L P R P OIEZI Z ONI N A S A S S O S NO N METRICHE

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1 LE PROIEZIONI ASSONOMETRICHE La proiezione assonometrica fa parte delle proiezioni parallele, o cilindriche. Essa è caratterizzata quindi dall avere il centro di proiezione all infinito (S ), per cui è generata da raggi proiettanti paralleli tra loro, che colpiscono l oggetto nello spazio e vengono sezionati da un piano π, su cui si forma l immagine proiettata. Affinché, però, si possa risalire alla posizione esatta dell oggetto nello spazio, esso viene collocato all interno di un sistema di riferimento, formato da una terna di piani π1, π2, π3 ortogonali tra loro a due a due, sui quali l oggetto viene proiettato ortogonalmente; gli assi di intersezione tra i piani suddetti risultano anch essi ortogonali tra loro, convergono in un punto O, origine del sistema di riferimento, e vengono denominati assi di riferimento cartesiano x, y, z. Su ciascuno di essi è inoltre identificata l unità di misura. Pertanto dal centro di proiezione S vengono proiettati, oltre all oggetto anche le sue proiezioni sui piani π1, π2, π3, e la terna cartesiana x,y,z: sul quadro, quindi, si avrà la vera proiezione assonometrica, sia dell oggetto che del sistema di riferimento, ma anche le tre proiezioni assonometriche delle immagini dell oggetto

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3 In base alla direzione dei raggi proiettanti rispetto al quadro π, si ha: Ass. ortogonale, se la direzione S è ortogonale al quadro

4 Ass. obliqua, se la direzione S è obliqua al quadro

5 Nella proiezione del sistema di riferimento, in entrambi i casi di ass. obliqua e ortogonale l unità di misura (u) di ciascuno degli assi può avere un immagine assonometrica di dimensioni diverse da quella vera. Il rapporto di riduzione u/u in cui u è il segmento dato e u la sua immagine, dipende solo dalla direzione della retta r, che lo contiene, rispetto al piano. Nell assonometria obliqua si può avere: u/u < u oppure u/u > u Nell assonometria ortogonale si ha: u/u = cos rr < u rapporto di accorciamento

6 ASSONOMETRIA ORTOGONALE IL TRIANGOLO DELLE TRACCE Nell assonometria ortogonale, si definisce triangolo delle tracce o fondamentale quello formato dalle tracce dei tre piani di riferimento sul quadro, o dai segmenti che congiungono le tracce dei tre assi di riferimento su π. La proiezione dell origine O, denominata O, risulta essere l ortocentro del triangolo delle tracce (Tx, Ty, Tz). Per determinare u x, u y, u z sulle immagini x, y, z occorre ribaltare il punto O sul quadro, attorno ad almeno due dei lati del triangolo, per ottenere così la vera unità di misura u. Poiché il triangolo TzOTy è rettangolo in O, tale angolo dovrà mantenersi tale su l piano p;dopo aver tracciato la semicirconferenza di diametro TzTy l intersezione di TxO con tale semicirconferenza individua O* ribaltamento di O su π. Unendo O* con Tz e Ty si determinano z* e y* ribaltamento di z e y, sui quali a partire da O* si riportano u*z e uy*. Tra le immagini z, O, y, e i ribaltamenti z*, O*, y* intercorre una affinità omologica di ribaltamenti che ha per asse il lato TzTy, per centro U la direzione ad esso ortogonale e per elementi corrispondenti O e O* oppure z e z* etc. Ricordando che punti corrispondenti sono allineati con il centro dell omologia, è possibile definire le unità asson. u z e u y. Si procede analogamente per trovare u x. Applicando le regole della trigonometria, esse risultano funzione degli angoli α, β, γ che gli assi cartesiano formano con il quadro.

7 Il triangolo delle tracce e i rapporti di accorciamento possono essere determinati in funzione degli angoli che gli assi X,Y,Z formano con x, y,z.

8 ASSONOMETRIA ORTOGONALE Determinazione delle unita assonometriche noti gli angoli a,b,g. Il triangolo delle tracce e i relativi rapporti di accorciamento sulle immagini degli assi, x,y z, possono essere determinati in relazione agli angoli a b e g che gli assi x,y,z formano con le loro immagini sul piano di quadro. Si dimostra che il triangolo delle tracce è acutangolo, per cui noti due angoli a e b il terzo angolo g resta determinato. Pertanto noti gli angoli è possibile costruire il triangolo delle tracce graficamente;viceversa noto il triangolo delle tracce è possibile determinare gli angoli a,b,g. In figura, posizionati glia assi x,y,z, e preso ad arbitrio Tz e O, si è tracciato l angolo g, noto, e si è ottenuto O* sulla retta passante per O perpendicolare a z, determinando così u z. Procedendo graficamente costruendo gli angoli noti, a e b, si determinano le tracce Tx e Ty e si individuano le altre unità assonometriche u x e u y.

