive che potrebbe essere ad elevato furto auto o viceversa. er questi casi ci viene incontro la seconda teoria. Teoria frequentista (o statistica) Attraverso questa teoria non si riesce a conoscere la probabilità esatta ma attraverso delle prove si valuta la frequenza dell evento; tale frequenza viene utilizzata come approssimazione della probabilità. k f E n Numero di successi Numero di prove effettuate. Tali prove devono essere indipendenti, ovvero fatte tutte nelle stesse condizioni. Considerando l evento A, se faccio 0 lanci di una moneta e per 0 volte ottengo testa si avrà: f A A 0 0 ; il risultato è dunque approssimato; facendo altri lanci posso ottenere una frequenza diversa;

3 è intuitivo pensare che l approssimazione migliora facendo un numero elevato di prove. La legge empirica del caso afferma che effettuando un numero elevatissimo di prove la frequenza si avvicina molto alla probabilità lim n f E E Tale teoria può essere facilmente verificata provando a lanciare una moneta bilanciata: maggiore sarà il numero di lanci tanto più la frequenza si avvicinerà ad ½. Il seguente grafico mostra l esito di una simulazione di 00 lanci di una moneta bilanciata (fatta con il foglio elettronico),0,00 0,80 0,0 0,0 0,0 0, frequenza probabilità Si può osservare che la spezzata della frequenza si avvicina alla retta della probabilità con il crescere di prove. La teoria si chiama frequentista perché calcola una frequenza; viene detta anche statistica in quanto si basa su osservazioni. iene molto utilizzata in campo assicurativo per stimare le probabilità di sopravvivenza (A), di furto (A), di incidente d auto, ecc ; in base a queste probabilità verranno calcolati i premi assicurativi; un neopatentato pagherà di più l assicurazione della propria auto rispetto ad un 0 enne che non ha avuto incidenti d auto in quanto la probabilità che avrà un incidente sarà, per inesperienza, superiore! er la valutazione di tali probabilità vengono utilizzate statistiche su furti, incidenti, ecc er le probabilità di sopravvivenza esistono degli studi demografici che rilevano l estinzione negli anni di un numeroso gruppo di popolazione: il rapporto fra i sopravvissuti ed il gruppo iniziale fornirà probabilità di sopravvivenza. Ma ci sono ancora eventi per i quali, con le precedenti teorie, non si è in grado di calcolare le probabilità:

4 C : Nel prossimo incontro di calcio la squadra A vince contro la squadra C: Nella corsa campestre un compagno della mia classe arriverà primo Siamo nel campo del gioco in cui l esito non è dovuto solo al caso. Non è corretto utilizzare la teoria classica in quanto i casi possibili difficilmente saranno ugualmente possibili; l esito dell incontro di calcio dipende dalla bravura delle squadre (magari una è l ultima in classifica e l altra è prima), dal giocare in casa, dalla formazione in campo, ecc dire che i casi possibili, vincita-pareggio-perdita, sono ugualmente possibili non sarà corretto, a meno che non si abbiano informazioni. Anche la teoria frequentista non è applicabile in quanto bisognerebbe fare incontrare le squadre molte volte e nelle stesse condizioni (quindi anche lo storico dei precedenti incontri, svolti in condizioni differenti, non è utilizzabile). Teoria soggettiva Ogni soggetto attribuirà una certa probabilità all evento sulla base delle informazioni possedute. La valutazione numerica viene fatta con l ottica della scommessa: s E S er esempio, se sono disposto a puntare solo euro per vincerne 000 vuol dire che reputo quella vincita molto improbabile! E 000 iceversa, se sono disposto a puntare 800 euro per vincerne 000 vorrà dire che reputo quella vincita molto probabile. E Teoria assiomatica Questa teoria non è operativa ma, più che altro, fissa delle affermazioni di base dette assiomi:, ovvero la probabilità è un numero compreso fra 0 e 0 E.. S. A A Importo che sono disposto a puntare Importo che vinco se si verifica l evento, dove S è lo spazio campionario, ovvero l evento certo con A, ovvero la probabilità dell unione di eventi (si verifica A oppure ) si calcola come la somma delle singole probabilità se gli eventi A e sono incompatibili, ovvero non possono verificarsi contemporaneamente (la loro intersezione è l evento impossibile o insieme vuoto)

