Lezione 11. Dal diagramma di Lexis alla costruzione di una tavola di sopravvivenza/eliminazione

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1 CORSO DI DEMOGRAFIA Storia & Scenari Giuseppe A. Micheli Lezione Dal diagramma di Lexis alla costruzione di una tavola di sopravvivenza/eliminazione Demos - Storia e Scenari -

2 Argomenti di questa lezione In questa lezione discuteremo dei seguenti argomenti:. Diagramma di Lexis e conteggio di eventi e popolazioni [-7]. Calcolo delle probabilità del processo di eliminazione [8-]. Le funzioni biometriche della tavola [-] 4. Tavole per generazioni, tavole per contemporanei [-6] Nota: le slides di questa lezione rielaborano materiali didattici di A. Rosina Demos - Storia e Scenari -

3 Il diagramma di Lexis Il diagramma di Lexis (ideato da Wilhelm Lexis nel 875) è uno strumento utile per rappresentare popolazione ed eventi relativamente alle tre dimensioni del tempo. Consiste in un diagramma cartesiano che riporta sull asse delle ordinate l età (tempo individuale) e nelle ascisse il periodo (tempo storico). Prendiamo ad esempio due individui: Tizio, nato il primo luglio del 995 e attualmente ancora in vita Caio, nato il primo aprile del 996 e deceduto il primo settembre 998. Limitiamoci a considerare come eventi biografici di interesse solo nascita (inizio) e decesso (conclusione della biografia individuale). Proviamo a riportare le due traiettorie di vita sul diagramma. In ogni istante la freccia di vita di un individuo è contraddistinto da due coordinate esplicite (il momento storico t dell osservazione e l età x) e una implicita, algebricamente pari alla differenza tra le prime due. Demos - Storia e Scenari -

4 Linee di vita individuali 5 4 Linea di vita 4 anni e mezzo il.. decesso Coordinate Temporali di Tizio: Periodo:.. Età: 4 anni Generazione: 995 nascita Demos - Storia e Scenari - 4

5 La contabilità delle generazioni 4 5 Se si raggruppano le linee di vita delle persone nate nello stesso anno si individua una generazione. I segmenti contano una generazione in base al numero di linee che vi transitano (viventi). Quantifichiamo popolazione ed eventi assegnando un significato ai segmenti ed alle aree. Vicende della generazione del 996 Segmenti verticali conteggiano (in base alle linee che vi transitano) le persone viventi in un dato momento storico (es...99); Segmenti orizzontali conteggiano (in base alle linee che vi transitano) le persone viventi a una precisa età (es. al secondo compleanno) Demos - Storia e Scenari - 5

6 5 4 La punteggiatura degli eventi AB: nati nel 995; BC nati nel 996 DG: individui Gen95 arrivati vivi al..98 GF: individui Gen95 arrivati vivi a compiere il compleanno. Area DGF: individui Gen95 deceduti tra il..98 e il compimento del compleanno. Area DFE: individui Gen96 deceduti tra l entrata nel anno di vita e il..99 Area MDG: individui M Gen95 deceduti tra l entrata nel anno di vita e il..98 A B C G D Demos - Storia e Scenari - 6 F E L I H Le aree contano gli eventi sotto osservazione (decessi, nascite, unioni, ma anche entrate/uscite dal mondo del lavoro, malattie, etc) di una generazione in base al numero di linee che nell area si interrompono. Area Quadrato DEFG: individui di Gen95 o Gen96 che sono deceduti nel corso dell anno storico 998. Area Parallelogramma MDFG: individui di Gen95 deceduti tra entrata e compimento del anno di vita.

7 Contabilità per periodi e contabilità per generazioni Se si osservano 4 nascite nel 998, e di tali nascite: 5 decessi sono avvenuti in età nell anno 998 decessi sono avvenuti in età nell anno 999 decessi sono avvenuti in età nell anno 999 Allora in assenza di movimenti migratori - troveremo individui di età nella popolazione del... Quanti sono i sopravviventi della generazione del 998 al primo compleanno? [Risp: 4-5-=4] Quanti sono i decessi avvenuti in età nel corso del 999? [Risp: +4=7] Demos - Storia e Scenari - 7

8 Da Lexis alla life-table La tavola di mortalità è lo strumento più adeguato per descrivere il processo di estinzione di una generazione di individui. Nasce dall intuizione di John Graunt nel 66, poi raffinata successivamente da vari autori (in primo luogo da Halley 69). In generale quello che si studia è la sperimentazione di un evento di interesse (nella fattispecie morte ) nel corso del tempo individuale (biografico). Il tempo individuale è misurato a partire da un evento origine e si conclude con la sperimentazione dell evento di interesse. Nel caso della mortalità (ma la logica è generalizzabile): l evento origine è la nascita, l evento di interesse èla morte. I dati di base sono costituiti dalle durate individuali di vita, cioè di attesa dell evento di interesse. Ovvero, per ciascun individuo studiato serve l informazione su data di nascita e data di morte. L obiettivo è di stimare la probabilità di morte alle varie età. Demos - Storia e Scenari - 8

