fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio

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1 Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore + by + y + b = fttore 1 ( + b) fttore ( + y) fttore 3 È bene vedere nche qulche esempio in cui in polinomio non si può considerre scomposto Il seguente polinomio non si può considerre scomposto in fttori perché risult l somm di due ddendi = ddendo + 1 ddendo L scomposizione corrett è = ( + ) + 1 Nel seguente cso l scomposizione non è termint perché uno dei fttori è ncor scomponibile = 3 ncor scomponibile ( + 1) L scomposizione termint è = ( 3)( + 1) Non tutti i polinomi sono scomponibili in fttori Ad esempio il polinomio + 1 non lo è Ci sono nche polinomi scomponibili in fttori l cui scomposizione non è 1 fttibile con le tecniche elementri che impreri in seguito Ad esempio il polinomio è scomponibile m non sri in grdo di scomporlo Tieni presente che tutti i polinomi di grdo mggiore di contenenti un sol letter sono scomponibili nel prodotto di polinomi di primo o secondo grdo D qui riuscire scomporli ce ne pss Nelle sezioni successive impreri le tecniche di scomposizione più comuni Rccoglimento fttore comune Qundo in un polinomio esegui un rccoglimento fttore comune devi determinre il mssimo comun divisore tr tutti gli ddendi del polinomio Il mssimo comun divisore lo clcoli come hi sicurmente imprto ll scuol medi prendendo tutti i fttori comuni con il loro esponente minore L presenz di lettere non complic le cose perché puoi considerre ogni letter come un fttore primo Segui i seguenti esempi e poi svolgi gli esercizi proposti 1 Scomponi il polinomio Il polinomio h tre ddendi: e 6 3 I fttori comuni i tre ddendi sono il 3 e l che h come esponente minore Il loro mssimo comun divisore è quindi 3 Puoi vedere il tuo polinomio come il prodotto tr 3 e un nuovo polinomio che ottieni dividendo tutti gli ddendi per 3 : pssggio d eseguire mentlmente = : : : 3 = = Scomponi il polinomio 15 b 3 0b Il mssimo comun divisore dei due ddendi è 5b Allor 15 b 3 0b = scrivimo questo pssggio per l ultim volt 5b 15 b 3 : 5b 0b : 5b = = 5b (3b 4)

2 3 Scomponi il polinomio 3( + b) 4( + b) Questo esempio ti servirà soprttutto nell prossim sezione qundo impreri il rccoglimento przile Consideri il polinomio come l somm di due ddendi: 3( + b) ddendo 1 4( + b) ddendo I due ddendi hnno in comune il fttore ( + b) che puoi rccogliere 3( + b) 4( + b) = ( + b) [(3( + b) 4] = ( + b)(3 + 6b 4) Se hi cpito il procedimento pss ll esempio successivo ltrimenti cerc di pensre ( + b) come se fosse un letter d esempio H e segui il prllelo tr le due scomposizioni seguenti 3H 4H = H (3H 4) 3( + b) 4( + b) = ( + b) [3( + b) 4] 4 Scomponi il polinomio 70 n 35 n 7 n+ Se consideri n un numero nturle (0 1 3 ) come dovri sempre fre in questi esercizi il mssimo comun divisore tr i tre ddendi è 7 n Allor 70 n 35 n 7 n+ = 7 n 10 n 5 7 Se possibile scomponi rccogliendo fttore comune Negli esercizi in cui compiono esponenti letterli le lettere possono ssumere solo vlori interi per cui gli esponenti risultino non negtivi b 30c [3( + ) 10( + b 3)] + 3 b(5b + 4) b b [(9 8) non scomponibile] y y y y(1 15y) 3 y b 3 3 b 9b + 15bc 3b 3b + 5c y y b + 1 b 18 3 b b 5 + b 3 b 8 ( ) b b 3 c 16 b 4 c 56 3 b 4 c 8 b 3 (4b + c bc 7bc) c 3b + 3 [3 (7 + c b + )] y 0 3 [non scomponibile] c + 4bc 1c c 3 4c (4 + b 3c + c) 14 ( 3b) y( 3b) + ( 3b) [( 3b)( y + 1)] 15 ( + 3y) ( + 3y) + 3( + 3y) [( + 3y)( + 3y + 3)] 16 (b + c) + b(b + c) bc(b + c) [(b + c)(1 + bc)] 17 ( y) ( y) + ( y) 3 ( y) 1 + y 18 3n n+1 4 n n y n n 1 n n n+1 4 n 1 (y n 1) 19 3n + 4 5n 6 4n 3n 1 + n 3 n 0 n n n n n + n n n ( n n) n + n+ 1 n+ + n+3 3n+1 n+1 n+1 + n+ n 1 n+1 + n + n+ + n n + n + n+ + 1 Rccoglimento przile Cerc di comprendere i seguenti esercizi svolti 5 Scomponi il polinomio + b + + b 3