5 Utilizzando i assiomi si può dimostrare che: La probabilità di un evento impossibile è 0 0 Teorema delle probabilità contrarie Siano A e A due eventi contrari (su tratta di eventi incompatibili dove uno si verifica quando NON si verifica l altro esempio Testa e Croce nel lancio di una moneta) Si può dimostrare che A A ed altri teoremi che verranno enunciati successivamente. roblemi di calcolo delle probabilità risolvibili con la teoria classica rova casuale: estraggo una carta da un mazzo di 0 Eventi casuali: E : esce un re E : esce un asse E : esce una carta di bastoni E : E UE E : E UE Si avrà: 0 E ; E ; E E E E Gli eventi E ed E sono incompatibili E E E Gli eventi E ed E sono compati bili: occorre togliere alla somma delle singole probabilità la probabilità dell intersezione degli eventi (la parte comune: asse di bastoni) che, altrimenti, viene conteggiata per due volte. robabilità additiva: calcola la probabilità dell unione fra eventi Tipologia eventi escrizione robabilità Incompatibili Non si possono verificare contemporanea- A A mente Compatibili A Si possono verificare contemporaneamente A A A A Il secondo enunciato (eventi compatibili) è più generico; in caso di eventi compatibili si avrà A 0

6 robabilità dell intersezione (verificarsi contemporaneo) di eventi Esempi: A- rova casuale: lancio due volte una moneta Eventi casuale: A : esce due volte testa A : esce una sola volta testa A : esce almeno una testa - rova casuale: estraggo due palline dal sacchetto della tombola in blocco, ovvero senza reinserire la prima pallina estratta Eventi casuali: : escono due numeri pari : escono due numeri multipli di 0 : esce almeno un numero maggiore o uguale a 0 : esce l ambo, 9 A- La prova casuale genera eventi indipendenti, ovvero l esito del primo lancio non condiziona l esito del secondo. In tal caso la probabilità dell evento composto (intersezione) si calcola come il prodotto fra le probabilità fra i singoli eventi In generale, dati due eventi A e indipendenti si avrà A A A T T T T A T T T T A C C in tal caso si è preferito utilizzare il teorema della probabilità dell evento contrario (croce nei due lanci, più semplice da calcolare). Il termine almeno indirizza spesso verso l uso di questo teorema. - La prova casuale genera eventi dipendenti: l esito della prima estrazione condiziona l esito della seconda, in quanto la pallina, una volta estratta, non viene reinserita. ari ari ari ) ari / ari 90 ( La seconda probabilità del prodotto è detta condizionata in quanto il calcolo è condizionato da quanto è successo all evento precedente. In generale, dati due eventi A e dipendenti si avrà A A / A 9 M0 M

7 in tal caso è risultato più conveniente passare per l evento contrario compatibili Eventi casuali incompatibili La probabilità in tal caso va moltiplicata per, ovvero per tutte le sequenze con cui può verificarsi l evento: alla prima estrazione e 9 indipendenti dipendenti alla seconda oppure 9 alla prima e alla seconda (ogni ordinamento ha la stessa probabilità). Serve il calcolo combinatorio rimo esempio roblema: calcolare la probabilità che in un estrazione del lotto ( numeri estratti in blocco da un urna che ne contiene 90, come la tombola), ci siano due numeri prefissati, per esempio 0 e ; si tratta, in altre parole, la probabilità che il mio ambo venga estratto e dunque sia vincente. rova casuale: estrazione in blocco di numeri da un sacchetto che ne contiene 90 Evento casuale E: la cinquina estratta contiene i numeri 0 e Il problema potrebbe essere risolto o con la teoria classica o con il teorema della probabilità composta (intersezione fra eventi); ma in entrambi i casi incontreremmo delle difficoltà. Teoria classica: n (casi possibili): quante sono le cinquine che si possono estrarre? k (casi favorevoli): quante sono le cinquine che contengono i numeri 0 e? er rispondere ai quesiti occorre trattare il calcolo combinatorio che studia appunto come calcolare raggruppamenti di un insieme di elementi presi a gruppi. Teorema della probabilità composta E 0 qualsiasi qualsiasi qualsiasi sequenze sequenze ma quante sono tutte le sequenze di numeri contenenti 0 e? E necessario ancora il calcolo combinatorio! Secondo esempio rova casuale: lancio volte una moneta Evento casuale E: ottengo volte Testa Teorema della probabilità composta E T T C C C sequenze sequenze In questo caso, a differenza del precedente, abbiamo prove indipendenti; rimane però il problema di calcolare il numero di sequenze di elementi contenenti T e C. Terzo esempio scolastico: Quanto vale la probabilità di essere interrogato se l insegnante chiama alunni a caso?

