PRINCIPI DEL MASSIMO 3.1 PRINCIPI DEL MASSIMO IN FORMA DEBOLE CAPITOLO 3

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1 CAPITOLO 3 PRINCIPI DEL MASSIMO 3.1 PRINCIPI DEL MASSIMO IN FORMA DEBOLE Richiamiamo il principio del massimo debole per funzioni subarmoniche regolari. Teorema Sia limitato e sia u C 2 () C() subarmonica, cioè u 0. Allora u = u. Vogliamo estendere tale risultato a operatori della forma Au(x) = a ij (x)d ij u(x) + b i (x)d i u(x) + c(x)u(x) (3.1) definiti in C 2 (), dove è un aperto limitato di R N, con i coefficienti b i, c, a ij = a ji C() reali e verificanti la condizione di uniforme ellitticità a ij (x)ξ i ξ j ν 0 ξ 2 x, ξ R N, per un opportuna costante ν 0 > 0. Teorema (Principio del massimo debole) Sia c 0 in e sia u in C 2 () C() tale che Au 0 in. Allora Se invece Au 0 allora u = u. (3.2) min u = min u.

2 42 Principi del massimo Per la dimostrazione di questo teorema abbiamo bisogno preliminarmente del seguente risultato di algebra lineare. Lemma Siano B = (b ij ) N, C = (c ij ) N due matrici reali e simmetriche, rispettivamente semidefinita positiva e semidefinita negativa. Allora tr (BC) = b ij c ij 0. DIM. Siccome B è una matrice reale e simmetrica, essa è diagonalizzabile mediante una matrice di passaggio U ortogonale, cioè D = UBU 1, con D = [β 1,..., β N ] matrice diagonale degli autovalori di B. Consideriamo la matrice E = (γ ij ) N data da E = UCU 1. Siccome U è ortogonale, E è ancora simmetrica. Inoltre D ed E sono semidefinite positiva e negativa rispettivamente, per cui i loro elementi sulla diagonale principale verificano la proprietà: β i 0 e γ ii 0 per ogni i. Ne segue che A questo punto, risulta tr(de) = β i γ ii 0. che è la tesi. tr(bc) = tr(u 1 DUU 1 EU) = tr(u 1 DEU) = tr(de) 0, DIM. (TEOREMA) Proviamo anzitutto che se Au > 0 allora u non può avere un massimo interno. Procedendo per assurdo, supponiamo che esista x 0 tale che u(x 0 ) = u. Siccome x 0 è interno, risulta che u(x 0 ) = 0 e la matrice Hessiana di u in questo punto, (D ij u(x 0 )), è semidefinita negativa. L ipotesi di ellitticità sull operatore A implica che la matrice (a ij (x 0 )), reale e simmetrica, è definita positiva, per cui, applicando il Lemma 3.1.3, si deduce che a ij (x 0 )D ij u(x 0 ) 0. Allora (Au)(x 0 ) 0, il che chiaramente contraddice l ipotesi Au > 0. Se Au 0 ci si può ricondurre al caso precedente introducendo un opportuna funzione ausiliaria. Precisamente, consideriamo e λx 1, dove λ > 0 è un parametro da determinare. Allora si ha A(e λx 1 ) = a 11 (x)λ 2 e λx 1 + b 1 (x)λe λx 1 = λe λx 1 (b 1 (x) + λa 11 (x)) λe λx 1 (b 1 (x) + λν 0 ) λe λx 1 (λν 0 b 1 ).

3 3.1 Principi del massimo in forma debole 43 Scelto λ 0 > 0 in modo tale che λ 0 ν 0 b 1 > 0 si ottiene pertanto che Ae λ 0x 1 > 0. A questo punto, sia u ε = u + εe λ 0x 1. Allora Au ε = Au + εae λ 0x 1 > 0 e applicando quanto dimostrato nella prima parte si ha u ε = u ε. Infine, siccome u ε converge uniformemente ad u in, quando ε 0, si ottiene u ε u per ε 0 u ε u per ε 0 da cui segue la tesi. Scambiando u con u si ottiene il principio del minimo quando Au 0. Corollario (Principio del massimo modulo) Se u C 2 () C() è tale che Au = 0, allora u = u. DIM. Per conseguire la tesi è sufficiente osservare che { } u = e applicare il teorema precedente. u, min u Un immediata conseguenza del principio del massimo modulo è il teorema di unicità della soluzione per il problema di Dirichlet associato ad A. A questo punto, è naturale chiedersi cosa succede se viene meno l ipotesi che c 0: qualora c 0, è importante conoscere il suo segno. Per capire il motivo di ciò, prendiamo ad esempio come operatore + c, con c costante positiva. Se valesse un principio del massimo debole allora, con le stesse tappe di prima, arriveremmo a un teorema di unicità per il problema { u = c u in u = 0 su Ma il Laplaciano, in quanto operatore dissipativo, autoaggiunto con risolvente compatto, ammette una successione di autovalori λ n < 0, che decrescono a, sicchè i problemi { u = λn u in u = 0 su chiaramente non hanno un unica soluzione. Da questo esempio, si comprende che per poter ottenere un principio del massimo quando c 0, bisogna supporre necessariamente c 0.