3 I quttro ddendi non hnno fttori in comune però puoi rccogliere il fttore nei primi due e il fttore nei successivi Ottieni + b rccogli + + b rccogli = ( + b) + ( + b) A questo punto procedi come nell esempio 3 di pgin cioè rccogli ( + b) All fine ottieni + b + + b = ( + b) + ( + b) = ( + b)( + ) Puoi svolgere l esercizio nche rccogliendo nel primo e nel terzo termine e b nel secondo e nel qurto Poi rccogli ( + ): + b + + b = ( + ) + b( + ) = ( + )( + b) Ovvimente il risultto è lo stesso 6 Scomponi il polinomio + 3b 6b Rccogli nei primi due termini rccogli 3b nel terzo e nel qurto + 3b 6b = (1 + ) + 3b( 1 ) A questo punto le due prentesi non contengono l stess espressione quindi non potresti procedere nel rccoglimento M l unic differenz che c è tr 1 + e 1 è il segno Se nel terzo e nel qurto termine rccogli 3b l posto di 3b l differenz sprisce + rccogli 3b 6b rccogli 3b = (1 + ) 3b(1 + ) = (1 + )( 3b) Puoi nche svolgere l esercizio rccogliendo 1 nel primo e nel terzo ddendo e rccogliendo nel secondo e nel qurto Provci 7 Scomponi il polinomio b 6y + 3by L prim cos che devi fre qundo scomponi un polinomio è controllre se c è l possibilità di un rccoglimento comune In questo cso i quttro ddendi hnno in comune il fttore Lo rccogli poi procedi col 6 rccoglimento przile: b 6y + 3by = rccogli b rccogli 3y 6y + 3by = = [( b) 3y( b)] = = ( b)( 3y) 8 Scomponi il polinomio 1+n + n n 1+n Rccogli nel primo e nel secondo ddendo rccogli n negli ltri due Ottieni 1+n + n n 1+n = ( n ) + n ( n ) = ( n ) ( + n ) Esercizi sul rccoglimento przile Nei seguenti esercizi può essere necessrio utilizzre oltre l rccoglimento przile nche quello comune 3 b b + y y [( )(b + y)] ( + 1) ( + 1) t 3 6t [( + t)( 3)] y 3 + 3y + 3 y + 3y + 3y b b 3b ( b) t 4 6t 3 + t 3 3 (t 3) t b b 3 b 4 ( + b) b b 1y by + 7y [(b 7y)(3 y)] 3 b b + b ( b) b + 33 b + b + b 1 [(b 1)( + + 1)] 34 n+1 + b n b b [( b) ( n + b)] 5