8 Calcolo combinatorio Serve per calcolare in quanti modi raggruppare n elementi presi k alla volta in base a certe caratteristiche del raggruppamento. Esempi: n Quesito In quanti modi amici possono occupare poltrone libere in un cinema? Quanti sono i numeri di cifre ISTINTE che si possono formare utilizzando i numeri,,,,,, 7? Quanti sono i numeri di cifre ANCHE IETUTE che si possono formare utilizzando i numeri,,,,,, 7? Quante colonne si possono giocare al TOTOCALCIO? In quanti modi si può estrarre una cinquina in una ruota del gioco del Lotto? In quanti modi si possono mescolare liquori presi alla volta per ottenere un cocktail? 7 Quanti sono gli anagrammi della parola CASO? 8 Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA? 9 In quanti modi si possono distribuire 0 caramelle uguali a bambini? Quanto valgono n e k negli esempi proposti? n Quesito n k In quanti modi amici possono occupare poltrone libere in un cinema? Quanti sono i numeri di cifre ISTINTE che si possono formare utilizzando i numeri,,,,,, 7? 7 Quanti sono i numeri di cifre ANCHE IETUTE che si possono formare utilizzando i numeri,,,,,, 7? 7 Quante colonne si possono giocare al TOTOCALCIO? In quanti modi si può estrarre una cinquina in una ruota del gioco del Lotto? 90 In quanti modi si possono mescolare liquori presi alla volta per ottenere un cocktail? 7 Quanti sono gli anagrammi della parola CASO? 8 Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA? In quanti modi si possono distribuire 0 caramelle uguali a bambini? 0 roviamo ad individuare alcune caratteristiche dei raggruppamenti In alcuni raggruppamenti l ordine con il quale prendere gli elementi è importante, ovvero due raggruppamenti che differiscono solo per l ordine sono diversi, in altri l ordine non è importante. In alcuni raggruppamenti gli elementi si possono ripetere in altri no. er esempio: Nel n. è evidente che l ordine è importante ma che le cifre non possono ripetersi (distinte) Nel n. invece l ordine della sequenza di estrazione dei numeri non è importante e non ci può essere ripetizione in quanto i numeri estratti non vengono reinseriti. Anche nel n. l ordine con il quale vengono presi i liquori non è importante. Nei numeri 8 e 9 SOLO l ordine è importante (fa la differenza). 8

9 n Quesito n k Importanza ordine ossibilità ripetizione In quanti modi amici possono occupare poltrone libere in un cinema? Sì No Quanti sono i numeri di cifre ISTINTE che si possono formare utilizzando i numeri,,,,,, 7? 7 Sì No Quanti sono i numeri di cifre ANCHE IETUTE che si possono formare utilizzando i numeri,,,,,, 7? 7 Sì Sì Quante colonne si possono giocare al TOTOCALCIO? Sì Sì In quanti modi si può estrarre una cinquina in una ruota del gioco del Lotto? 90 No No In quanti modi si possono mescolare liquori presi alla volta per ottenere un cocktail? No No 7 Quanti sono gli anagrammi della parola CASO? Sì No 8 Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA? 0 0 Sì No 9 In quanti modi si possono distribuire 0 caramelle uguali a bambini? 0 No Sì Assegniamo ora un nome ed un simbolo: vengono chiamati disposizioni i raggruppamenti dove l ordine è importante e combinazioni i raggruppamenti dove l ordine NON è importante. I raggruppamenti vengono inoltre dette semplici se gli elementi non possono essere ripetuti, altrimenti con ripetizione. Le disposizioni con n=k vengono dette permutazioni. La seguente tabella mostra anche i simboli con i quali i vari raggruppamenti vengono identificati. Ordine importante Ordine non importante isposizioni ermutazioni Combinazioni Semplici n,k n C n,k Con ripetizione n,k C n,k Con elementi ripetuti n a,b,.. Nell ultimo caso, le permutazioni con elementi ripetuti, è il gruppo iniziale che, fra gli n elementi, ne contiene alcuni ripetuti a volte, b volte, n Quesito Simbolo In quanti modi amici possono occupare poltrone libere in un cinema?, Quanti sono i numeri di cifre ISTINTE che si possono formare utilizzando i numeri,,,,,, 7? 7, Quanti sono i numeri di cifre ANCHE IETUTE che si possono formare utilizzando i numeri,,,,,, 7? 7, Quante colonne si possono giocare al TOTOCALCIO?, In quanti modi si può estrarre una cinquina in una ruota del gioco del Lotto? C 90, In quanti modi si possono mescolare liquori presi alla volta per ottenere un cocktail? C, 7 Quanti sono gli anagrammi della parola CASO? 8 Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA?,, 0 9 In quanti modi si possono distribuire 0 caramelle uguali a bambini? C,0 ediamo ora le formule utili al calcolo dei raggruppamenti: 9

