Capitolo 2. Storia dell Algebra.

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Capitolo 2. Storia dell Algebra."

Transcript

1 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- Cpitolo. Stori dell Algebr. Per descrivere l stori di un disciplin o di un concetto srebbe importnte verne un definizione condivis. M un definizione di Algebr non è semplice d dre, dto che quest disciplin è cmbit molto negli nni, nzi nei secoli. Si potrebbe dire che l Algebr è l utilizzzione del metodo nlitico pplicto ll Aritmetic. In questo l ggettivo nlitico h un connotzione divers d quell che solitmente oggi in Mtemtic viene inteso, richim piuttosto le posizioni filosofiche di Crtesio che per primo h introdotto esplicitmente in tempi moderni l dicotomi nlisi - sintesi. Quest, però, è un definizione propost d Ettore Bortolotti prim dell introduzione dello Strutturlismo, un corrente filosofic che h vuto un notevole imptto sull Mtemtic ttrverso l oper di Bourbki. Costui h identificto l Algebr con l struttur lgebric uno specifico tipo di struttur mdre... Le prime mnifestzioni del pensiero lgebrico. Oggi si discute molto in mbito didttico su quell che viene dett con dizione inglese erly lgebr, tlor trdott itlino col termine di pre-lgebr. Si trtt di un form di rgionmento presente nche negli scolri più piccoli, già ll scuol elementre, che si può riscontrre nche nello sviluppo storico. Se per Algebr si intende questo tipo di pproccio, si può ffermre che l stori dell Algebr h inizio lmeno ttorno l.c. in qunto si trovno trcce di pprocci lgebrici fin dll ntichità egizi e mesopotmic. Di ftto le mnifestzioni di tipo mtemtico, nzi ritmetico rislgono molto più indietro nel tempo. Sono noti inftti strumenti di clcolo, le clcoltrici elettroniche dell età dell pietr, i tllies: 8

2 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- E ssi interessnte osservre che tle strumento di clcolo si è conservto in epoche molto più vicine noi, come mostrno tllies utilizzti in epoc modern Anzi qulche esempio risle l secolo XX 8

3 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- L soprvvivenz dei tllies si può vedere in vri esempi: l rett dei numeri, le corone del rosrio e, sorprendentemente, nelle mcchine di Turing, gli ntenti teorici degli odierni computer. Il pensiero lgebrico è frutto di evoluzione culturle umn svilupptsi, nel tempo storico. In tempi più vicini noi, si riscontrno spetti che fccimo meno ftic ritenere lgebrici nell trd grecità, d esempio d oper di Diofnto - 8 d.c.. Anche l estremo Oriente Indi e Cin h dto i propri contributi ll Algebr. Con queste civiltà c è un problem di dtzione, in qunto le opere scritte di quei popoli sono frutto di un lung trdizione orle. Rest quindi difficile trovre l origine storic dei procedimenti. M come vedremo l stori non è così semplice e neppure linere. E bene inoltre distinguere lcuni momenti egulmente importnti e costitutivi dell Algebr:. l stori delle equzioni e delle tecniche risolutive e problemi connessi dll ntichità l XIX secolo.. l stori del simbolismo lgebrico. dl IV secolo. C. l XVII secolo. Non si può certo sserire che lo sviluppo di questi due spetti si stto prllelo, nche se d un certo punto in poi si ssiste d un sufficiente sviluppo del simbolismo che iut e fornisce suggerimenti ll ltro spetto, permettendo di recuperre in modo più semplice procedimenti risolutivi già individuti per ltr vi. Accnto questi due filoni si colloc 3. l stori delle strutture lgebriche prtire dll inizio del XIX secolo che h vuto sviluppo diverso di due filoni precedenti. Come si vede sono periodi ssi estesi nel tempo ed nche nello spzio... Brevi cenni sulle equzioni lgebriche. Alcuni semplici richimi di Algebr per ricordre cos si intend per equzioni lgebriche e quli problemi sono d esse connessi. Un scrittur del tipo n n x x... nx n = 83

4 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- viene dett equzione lgebric di grdo n nell incognit x. Il termine equzione, di origine ltin compre per l prim volt nell lettertur mtemtic nel Liber Abci di Leonrdo Pisno o Fiboncci. Per dre correttezz quest scrittur bisogn vere lmeno un struttur lgebric opportun, d esempio l struttur di nello per potere clcolre somme, prodotti e potenze, quindi per interpretre i simboli presenti in modo nturle. Il grdo è un numero nturle. Le scritture di tipo i vengono detti coefficienti dell equzione e vengono solitmente interpretti in elementi dell nello. In prticolre viene detto coefficiente direttore dell equzione. Il primo membro può essere visto come un polinomio coefficienti in un nello, m in tle cso x diviene un indetermint invece che un incognit. L equzione è dt dll eguglinz di due termini, dl punto di vist dell scrittur morfologi. L espressione scritt sopr viene dett form normle dell equzione e per ottenerl è bene vere delle regole sintssi per gestire ddizione e moltipliczione. Anzi il solo ftto di vere potenze suggerisce nche se non indispensbile che si debb essere in presenz dell proprietà ssocitiv dell moltipliczione. Senz questi spetti sintttici non è possibile giungere ll cosiddett form normle, quell scritt sopr. Un volt scritt l equzione ed interpretti i coefficienti in un nello, nche l indetermint o incognit, può essere interprett in elementi dell stess struttur, fornendo così un interpretzione per il polinomio in un elemento dell nello. E quest l fse semntic. Solitmente con l dizione Risolvere l equzione si intende il problem di determinre se esiste un interpretzione dell incognit cui corrispond l elemento neutro dell nello. Si trtt quindi di ssocire l polinomio un funzione polinomile vlori nell struttur e poi ispezionre nell insieme immgine di quest funzione se esiste l elemento neutro e in cso ffermtivo trovre gli elementi dell controimmgine di nell funzione polinomile. Leonrdo Fiboncci 7 5 Dl punto di vist storico i polinomi sono un invenzione recente, come oggetto in sé con le proprietà connesse, m l utilizzzione implicit dei polinomi è strettmente conness con le equzioni. I coefficienti delle equzioni storiche sono stti determinti dll cultur dell epoc. Si può dire che gli esempi più ntichi prevedono coefficienti dti di numeri nturli, poi i numeri rzionli ssoluti ed infine i numeri reli nche senz verne un esplicit definizione. Dl problem dell risoluzione di equzioni di terzo grdo sono poi stti introdotti i numeri complessi. 8