4 35 y + 3 y 4y 4 y [y( y)( + 1)] 36 m n + mn 10m 0m [m(m + )(n 10)] 37 t 5 t 4 + t t t t (t 1) y 15 y ( 5)(y 6) 39 n n+1 + 3n n n n 3 n+1 [(n n ) ( n + 3)] ( 3) b + b + c + c + bc + bc [( + 1)(b + 1)(c + 1)] y 7y [(3 7)( + y)] 43 b + 4b 6b (b ) 44 n n+ 5 n+1 15 n n n n+1 + n + n + n n + n + 1 [(n n n ) (n + 1)] 46 n+1 y 4 n y n+1 + n [ n ( )(y 1)] 47 t n+4 nt n+3 + nt n+ n t n+1 t n+1 (t n) n + t Differenz di qudrti Imprndo i prodotti notevoli hi già incontrto l formul (A + B)(A B) = A B che ti consente di velocizzre i clcoli in lcune situzioni Nell scomposizione utilizzeri quest formul l contrrio cioè prtendo dll differenz di due qudrti dovri rislire l prodotto di due polinomi: uno dto dll somm di due monomi l ltro dll differenz degli stessi binomi Utilizzeri quindi l seguente Regol A B = (A + B)(A B) Segui i seguenti esercizi svolti 8 9 Scomponi il polinomio 4y 5 Il polinomio è l differenz di due qudrti: 4y che è il qudrto di y e 5 che è il qudrto di y Allor 4y 5 = ( y A ) ( 5 ) = (y + 5 B A+B )(y + 5 A+B ) 10 Scomponi il polinomio Hi = 9 (4) = A = (3 + )(3 ) B 9 4 = 11 Scomponi il polinomio 4 3 t Prim devi eseguire un rccoglimento comune 4 3 t = 4 t = ( t)( + t) A B 1 Scomponi il polinomio (3 + b) 9 Il primo qudrto non è il qudrto di un monomio m non h importnz puoi comunque pplicre l formul: (3 + b) 9 = (3 + b A B A 3 B )(3 + b A + 3 B ) 13 Scomponi il polinomio b n+4 4n Hi b n+4 4n = b n+ n = b n+ n b n+ + n 7

5 14 Scomponi il polinomio (3 + 4) ( 3b) Hi l differenz di due qudrti di binomio: A (3 + 4) B ( 3b) = A (3 + 4) + B ( 3b) A (3 + 4) = ( b)( b) B ( 3b) = Adesso prov tu Scomponi utilizzndo l formul A B = (A B)(A + B) b 9 [(1 )(1 + ) (b 3)(b + 3)] ( 1)( + 1) b b (5b 4)(5b + 4) 6 7b 6 + 7b b 1 b n b b (1 b n ) (1 + b n ) (11 1)(11 + 1) b b 5b + 54 b y 4 b 3 9 b y + y b 4 (3 b)(3 + b) 9 + 4b 56 ( + 4b) 1 [( + 4b 1)( + 4b + 1)] 57 (3 y) 4z 4 3 y z 3 y + z 58 16b ( 3) [(4b + 3)(4b + 3)] ( + b) (3c + d) [( + b + 3c + d)( + b 3c d)] Scomponi pplicndo le tecniche viste finor b 4 5 ( 1)( + 1) (b )(b + ) b y 50y 4 3( 3)( + 3) y ( + 5y)( 5y) n 9 [3( + 3)( 3) ( n 3) ( n + 3)] ( 3)( + 3) b + 8b 4 ( )( + ) + b ( )( + ) [( 3)( + 3)( 1)( + 1)] n n n (5 )(5 + ) y + y 9 9 [( + 1)(y 3)(y + 3)] 71 3 b 3 + b 9b 18 [(b + )(b 3)(b + 3)] 7 n+3 b n 3 b n 6 n ( n 1) (b n 6) 73 ( + 6b) 3 [( + 6b + )( + 6b )] ( )( + ) Qudrto di un binomio Hi già utilizzto l formul (A + B) = A + AB + B per clcolre il qudrto di un binomio Adesso devi imprre riconoscere qundo un polinomio di tre termini è il qudrto di un binomio Utilizzeri l seguente Regol A + AB + B = (A + B) Inizi seguendo i seguenti esempi 9

6 15 Scomponi il polinomio Se il polinomio è il qudrto di un binomio due dei suoi ddendi devono essere dei qudrti In questo cso hi 4 = () 1 = 1 Clcoli il doppio prodotto delle bsi dei due qudrti 1 = 4 e come risultto ottieni il terzo ddendo del polinomio Adesso sei sicuro che il polinomio si il qudrto di un binomio Devi solo stbilire se è il qudrto di + 1 o di 1 Dl momento che il doppio prodotto 4 è preceduto dl segno + hi il qudrto di + 1 cioè = ( + 1) 16 Scomponi il polinomio L unic differenz con l esempio precedente è che il doppio prodotto 4 è preceduto dl segno Allor il polinomio è il qudrto di 1: = ( 1) 17 Scomponi il polinomio 9 + 1b + 4b 4 Cerchi i due qudrti 9 = (3) 4b 4 = b clcoli il doppio prodotto di 3 e b 3 b = 1b e osservi che il risultto 1b è il rimnente termine del polinomio che devi scomporre Allor il polinomio è il qudrto di un binomio: 9 + 1b + 4b 4 = 3 + b Scomponi il polinomio 4 n+4 0 n+ + 5 I due qudrti sono 4 n+4 = n+ 5 = 5 il doppio prodotto di n+ e 5 è n+ 5 = 0 n+ ed è presente nel polinomio che devi scomporre Allor 4 n+4 0 n+ + 5 = n+ 5 Adesso esercitti Scomponi utilizzndo l formul A + AB + B = (A + B) y + y b + 6b ( + y) (1 + 3b) 76 5z z (6 5z) (7 + 1) 77 40b b b + 49b b 3 + 7b b b b t + 4t t y y y y y y 7 8 n + n b n +b 4n 6 + n 1 + n 1 3 n + b n 3 + n 1 83 n n 4n n b n + 4b n (n n b n )

