NUMERI IRRAZIONALI E FUNZIONI TRASCENDENTI

Transcript

1 NUMERI IRRAZIONALI E FUNZIONI TRASCENDENTI I olti testi si fa riferieto ai ueri irrazioali liitadosi a spiegare la atura e acceado alla coplessità delle operazioi di calcolo quado di essi si ategoo elevate quatità di cifre dopo la virgola seza, tuttavia, giustificare i odo più preciso il cocetto di coplessità delle operazioi su di essi. Qui, ivece, itediao colare questa lacua espoedo ad esepio, sia pure i odo o troppo forale, la diostrazioe che il uero delle operazioi algebriche eleetari dell'elevaeto ad espoete irrazioale è ifiito. Iiziao cosiderado le poteze i base >0 ed espoete razioale y= dove e soo dei ueri iteri. Diostriao di seguito che le poteze che hao per espoeti delle frazioi equivalgoo alle radici -esie di poteze co idice uguale al deoiatore ed espoete uguale al ueratore: = E' sufficiete verificare che la forula soddisfa la defiizioe di radice -esia di u dato uero, i questo caso del uero : è quel uero che elevato all'idice forisce il risultato : [ ] = = Ioltre, è sepre possibile, per la proprietà della oltiplicazioe degli espoeti delle poteze, portare l'espoete del radicado dall'itero all'estero e viceversa: 3 = =[ ] =[ ] Ad esepio: = 3 = 8=[ ] 3, 9 3 = 3 9 = 3 8=[ 3 9] Ioltre si seguoo le segueti covezioi co base reale e positiva qualuque: espoete egativo: = = ; espoete ullo: 0 = Prof. I. Savoia Nueri irrazioali e fuzioi trascedeti Bologa, Settebre 0

2 L'esposizioe che segue vuole diostrare che il risultato dell'operazioe di elevaeto ad espoete uerico irrazioale, coe, è otteuto da u ifiito uero di operazioi algebriche eleetari. U uero irrazioale qualsiasi è dato da ua parte itera, che qui scriviao coe k, e da ua serie ifiita di cifre (ueri copresi tra 0 e 9) o periodiche che idichiao, partedo dalla pria, co la sequeza di lettere uerate c, c, c 3,... c,...c. U qualuque uero irrazioale r, si può quidi rappresetare coe: r=k,c c c 3...c...c. Si itede, ovviaete, che l'ultia cifra c, ha solo u valore sibolico astratto poiché essa occupa la posizioe uero ifiito e, pertato, o esiste a priori coe uero cooscibile. I geerale, la rappresetazioe i fora di poteze di 0 di u uero r ad cifre deciali è : k,c c c 3...c =k+c 0 +c 0 +c c 0 Ad esepio: = =,44...c k=, c =4, c =, c 3 =4, c 4 =,.... Il uero che approssia per difetto la a tre cifre è,44 :,44= ovvero,44= Iagiado ora di dovere porre il uero deciale a tre cifre scritto sopra coe espoete di ua base qualsiasi, ad esepio la base 3, si ota coe, i ragioe delle proprietà delle poteze, si ottiee u prodotto di quttro terii : =3 000 = Si vede che, a parte il prio fattore costituito dalla stessa base 0, tutti gli altri soo delle radici di idice uguale alla poteza deciale corrispodete alle posizioi delle cifre di,44 dopo la virgola : 3.44 = Appare quidi evidete che, se ivece di usare coe espoete l'approssiazioe a 3 cifre della, avessio usato ua approssiazioe igliore, ad esepio forata da 5 cifre, avreo otteuto u prodotto co fattori i più e, al liite, iagiado di utilizzare tutte le ifiite cifre del uero irrazioale, si avrebbe u prodotto forato da ifiiti fattori. Allargado questo esepio, fio a rappresetare la poteza i ua qualuque base >0 ed espoete u uero irrazioale y ad ifiite cifre o periodiche dopo la virgola y=k+ c 0 + c c 0, otteiao il seguete Prof. I. Savoia Nueri irrazioali e fuzioi trascedeti Bologa, Settebre 0