5 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- Nell prtic scolstic, un volt scritt l equzione in form normle, si chim rdice del polinomio primo membro o soluzione dell equzione coefficienti reli o complessi un numero rele o complesso che sostituito d x nel primo termine dell equzione di il secondo, vle dire tle che n n... n n = Risolvere un equzione vuol dire trovre tutte le sue soluzioni. Ci sono due metodi sostnzilmente diversi per risolvere le equzioni. Trovrne un soluzione numeric o un soluzione nlitic. Con soluzione numeric si intende l determinzione dei vlori numerici pprossimti delle rdici come opportune funzioni dei coefficienti. Questo tipo di soluzione è ttestt nche nell ntichità ed è diventt di grnde importnz nell Mtemtic dl XIX secolo in poi. Non è quell che viene insegnt nell scuol, nche se le recenti Nuove indiczioni del luglio 7 pongono ttenzione ll spetto cognitivo dell pprossimzione. I metodi numerici si sono mpimente sviluppti; lcuni di essi sono rivolti ll determinzione pprossimt di un specific rdice, ltri sono rivolti ll determinzione complessiv delle rdici. L soluzione nlitic è quell solitmente introdott nell scuol, quell che esprime le soluzioni dell equzione medinte funzioni rzionli ed estrzioni di rdici pplicte i coefficienti dell equzione. In reltà si possono pplicre i coefficienti ltri tipi di funzione d esempio trigonometriche o funzioni ellittiche ed iperellittiche, m nell prssi scolstic ed nche di mtemtici di ltri tempi col termine di equzione risolubile per rdicli si intende quelle che si possono risolvere sono solo medinte funzioni rzionli e i rdicli sui coefficienti dell funzione. Anzi tlvolt si sottintende l dizione per rdicli, commettendo così, evidentemente, un scorrettezz. Un equzione lgebric di grdo n si dice complet se in ess sono presenti tutte le potenze dell incognit fino n. Un equzione si dice monic se il coefficiente direttore è. Se il coefficiente direttore è diverso d ed è scelto in modo che si un elemento invertibile ciò che vviene sempre se i coefficienti sono elementi di un corpo o di un cmpo, llor è possibile trsformre l equzione dt in un equzione monic senz che questo cmbi le soluzioni. Inftti n n n n x x... nx n = e x x... nx n = hnno le stesse soluzioni in qunto se è un soluzione dell prim, sostituendol x nell second si ottiene ncor, ed è semplice provre il vicevers. Il nome rdice proviene dll oper di Mohmed ibn Mus l Kowrizmi si ved il successivo prgrfo

6 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- Il più importnte risultto reltivo lle equzioni lgebriche coefficienti complessi è il seguente Teorem fondmentle dell Algebr Guss 799. Ogni equzione lgebric coefficienti complessi h lmeno un soluzione rele o compless. D questo risultto si ricvno lcuni importnti corollri. Corollrio. Si fx un funzione polinomile coefficienti complessi di grdo n, llor si può rppresentre in un modo unico meno dell commuttività dell moltipliczione come prodotto di esttmente n fttori di polinomi di primo grdo, nell form x- x- n Dimostrzione. L dimostrzione procede per induzione sul grdo prtendo d. Se fx h grdo, llor è già esso stesso un polinomio di primo grdo ed è quindi dell form x = x = x, purché = Altre espressioni non sono possibili. Assunt l ipotesi per tutti i polinomi di grdo minore di n, esist l fttorizzzione unic e si fx di grdo n. Per il Teorem fondmentle dell Algebr, si h un rdice del polinomio,. Si h llor fx = f xx-, con f x polinomio coefficienti complessi di grdo n-, per l proprietà euclidee dell nello dei polinomi coefficienti in un cmpo in questo cso. Per ipotesi induttiv f x si può scrivere in un unico modo come x-β x-β n- come prodotto di esttmente n- polinomi di primo grdo non necessrimente distinti e quindi fx si può scrivere come prodotto di esttmente n polinomi di primo grdo e in tle fttorizzzione compiono tutte e sole le rdici del polinomio. L unicità dell fttorizzzione dipende dl ftto che l nello dei polinomi è un nello euclideo per l presenz del grdo. Krl Friedrich Guss Si ricord che in Algebr un nello A è detto euclideo se è ssegnt un funzione g: A tle che - A g -,b Ag gb -,b Ab q,r A = bq r gr < g D qunto sopr si ottiene: 86

