PROBABILITA' Il numero f è rappresentato da tutte le possibili coppie che si possono ottenere con le 10 palline rosse (). 45
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- Agostino Bassi
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1 PROBABILITA' Defzoe classca (dovuta a Lalace Quado è ossble cooscere a ror l umero de cas favorevol f ed l umero de cas ossbl, s defsce robabltà semlce ( d u eveto casuale l raorto tra l umero de cas favorevol (f ed l umero de cas ossbl (, ovvero f/ a codzoe che tutt cas abbao la stessa robabltà d realzzars. ' facle osservare che l valore d è semre comreso tra 0 ed ; vale 0 quado l'eveto è mossble, vale quado l'eveto è certo. - s. Da u'ura coteete 40 alle, d cu 0 bache e 0 rosse, s estraggoo due alle. Qual è la robabltà che esse sao etrambe rosse? I questo caso è raresetato dal umero delle combazo che s ossoo fare co le alle rese a a C 40, 780! Il umero f è raresetato da tutte le ossbl coe che s ossoo otteere co le 0 alle rosse (. 4 Qud 0, s. Qual è la robabltà che lacado due dad s ottega l umero 8? I cas ossbl soo dat dagl accoamet che s ossoo formare co due sere d umer ugual da a 6: (,; (,; (,,.. ossa dalle dsoszo co retzoe d 6 ( r umer res a a D 6, 6 6 I cas favorevol soo le coe (,6;(6,;(,;(,; (4,4. Qud /6. La defzoe classca reseta var ut debol. Iaztutto s uò alcare quado soo ot f ed, oltre revede u ambete deale el quale tutt gl evet soo ugualmete ossbl e o tee qud coto d tutt que fattor che otrebbero fluezare l verfcars o meo d u eveto. Defzoe frequetsta Suoamo che effettuado u umero m d lac d ua moeta l'eveto "croce" s reset r volte, chamamo frequeza relatva f dell'eveto l raorto f r/m.
2 Frequeza e robabltà, ur sembrado sml, soo due cocett dvers; fatt, metre la robabltà s calcola a ror, la frequeza s calcola a osteror, ovvero doo le rove. L esereza c dce che se l umero delle rove è suffcetemete elevato, la frequeza assume u valore rossmo a quello della robabltà Questa legge rede l ome d legge emrca del caso o legge de grad umer. Questa legge rveste ua grade mortaza erché ermette: a d assumere la robabltà d u eveto come revsoe arossmata della frequeza co cu questo s reseterà u umero elevato d rove. b d assumere la frequeza, calcolata u grade umero d rove, come msura arossmata della robabltà, quado o s saa calcolarla secodo la defzoe. Prma d trodurre cocett d robabltà totale e robabltà comosta è bee cooscere l sgfcato d evet comatbl e d evet dedet. S dce che due evet ed soo comatbl o dedet quado l verfcars dell'uo esclude l verfcars dell'altro, ossa che o ossoo verfcars etramb; ad esemo che esca u umero ar ( ; esca u umero dsar (. Dcamo che due evet soo comatbl o dedet quado l verfcars d uo o esclude l verfcars dell'altro, estrazoe da u mazzo d carte d u re ( d colore rosso (. Defzoe assomatca Le cosderazo f qu fatte soo d carattere emrco e o rsultao é uvoche é rgorose. Per questo motvo è stata formulata ua uova defzoe d robabltà, detta assomatca, che fa uso della logca formale e della teora degl sem. Alla base d questa mostazoe sta l cocetto d sazo degl evet. Dato u geerco esermeto, cosderamo l'seme uverso U formato dagl evet elemetar, ossbl est dell'esermeto. Per esemo, el laco d u dado, s ha U {,,,4,,6}. L'seme delle art P(U che ha come elemet tutt sottosem ror e mror d U vee chamato SPAZIO DGLI VNTI S. Gl Assom Ad og elemeto dello sazo S s uò assocare u umero reale o egatvo detto robabltà d. ( 0 ( Dat due o ù elemet,,..., dello stesso sazo S, dsgut tra loro (dedet, s ha che: ( s dce che è ua fuzoe addtva d'seme. Se S è lo sazo degl evet, s ha S.