7 n n n 1 + n n 1 n 19 Scomponi il polinomio Hi 16 4 = 4 e 81 = 9 Inoltre 4 9 = 7 è il rimnente ddendo del tuo polinomio ed è preceduto dl segno Quindi = 4 9 Non hi finito di scomporre perché 4 9 è un differenz di qudrti quindi = 4 9 = ( 3) ( + 3) 0 Scomponi il polinomio Rccogli e ti rimne il qudrto di un binomio = qudrto di binomio = ( ) 1 Scomponi il polinomio 16 9b Il primo il terzo e il qurto ddendo sono il qudrto di Quindi 16 9b = qudrto di binomio b = = ( b)( b) differenz di qudrti (4 + 1) 9b = Scomponi il polinomio + y Hi + y 1 = y qudrto di binomio differenz di qudrti + 1 = y ( 1) = = [y ( 1)] [y + ( 1)] = (y + 1)(y + 1) Scomponi utilizzndo le tecniche viste finor b 1 b + b 3 ( + 6) b(3 b) y + 3 y y 30 3 y 3 ( + y) 3 3 5y 87 5 n 0 n n+ n ( 5) n+ + 4 n+ ( n 5) 89 4 b 4 + b b + b ( 3) 90 43t 16t t 5 3t(t + 3) (t 3) 91 4 y y y [(3 + )) (3 + )] 93 b + 1 6b b ( b)(3 + 1) 94 4 b b [( b)( + b)] b + 9b + + 3b [( + 3b)( + 3b + )] 96 y + y + 3 y ( y) + y + y b 4b 4 b ( b)( + b)( + 1) y 8 5 y 4 ( y) ( + y) + y Cubo di un binomio Hi già utilizzto l formul (A + B) 3 = A 3 + 3A B + 3AB + B 3

8 15 per clcolre il cubo di un binomio Adesso devi imprre riconoscere qundo un polinomio di quttro termini è il cubo di un binomio Utilizzeri l seguente Regol A 3 + 3A B + 3AB + B 3 = (A + B) 3 Segui gli esercizi svolti per imprre 3 Scomponi il polinomio Per stbilire se un polinomio di 4 ddendi è il cubo di un binomio devi prim di tutto cercre i due cubi che nell formul sono rppresentti d A 3 e B 3 Nel polinomio i due cubi sono 3 che è il cubo di e 8 che è il cubo di Adesso devi controllre che i due rimnenti termini coincidno con i tripli prodotti 3A B e 3AB che compiono nell formul del cubo di un binomio Se intendi l posto di A e l posto di B hi 3 3A B = 6 3 3AB = 1 Si 6 che 1 sono presenti nel polinomio che è quindi il cubo di + : = ( + ) 3 4 Scomponi il polinomio I due cubi sono 7 6 = = ( 1) 3 Clcoli i tripli prodotti 3 3 ( 1) = ( 1) = 9 e osservi che sono i rimnenti termini del polinomio che quindi è il cubo di 3 1: = Scomponi il polinomio 8 3n n+4 b + 6 n+ b + b 3 I due cubi sono 8 3n+6 = n+ 3 b 3 Clcoli i tripli prodotti 3 n+4 b = 1 n+4 b 3 n+ b = 6 n+ b e osservi che sono i rimnenti termini del polinomio che quindi è il cubo di n+ + b: 8 3n n+4 b + 6 n+ b + b 3 = n+ + b 3 Esercitti Scomponi utilizzndo l formul A 3 + 3A B + 3AB + B 3 = (A + B) y + 54y + 7y 3 ( + 3y) y y + 9 y 3 + y (5 ) y y 3 y 9 4 y s 3 + 6s t + 1st + 8t 3 (t + s) t 3 1st + 6s t s 3 (t s) b 6 30 b b 1000 b b b b 1 + 6b