7 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- Corollrio. Ogni equzione lgebric di grdo n coefficienti complessi in un incognit h esttmente n soluzioni non necessrimente distinte. Corollrio 3. Si fx un polinomio di grdo n coefficienti in, llor esso h un rdice rele. Dimostrzione. Per il Teorem fondmentle dell Algebr e per il Corollrio, si può scrivere il polinomio fx come x- x- n. Se con : si indic il coniugio, che è un utomorfismo involutorio di, esso è tle che per ogni ib, ib = -ib. Inoltre il coniugto di un numero rele b = è lo stesso numero rele, per cui, fx = fx. D ltr prte fx = x- x- n = x- x- n. Quindi per l unicità dell fttorizzzione, se i è un rdice compless del polinomio fx, llor nche i è rdice e srà quindi un ltr delle rdici già indicte, d esempio j. Ciò signific che le rdici complesse di fx sono in numero pri. Essendo il polinomio di grdo dispri deve esistere lmeno un rdice rele. n n Corollrio. Si x x... nx n = e sino,..., n le sue rdici, cioè tli che n n x x... nx n = x... x n si hnno le seguenti formule di Viète n = ; n n n = n n = ; n n 3 n = ; Frnçois Viète 5 63 n n Dimostrzione. Bst effetture il clcolo x x... nx n = x... x n pplicndo il principio di identità dei polinomi per cui due polinomi nell stess indetermint sono eguli se hnno eguli coefficienti delle stesse potenze dell indetermint. 87

8 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- Nel cso di n = si ottengono le formule note dll scuol superiore: = ; =. Nel cso n = 3, si ottengono ; e 3 3 = 3 3 = 3 =..3. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Nel corso delle lezioni si introdurrnno le tecniche messe punto dgli studiosi nelle vrie epoche storiche per risolvere le equzioni. Si psserà d metodi per tenttivi d ltri più ingegnosi, d esempio vvlendosi di strumenti geometrici. L oper degli studiosi rbi porterà ll cosiddett Regol d Algebr, che costituirà il primo esempio di risoluzione in senso moderno, nche se ncor molto distnte d quell che ritenimo oggi sino le formule risolutive delle equzioni. Con l umentre del grdo umentno le difficoltà per risolvere l equzione..3. Equzioni di primo grdo. L generic equzione lgebric di primo grdo in un incognit è del tipo x =, con. Quest equzione è sicurmente risolubile in un nello se è un elemento dotto di inverso. Altrimenti potrebbe essere risolubile solo in lcuni specifici csi qundo è multiplo di. In un cmpo, in cui ogni elemento non nullo è invertibile, si h l formul risolutiv x =. Grzie quest formul si risolve l equzione in qunto = - =..3. Equzioni di secondo grdo. Sono equzioni che sono stte risolte nche nell ntichità, tlor sfruttndo proprietà geometriche. Il più ntico metodo di risoluzione di cui si bbi notizi si bs sul cosiddetto metodo del completmento del qudrto. Questo metodo è presente nche in documenti dell trd grecità. L form normle dell equzione lgebric coefficienti reli di secondo grdo in un incognit è x x =. Moltiplicndo entrmbi i membri per si ottiene x x =, d cui x x =. Quest espressione può essere trsformt in x = -. Se il secondo membro è positivo, llor si h x = ±. D qui ± x =. 88

9 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA Quest espressione è stndrd, m è decismente un ostcolo per gli studenti che spesso vedono il segno ± come qulcos di ppiccicto ll rdice, nzi di un qulcos che f prte dell rdice stess. Di ftto il doppio segno di operzione nsconde un disgiunzione non esclusiv, in qunto il rdicndo potrebbe essere nullo e srebbe meglio introdurre lo studio delle equzioni scrivendo molte volte, x x = =, prim di pssre ll sintesi relizzt col simbolo ±. Inoltre si riflett che il procedimento svolto non è un dimostrzione, m solo un rgionmento euristico. Inftti sopr si dice Moltiplicndo, può essere trsformt, e, come poi insegn lo studio delle equzioni irrzionli, ciò che pprentemente è semplice e possibile, è solo un rgionmento che si svilupp dll ipotesi che l soluzione esist e che i procedimenti di trsformzione lgebric pplicti non fccino pprire o sprire soluzioni. Al più, i clcoli precedenti sono dimostrzione che se l soluzione esiste deve essere di un cert form, quindi si possono considerre un dimostrzione di unicità forse di duplicità, m non di esistenz. M, come spesso fnno, i rgionmenti euristici ci offrono un propost per provre se l soluzione esiste. L prssi scolstic che si ferm qui, non è sufficiente, bisogn ncor provre che queste sono soluzioni. Bst sostituire l posto di x ciscuno dei vlori trovti ottenendo = = = =. In modo nlogo si h per l ltr rdice = = = =