3 Osservamo che ( 0 S S e er l assoma s ha: ( S S da cu Teorem sulla robabltà Cosderamo l'eveto e l suo comlemetare ' rsetto ad S. S ha evdetemete S ', ed essedo ' 0, er l assoma segue che ( S + ' Poché l assoma afferma che ( S s ha ( + ' ( La ( rareseta l teorema della robabltà cotrara e uò essere eucato el seguete modo: La somma delle robabltà d u eveto e del suo cotraro ' è uguale a. Il teorema uò ache essere dmostrato medate la defzoe classca. Ifatt, f essedo ( s ha: ' ossa f f ' da cu ' f e qud ( + ' Teorema della robabltà totale Dat due o ù evet arzal comatbl,,..., s dce eveto totale l'eveto che cosste el verfcars d uo o ("aut" dell'altro de var evet arzal. Chamamo robabltà totale o robabltà dell'eveto uoe la somma delle robabltà degl evet arzal, ovvero: ( ( semo caso cu due evet soo comatbl: qual è la robabltà d estrarre da uura coteete alle rosse, alle bache e alle verd, ua alla baca o rossa? ( (
4 Come fare er determare la robabltà totale se gl evet soo comatbl ("VL"? Per semlctà suorremo l caso d due sol evet ed comatbl. Osservamo che ( è comatble co e che ( ed oltre: ( ( ( ( oché gl sem de secod membr delle due uguaglaze soo dsgut, vale l secodo assoma e qud: + ( ( + ( sottraedo membro a membro s ha: (,da cu: ( + ( Possamo cocludere dcedo che: dat due evet comatbl, la robabltà dell'eveto uoe (robabltà totale è data dalla somma delle robabltà de sgol evet dmuta della robabltà dell'eveto tersezoe. Come è facle verfcare, l caso degl evet comatbl retra come caso artcolare d quello aea cosderato. Ifatt se gl evet ed soo comatbl 0 e la ( assume la forma della (. Quato è stato detto er due evet uò essere esteso al caso d ù evet. Se gl evet soo s ha: ( semo Cosderamo l caso cu due evet soo comatbl: U'ura cotee 40 alle umerate da a 40. Qual è la robabltà d estrarre u umero ar o (vel dvsble er? ssedo:
5 { ; 4 ; 6 ; 8 ;...40 } { ; 0 ; ;...40 } s ha: ; 0 ; 0 ; 40 { } semo Calcola la robabltà che, lacado due dad, s abba u umero ar ( o maggore d 6 (.,,,,4,,6,,,,4,,6,,,,4,,6 4, 4, 4, 4,4 4, 4,6,,,,4,,6 6, 6, 6, 6,4 6, 6,6 ssedo: 8 6 ( ( 6 9 ( s ha: Probabltà codzoata S chama robabltà codzoata la robabltà che u eveto s verfch, ell'otes che u altro eveto s sa realzzato. ssa vee dcata co ( / (s legge subordato a è data dal raorto tra la robabltà che s verfcho cotemoraeamete due evet e la robabltà che s realzz (, ossa: / da cu s rcava: ( / semo Qual è la robabltà d estrarre da u'ura coteete 90 umer del lotto u umero che (scuramete è multlo d 4 ( e dvsble er 6 (? ( 90 ( ( / 7
6 semo Lacamo due dad e samo cert che su uo d ess s reseta la facca. Qual è la robabltà d otteere 6 come uteggo totale? Il uteggo 6 ( è codzoato dal verfcars della reseza della facca ( su uo de due dad. S ha qud: ( 6,,,,4,,6,, 4,, 6, 6 ( /. 6 ( 6 semo U'ura cotee alle rosse e 8 alle verd. Qual è la robabltà che s estraggao alle rosse elle rme tre estrazo? 0 ( ( / ( / ( 0, Probabltà comosta S dce eveto comosto l'eveto che cosste el verfcars d tutt gl evet comoet. La robabltà comosta d due o ù evet dedet è data dal rodotto delle robabltà degl evet comoet. s: qual è la robabltà d estrarre ua fgura d coe da u mazzo d 40 carte.(deve essere ua fgura et deve essere d coe Se gl evet soo dedet, come el seguete esemo:
7 Qual è la robabltà d estrarre da u'ura, coteete 0 alle verd e 0 alle rosse, due alle rosse se o s rmette ell'ura la rma estratta? I questo caso la robabltà s ottee moltlcado la robabltà del rmo eveto er la robabltà del secodo calcolado quest'ultma ell'otes che s sa verfcato l rmo eveto Il caso degl evet dedet s cofgura come u caso artcolare della robabltà codzoata (ved es.. Formula d Bayes Saamo che / e / / Dall uguaglaza de secod membr s rcava: / Che vee detta formula d Bayes. ssa rsode ad u questo che sesso c oamo quado affrotamo lo studo d evet aleator: Se u eveto s è verfcato qual è la robabltà che la causa del suo verfcars sa stato roro l eveto? / Voledo geeralzzare l roblema, s avrà: /, ( / (co umero delle cause. Suoamo che l'eveto s verfch a dverse codzo,, tra loro mutuamete comatbl. Se cooscamo le robabltà (,, delle otes e cooscamo ache quale robabltà dao all'eveto le otes rma d effettuare la rova, ovvero ( /, /, / La formula d Bayes cosete d rcavare la robabltà ( /. ssa è data da: / / + / / + / Per care meglo l sgfcato d questa formula cosderamo seguet esem: semo Sao date ure cos'formate: - ure (comoszoe cotegoo alle bache e ere; - ure (comoszoe cotegoo alla baca e 4 ere, - ura (comoszoe cotee 4 alle bache e era. S scegle ua alla da u'ura a caso. La alla è baca. Qual è la robabltà che la alla sa stata estratta dall'ura della terza comoszoe?
8 calcolamo : ( (due ure su cque; ( ; oltre: ( / (due alle bache su cque e 4 ( / ; / la robabltà rchesta sarà qud: 4 ( / semo U'ura A cotee 0 umer de qual ar, u'ura B cotee 0 umer de qual 0 ar e u'ura C cotee 40 umer de qual 0 ar. S estrae da u'ura a caso u umero. Suosto d aver estratto u umero ar, qual è la robabltà che l umero sa stato estratto dall'ura A? ( (u'ura su tre ( ; ( / ( umer ar su 0 0 ( 0 / ( / ; / semo U egozo è forto d lamade dalle due dtte A e B. U clete comra ua lamada che vee resa a caso da ua delle due scatole ( e dove vegoo teute le lamade. Saedo che la scatola cotee 0 lamade della dtta A e della dtta B e che la scatola cotee 0 lamade della dtta A e 0 della dtta B, calcolare la robabltà che la lamada acqustata sa stata resa dalla scatola. I questo caso le scatole raresetao le codzo che ossoo dar luogo al verfcars dell eveto restablto (lamada resa da A Suoedo che le due scatole abbao la stessa robabltà d essere scelte, rsulta: ( ;
9 oltre: 0 0 ( / ; / 4 0 qud: ( / e, voledo determare la robabltà che la 8 + lamada veduta rovega dalla scatola, basterà cosderare ( / 8 8 DISTRIBUZION BINOMIAL O DI BRNOULLI Cosderamo u roblema molto mortate er le alcazo ratche del calcolo della robabltà: Il roblema delle rove retute Cosderamo u eveto, retble, e suoamo d effettuare rove, tutte elle stesse codzo, d u esermeto del quale uò essere u rsultato. Il roblema che c oamo è l seguete: Dato u umero k ( 0 k, qual è la robabltà che l eveto scelto s verfch k volte rove? Detta la robabltà d e q la robabltà dell eveto cotraro, ossamo osservare che se l eveto s reseta k volte, l eveto s reseta -k volte. Se cosderamo l caso cu s verfch elle rme k rove e dchamo co, la robabltà cercata, s ha: k, k k q k Se vece s vogloo cosderare valde tutte le modaltà co le qual uò resetars k volte è ecessaro osservare che queste soo tate quate le k k combazo semlc rese a k a k, qud:, k q k semo Lacamo 0 volte u dado. Qual è la robabltà che la facca 6 s reset le rme 4 volte? Alcado la formula d Beroull s ha: 0,
10 semo straamo er volte ua carta da u mazzo da 40. Calcola la robabltà d estrarre 6 volte ua carta rossa ssedo: e q, Seraza matematca Sesso rsulta utle dcare l seme de valor d ua varable casuale X co u valore d stes che d solto è M(X. Sa X ua varable casuale dscreta che uò assumere valor ostv (vcte o egatv (erdte, s chama seraza matematca o valor medo la somma de rodott delle vcte e erdte er le relatve robabltà: M ( X x Pochè otremo scrvere: M ( X x Qud, la seraza matematca è la meda oderata de valor x che hao es Suoamo d gocare co due moete detche. Og gocatore vce 0 euro se s resetao due "croc", vce euro se s reseta ua sola "croce", erde 6 euro se escoo due "teste". Qual è la seraza matematca? otado che cas ossbl soo 4 : TT TC CT CC, cosderamo la seguete tabella: x P /4 ½ /4 La seraza matematca del gocatore è: M ( X 0 + 6,0 4 4 Il robable guadago del gocatore è qud d,0 euro. Il goco sarebbe equo se l gocatore utasse,0 euro er og gocata.