3 prodotto ifiito: y = k 0 c 00 c..... essedo l'utio fattore c 0 =0 0 = Abbiao così diostrato che l'operazioe di elevaeto ad espoete irrazioale i ua base qualsiasi si otiee da ua serie ifiita di operazioi algebriche eleetari, coe le estrazioi di radice -esia. Questo fatto ha ua otevole cosegueza sulla classificazioe delle fuzioi. Ifatti, il risultato dell'applicazioe di fuzioi algebriche, coe quelle polioiali ad esepio, si defiiscoo tali per cui il risultato è otteuto per ezzo di u uero fiito di operazioi eleetari applicate alla variabile idipedete. Le fuzioi trascedeti, quali l'espoeziale e il logarito, al cotrario deteriao il loro risultato attraverso u uero ifiito di tali operazioi eleetari. I base a questa covezioe, pertato, possiao classificare le fuzioi coposte da poteze i distite categorie, i relazioe alla atura sia dell'espoete che del tipo di base: base uerica a - espoete uerico qualsiasi b a = uero base uerica - espoete variabile del tipo a a fuzioe trascedete espoeziale poteze base variabile - espoete uero irrazioale y y fuzioe trascedete "poteza" g( ) base variabile f ( ) - espoete variabile g ( ) f ( ) fuzioe trascedete "poteza" Riprediao ora il prodotto di ifiiti fattori algebrici che corrispoe all'elevaeto ad espoete irrazioale y (co parte itera k) ell base : b y = k 0 c 00 c..... Se ivertiao il ragioaeto, possiao diostrare che prodotto di fattori espoeziali aveti la stessa base e gli espoeti dati da ueri razioali, il risultato è ecessariaete u uero irrazioale, i particolare el caso che tale prodotto cotega ifiiti terii. Diostrazioe: la base sia il uero e gli espoeti rappresetati dalla successioe degli terii r,r,r 3,...r. Cosideriao il prodotto di fattori: r r r r Se la soa degli espoeti: r + r + r r. è u uero itero, oppure tutti gli addedi soo espoeti iteri, allora il risultato è u uero frazioario, altrieti è irrazioale. Ad esepio, cosideriao u prodotto di soli fattori espoeziali i base Prof. I. Savoia Nueri irrazioali e fuzioi trascedeti Bologa, Settebre 0

4 = 7 3 a ei due casi diversi relativi agli espoeti: a) r =, r =3 [ 7 3 ] [ 7 3 ] 3 = [ 7 3 ] + 3 =[ 7 3 ] = 49 9 uero razioale; b) r =, r = 3 4 [ 7 3 ] [ ] 4 = [ 7 3 ] + 54 =[ ] 4 =[ ] uero irrazioale. I tutti i casi, quado il uero dei fattori espoeziali cresce fio a =, il uero dei deciali cresce pure fio ad ifiito. Si cosideri ifatti il prodotto di due ueri deciali ad ua cifra: (+ c 0 ) ( y+ d d+ yc )=y cd 00 ; coe si vede il risultato è a due cifre dove la secoda cifra è il prodotto delle cifre deciali dei due ueri. Ad esepio, 3,4= =3++0,08=4,08 Quidi ogi prodotto di due ueri deciali aueta le cifre rispetto a quelle dei fattori e, quado i fattori soo ifiiti, il risultato del loro prodotto è ecessariaete u uero co ifiite cifre deciali o periodiche, ovvero è dato da u uero irrazioale. Questo fatto deteria ua cosegueza, sulla classificazioe della fuzioe logaritica. Ifatti secodo la defizioe di logarito si ha che: log a ()= y a y = Soltato se l'espoete y è u uero irrazioale allora il valore del logarito è ache esso u irrazioale dato da u prodotto di ifiiti fattori poteze ella base coue a, diostrado quidi, che ache il logarito, fuzioe iversa dell'espoeziale, è ua fuzioe trascedete. Per quato riguarda le poteze ad espoete reale, se la base è rappresetata da u uero irrazioale, il risultato dell'elevaeto a poteza può ache essere u uero razioale coe ei due esepi qui ostrati: a) [( )] 4 = 6=4 ; b) [( 4 3) 5 ] 5+ =[ 4 3] ( 5 )( 5+) =[ 4 3] 5 =3 Quato sopra cosiderato, perette ifie di defiire la fuzioe espoeziale ella variabile espoete reale, i base al tipo di valore uerico reale a cui è applicata. Prof. I. Savoia Nueri irrazioali e fuzioi trascedeti Bologa, Settebre 0