10 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA Equzioni di grdo superiore l secondo. Solo molto più trdi, tr XVI e XVII secolo, in Itli furono scoperte o inventte? le formule risolutive delle equzioni di terzo grdo e di qurto grdo. A questo punto fu grnde il fervore per trovre l soluzione delle equzioni lgebriche di grdo superiore l qurto. Per riuscire nello scopo sono stte prodotti vri metodi e nche senz riuscire risolvere il problem, egulmente l Mtemtic è procedut preprndo il terreno d ltri cmpi di studio. Tr XVIII e XIX secolo Lgrnge intuisce che le equzioni di quinto grdo o di grdo superiore possno non essere risolubili per rdicli: «Il problem di risolvere per rdicli equzioni il cui grdo è superiore l qurto, è uno di quelli che non è possibile risolvere, nche se null dimostr l impossibilità di tle soluzione.» Lgrnge: Réflexions sur l résolution lgébrique des éqution, 77-7 Polo Ruffini Ciò viene provto nel 799 d Ruffini e poi ripreso d Abel indipendentemente. Nel 799 si hnno le dimostrzioni di due importnti teoremi: per il teorem fondmentle dell lgebr ogni polinomio h lmeno un rdice rele o compless. Quindi si trtt di un enuncito con un quntifictore esistenzile esiste un rdice. Il risultto di Ruffini ttest che se si h che fre con l generic equzione lgebric di grdo mggiore di, può non essere possibile trovrne un soluzione per rdicli. Si ples in tle modo l differenz sostnzile tr le due locuzioni Esiste un rdice e Si Evriste Glois 8-83 Leopold Kronecker può trovre un rdice!! Esistono tuttvi numerosi tipi di equzioni di grdo superiore l qurto che possono risolversi per rdicli, quindi rest d vedere quli sino le equzioni risolubili per rdicli. Questo problem è stto ffrontto e risolto d Glois. Gli studi di Glois hnno perto l strd ll teori dei gruppi ed ll teori dei cmpi. Nel frttempo Glois e Abel hnno ffrontto ltri problemi reltivi clssi di Chrles Hermite 8-9 Frncesco Brioschi Henri Poincré 85-9 Luigi Lgrnge Niels Abel 8 89 funzioni prticolri, le funzioni ellittiche. I mtemtici dell second metà del XIX secolo hnno sfruttto questo tipo di funzioni per 9

11 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- determinre formule risolutive per le equzioni di quinto grdo Hermite e Kronecker o di sesto Brioschi. All inizio del XX secolo Poincré h generlizzto i risultti precedenti trovndo formule risolutive per le equzioni lgebriche di un grdo qulunque... Sistemi di numerzione dell ntichità mediterrne. Il seguente documento egizino rivel l su ntur mtemtic l primo sgurdo. Si trtt di un prte di un ppiro dtbile intorno l 65.C.: è il cosiddetto Ppiro Rhind, dl nome del suo comprtore, ttulmente Londr. Si trtt di un rotolo di ppiro lrgo circ 3 cm e lungo 5,6 metri. Il testo è firmto dllo scrib Ahmes che dice di vere ftto un rccolt bst su documenti ntichi. Contiene un rccolt di 87 problemi soprttutto di Geometri e Aritmetic dti ssieme lle soluzioni degli stessi. L immgine poco soddisfcente di un frmmento di tle documento mostr figure geometriche. Si ppur fcilmente che l momento dell scrittur di tle ppiro, il cosiddetto Teorem di Pitgor er già noto gli Egizi, come forse nche i popoli mesopotmici, Si riport inoltre un ulteriore documento egizio un bssorilievo. Anche in comprenderli bisogn però lmeno decifrre questo documento sono presenti contenuti mtemtici. Per przilmente di che cos prlno questi reperti rcheologici. Per frlo si introducono i simboli usti per rppresentre i numeri. A questo punto si possono svolgere lcuni esercizi di trduzione dll ntico Egizino ll scrittur odiern e vicevers. 9

12 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- Si può dire che si trtti di un numerzione dditiv, cioè i simboli mntengono lo stesso vlore indipendentemente dll posizione e nche dll orientzione degli stessi. Il numero descritto si ottiene dll somm dei vlori numerici dei simboli rppresentti. In questo tipo di numerzione non c è bisogno di un simbolo per. Si può or rileggere il precedente documento ntico. [Egitto] Più difficile è ccorgersi che il seguente documento mesopotmico un tvolett di rgill, dtbile ttorno l 85.C. h un contenuto mtemtico ssi interessnte per l Stori dell Algebr. Il trtteggio che ppre segnl perdite di testo dell tvolett fittile. Un poco di iuto si può vere dll lettur del testo rt in libbi eqlim m.3 I wstm tškkn bmt I eppe 3 u 3 tuštkkl 5 n.3 tubm bsm 3 š tuštkilu n 9.3 tubm 3 rtum. Si trtt quindi di un testo in cui compiono prole e numeri; per entrre di più nel testo bisogn cercre di comprendere come vengono rppresentti i numeri. D lcuni esempi scritti in modo simile quello effettivo si ricvno le regole uste in Mesopotmi pere scrivere i numeri. Questi esempi rppresentno un glleri sufficiente per comprendere il sistem di numerzione degli ntichi popoli che usvno l scrittur cuneiforme. 9

13 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- Il confronto con l rffintezz di rppresentzione degli Egizi ci f dire che con l numerzione mesopotmic simo di fronte d un mnier più sbrigtiv per scrivere i numeri. L scrittur in questi pesi vveniv medinte tvolette di rgill bbondnte nell terr dei due fiumi, Tigri ed Eufrte su cui si incidev medinte uno stiletto con un test tringolre. Le tvolette potevno essere cncellte pssndovi sopr, oppure ftte seccre ed in tl cso mntenevno lungo i segni. Già dl primo esempio si coglie il significto dei segni. Quello form di chiodo è, quello form di cuneo. Sembr quindi che simo di fronte d un notzione dditiv. Il primo esempio dell second rig però contrst con quest prim interpretzione, fcendo cpire che si trtt di un numerzione mist, dditiv e posizionle su bse 6. I disegni precedenti però mettono in luce distnzindoli i vri segni qundo si cmbi unità, m i testi non sono così ccurti. È evidente che mnc un simbolo per, che stvolt srebbe indispensbile per distinguere tr, 6 e 3.6. Si può or pprezzre l tvolett presentt sopr e cercre di cpire di cos prli. rt in libbi eqlim m.3 I wstm tškkn bmt I eppe 3 u 3 tuštkkl 5 n.3 tubm bsm 3 š tuštkilu n 9.3 tubm 3 rtum. 93