9 y y 8y y n + 3 4n b + 3 n b + b 3 n + b n 7n n + 9n n n 3 (3 n n) m 3n + 3m n n m + 3m n n m + n 3m (m n + n m ) 3 Nei seguenti esercizi oltre l cubo di un binomio srà necessrio pplicre nche ltre tecniche di scomposizione 114 Scomponi il polinomio Rccogli e ti rimne il cubo di un binomio = cubo di binomio = ( ) Scomponi il polinomio Rcogli e rimne il cubo di un binomio l cui bse è un differenz di qudrti = cubo di binomio diff qud = 3 4 = = ( ) 3 ( + ) Scomponi il polinomio I primi quttro termini sono il cubo di un binomio nei rimnenti tre termini rccogli = = ( + 1) 3 + ( + 1) cubo di binomio rccogli (+1) = ( + 1) ( ) qud di binomio = Scomponi utilizzndo le tecniche viste finor b 3 3 b + 3 b 3 b 4 b( b) n n+ + 6 n+3 + n+4 n+1 ( + ) (1 ) ( )( + )( + 1) 3 1 3n n n+1 + ( n + 1) y y 8 y 1 ( y) 3 ( + y) 3 + y b 1 b b + 6b b 3 ( b) ( b 1) Differenz e somm di cubi In quest sezione impreri scomporre un polinomio del tipo A 3 B 3 differenz di cubi A 3 + B 3 somm di cubi Prti d A 3 B 3 Hi A 3 B 3 = A 3 A B + A B AB + AB B 3 = = A (A B) + AB(A B) + B (A B) = = (A B) A + AB + B

10 Per qunto rigurd A 3 + B 3 hi A 3 + B 3 = A 3 + A B A B AB + AB + B 3 = = A (A + B) AB(A + B) + B (A + B) = = (A + B) A AB + B Hi quindi dimostrto l seguente regol Regol Differenz di cubi A 3 B 3 = (A B) A + AB + B Somm di cubi A 3 + B 3 = (A + B) A AB + B 6 Scomponi il polinomio 8 3 y 3 Hi l differenz di due cubi: 8 3 è il cubo di y 3 è il cubo di y Quindi seguendo l formul dell differenz di cubi hi 8 3 y 3 = ( A ) 3 ( B y ) 3 = ( A B y) A +AB+B 4 + y + y 7 Scomponi il polinomio y 6 Hi l somm di due cubi: 7 3 è il cubo di 3 y 6 è il cubo di y Segui l formul per l somm di cubi e ottieni y 6 = ( A 3 ) 3 + ( B y ) 3 = A+B 3 + y A AB+B 9 3y + y 8 Scomponi il polinomio 3n 1 Si trtt di un differenz di cubi: 3n è il cubo di n e 1 è il cubo di 1 Hi 3n 1 = ( n 1) n + n + 1 Adesso provi tu 19 0 Scomponi le seguenti somme o differenze di cubi (4 1) ( + 1) y 9 + y 3 y 3 + y y b y y + 4y b + b 4 b + 4 (10 3) n + b 6m n + b m m n b m + b 4m 13 n b3 n + 5 b n 5 bn b n+3 + b 3 n+1 + b n+ n+1 b + b b 3 (6 5b) b + 5b 9 Scomponi il polinomio 4 16 Rccogli e ti rimne un differenz di cubi 4 16 = 3 8 = ( ) Scomponi il polinomio