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Numer compless Pag. Adolfo Scmoe 998 NUMERI COMPLESSI Come sappamo, o esstoo el campo de umer real le radc d dce par de umer egatv. Ammettamo pertato l esstea della radce quadrata del umero. Questo uovo
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Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici
Stm e putual Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator Vocabolaro Popolazoe: u seme d oggett sul quale s desdera avere Iformazo. Parametro: ua caratterstca umerca della popolazoe. E u Numero fssato,
Corso di Matematica - Algebra. Algebra
Corso d Mtemtc - Alger Alger Oerzo Algerche Tell de Seg Proretà Algerche delle Oerzo Somm e d Prodotto tr Numer Assoctvtà dell dvsoe Uguglze Pssgg lgerc Regole memoche Prodotto croce Rduzoe Fttor Rduzoe
Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti
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Seminari di matematica Quaderno di appunti:
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SCIENZA DEI MATERIALI. Chimica Fisica. IV Lezione. Dr. Fabio Mavelli. Dipartimento di Chimica Università degli Studi di Bari
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Caso studio 2. Le medie. Esercizio. La media aritmetica. Esempio
8/02/20 Caso studo 2 U vesttore sta valutado redmet d due ttol del settore Petrolo e Gas aturale. Sulla base de redmet goraler della settmaa passata vuole cercare d prevedere l redmeto per la prossma settmaa
Capitolo 6 Gli indici di variabilità
Captolo 6 Gl dc d varabltà ommaro. Itroduzoe. -. Il campo d varazoe. - 3. La dffereza terquartle. - 4. Gl scostamet med. -. La varaza, lo scarto quadratco medo e la devaza. - 6. Le dffereze mede. - 7.
Indici di asimmetria. Elementi di Statistica descrittiva Parte IV. Simmetria di una distribuzione di frequenze. Primo indice di asimmetria (1/3)
Smmetra d ua dstrbuzoe d frequeze Ua dstrbuzoe s dce asmmetrca se o è possble dvduare (aalzzado u stogramma) u asse vertcale che tagl la dstrbuzoe due part specularmete ugual Idc d asmmetra Rferedoc a
Università di Cassino. Esercitazione di Statistica 1 del 4 dicembre Dott.ssa Simona Balzano
Unverstà d Cassno Eserctazone d Statstca del 4 dcembre 6 Dott.ssa Smona Balzano Eserczo Sa la varable casuale che descrve l rsultato del lanco d dad, sulle cu facce v sono numer: 5, 5, 7, 7, 9, 9. a) Defnre
dei quali si conoscono solo la media x e la deviazione standard σ e dato un valore reale positivo K, possiamo affermare che:
Eserctazoe VI: Il teorema d Chebyshev Eserczo La statura meda d u gruppo d dvdu è par a 73,78cm e la devazoe stadard a 3,6. Qual è la frequeza relatva delle persoe che hao ua statura superore o ferore
frazione 1 n dell ammontare complessivo del carattere A x
La Cocetrazoe Il cocetto d cocetrazoe rguarda l modo cu l ammotare totale d u carattere quattatvo trasferble s rpartsce tra utà statstche. Tato pù tale ammotare è addesato u sottoseme d utà, tato pù s
Appunti complementari per il Corso di Statistica
Apputi complemetari per il Corso di Statistica Corsi di Laurea i Igegeria Edile e Tessile Ilia Negri 24 settembre 2002 1 Schemi di campioameto Co il termie campioameto si itede l operazioe di estrazioe
ESERCITAZIONE NUMERO 4
METODI STATISTICI PER L ECONOMIA (PROF.SSA M. R. FERRANTE) Eserczo D seuto soo rportat dat sul umero d mprese attve a uo 00 elle 0 reo talae: -ESERCITAZIONI 0/- Aachara Sauatt (aachara.sauatt@ubo.t) ESERCITAZIONE
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ. 1. La probabilità che una candela accesa si spenga è p = 1, perché è assolutamente certo che si esaurirà.