14 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- [Mesopotmi] Indichimo colori le prti del testo di interesse mtemtico. In rosso mithrti, in verde tustkkl, in zzurro tussbm. In blu indiczioni numeriche. Il risultto in gillo. Nell prte trtteggit dell terz rig si intrvede un scrittur che potrebbe rppresentre.3. Simo dunque in presenz di un testo prettmente mtemtico, non come quello egizino presentto prim, di ntur prtic: si present un problem di cui si indic il procedimento di soluzione seguendo strde che ftichimo comprendere, nche perché ci mnc l duttilità dt dll prtic dell numerzione posizionle sessgesimle. Inoltre non simo più bituti d un presentzione prole Algebr retoric, come lo erno gli ntichi, nzi l trduzione in formule Algebr simbolic delle prole non è fcile. Restimo stupiti però dell modernità del procedimento, un volt decifrto, il cosiddetto metodo del completmento del qudrto, che ncor oggi viene presentto senz molte differenze sui libri di testo dell scuol secondri. Sremmo incuriositi di spere come fcevno clcolre le rdici qudrte. Altri reperti mostrno delle tvole numeriche. Nsce llor il sospetto che il problem si costruito ppost, con dti fcili d clcolre, nche con l usilio di tvole. È però d obbligo un riflessione su qunto gli lgoritmi che oggi utilizzimo sino ssi diversi perché direttmente o indirettmente bsti sull numerzione posizionle decimle e sul simbolismo. Secondo gli ntichi, mentre gli Egizi eccellevno nell Geometri, i fenici, popolo di mrini e commercinti, vevno sviluppto l Aritmetic. Di questo popolo ci rimne ben poco, si dl punto di vist rcheologico che documentle, in qunto l loro forz commercile si infrnse contro l impero romno il qule, ottenendo il predominio militre sul Mediterrneo, impose nche le proprie regole commercili distruggendo con feroci i Fenici, in prticolre i Crtginesi, rei di ver osto intimorirlo con le scorrerie di Annible in Itli. I Greci che hnno vuto un ruolo culturle centrle nell stori hnno ftto scelte che hnno impedito uno sviluppo dell Aritmetic e dell Algebr prgonbile quello dell Geometri. Inftti denotvno i numeri medinte le lettere dell lfbeto. È un scelt dettt d un criterio di semplicità, m può ndre bene solo se servono pochi numeri. Di ftto riuscivno rppresentre il numero. miride m come dice il termine, che è stto incluso nel dizionrio dell lingu itlin, ed nche in quello di ltre lingue in inglese myrid h perso molto del suo significto numerle per indicre un quntità indetermint d esempio il dizionrio di inglese trduce miride nche con multitude!. Dunque miride er l contempo il numero. ed il numero infinito! 9

15 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 9- A riprov di questo ftto, ci è stto trmndto un interessntissimo testo di Archimede: l Arenrio. In esso il mtemtico tent di dimostrre come il numero dei grnelli di sbbi che costituiscono le coste di Sircus, l su città, sono in numero finito, provndo che è possibile contre il numero dei grnelli di sbbi che servono per riempire l Universo. Per fre questo h bisogno di trovre nomi per rppresentre i numeri nturli richiesti llo scopo, e che vnno ben l di là dell miride. L numerzione degli ntichi romni è insegnt lle scuole e l si può trovre ust ncor oggi su lpidi e monumenti. In ess i numeri sono indicti medinte lettere ed h importnz nche l posizione. Non er molto comod per fre operzioni, tnto che nel medioevo, prim e nche dopo l introduzione delle cifre rbiche, per pprendere l divisione bisognv frequentre l Università. Archimede di Sircus 87.C. Si è preferito ccentrre l ttenzione sull ntichità dei pesi che grvitvno sul Mediterrneo, per seguire il filo che h portto ll ttule Algebr. Come detto prim nche ltri popoli, in Estremo Oriente e nelle Americhe hnno sviluppto sistemi di numerzione ed nche lo studio dell Algebr, m l indgine comprt complet porterebbe d utilizzre troppe ore di lezione. 95

Lezione 2-4 ottobre 2005

Lezione 2-4 ottobre 2005 Mtemtiche complementri I Cpitolo Stori dell Algebr AA. 5-6 Lezione - ottobre 5.. Brevi cenni sulle equzioni lgebriche continuzione D questo risultto si ricvno lcuni importnti corollri. Corollrio. Si f

Dettagli

B8. Equazioni di secondo grado

B8. Equazioni di secondo grado B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

Le equazioni di grado superiore al secondo

Le equazioni di grado superiore al secondo Le equzioni di grdo superiore l secondo ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Teorem fondmentle dell lger Ogni equzione lgeric di grdo n h sempre n soluzioni, che possono essere

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato

CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016 Docente: Monic Mrrs 1 Anlisi Mtemtic 1 Testo consiglito con elementi di geometri e lgebr linere. M. Brmnti, C.D. Pgni, S. Sls

Dettagli

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi Equzioni di grdo Definizioni Equzioni incomplete Equzione complet Relzioni tr i coefficienti dell equzione e le sue soluzioni Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Un equzione è: Un uguglinz

Dettagli

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Fcoltà di Frmci e Medicin - Corso di Lure in CTF 1 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali.