9 Il processo di eliminazione Supponiamo di voler descrivere il processo di eliminazione per morte di una generazione di 5 individui. N= R = 5 è la radice della nostra tavola. Di quei 5 ne muoiono 5 nel primo anno di vita, nel secondo, nel terzo. La coorte è inizialmente composta da 5 individui. Quindi: N= R = 5. Su R = 5 individui D = 5 muoiono all età, quindi: R =R D =5 5=5 arrivano a compiere il compleanno. Su R =5 individui D = muoiono all età, quindi: R =R D =5 =5 arrivano a compiere il compleanno. Su R =5 individui D = muoiono all età, quindi R =R D =5 =5 arrivano a compiere il compleanno Demos - Storia e Scenari - 9

10 Calcolo delle probabilità di morte La probabilità (condizionata) di morte in un certo intervallo di tempo è il rapporto tra i casi favorevoli (eventi morte) e quelli possibili (non tutti gli individui iniziali, ma quelli vivi a inizio intervallo): qx = Mx / Rx. Probabilità condizionata di morte all età : q = q = # decessi in età contingent e iniziale (nascite) D = =5/5=, R Probabilità condizionata di morte all età : q = # decessi in età # sopravvissuti al I compleanno D = =/5=,57 R Probabilità condizionata di morte all età : # decessi in età # sopravvissuti al II compleanno D = =/5=,67 R Notazioni utilizzate: X età (durata di sopravvivenza in anni compiuti) q x probabilità condizionata di morte D x numero di persone che hanno sperimentato l evento di interesse (decessi) in età X R x numero di esposti al rischio di subire l evento in età X (sopravvissuti sino al compleanno X) Demos - Storia e Scenari -

11 Relazioni tra funzioni biometriche Stimate le probabilità di morte q x è possibile ottenere altre funzioni biometriche (utili per arricchire la descrizione del processo di mortalità). Probabilità di sopravvivenza [probabilità di sopravvivere sino al compleanno x+ dato che si è sopravvissuti sino al compleanno x] p x = - q x = Pr(X x+ X x) Funzione di sopravvivenza l x = Pr(X x) l x = L p p p x- = L k = x p k = L k = In generale: l x+ = l x p x, ovvero l x+ = l x ( - q x ) Funzione dei decessi d x x ( - q k ) [per x>] d x = ( L p p p p x- ) q x = l x q x Inoltre d x =l x l x+ e viceversa: l x+ =l x -d x Demos - Storia e Scenari -

12 Altre funzioni biometriche Anni vissuti L x [numero di anni-persona complessivamente vissuti dalla popolazione tra il compleanno x ed x+]: L x = l x+ +,5 d x = (l x + l x+ ) / L ipotesi è che tra chi è arrivato al compleanno l x una parte (l x+ ) vive tutto intero l anno x-esimo, mentre gli altri d x (che muoiono prima di arrivare al compleanno x+) vivano mediamente mezzo anno. Durata media di vita ( speranza di vita alla nascita ) ω e = M(X) = x= ω e = M(X) = = x (X +,5) d x L x / l Numero medio che una persona che fa parte della radice della tavola si può attendere di vivere: è il valor medio della variabile età X. Ma essa può anche essere calcolata partendo dagli anni vissuti complessivamente dalla popolazione alla nascita. NB: Si può calcolare anche la durata media di vita per quelli che sono sopravvissuti ad un certo compleanno x (speranza di vita all età x). Demos - Storia e Scenari -

13 Tavole per contemporanei Finora abbiamo considerato la mortalità di una generazione, seguita longitudinalmente nel tempo dalla nascita alla morte dell ultimo individuo. Ma si può anche descrivere la mortalità per contemporanei, mettendo assieme in un dato anno t la mortalità sperimentata a varie età dalle generazioni che attraversano tale anno. Allarghiamo l esempio iniziale, vediamo come costruire una tavola di mortalità per contemporanei centrata sul primo gennaio Dati di base: Nel nascono R = 48 bambini, e ne muoiono D = prima del primo compleanno. 999 R = 5 individui della generazione del 999 arrivano a compiere il primo anno di età. Di questi 999 D = muoiono prima del secondo compleanno. 998 R = 5 individui della generazione del 998 arrivano a compiere il secondo anno di età. Di questi 998 D = muoiono prima del terzo compleanno. 997 R = individui della generazione del 997 arrivano a compiere il terzo anno. Muoiono tutti prima del quarto compleanno. Demos - Storia e Scenari -

14 Probabilità per contemporanei Le probabilità di morte della tavola di mortalità per contemporanei (centrata al..) saranno quindi: q = / 48 =,5; q = / 5 =,5; q = / 5 =,67; q =. Per contemporanei Se centriamo la costruzione della tavola sul..: q = mortalità in età di nati nel q = mortalità in età di nati nel 999 q = mortalità in età di nati nel 998 fino a.. q =mortalità in età di nati nel 9 Per generazioni,67,57,5,,8,5 Demos - Storia e Scenari

15 Tavole femminili Italia 998 X lx dx qx Lx ex Sommatoria degli L x = 889; e = 889 / 8,4 X lx dx qx Lx ex Demos - Storia e Scenari - 5

16 Demos - Storia e Scenari - Sopravvivenza (mesi) al I impiego dalla 6 laurea Curve di funzioni bio (e altro) Integrale = l d x q x l x