1 se si verifica E 0 se non si verifica E. S se si verifica E 0 altrimenti.

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1 Probabilità Soggettiva Definizione 3 Dato un evento E, la probabilità P (E) =p dell evento E, secondo un dato individuo in un certo stato di informazione, è la misura numerica (coerente) del suo grado di fiducia nel verificarsi di E. Criterio operativo di misura + condizione di coerenza: Criterio della scommessa P (E) =p rappresenta il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se si verifica E 0 se non si verifica E. Più in generale, se S 2 R, S 6= 0, l individuo deve essere disposto a pagare ps per ricevere S se si verifica E 0 altrimenti. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 64

2 Condizione di coerenza: L individuo deve essere coerente, cioè le sue valutazioni di probabilità per uno o più eventi non devono essere tali da fargli subire una perdita certa. Se indichiamo con G il guadagno aleatorio, si ha G = S( E p) = S(1 p), E vero ps, E falso. In generale, data una famiglia F n = {E 1,...,E n } ed un assegnazione di probabilità P n =(p 1,...,p n ) su F n, con p i = P (E i ), i =1,...,n, il guadagno aleatorio corrispondente è dato da nx G = S i ( E i p i ), dove S 1,...,S n sono n numeri reali arbitrari (non tutti nulli). i=1 Definizione 4 La valutazione P n si dice coerente se, per ogni scelta di S 1,...,S n, risulta Min G Max Gapple0. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 65

3 Esempio 17 Sia F = {A, B, A c B c } esiap =(0.4, 0.3, 0.2) una valutazione di probabilità su F. Cioè: Proposizione grado di fid. A p A =0.4 B p B =0.3 A c B c p A c B c =0.2 Mostriamo che tali valutazioni di probabilità sono incoerenti in quanto esistono degli importi S 1,S 2,S 3 che rendono positivi tutti i guadagni. Fissiamo i seguenti importi: S 1 = S 2 = S 3 =$10. L espressione del guadagno aleatorio diventa: G =$10( A 0.4) + $10( B 0.3) + $10( A c B c 0.2). Ovvero l individuo: $10, A, paga $4 per ricevere 0, A c ; $10, B, paga $3 per ricevere 0, B c ; $10, A c B c, paga $2 per ricevere 0, (A c B c ) c. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 66

4 In sintesi si ha paga evento riceve guad. evento riceve guad. $4 A $10 $6 A c $0 $4 $3 B $10 $7 B c $0 $3 $2 A c B c $10 $8 (A c B c ) c $0 $8 I possibili valori del guadagno in corrispondenza dei costituenti saranno: g AB = $10(1 0.4) + $10(1 0.3) + $10( 0.2) = $11 g AB c = $10(1 0.4) + $10( 0.3) + $10( 0.2) = $1 g A c B = $10( 0.4) + $10(1 0.3) + $10( 0.2) = $1 g A c B c = $10( 0.4) + $10( 0.3) + $10(1 0.2) = $1 Avendo trovato una combinazione di scommesse in cui i valori dei guadagni sono tutti positivi ne segue che P è incoerente. Esempio 18 (Sul teorema delle probabilità totali) 4 Consideriamo una gara in cui ci sono tra i vari concorrenti due italiani e precisamente i concorrenti A e B e indichiamo i seguenti eventi E A = vince il concorrente A, E B = vince il concorrente B. Quale è la probabilità di vittoria italiana? Supponiamo che l individuo 0 che tenga il banco valuti uguale a 0.60 la probabilità di vittoria del concorrente A (p A =0.60) e a 0.20 la probabilità di vittoria del concorrente B, ecioèdiaa vincente a 3 contro 2 ( =0.6) 4 Sul significato soggettivo della probabilità G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 67