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali. I rdicli Cos è un rdicle? Il simbolo si chim rdicle e si legge rdice ennesim di. - n si chim indice dell rdice e deve essere un numero nturle mggiore di zero. Qundo l indice si sottintende e il rdicle

Dettagli

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche. Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,

Dettagli

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione

Dettagli

Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h )

Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h ) Sezione Esercizi Esercizi Esercizi dei singoli prgrfi - Rdici Determin le seguenti rdici qudrte rzionli (qundo è possiile clcolrle) 00 l ) m ) n ) o ) 0,0 0,0 0,000 0, Determin le seguenti rdici qudrte

Dettagli

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo Lure triennle in Scienze dell Ntur.. 2009/200 Regole di Clcolo In queste note esminimo lcune conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll ordinmento nell insieme R dei numeri reli. L obiettivo principle

Dettagli

2 Numeri reali. M. Simonetta Bernabei & Horst Thaler

2 Numeri reali. M. Simonetta Bernabei & Horst Thaler 2 Numeri reli M. Simonett Bernei & Horst Thler Numeri interi positivi o Nturli 0 1 2 3 4 Con i numeri Nturli è sempre possiile fre l ddizione e l moltipliczione p.es.: 5+2 = 7; 3*4 = 12; m non sempre l

Dettagli

1 Espressioni polinomiali

1 Espressioni polinomiali 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

Radicali. Definizioni Variazioni di radicali Operazioni Razionalizzazione Radicali doppi Potenze con esponente razionale Esercizi

Radicali. Definizioni Variazioni di radicali Operazioni Razionalizzazione Radicali doppi Potenze con esponente razionale Esercizi Rdicli Definizioni Vrizioni di rdicli Operzioni Rzionlizzzione Rdicli doppi Potenze con esponente rzionle Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni n L espressione è comunemente dett rdice

Dettagli

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, } Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri

Dettagli

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si

Dettagli

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino

Dettagli

Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione

Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione Anno Potenze di un rdicle e rzionlizzzione Introduzione In quest lezione impreri utilizzre le ultime due tipologie di operzioni sui rdicli, cioè l potenz di un rdicle e l rdice di un rdicle. Successivmente

Dettagli

Anno 1. Numeri reali: proprietà e applicazioni di uso comune

Anno 1. Numeri reali: proprietà e applicazioni di uso comune Anno Numeri reli: proprietà e ppliczioni di uso comune Introduzione L insieme dei numeri rzionli è composto d numeri che si ottengono dl rpporto tr due numeri interi. Tle rpporto, o frzione, è sempre ssociile

Dettagli

7. Derivate Definizione 1

7. Derivate Definizione 1 7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte

Dettagli

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei

Dettagli

Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0

Valore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0 Equzioni letterli di II grdo Un equzione letterle di II grdo è un equzione che contiene, oltre l letter che rppresent l incognit dell equzione, ltre lettere, dette prmetri, che rppresentno numeri ben determinti,

Dettagli

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata . Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche

Dettagli

Funzioni razionali fratte

Funzioni razionali fratte Funzioni rzionli frtte Per illustrre l medizione che AlNuSet fornisce per lo studio delle funzioni rzionli frtte, inizimo con il considerre l funzione f ( ) l vrire del prmetro. L su rppresentzione nell

Dettagli

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni Sistemi di equzioni Definizione Un sistem è un insieme di equzioni che devono essere verificte contempornemente, cioè devono vere contempornemente le stesse soluzioni. Definimo grdo di un sistem il prodotto

Dettagli

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte

Dettagli

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale:

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale: IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. Complet.. Un espressione letterle è un scrittur in cui compiono operzioni tr numeri rppresentti, tutti o in prte, d lettere. Per clcolre il vlore numerico di

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore +

Dettagli

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale:

IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. per a = - 2 vale: IL CALCOLO LETTERALE: I MONOMI Conoscenze. Complet.. Un espressione letterle è.... Per clcolre il vlore numerico di un espressione letterle isogn...... c. Non si possono ssegnre lle lettere che compiono

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA Liceo Scientifico G. Slvemini Corso di preprzione per l gr provincile delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA PROPRIETA DELLE POTENZE PRODOTTI NOTEVOLI QUESITO SUGGERIMENTO y è un espressione non

Dettagli

b a ax b 0 Equazione lineare B) Equazioni di 2 grado incomplete: ax 2 0 Equazione monomia x 2 0

b a ax b 0 Equazione lineare B) Equazioni di 2 grado incomplete: ax 2 0 Equazione monomia x 2 0 www.esmths.ltervist.org EQUZIONI DI GRDO SUPERIORE L SECONDO PREMESS Finor simo cpci di risolvere solo equzioni di primo e di secondo grdo. imo imprto che isogn prim condurle form cnonic e poi procede

Dettagli

Teoria in pillole: logaritmi

Teoria in pillole: logaritmi Teori in pillole: logritmi EQUAZIONI ESPONENZIALI Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze. L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele Esponenzili e ritmi L potenz è definit: se, per ogni R se, per tutti e soli gli R se, per tutti e soli gli Z. Sono definite: 7 7. Non sono definite:.