5 Defiizioe della fuzioe espoeziale di base (a>0) ed espoete reale (): a = a a... a, volte se = > 0 uero itero positivo a a... a, - volte se = < 0 uero itero egativo k c c 0 00 a, se = uero razioale a a a..., se =k,c c...c uero irrazioale Co questa sisteazioe la fuzioe espoeziale è be defiita i qualuque sottoisiee uerico dell'isiee dei ueri reali R e, el solo caso che la variabile idipedete assua u valore uerico irrazioale, il risultato dell'applicazioe si ottiee da ua serie ifiita di operazioi algebriche eleetari coe le estrazioi delle radici -esie delle cifre deciali. Le figure sotto riportate illustrao i grafici, sietrici tra loro rispetto alla retta bisettrice, di espoeziali e logariti i basi ed /, e le rispettive tabelle ueriche. EXP-Base Y y= y=log () X / /4 3 /8 EXP-Base/ Y y=log (/) () y=(/) X I grafici ostrao le proprietà tipiche delle due fuzioi, che dipedoo dalle basi: Fuzioe y=a : se a> crescete e passate per (0;); a 0 = ; a = ; a =0 se a<; decrescete e passate pe(0,); a 0 = ; a =0 ;a = Fuzioe y=log a : - - Log-Base Log-Base/ crecete se a> e passate per (;0) ; log a ()=0 ; log a (0)= ; log a ( )= decrescete se a< e passate per (;0); log a ()=0 ; log a (0)=+ ; log a ( )=0 Prof. I. Savoia Nueri irrazioali e fuzioi trascedeti Bologa, Settebre 0

6 Defiizioe della fuzioe poteza α, α R, >0 Si defiisce, per ogi tipo di valore uerico, la fuzioe poteza a cui è applicata: α =..., volte se α = > 0 uero itero positivo..., - volte se α = < 0 uero itero egativo k c c 0 00, se α = uero razioale..., se α =k,c c...c uero irrazioale Nel caso della fuzioe poteza, a differeza dell'espoeziale, la base è variabile etre l'espoete è costituito da u dato uero reale α che viee fissato el oeto che la fuzioe è defiita. Ad esepio α= : y=, >0. E' iportate specificare, coe el caso dell' espoeziale, che la fuzioe poteza esiste se e solo se la base è positiva, scrivedo la CE: >0. La fuzioe iversa della poteza è acora ua fuzioe poteza che ha per espoete il reciproco dell'espoete dato: α è: y= α = y /α y= /α. Esepi: l'iversa di y= è data da y= / = / =. l'iversa di y= / 5 è data da y= 5/ = 5 La figure riportao i grafici e le tabelle dei valori approssiati degli esepi dove si può otare coe tutte le curve delle poteze passio per lo stesso puto (,). Y y ( ) = Y ( ) y = y 5 ( ) = ( ) 5 y = y() y - () X y() y - () X Prof. I. Savoia Nueri irrazioali e fuzioi trascedeti Bologa, Settebre 0