4 44 Principi del massimo Teorema (Principio del massimo debole) Sia u C 2 () C() e supponiamo che c 0. Allora risulta (i) Au 0 in = u u+, (ii) Au 0 in = min u u. DIM. (i) Se u 0 in, allora la tesi è ovvia. Altrimenti V = {x u(x) > 0} è un aperto non vuoto di. Posto B = A c, si ha che Bu = Au cu 0 in V e quindi, dal Teorema V siccome u 0 su V. Risulta V u = u = V V u+ u = u, visto che, fuori di V, u(x) u+. Osserviamo che V = ( V 0. Proviamo infine che V u+ = ) ( V ) e che u 0 su V, u 0 su \ V. Allora V u+ = V u+ = u+. Questo prova (i). (ii) Con un semplice cambio di segno possiamo ricondurci al caso precedente. Infatti Au 0 A( u) 0 ( u) ( u)+ min u u. Corollario (Principio del massimo modulo) Se u C 2 () C() è tale che Au = 0 e se c 0, allora u = u. DIM. Anche stavolta scriviamo u = = u, allora dalla (i) del Teorema segue che u { u+ u. } u, min u Siccome l altra disuguaglianza è ovvia, concludiamo che Si procede in modo del tutto analogo se u = min u.. Se u u = u. Deduciamo adesso un teorema di unicità per il problema di Dirichlet associato ad A e un principio di confronto, utile nelle applicazioni.

5 3.1 Principi del massimo in forma debole 45 Proposizione Siano u, v C 2 () C() e sia c 0. Allora (i) Au = Av in, u = v su u = v in. (ii) Au Av in, u v su u v in. Proviamo di seguito una stima a priori per l equazione Au = f che sarà usata nel Capitolo 5. Nella dimostrazione useremo il seguente lemma. Lemma Sia limitato e c 0. Esiste φ C 2 (R N ) tale che φ > 0 in e Aφ 1 in. DIM. Sia ψ(x) = cosh µx 1. Allora Aψ = a 11 µ 2 cosh µx 1 + b 1 µ sinh µx 1 + c cosh µx 1 (ν 0 µ 2 b 1 µ c ) cosh µx 1. Fissiamo µ sufficientemente grande e otteniamo Aψ 1. Basta adesso prendere φ(x) = cosh µr cosh µx 1, dove R > 0 è tale che B R (0). Proposizione Sia limitato, c 0. Esiste C = C() > 0 tale che per ogni u C 2 () C() risulta u C Au + u. DIM. Sia v = u Au φ u, dove φ è la funzione del Lemma E immediato verificare che Av 0 in e che v 0 su. Per il Teorema 3.1.5, v 0 in e quindi u C Au + u, C = cosh µr. Scambiando u on u si conclude la dimostrazione. Per il seguito è necessario considerare anche i casi dell intero spazio e del semispazio. Proposizione Supponiamo c 0. C b (R N ) e λu Au = f C b (R N ). Allora Siano λ > 0, u C 2 (R N ) u f λ. DIM. Consideriamo la funzione v(x) = γ + x 2, con γ > 0 parametro da determinare. Risulta allora Av(x) = 2 a ii (x) + 2 b i (x)x i + c(x)v(x) α + β x con α e β costanti positive opportune. Scelto γ in modo tale che α + β x λ(γ + x 2 ) = λv(x) x R N