Dettagli

Erasmo Modica. : K K K

Erasmo Modica.  : K K K L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic helthinsurnce@tin.it www.glois.it Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Prof Emnuele ANDRISANI Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se 0, per tutti e soli gli Z Esponenzili e ritmi Sono definite:

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

Algebra» Appunti» Disequazioni esponenziali

Algebra» Appunti» Disequazioni esponenziali MATEMATICA & FISICA E DINTORNI Psqule Spiezi Algebr» Appunti» Disequzioni esponenzili DEFINIZIONE Si definisce disequzione esponenzile ogni disequzione nell qule l incognit è presente nell esponente di

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013 Problem 1 Risoluzione verific di mtemtic C del 17/1/01 Si clcolno le intersezioni tr le rette generiche del fscio proprio y x y 1, risolvendo il sistem: x y 1 y mx Si ottengono i punti di coordinte espresse

Dettagli

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento Questionrio Risolvi quttro degli otto quesiti: L Città dello sport è un struttur sportiv progettt dll rchitetto Sntigo Cltrv e mi complett, situt sud di Rom Rispetto l sistem di riferimento indicto in

Dettagli

Le frazioni algebriche

Le frazioni algebriche Progetto Mtemtic in Rete - Frzioni lgeriche - Le frzioni lgeriche Definizione se A e B sono due polinomi e B è diverso dl polinomio nullo, B A viene dett frzione lgeric. Esempio sono esempi di frzioni

Dettagli

BREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE

BREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE BREVE APPENDICE SULLE UNITA' LOGARITMICHE Per esprimere gudgni e ttenuzioni, nonché cifre di rumore e rpporti segnle-rumore si usno frequentemente le unità logritmiche. Come risultto, l grndezz in questione

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI Esponenzili e logritmi ESPONENZIALI E LOGARITMI Potenze Fino d or si sono definite le potenze d esponenete intero e rzionle (si positivi che negtivi). Ripssimo le definizioni e i concetti che li rigurdno:

Dettagli

Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti

Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti Unità 3 Metodi prticolri per il clcolo di reti 1 Cos c è nell unità Metodi prticolri per il clcolo di reti con un solo genertore Prtitore di tensione Prtitore di corrente Metodi di clcolo di reti con più

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

Sistemi principali di normali ad una varietà giacenti nel suo o 2. Nota di

Sistemi principali di normali ad una varietà giacenti nel suo o 2. Nota di Sistemi principli di normli d un vrietà gicenti nel suo o 2. Not di Giuseppe Vitli Pdov. In un mio recente lvoro *) ho considerto, per ogni superficie il cui j si di 2 k dimensioni (k 2, 3), un sistem

Dettagli

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione LEZIONE 20 20.1. Prodotti sclri. Definizione 20.1.1. Si V uno spzio vettorile su R. Un prodotto sclre su V è un ppliczione tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2

Dettagli

Cap. 5. Rappresentazioni grafiche di modelli

Cap. 5. Rappresentazioni grafiche di modelli 5.1 Schemi strutturli e schemi funzionli Cp. 5 Rppresentzioni grfiche di modelli Nello studio dei sistemi vengono usulmente impiegte rppresentzioni grfiche convenzionli, denominte schemi. Questi ultimi

Dettagli

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un

Dettagli

Equazioni parametriche di primo grado

Equazioni parametriche di primo grado Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,

Dettagli

E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO

E U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO EQUAZIONI DI ECONDO GRADO Riepilogo delle soluzioni in bse l segno di < φ : b > : b b Prof I voi, EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI PURE DI ECONDO GRADO : EEMPI ) ) ) 7 7 ) > φ (impossibile) ) impossibil

Dettagli

Meccanica dei Solidi. Vettori

Meccanica dei Solidi. Vettori Meccnic dei Solidi Prof. Ing. Stefno Avers Università di Npoli Prthenope.. 2005-06 Lezione 2 Vettori Definizione: Un grndezz vettorile (o un vettore) è un grndezz fisic crtterizzt oltre che d un numero

Dettagli

George Boole ( )

George Boole ( ) Mtemtic Alger di Boole Cpitolo 5 Ivn Zivko George Boole (1815-1864) Mtemtico inglese del dicinnovesimo secolo, ffrontò in modo originle prolemi di logic. Le sue teorie trovno forte ppliczione un secolo

Dettagli

Formulario di Analisi Matematica 1

Formulario di Analisi Matematica 1 Formulrio di Anlisi Mtemtic Indice degli rgomenti Punti interni, isolti, di ccumulzione e di frontier Alcune costnti Proprietà delle potenze Proprietà degli esponenzili Proprietà dei logritmi Proprietà

Dettagli

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche 1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici

Dettagli

Proiettività della Retta e del Piano.

Proiettività della Retta e del Piano. Introduzione. In queste note proponimo l clssificzione delle proiettività per l rett proiettiv ed il pino proiettivo su un corpo lgebricmente chiuso. Nel cso dell rett studieremo nche il cso del corpo

Dettagli

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Sintesi di Mtemtic cur di Griell Grzino SCOMPOSIZIONE IN FATTORI ) Rccoglimento fttore comune ( Applicile d un polinomio di un numero qulunque di termini purchè i termini presentino lmeno un letter o un

Dettagli

MATEMATICA Classe Prima

MATEMATICA Classe Prima Liceo Clssico di Treiscce Esercizi per le vcnze estive 0 MATEMATICA Clsse Prim Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Per gli llievi promossi

Dettagli

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre,

Dettagli

La parabola con asse parallelo all ady

La parabola con asse parallelo all ady L prbol con sse prllelo ll dy I Prbol con vertice nell origine degli ssi crtesini I disegni degli esercizi dll 1 l 3 dell sched di lbortorio, sono i seguenti: Quindi il segno del coefficiente di x determin

Dettagli

5. Funzioni elementari trascendenti

5. Funzioni elementari trascendenti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 5. Funzioni elementri trscendenti A. A. 2013-2014 1 FUNZIONI ESPONENZIALI Le più semplici funzioni esponenzili sono le funzioni f: R R definite

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO A. S. 2014/ 2015

PROGRAMMA SVOLTO A. S. 2014/ 2015 A. S. 4/ Nome docente Borgn Giorgio Mteri insegnt Mtemtic Clsse Previsione numero ore di insegnmento IV G mnutenzione e ssistenz tecnic ore complessive di insegnmento settimne X 4 ore = ore Nome Ins. Tecn.