5 e B vincente a 1 contro 4 ( =0.2). Allora è necessario che valuti la probabilità di vittoria italiana uguale a 0.80, ovvero che dia l Italia vincente a 4 contro 1. Infatti, un competitore che compri a 0.60 euro un buono che vince 1 euro se vince A,eun buono a 0.20 euro che vince 1 euro se vince B, spende in tutto 0.80 euro ed ha un insieme di due buoni che vince 1 euro in caso di vittoria italiana (vince A o B). L individuo che tiene il banco e ha valutato uguale a 0.60 e 0.20 le probabilità di vittoria di A edib, e si è cioè impegnato ad accettare scommesse col pubblico su queste basi, si è con ciò implicatamente impegnato ad accettare scommese sulla vittoria italiana implicitamente valutato uguale a =0.80, ha cioè implicitamente valutato uguale a 0.80 la probabilità di vittoria italiana. (L individuo ha applicato il teorema delle probabilità totali P (E A _ E B )=P (E A )+P (E B ), E A E B = ;) Se, invece, egli non comprendesse, e, senza rispettare il teorema delle probabilità totali, valutasse la probabilità di vittoria italiana a 0.75 allora accadrebbe che se un competitore scommettesse 1 euro nel caso di vittoria italiana, 1 euro contro la vittoria di A e 1 euro contro la vittoria di B e cioè pagasse 0.75 per un buono che vince 1 euro nel caso di vittoria italiana, cioè paga 0.75 per ricevere 1, EA _ E B, 0, E c A ^ Ec B ; G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 68

6 e riscuotesse 0.60 e.20 euro impegnandosi a versare 1 euro rispettivamente se vincono A, B, cioè paga per ricevere 1, EA, 1, EB, 0, E c A ; paga per ricevere 0, E c B ; allora avrebbe intascato 5 eurocent (0.05) e sarebbe libero da ogni altro impegno perchè le eventuali vincite e perdite si compensano in ogni caso. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 69

7 Esempio 19 Dati due eventi incompatibili, A, B, supponiamo che un individuo valuti P (A) =0.60, P (B) =0.20 e P (A _ B) =0.75 e verifichiamo che l individuo non è coerente. Ovvero esiste una combinazione di scommesse S A,S B,S A_B che porta a guadagni certi o vincite certe.se fissiamo S A_B = 1 e S A,S B =1si ha G =( A 0.60) + ( B 0.20) ( A _ B 0.75) = =0 z } { A + B A _ B = 0.05 < 0. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 70

8 Coerenza e proprietà della probabilità Verifichiamo che le tre Proprietà fondamentali della probabilità P1. P (E) 0, per ogni evento E; P2. P ( ) = 1 ; P3. se AB = ;, allorap (A _ B) =P (A) +P (B). sono condizioni necessarie per la coerenza. Sia E un evento, ricordiamo che il guadagno aleatorio associato alla valutazione P (E) =p, èdatoda G = S(1 p), E vero ps, E falso. La condizione di coerenza Min G Max Gapple0, 8S 6= 0 diventa S(1 p)( ps) = p(1 p)s 2 apple 0, che è soddisfatta se e solo se 0 apple p apple 1. Pertanto la Proprietà P1 è condizione necessaria (ma anche su ciente) per la coerenza di G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 71

9 una valutazione di probabilità su un evento). Se E =,siha Min G = Max G = G = S(1 p). La condizione di coerenza diviene S(1 p) S(1 p) apple 0, 8S 6= 0 richiede G =0, per ogni S. Pertanto, la condizione di coerenza richiede P ( ) = 1, ovvero la Proprietà P2 è condizione necessaria per la coerenza. Essa è anche su ciente, infatti P ( ) = 1 è una valutazione coerente poichè G =0per ogni S. Analogamente si prova che condizione necessaria e su valutazione su un evento impossibile è P (;) =0. ciente per la coerenza di una Per quanto riguarda la dimostrazione della necessità della proprietà additiva (P3) consideriamo dapprima una partizione di, costituita da n eventi {H 1,...,H n }, di probabilità p 1,...,p n e dimostriamo che condizione necessaria per la coerenza di p 1,...,p n è c h e p 1 + p p n =1. (In realtà la condizione è anche su ciente) G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 72

10 Il guadagno totale relativo ad n scommesse simultanee sugli eventi H 1,...,H n, con importi S 1,...,S n,è G = S 1 ( H 1 p 1 )+ + S n ( H n p n ). Poichè H H n =1,perS 1 = = S n = S si ottiene Min G = Max G = G = = S[1 (p p n )]. Per la condizione di coerenza, dev essere G =0. Allora, segue p p n =1, ovvero P (H 1 )+ + P (H n )=1. (14) Dim. che la proprietà additiva è condizione necessaria per la coerenza: dati due eventi incompatibili A, B, per la partizione {A _ B, (A _ B) c } deve essere soddisfatta la condizione P (A _ B) +P [(A _ B) c ]=1. D altra parte, per la partizione {A, B, (A _ B) c } deve valere P (A) +P (B) +P [(A _ B) c ]=1, da cui si ottiene : P (A _ B) =P (A) +P (B). (15) G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 73