6 46 Principi del massimo (per esempio, se η = sup x R N (α + β x λ x 2 ), basta prendere γ = η λ ), si ha Av λv in R N. Poniamo u ε = u εv. Siccome lim x u ε (x) =, u ε ha un punto di massimo assoluto in un certo x 0 e quindi Inoltre Au ε (x 0 ) 0. (3.3) λu ε Au ε = λu Au ε(λv Av) = f ε(λv Av) f. (3.4) Da (3.3) e (3.4) segue allora che e quindi λu ε (x 0 ) λu ε (x 0 ) Au ε (x 0 ) f(x 0 ) f u(x) εv(x) = u ε (x) u ε (x 0 ) f λ, x RN. Facendo il limite per ε 0 della disuguaglianza precedente otteniamo u(x) f λ, x RN. Le stesse argomentazioni applicate alla funzione u portano ad avere u, cioè la tesi. f λ Osservazione Il teorema precedente continua a valere anche se i coefficienti sono illimitati richiedendo che a ii (x) + b i (x)x i k(1 + x 2 ), x R N, per qualche costante k > 0. Come conseguenza del principio del massimo appena provato deduciamo l unicità di una soluzione limitata dell equazione λu Au = f. Corollario Sia f C b (R N ). Se u 1, u 2 C 2 (R N ) C b (R N ) risolvono l equazione λu Au = f, allora u 1 u 2. DIM. Posto u = u 1 u 2, risulta λu Au = 0. Per la Proposizione vale allora u 0, ossia u 0 e quindi u 1 u 2 in R N.

7 3.2 Principi del massimo in forma forte 47 Teorema Supponiamo c 0, λ > 0. Siano u C 2 (R N + ) C b (R N + ), con u(x, 0) = 0. Allora, posto λu Au = f, si ha u f λ. DIM. La dimostrazione è del tutto simile a quella fatta per R N. Poniamo v(x) = γ + x 2, e scegliamo γ tale che Av(x) λv(x), x R N +. Definiamo u ε (x) = u(x) εv(x); siccome lim x + u ε (x) =, u ε ammette un punto di massimo assoluto x 0. Supponiamo che u ε (x 0 ) > 0 e osserviamo che x 0 / R N 1. Pertanto x 0 R N + e Au ε (x 0 ) = a ij (x 0 )D ij u ε (x 0 ) + b i D i u ε (x 0 ) + c(x 0 )u ε (x 0 ) 0 (confronta il Lemma e il Teorema 3.1.2). Ne segue che cioè λu ε (x 0 ) λu ε (x 0 ) Au ε (x 0 ) = λu(x 0 ) Au(x 0 ) ε(λv(x 0 ) Av(x 0 )) f(x 0 ) f u ε (x 0 ) f λ. Se u ε (x 0 ) 0, la disuguaglianza precedente è ovvia perchè u ε (x 0 ) 0 f λ. Allora per ogni x vale Per ε 0 otteniamo u(x) εv(x) = u ε (x) u ε (x 0 ) f λ. u(x) f λ x R N +. (3.5) Applicando le stesse argomentazioni alla funzione u otteniamo la tesi. 3.2 PRINCIPI DEL MASSIMO IN FORMA FORTE Sebbene il principio del massimo debole sia sufficiente per molte applicazioni, spesso è necessario disporre di una versione forte che escluda l esistenza di un massimo interno per soluzioni non costanti. Un tale principio per il Laplaciano si enuncia nel seguente modo. Teorema Sia un aperto connesso limitato di R N e sia u subarmonica in. Se esiste un punto x 0 interno a tale che u(x 0 ) = u, allora u è costante.

8 48 Principi del massimo Tipicamente la dimostrazione di questo teorema si poggia su un argomento che caratterizza le funzioni subarmoniche e che è rappresentato dalla disuguaglianza del valor medio: u subarmonica in = B R (y) u(y) 1 ω N R N u(x)dx. B R (y) Tale proprietà non ha un analogo nel caso di operatori di forma più generale e di conseguenza la dimostrazione del principio del massimo forte per il Laplaciano non può essere estesa al caso generale. In alternativa, scegliamo di seguire il metodo di Hopf, che poggia sul seguente lemma. Lemma Siano aperto di R N e u C 2 (). Supponiamo che Au 0 in con c 0 e che esista x 0 tale che (i) u è continua in x 0, (ii) u(x 0 ) > u(x), per ogni x, (iii) verifica la proprietà della palla interna in x 0, cioè esiste B R (y) tale che x 0 B R (y). Se esiste la derivata direzionale di u in x 0 rispetto alla normale esterna ν a B R (y), allora u ν (x 0) > 0. Se c 0 la stessa conclusione vale a patto che u(x 0 ) 0. Infine se u(x 0 ) = 0, la tesi è vera indipendentemente dal segno di c. DIM. Per l ipotesi (iii), esiste una palla B R (y) con x 0 B R (y); prendendo eventualmente una palla più piccola B R (y ) B R (y) con centro y sul segmento yx 0, possiamo supporre che B R (y) = {x 0 }. Se 0 < ϱ < R, consideriamo la corona circolare C = B R (y)\b ϱ (y) e definiamo la funzione ausiliaria v(x) = e α x y 2 e αr2, x C con α costante positiva da determinare. Osserviamo che v(x) > 0 in C e v(x) = 0 su B R (y). Inoltre C {x 0 }.