10 Formulario di Calcolo Combinatorio Ordine importante isposizioni ermutazioni Semplici n,k n n( n )... ( n k ) n! n ( n )... Con ripetizione Con elementi ripetuti n,k n k Ordine non importante n a,b,.. n! a! b! c!... Combinazioni Semplici C n,k n n! n(n)...(n k ) k k!(nk )! k! k n,k Con ripetizione C n,k n k k Osservazioni n,k: si fanno k prodotti di numeri partendo da n e diminuendo ogni volta di ,7 Il prodotto contiene 7 elementi a partire da 0 n=n!: n fattoriale: prodotto fra n, n-, fino ad arrivare a,,;! C n,k: si possono calcolare o utilizzando il coefficiente binomiale o rapportando isposizioni e ermutazioni; il coefficiente binomiale è il rapporto fra fattoriali n n! n, k ; ma è più pratico il calcolo k k!( n k)! 0 k

11 n Quesito Simbolo Soulzioni In quanti modi amici possono occupare poltrone libere in un cinema?, 0 Quanti sono i numeri di cifre ISTINTE che si possono formare utilizzando i numeri,,,,,, 7? 7, 80 Quanti sono i numeri di cifre ANCHE IETUTE che si possono formare utilizzando i numeri,,,,,, 7? 7,.0 Quante colonne si possono giocare al TOTOCALCIO?,.9. In quanti modi si può estrarre una cinquina in una ruota del gioco del Lotto? C 90,.99.8 In quanti modi si possono mescolare liquori presi alla volta per ottenere un cocktail? C, 0 7 Quanti sono gli anagrammi della parola CASO? 8 Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA?,, In quanti modi si possono distribuire 0 caramelle uguali a bambini? C,0 Soluzione problemi con l ausilio del calcolo combinatorio rova casuale: estrazione di numeri in una ruota del Lotto Evento casuale E: la cinquina estratta contiene i numeri 0 e Teoria classica: E C C 88, 90, !! ove C 88, sono tutte le cinquine contenenti i due numeri prefissati, ovvero: tolti i due numeri, in quanti modi si possono raggruppare i rimanenti 88 presi alla volta? Teorema della probabilità composta E 0 qualsiasi qualsiasi qualsiasi sequenze 90 89!! 90 89! 90 89! 80 ove sono tutte le sequenze di elementi fra i quali ve ne sono ripetuti (qualsiasi). rova casuale: lancio volte una moneta Evento casuale E: ottengo volte Testa Teorema della probabilità composta, E T T C C C sequenze! Teoria classica: 80!!, E dove sono tutti i possibili esiti, ovvero raggruppa- menti di elementi (T,C) presi alla volta dove l ordine è importante e sono tutte le sequenze dei lanci di monete contenenti T e C. roblema dell estrazione da un urna contenente palline colorate Un urna contiene 0 palline rosse, bianche e 8 verdi (patriottica?) rova casuale: Si estraggono due palline senza reinserimento (in blocco) E : palline rosse

12 E : palline dello stesso colore E : palline di colore diverso E : pallina rossa ed bianca Il problema verrà risolto con tre approcci diversi: Teoria classica, Teorema della robabilità composta e Grafo ad albero. Teoria classica. n C (nelle estrazioni in blocco non si da importanza all ordine) 0, E ; E, C 70 E C0, C E E C C C 8 0,, 8, ; estraendo due palline, gli eventi stesso colore e colore diverso sono contrari; 0, Teorema della robabilità composta E E E E E ; Grafo ad albero Tutti gli esiti della prova casuale vanno riportato in un grafo ad albero dove nei nodi verranno scritti gli eventi e nei rami le probabilità di passaggio. Osservando il diagramma di fianco si può calcolare (E ) sommando le probabilità dei tre punti d arrivo. Nel grafo, che è una descrizione completa di tutti gli esiti della prova casuale, si potranno calcolare le probabilità degli altri eventi. ia 0/ / 8/ Estrazione 9/ / 8/ 0/ / 8/ 0/ / 7/ Estrazione 8 robabilità stesso colore 0/ * 9/ / * / 8/ * 7/