11 La formula (15) nel caso di n eventi E 1,...,E n (Teorema delle probabilità totali) a due a due incompatibili diventa P (E 1 _ _E n )=P (E 1 )+ + P (E n ). (16) Diamo una citazione presa dall articolo Sul significato soggettivo delle probabilità di Bruno de Finetti estratto da Fundamenta Mathematica (1931). Dimostrate le proprietà fondamentali del calcolo classico delle probabilità, ne scende che tutti i risultati di tale calcolo non sono che conseguenze della definizione che abbiamo data della coerenza. Un individuo che nel giudicare delle probabilità di certi eventi contraddice un teorema del calcolo delle probabilità non è coerente: un competitore potrebbe scommettere con lui assicurandosi la vincita a colpo sicuro. Osservazione 1 (criterio classico di valutazione) Se in un dato esperimento aleatorio si hanno m casi possibili C 1,...,C m giudicati ugualmente probabili, poichè P (C 1 )+ + P (C m )=1, G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 74

12 segue P (C k )= 1 m, k =1,...,m. Allora, considerato un evento E con r casi favorevoli, ad esempio E = C 1 _ _C r, dalla formula ( 16) si ottiene P (E) =P (C 1 )+ + P (C r )= r m, cioè la probabilità di E è pari al rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 75

13 Costituenti. Osserviamo che ^ = echee _ E c =, 8 E. Sfruttando tali relazioni, considerati due eventi A, B, si possono determinare i costituenti o casi elementari, eliminando le intersezioni impossibili dallo sviluppo della seguente espressione: (A _ A c ) ^ (B _ B c )= (AB _ AB c _ A c B _ A c B c (17) ). In generale, data una famiglia F n = {E 1,...,E n },icasipossibili, C 1,...,C m, con m apple 2 n, si ottengono dallo sviluppo della seguente espressione (eliminando le intersezioni impossibili) (E 1 _ E c 1 ) ^ (E 2 _ E c 2 ) ^ ^(E n _ E c n )=C 1 _ C 2 _ _C m dove C k = E 1 E 2 E n, k =1, 2,...,m apple 2n, dove E i = E i, oppure E i = Ec i. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 76

14 G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 77

15 Esempio 20 (Costituenti) Dati 2 eventi A, B con A B si hanno i seguenti costituenti (vedi Figura 15) Infatti l intersezione AB c = ;. C 1 = AB C 2 = A c B C 3 = A c B c. A B Ω Figura 15: A B G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 78

16 Esercizio 6 Supponiamo di e ettuare il lancio di un dado. Consideriamo gli eventi: A = Esce il numero 2, B = Esce un numero pari. Calcolare i costituenti relativi alla famiglia F = {A, B}. Esercizio 7 Dati 3 eventi A, B, C con A e C incompatibili e B C. Calcolare i costituenti relativi alla famiglia F = {A, B, C}. Esercizio 8 Da un urna contenente 5 palline bianche e 3 nere si e ettuano 2 estrazioni senza restituzione. Sia A l evento la 1 a pallina estratta è bianca e B l evento la 2 a pallina estratta è bianca. Calcolare, in relazione a ciascun evento, il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, confrontando i valori ottenuti per A e B. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 79

17 Decomposizione di un evento nell unione dei costituenti ad esso favorevoli Data una famiglia F n = {E 1,...,E n }, siano C 1,C 2,...,C m i relativi costituenti. Utilizzando la formula di decomposizione per ogni evento E i si ha E i = E i ^ =E i ^ (C 1 _ C 2 _ _C m )= = E i C 1 _ E i C 2 _ _E i C m. Facendo distinzione tra i costituenti favorevoli ad E i e quelli contrari si ha la seguente rappresentazione E i = (E i C h ) _ (E i C h ). h:c h E i h:c h *E i Eliminando le intersezioni impossibili e osservando che, se C h * E i allora E i C h = ;, si ottiene E i = _ (E i C h ). h:c h E i Infine poichè per C h E i si ha E i C h = C h, possiamo scrivere E i = _ C h, h:c h E i ovvero ogni evento E i si può scrivere come unione logica dei costituenti ad esso favorevoli. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 80