9 3.2 Principi del massimo in forma forte 49 Ora, come conseguenza della condizione di ellitticità sull operatore A e della limitatezza dei suoi coefficienti, risulta [ N (Av)(x) = e α x y 2 4α 2 a ij (x)(x i y i )(x j y j ) 2α a ii (x) 2α b i (x)(x i y i ) +c(x) ( 1 e α(r2 x y 2 ) )] ( e [4α α x y 2 2 ν 0 x y 2 2α sup ( 2α sup x ) b(x) e α x y 2 [4α 2 ν 0 ϱ 2 2α x x y sup x ( sup x 2αR sup b(x) sup c(x) x x ] c(x) ) a ii (x) ] ) a ii (x) dove b = (b 1,..., b N ). A questo punto, scegliamo α in modo tale che la quantità scritta tra parentesi risulti positiva. Così si ha Av 0 in C. Siccome u(x) u(x 0 ) < 0 in, esiste ε > 0 tale che w(x) = u(x) u(x 0 ) + εv(x) 0 su B ϱ (y). Tale disuguaglianza è verificata anche su B R (y), dove v = 0. Pertanto la funzione w gode di queste proprietà: Aw(x) = Au(x) c(x)u(x 0 ) + εav(x) c(x)u(x 0 ) 0, per ogni x C, nelle ipotesi dell enunciato, e w 0 su C. Il principio del massimo debole (Teorema 3.1.5) implica adesso che w 0 in tutto C (a tale proposito osserviamo che la continuità di w su C, richiesta dal principio applicato, è conseguenza di (i) e del fatto che C {x 0 }). Calcolando la derivata normale di w nel punto x 0, si ha w ν (x w(x 0 + t ν) w(x 0 ) w(x 0 + t ν) 0) = lim = lim 0 t 0 t t 0 t da cui segue, come richiesto, che u ν (x 0) ε v ν (x 0) = ε2αre αr 2 > 0. Osserviamo che la disuguaglianza u ν (x 0) 0 è ovvia perchè x 0 è punto di massimo. La difficoltà nel lemma è ottenere la disuguaglianza stretta u ν (x 0) > 0.

10 50 Principi del massimo A questo punto siamo in grado di dimostrare il seguente Teorema (Principio del massimo forte) Sia un aperto connesso limitato e sia u C 2 () tale che Au 0 (risp. Au 0) in. - Se c 0 e u(x 0 ) = u (risp. u(x 0) = min u), per qualche x 0, allora u è costante. - Se c 0 e u(x 0 ) = u 0 (risp. u(x 0) = min u 0), con x 0 allora u è costante. DIM. Supponiamo per assurdo che u non sia costante e che raggiunga il suo massimo M in un punto x 0 all interno di. Posto = {x u(x) < M} e E = {x u(x) = M} risulta pertanto che E,. Sia x 1 e γ : [0, 1] una curva continua congiungente i punti x 0 e x 1, cioè tale che γ(0) = x 0 e γ(1) = x 1. Siccome è aperto, esiste t ]0, 1[ con γ(t) e γ(t) se t ]t, 1]. Sia x = γ(t) E e y = γ(t) con t > t tale che dist(y, x) < dist(y, ). Allora r = dist(y, E) dist(y, x) < dist(y, ). Consideriamo la palla B r (y) e un punto z 0 E tale che dist(y, z 0 ) = r. Il punto z 0 soddisfa ora le ipotesi del lemma precedente relativamente all aperto. Siccome u ν (z 0) > 0 (ν è la normale esterna a B r (y)), allora u(z 0 ) 0. Questo è però impossibile in un punto di massimo interno.