13 rova casuale: Si estraggono tre palline con reinserimento (ovvero ogni pallina estratta va reinserita) E : palline rosse E : palline rosse E : palline dello stesso colore E : palline di colore diverso E : almeno una pallina rossa Il problema verrà risolto con tre approcci diversi: Teoria classica, Teorema della robabilità composta e Grafo ad albero. Teoria classica., E 0,, n (nelle estrazioni con reinserimento si da importanza 0 0, E 0, all ordine) 0,, 8, E, 08 08! E, 0 N: E, estraendo palline, non è contrario di E In questo ultimo caso conviene passare per l evento contrario Nessuna pallina sia rossa, E, Teorema della robabilità composta E E sequenze E E sequenze E 8

14 Grafo ad albero In questo caso la costruzione completa risulterebbe complessa in quanto i punti d arrivo sono =7. Conviene costruire grafi personalizzati per ogni evento. Esempio: E : palline rosse estraz. estraz. estraz. probabilità osse 0/ 0/ / / 0/ 0/*0/*/ + 0/*/*0/ ia / 0/ 0/ + /*0/*0/ E : palline di colore diverso estraz. estraz. estraz. ia 0/ / 8/ / 8/ 0/ 8/ 8/ / 8/ 0/ probabilità osse 0/*/*8/ + 0/*8/*/ / / / /

15 Esercizi roblemi di calcolo combinatorio ) Quanti sono i numeri di cinque cifre distinte a) qualsiasi b) che finiscono con 0 c) che hanno il 7 in terza posizione d) in ordine crescente che finiscono per 7 Svolgimento: a) Si tratta di raggruppamenti dove l ordine è importante e non ci può essere ripetizione; occorre togliere quelli che iniziano per 0: 0, 9, 7. b) 8, - c) occorre togliere quelli che iniziano per 0: 9, 8,. 88 d) si tratta di sistemare i numeri da a nelle prime posizioni in un solo ordine - crescente dunque senza rimescolarli: C, ) ata la parola LAAGNA, calcolare: a) Numero di anagrammi b) Numero di anagrammi con le tre A consecutive c) Numero di anagrammi che abbiano vocali e consonanti vicine fra di loro Svolgimento: a) b) Le A vengono considerate come un unica lettera 0 c) 8 blocco vocali, blocco consonanti, scambio dei blocchi roblemi di calcolo delle probabilità ) Si lanciano dadi. Calcolare le probabilità dei seguenti eventi utilizzando il teorema della probabilità composta a) E : tre numeri pari b) E : i numeri,, c) E : almeno un a) E b) E c) E 8 ) Un urna contiene 7 palline bianche, 8 rosse e nere. Si estrae una pallina e se è rossa viene reinserita nell urna; se è nera viene reinserita nell urna insieme ad unaltra pallina nera; IN OGNI CASO si estrae una seconda pallina. Calcolare con un grafo ad albero la probabilità che le due palline estratte siano: a) E : dello stesso colore * b) E : di colore diverso (una bianca e una non bianca, ) a) (vedi grafo di lato) E 0, 77 ia 7/0 8/0 /9 8/0 /0 N / N

16 b) (vedi grafo di lato) E 0, 7/0 /9 ia 8/0 /0 ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare I casi possibili sono, n E a) c è solo un caso favorevole: b) casi favorevoli:, : E! 9.!7! c) casi favorevoli:,7,7 7 8, ovvero 7 risultati sono errati (si può sbagliare in modi), sono giusti (un solo modo) e occorre rimescolare le sequenze: 9.8 E Indice /0 N / N efinizioni... Calcolo della probabilità... Teoria classica... Teoria frequentista (o statistica)... Teoria soggettiva... Teoria assiomatica... robabilità additiva... roblemi di calcolo delle probabilità risolvibili con la teoria classica... robabilità dell intersezione di eventi... Calcolo combinatorio... 8 Formulario di Calcolo Combinatorio... 0 roblema dell estrazione da un urna contenente palline colorate... Esercizi...