18 Esempio 21 Con riferimento a una data partita di calcio tra la Roma el Inter, si considerino gli eventi: A : la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in vantaggio sull Inter; B : la Roma vince la partita; C : la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in svantaggio sull Inter. I casi possibili relativi agli eventi A, B, C, tenendo conto che A e C sono incompatibili e quindi che gli eventi ABC e AB c C risultano impossibili, sono i seguenti: C 1 = ABC c,cioèa e B veri e C falso; vale a dire: la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in vantaggio sull Inter e vince la partita. C 2 = A c BC, cioèa falso e B e C veri; vale a dire: la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in svantaggio sull Inter e vince la partita. C 3 = A c BC c,cioèa e C falsi e B vero; vale a dire: a cinque minuti dal termine della gara le squadre sono in parità e la Roma vince la partita. C 4 = AB c C c,cioèa vero e B e C falsi; vale a dire: la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in vantaggio sull Inter e non vince la partita. C 5 = A c B c C,cioè A e B falsi e C vero; vale a dire: la Roma a cinque minuti dal termine della gara è in svantaggio sull Inter e non vince la partita. C 6 = A c B c C c,cioè A, B e C falsi; vale a dire: a cinque minuti dal termine della gara le squadre sono in parità e la Roma non vince la partita. Si ha A = ABC c _ AB c C c, B = C 1 _ C 2 _ C 3, C = C 2 _ C 5. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 81

19 Verifica della coerenza Sia F n = {E 1,...,E n } una famiglia di eventi arbitrari, legati da possibili relazioni logiche. Inoltre, sia P n =(p 1,...,p n ) una assegnazione di probabilità su F n, con p i = P (E i ), i =1,...,n. Siano C 1,...,C m, con m apple 2 n, i costituenti relativi alla famiglia F n. Abbiamo visto che ogni evento E i si può esprimere come unione logica dei costituenti ad esso favorevoli, ovvero E i = _ C h. (18) h:c h E i Se si assegnano le probabilità x h = P (C h ) a tutti i costituenti, poichè questi formano una partizione, dev essere x h 0, h =1,...,m; nx x h =1. (19) h=1 Inoltre, dalla (18) segue P (E i )= X h:c h E i x h. (20) G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 82

20 Si consideri il seguente sistema nelle incognite (non negative) x 1,...,x m 8 X x h = p i, h:c h E i i =1,...,n; (S) : >< mx x h =1, (21) h=1 >: Si può dimostrare il seguente risultato x h 0, h =1,...,m. Teorema 2 La valutazione di probabilità P n è coerente se e solo se il sistema (S) è risolubile. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 83

21 Esempio 22 Dati tre eventi A, B, C, con A ^ C = ;, verificare se la valutazione P (A) =P (B) =P (C) =0.4, P (A ^ B) =P (B ^ C) =0.2 è c o e r e n t e. Soluzione. I costituenti sono Osserviamo che si ha C 1 = AB c C c C 2 = ABC c C 3 = A c BC c C 4 = A c BC C 5 = A c B c C C 6 = A c B c C c. pertanto il sistema (S) diviene A = C 1 _ C 2 B = C 2 _ C 3 _ C 4 C = C 4 _ C 5 AB = C 2 BC = C 4, 8 >< >: P (A) =0.4 =x 1 + x 2 P (B) =0.4 =x 2 + x 3 + x 4 P (C) =0.4 =x 4 + x 5 P (AB) =0.2 =x 2,P(BC) =0.2 =x 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 =1, x i 0, i =1...6 Tale sistema ammette la soluzione (0.2, 0.2, 0, 0.2, 0.2, 0.2) quindi la valutazione data è c o e r e n t e. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 84

22 Esercizio 9 Provare che il sistema relativo alla valutazione di probabilità P = (0.4, 0.3, 0.2) su F = {A, B, A c B c } non ammette soluzioni. Esempio 23 Siano A, B, C tre eventi tali che A e B siano incompatibili, inoltre (A _ B) ^ C = ;. Determinare se la valutazione di probabilità P (A) = 2 3,P(B) = 1 12,P(C) =1 4 è coerente, e in caso a ermativo calcolare i valori di probabilità coerenti p per l evento A c ^ B c ^ C c. Soluzione Esempio 23. Si ha A ^ B = A ^ C = B ^ C = ; e quindi i costituenti sono C 1 = A ^ B c ^ C c = A, C 2 = A c ^ B ^ C c = B, C 3 = A c ^ B c ^ C = C, C 4 = A c ^ B c ^ C c. Allora, per la coerenza, dev essere: P (A) +P (B) +P (C) apple 1, ed essendo P (A) +P (B) +P (C) =1l assegnazione è coerente. Inoltre, dalla relazione P (A) +P (B) +P (C) +P (A c ^ B c ^ C c )=1, segue: p = P (A c ^ B c ^ C c )=0. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 6 del 19 Aprile pag. 85