9 Assonometria Ortogonale Determinazione delle unità assonometriche mediante il procedimento grafico che consiste nel ribaltare i piani coordinati y z,x y, x z, sul piano di quadro adoperando come cerniere di ribaltamento i lati del triangolo delle tracce. Ass. trimetrica, se il triangolo delle tracce è scaleno α β γ u x u y u z<1

10 Ass. dimetrica,se il triangolo delle tracce è isoscele α β γ u x=u y u z<1

11 Ass. isometrica, se il triangolo delle tracce è equilatero α=β=γ u x=u y=u z<1

12 Se le unità di misura assonometriche hanno valori tra loro uguali, l assonometria si dice isometrica.

13 Se su due assi le unità hanno valori uguali e sul terzo un valore diverso, si dice dimetrica

14 Se i tre valori sono tra loro distinti, l assonometria si dice trimetrica

15 Rappresentazione di un solido in assonometria dimetrica assegnate le proiezioni ortogonali mediante ribaltamento La pianta viene determinata per omologia di ribaltamento: u=txty (asse dell omologia) U TxTy La quota riportata sull asse viene determinata per omologia: u=tzty (asse dell omologia) U TzTy

16 ASSONOMETRIA OBLIQUA Nel caso in cui la direzione di proiezione assonometrica S è obliqua rispetto al piano di quadro π, vale il cosiddetto teorema di Polke-Schwarz, secondo cui, presa una qualsiasi terna di assi, comunque orientati, convergenti in un punto, e tre valori di unità di misura, è sempre possibile risalire ad una direzione assonometrica, a tre assi nello spazio mutuamente ortogonali ed a tre rispettive unità di misura, di cui quelle date risultino essere le proiezioni assonometriche. In realtà si utilizzano tipi di assonometria obliqua in cui il quadro π risulti parallelo o coincidente con uno dei piani cartesiani. Questo tipo di assonometria è detto ass. cavaliera. In tal modo, l angolo formato dagli assi appartenenti al piano parallelo al quadro rimane invariato, ovvero di 90, per cui l immagine assonometrica conserva la forma e le dimensioni originarie. In particolare, quando il quadro π è parallelo a π1, essa si chiama ass. cavaliera militare. L immagine indeformata sarà quindi un prospetto o una pianta, a seconda che si utilizzi la cavaliera o la cav. militare.

17 ASSON. CAVALIERA

18 ASSONOMETRIA CAVALIERA MILITARE

19 Per consuetudine si usano spesso terne di assi assonometrici che dividono l angolo in gio in 90, 135, 135 oppure in 90, 120, 150, mentre per la u z i valori più utilizzati sono quelli di 1 o di 1/3 o 2/3 rispetto all unità vera, ma ciò viene fatto per comodità e non è vincolante.

20 RAPPRESENTAZIONE DEGLI ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI I VARI TIPI DI ASSONOMERIA NON COMPORTANO CONCETTI TEORICI DIVERSI PUR DETERMINANDO IMMAGINI DIFFERENTI. SARA QUINDI INDIFFERENTE PARLARE DI ASSONOMETRIA ORTOGONALE O OBLIQUA. DI UN ELEMENTO RIFERITO AD UNA TERNA TRIORTOGONALE DI RIFERIMENTO SI DOVRANNO DETERMINARE LE PROIEZIONI ORTOGONALI RISPETTO ALLA TERNA CARTESIANA STESSA

21 RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO Assegnate le coordinate del punto, tenendo presente che i segmenti PP PP PP sono paralleli nello spazio alla terna cartesiana di riferimento, è semplice determinare le proiezione del punto.

22 RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA Per raffigurare una retta occorre conoscere due sue proiezioni o due sue tracce distinte, per potere risalire a tutti gli elementi della retta stessa.

23 RAPPRESENTAZIONE DEL PIANO Per definire un piano basta dare due sole tracce. E noto però che un piano è anche individuato assegnando tre suoi punti distinti e non allineati, una retta ed un punto non appartenenti, due rette sue rette incidenti, etc.

24 RAPPRESENTAZIONE DI UN SOLIDO IN ASSONOMETRIA

25 RAPPRESENTAZIONE DI UN CILINDRO IN ASSONOMETRIA CAVALIERA MILITARE

26 Rappresentazione di un cilindro sezionato da un generico piano α Per costruire la figura di sezione occorre adoperare un piano ausiliario che nel caso specifico è stato scelto in posizione radiale, ovvero facendolo ruotare n volte attorno al centro della circonferenza di base in modo da individuare n punti, che uniti daranno la figura di sezione cercata, ovvero, l ellisse.

27 Rappresentazione di un cilindro sezionato da un generico piano α Per costruire la figura di sezione occorre adoperare un piano ausiliario che nel caso specifico è stato scelto in posizione parallela al paino zy, ovvero spostandolo n volte parallelamente al piano zy in modo da individuare n punti, che uniti daranno la figura di sezione cercata, ovvero, l ellisse.

28 Rappresentazione di un cilindro verticale intersecato da un cilindro ad asse orizzontale di raggio inferiore Per costruire la figura di sezione occorre adoperare un piano ausiliario che nel caso specifico è stato scelto in posizione parallela al paino xz, ovvero spostandolo n volte parallelamente al piano xz in modo da individuare n punti, che uniti daranno la curva di intersezione cercata.