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accdemico 07/8 Diprtimento di Scienze Mtemtic, Informtiche e Fisiche Corsi di Lure in Informtic e in IBW Esercizi di Anlisi Mtemtic Esercizi del 7 ottobre 07. Nell

Dettagli

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni Nel corso di nlisi di bse si sono studite le successioni numeriche. Qui considerimo un

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO

LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO RECUPERO ESTIVO PER LE CLASSI ^D- E SCIENTIFICO Argomenti d rivedere: I QUADRIMESTRE: ) Equzioni di secondo grdo e relzioni tr coefficienti e rdici

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

Modulo o "valore assoluto" Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli

Modulo o valore assoluto Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli Modulo o "vlore ssoluto" Dto x definimo modulo o vlore ssoluto di x il numero rele positivo x se x 0 x = x se x < 0 Es. 5 è 5. 2.34 è 2.34 Dl punto di vist geometrico x rppresent l distnz di x d 0. x x

Dettagli

La scomposizione in fattori dei polinomi

La scomposizione in fattori dei polinomi Progetto Mtemtic in Rete L scomposizione in fttori dei polinomi Scomporre in fttori un polinomio signific scriverlo come prodotto di polinomi di grdo inferiore. Esempio: ( )( ) Osservimo che l uguglinz,

Dettagli

Il calcolo letterale

Il calcolo letterale Progetto Mtemtic in Rete Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici (espressioni numeriche). Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere

Dettagli

RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI

RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI PROPRIETÀ DEI NUMERI INTERI, SCOMPOSIZIONI, ECC.. Se A è ugule e B è ugule, qunto vlgono m.c.m. ed M.C.D. dei numeri A e B? 0 e. Se si moltiplicno due numeri

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA a ( ) { } f con, è la parabola di equazione y = ax + bx + c. Vogliamo disegnarla. 2

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA a ( ) { } f con, è la parabola di equazione y = ax + bx + c. Vogliamo disegnarla. 2 APPENDICE 1 AL CAPITOLO 3: RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA Per 0 l insieme,y / y = + + c, grfico dell funzione f = + + c { } f con, è l prol di equzione y = + + c Voglimo disegnrl non è difficile

Dettagli

COGNOME..NOME CLASSE.DATA

COGNOME..NOME CLASSE.DATA COGNOME..NOME CLASSE.DATA FUNZIONE ESPONENZIALE - VERIFICA OBIETTIVI Sper definire un funzione esponenzile. Sper rppresentre un funzione esponenzile. Sper individure le crtteristiche del grfico di un funzione

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x) Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.

Dettagli

Calcolo integrale. Capitolo Primitive ed integrale inde nito

Calcolo integrale. Capitolo Primitive ed integrale inde nito Cpitolo 9 Clcolo integrle 9.1 Primitive ed integrle inde nito De nizione 9.1 Assegnt un funzione f : A! R, si de nisce primitiv di f un qulunque funzione F : A! R derivbile, tle che F 0 (x) = f(x), per

Dettagli

{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a.

{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a. Prof. Mrgherit Fochi Esercizi per il precorso.- Esercizi sui polinomi Semplificre le seguenti espressioni utilizzndo i prodotti notevoli:. ) ) ) ) ) 8 [ ] 8. ) ) ) ) ] [. ) ) ) [ ] { } y y y y y [ ] 8

Dettagli

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle

Dettagli

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim

Dettagli

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale Esercitzione di Mtemtic sulle equzioni di secondo grdo (o d esse riconducibili) nel cmpo rele 1. Risolvere, nel cmpo rele, le seguenti equzioni di secondo grdo: () 81x 0; (b) (x 1) 7x ; (c) 7x x 0; (d)

Dettagli

X X Y 2 1 0,5 0,25 Y 0,25 1 2,25 4. Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni

X X Y 2 1 0,5 0,25 Y 0,25 1 2,25 4. Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni Funzioni Consider le seguenti telle e stilisci se e sono direttmente proporzionli, inversmente proporzionli o se vi è un proporzionlità qudrtic. Scrivi l espressione nlitic delle funzioni e rppresentle

Dettagli

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA Nome.Cognome. 8 Dicembre 008 Clsse G VERIFICA di MATEMATICA A) Risolvi le seguenti disequzioni goniometriche sin ) sin + ) 0 6 tn cos + sin ) 0 (punti:0,5) ) tn + tn > 0 sin 5) sin > cos (punti: ) 6) sin

Dettagli

La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE.

La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE. L prol In figur è trccito il grfico di un prol con sse di simmetri verticle. Si vede suito dl grfico ce: l curv è simmetric rispetto l suo sse di simmetri il suo punto più in sso è il vertice il vertice

Dettagli

Ottica ondulatoria. Interferenza e diffrazione

Ottica ondulatoria. Interferenza e diffrazione Ottic ondultori Interferenz e diffrzione Interferenz delle onde luminose Sorgenti coerenti: l differenz di fse rest costnte nel tempo Ond luminos pin che giunge su uno schermo contenente due fenditure

Dettagli

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo

Dettagli

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1. TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione

Dettagli