11 Cominci con un rccoglimento przile: = 8 3 ( + 3) 1( + 3) = ( + 3) diff cubi = = ( + 3)( 1) Scomponi il polinomio 6 64 Il polinomio è si un differenz di cubi che un differenz di qudrti Ti conviene inizire scomponendolo come un differenz di qudrti: 6 64 = diff cubi 3 8 somm cubi = = ( ) ( + ) Scomponi il polinomio y 3 y Hi un somm di cubi e un differenz di qudrti: 3 + y 3 + y = rccogli (+y) ( + y) y + y + ( + y)( y) = = ( + y) y + y + y 33 Scomponi il polinomio Inizi rccogliendo : = qudrto binomio = diff cubi = = ( 1) Scomponi utilizzndo le tecniche viste finor 136 t 5 t t 4 + t t (t 1) t + t + 1 t(t + 1) t t ( + 1) ( + )( )( + 1) y 3 + y 6 ( y) + y + y b b ( 1) b b b 3b + 9b ( ) ( + ) y 3 + y ( + 1) + 1 (y 3) y + 3y b 6 6 b b b b( 1) b 6 ( b)( + b) + b + b b + b b 6 + b 4 b + b b 3 + 8b ( + ) + 4 (b ) b + b + 4 Trinomio prticolre In quest sezione impreri scomporre qundo possibile un trinomio di secondo grdo A + B + C che non si il qudrto di un binomio Prim vedri come si scompone il trinomio seguendo gli esercizi svolti e ricvndo d questi un regol 34 Scomponi il polinomio Devi cercre due numeri che moltiplicti dino 6 = 1 e sommti dino 7 I due numeri sono 3 e 4 e li utilizzi per scrivere il polinomio nel seguente modo = Adesso esegui un rccoglimento przile = 3( + 1) + ( + 1) = ( + 1)(3 + ) Quindi = ( + 1)(3 + )

12 35 Scomponi il polinomio Devi cercre due numeri che moltiplicti dino 10 ( 1) = 10 e sommti dino 3 I due numeri sono 5 e Procedi come nell esempio precedente: = = 5( 1) + 1( 1) = = ( 1)(5 + 1) 36 Scomponi il polinomio Devi cercre due numeri che moltiplicti dino 1 ( 8) = 8 e sommti dino 3 I due numeri sono 7 e 4 Allor = = ( + 7) 4( + 7) = = ( + 7)( 4) In questo cso i due numeri che hi trovto 7 e 4 compiono direttmente nel risultto dell scomposizione: ( + 7)( 4) Ciò ccde sempre qundo il coefficiente del termine di secondo grdo è ugule 1 In questi csi puoi scrivere direttmente l scomposizione come vedi nel seguente esempio 37 Scomponi i polinomi t 6t + 8 y + 11y 1 Nel primo polinomio cerchi due numeri che moltiplicti dino 8 e sommti dino 6 I due numeri sono e 4 il coefficiente di t è 1 e quindi scrivi subito l scomposizione t 6t + 8 = (t )(t 4) Nel secondo polinomio cerchi due numeri che moltiplicti dino 1 e sommti 11 Sono 1 e 1 il coefficiente di y è 1 e quindi scrivi subito l scomposizione y + 11y 1 = (y + 1)(y 1) 38 Scomponi il polinomio b + 8b 3 4 Cerchi due termini che moltiplicti dino 3 8b = 4b e sommti 10b Sono 6b e 4b Allor b + 8b = b 6b + 4b +8b = = 3( + b) + 4b( + b) = ( + b)(3 + 4b) 39 Scomponi il polinomio 4t 4 5t 6 Cerchi due numeri che moltiplicti dino 4 ( 6) = 4 e sommti 5 che sono 8 e 3 Allor 4t 4 5t 6 = 4t 4 5t 8t + 3t 6 = = 4t t + 3 t = t 4t + 3 Dgli esercizi svolti dovresti ver cpito che vle l seguente Regol Il polinomio A + B + C è scomponibile se riesci trovre due numeri u e v il cui prodotto è AC e l cui somm è B cioè uv = AC e u + v = B Per scomporre procedi così: scrivi il polinomio come A + B + C = A + u + v + C e poi fi il rccoglimento przile; nel cso in cui A = 1 puoi scrivere direttmente il risultto dell scomposizione A + B + C = ( + u)( + v) L dimostrzione (fcolttiv) dell regol è ll fine dell sezione Adesso esercitti Scomponi i seguenti trinomi b + 13b + 1 [( + 5)( 1) (b + 3)(3b + 4)] [( + 7)( + 1) ( + 3)(3 )] [(4 5)( ) (10 + 3)( 1)]