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Lezione 1. I numeri complessi
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Come camba la dstrbuzoe se cosderamo 5 class equampe (k5)? xmax xm 2.02 03 d 38,80 k 5 Class x xl x + Ass. relatva N Frequeza relatva cumulata F l 03,0 -- 484,8 4 0,82 0,82 484,8 -- 866,6 5 0,0 0,92 866,6
Analisi dei Dati. La statistica è facile!!! Correlazione
Aals de Dat La statstca è facle!!! Correlazoe A che serve la correlazoe? Mettere evdeza la relazoe esstete tra due varabl stablre l tpo d relazoe stablre l grado d tale relazoe stablre la drezoe d tale
CAPITOLO XI STIMA DEI PARAMETRI DI UNA VARIABILE ALEATORIA.
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Statistica descrittiva per l Estimo
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Gli indici sintetici Forma. Gli indici sintetici. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma
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In questo capitolo vedremo solamente un caso di rendita, che useremo poi per generalizzare le rendite e dedurre tutti gli altri casi.
7. Redte I questo captolo edremo solamete u caso d redta, che useremo po per geeralzzare le redte e dedurre tutt gl altr cas. S defsce redta ua successoe d captal (rate) tutte da pagare, o tutte da rscuotere,
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STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 3 VARIABILI QUANTITATIVE Indici di centralità, dispersione e forma
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CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI 1. INTRODUZIONE
CAPITOLO UNDICESIMO VARIABILI CASUALI SOMMARIO:. Itroduzioe. -. Variabili casuali discrete. - 3. La variabile casuale di Beroulli. - 4. La variabile casuale biomiale. -. La variabile casuale di Poisso.
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Regme d capalzzazoe composa Se s deposa baca, all zo dell ao, ua somma d 000 ad u asso auale uaro =0,05 oppure r=5%, dopo ao ale somma frua u eresse par a I = = 000 0,05 = 50 che aggugedos al capale zale
Un esempio. le diverse situazioni possibili riferibili alla popolazione, è quella meglio sostenuta dalle evidenze empiriche.
I molte crcostaze l rcercatore s trova a dover decdere quale, tra le dverse stuazo possbl rferbl alla popolazoe, è quella meglo sosteuta dalle evdeze emprche. Ipotes statstca: supposzoe rguardate: u parametro
Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 9: Covarianza e correlazione
Corso d laurea Sceze Motore Corso d Statstca Docete: Dott.ssa Immacolata Scacarello Lezoe 9: Covaraza e correlazoe Altr tp d dpedeza L dce Ch-quadro presetato ella lezoe precedete stablsce l grado d dpedeza
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RISOLUZIO SRIZI SULLA PROBABILITA PROBABILITA LASSIA ) a) I cas possbl sono 0, mentre quell faoreol sono ; ; 0 b) cas faoreol sono 0, 0 ; 0 cas faoreol sono, ; 0 0 0 0 0 P. 0 0 ) 0 pallne, 0B, V, R, 0G
Le misure di variabilità
arlea Pllat - Semar d Statstca (SVIC) "Le msure d varabltà e cocetrazoe" La varabltà L atttude d u carattere quattatvo X ad assumere valor dfferet tra le utà compoet u seme statstco è chamata varabltà