13 151 4t 5t 1 t + 5t 4 [(8t + 1)(3t 1) (t 3)(t + 8)] 15 (b) + 9b 18 v 4u + 3 [(b + 6)(b 3) (v 1)(v 3)] 153 y + 15y + 56 u + 3u + [(y + 7)(y + 8) (u + 1)(u + )] y y 7 7y + y 1 [(y + 8)(y 9) (8y + 1)(9y 1)] s 9s + [(4 + 5)( + 1) (3s 1)(3s )] b 6b ( + 3b)( b) Scomponi il polinomio Rccogli e ti rimne un trinomio prticolre = = ( + 1)( + 10) 41 Scomponi il polinomio Cerchi due numeri che moltiplicti dino 16 e sommti 17 Sono 1 e 16 Ottieni = = = = (4 1)( 4) differenze di qudrti = ( 1)( + 1)( )( + ) 4 Scomponi il polinomio t t t + Il polinomio h 5 ddendi tre dei quli costituiscono un trinomio prticolre Nei rimnenti due rccogli l : trinomio t t rccogli t + = rccogli t (t )(t + 1) (t ) = (t )(t + 1 ) Scomponi il polinomio 4b + 4b + 4b 6 Fi un rccoglimento przile 6 4b + 4b + 4b = = 6 4b 6 = 4b = ( 3)( + )( b)( + b) = 6 trinomio diff qud Scomponi pplicndo le tecniche viste finor y+y y [3( )( 7) y( 1)( + 1)] 159 4t 4 +t 3 0t t (t + 5)(t ) ( 1)( + 15) 160 4b 5 14b 3 8b b(b )(b + ) b + 1 7( 1)( + 1) y y 3 3c + cy [(y 3)(y c] ( 1)( + ) b b + 56b [b(3 + 7)( + 4)] = = ( + )( + 4) ( 6)( 3) bc + c + bc + c 4b 1 [( + b)(c 3)(c + 4)] [( 1)( + 1)(3 )(3 + )] [( 1)( )] [( + 3)(3 )] A questo punto se ti interess segui l dimostrzione dell regol di pgin 4 Se non ti interess pss ll successiv sezione (m vergognti!)

14 7 Ti servirà ricordre che il mssimo comun divisore di due numeri interi m e n che indichi con MCD (m n) è i più grnde numero nturle che divide si m che n Ad esempio MCD (18 4) = 6 MCD (18 35) = 1 Due numeri interi m e n si dicono primi tr loro se non hnno divisori in comune cioè se il loro mssimo comun divisore è 1 Osserv che se due numeri sono primi tr loro non è detto che sino numeri primi Ad esempio 18 e 35 sono primi tr loro perché non hnno fttori in comune m non sono numeri primi Se M è il mssimo comun divisore di due numeri interi e b llor si che b sono divisibili per M cioè esistono due numeri interi n e nb tli che = n M b = nb M I due numeri n e nb sono primi tr loro Dimostrzione dell regol di pgin 4 Nel polinomio A + B + C puoi considerre i numeri A B e C interi con A = 0 Se esistono due numeri interi u e v tli che uv = AC e u + v = B puoi scrivere A + B + C = A + (u + v)+ = A + u + v + C Indichi con M il mssimo comun divisore di A e u con N il mssimo comun divisore di v e C Cioè M = MCD (A u) N = MCD (v C) Poiché M = MCD (A u) esistono due numeri interi primi tr loro na e nu tli che A = na M u = nu M Allo stesso modo poiché N = MCD (v C) esistono due numeri interi primi tr loro nv e nc tli che v = nv N C = nc N Allor puoi riscrivere il polinomio come A + u + v + C = nam + num + nvn + ncn e fre un rccoglimento przile nam + num + nvn + ncn = M (na + nu) + N (nv + nc) Per portre termine l scomposizione dobbimo verificre che na + nu = nv + nc cioè che na = nv e nu = nc Poiché uv = AC risult num nvn = nam ncn 8 d cui nu nv = na nc e di conseguenz nu na = n C nv Dl momento che nu e na sono primi tr loro e così nche nv e nc le due frzioni sono ridotte i minimi termini (cioè non si possono più semplificre) Se due frzioni ridotte i minimi termini sono uguli llor i due numertori sono uguli e i due denomintori sono uguli Pertnto nu = nc e na = nv Dunque M (na + nu) + N (nv + nc) = M (na + nu) + N (na + nu) = = (na + nu) (M + N) Hi quindi dimostrto che A + B + C = (na + nu) (M + N) cioè che il polinomio A + B + C è scomponibile

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