Studio di funzione. Rappresentazione grafica di una funzione: applicazioni

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1 Studio di fuzioe Tipi di fuzioi Le fuzioi si possoo raggruppare i alcue tipologie di base: Razioali: se le operazioi che vi si effettuao soo addizioe, sottrazioe, prodotto, divisioe ed elevameto a poteza (co espoete itero); soo dette razioali fratte se hao la x al deomiatore o co espoete egativo; Irrazioali: se prevedoo estrazioi di radice che coivolgoo la x; Trascedeti: soo le fuzioi espoeziali, logaritmiche o goiometriche. Rappresetazioe grafica di ua fuzioe: applicazioi Uo studio di fuzioe mira ad idividuare e studiare le pricipali caratteristiche di ua fuzioe f (x) e quidi del suo diagramma el piao. Per uo studio di questo tipo, si procede i geere secodo il seguete schema: a) determiazioe dell isieme di defiizioe della fuzioe f (x); b) ricooscimeto di evetuali simmetrie rispetto all asse y o rispetto all origie; c) determiazioe degli evetuali puti d itersezioe della curva co gli assi cartesiai; d) determiazioe degli itervalli i cui la f (x) assume valori positivi e di quelli i cui assume valori egativi; e) calcolo dei limiti della f (x) per x tedete agli estremi degli itervalli che costituiscoo l isieme di defiizioe della fuzioe; f) determiazioe quidi degli evetuali asitoti; g) determiazioe degli itervalli i cui la fuzioe è crescete e di quelli i cui è decrescete e quidi degli evetuali puti di massimo e di miimo relativo; h) determiazioe degli itervalli i cui la fuzioe volge la cocavità verso l alto e di quelli i cui la fuzioe volge la cocavità verso il basso e quidi degli evetuali puti di flesso. a. isieme di defiizioe della fuzioe (campo di esisteza) = isieme di valori che si possoo attribuire alla variabile idipedete x; restao esclusi i valori che x o può assumere, dove la fuzioe i pratica o esiste. L isieme di esisteza di ua fuzioe, detto ache C.E. (Campo di Esisteza) è defiito da diversi valori, secodo il tipo di fuzioe:. fuzioi razioali itere: itero campo dei umeri Reali. 2. fuzioi razioali fratte: itero campo dei umeri Reali (eccetto evetuali valori che aullao i deomiatori). 3. fuzioi irrazioali co radicali di idice dispari: itero campo dei umeri Reali eccetto i valori che aullao i deomiatori.

2 4. fuzioi irrazioali co radicali di idice pari: isieme dei umeri Reali che redoo o egativi i radicadi (più i valori che aullao i deomiatori). 5. fuzioi logaritmiche: valori di x che redoo positivi gli argometi dei logaritmi. es.: y = Log (6 - x 2 ) >> 6 - x 2 > 6. fuzioi espoeziali: valori di x che redoo positive le basi delle poteze. es.: y = 2 x+ >> tutti i R es.2: y = (x+4) x >> x+4 > 7. fuzioi goiometriche seo e coseo: itero campo dei umeri Reali. 8. fuzioi goiometriche tagete: valori di x che redoo l argometo diverso π da + kπ fuzioi goiometriche cotagete: valori di x che redoo l argometo diverso da k π. b. Simmetrie rispetto all asse delle x o rispetto all origie Ua fuzioe è simmetrica rispetto all origie O se si verifica l uguagliaza del tipo f (- x) = - f (x) È ivece simmetrica rispetto all asse delle Y se si verifica l uguagliaza del tipo f (- x) = f (x). c. Itersezioi co l asse delle x Gli zeri della fuzioe soo i puti di itersezioe del diagramma della f (x) co l asse delle x. Per calcolarli basta sostituire alla y e verificare per quali valori della x la fuzioe è verificata. d. Positività e egatività della fuzioe Per meglio defiire il comportameto di ua fuzioe, è utile idividuare gli itervalli di positività e egatività della f (x), teedo presete che: se f (x) è positiva, il suo diagramma giace el semipiao delle ordiate positive; se f (x) è egativa, il suo diagramma giace el semipiao delle ordiate egative. Per verificare dove la fuzioe è positiva e dove ivece è egativa si procede come ell esempio che segue: x + 4 y 8 2 x = x + 4 > x > da cui si ricava: la fuzioe è positiva per - 4 < x < 3, egativa per gli altri itervalli. 2

3 e. Limiti della fuzioe Limite per x che tede a u valore fiito: dato u itoro di u puto P (u isieme di puti, diversi da P, di u segmeto che comprede il puto P), si dice che la fuzioe f (x) ha per limite per x tedete ad x se, prefissato ad arbitrio u umero ε positivo e piccolo a piacere, è possibile determiare, i corrispodeza ad esso, u itoro (a, b) di x, coteuto ell isieme di defiizioe della fuzioe, tale che per ogi x di questa fuzioe risulti: f (x) - < ε e cioè - ε < f (x) < + ε Come per le successioi, il limite può o esistere, ma se esiste è uico, e si scrive: =l Il limite per x tedete ad x può tedere a valori ifiitamete gradi; i tal caso si dirà se, per ogi umero reale E positivo è possibile determiare u itoro completo U E di x tale che, per ogi x del domiio della fuzioe e di questo itoro risulti: f (x) > E. Aalogamete per - : = se risulta f (x) < - E Spesso, questo si verifica quado vi è u asitoto verticale della fuzioe. Il limite di ua fuzioe va ricercato itoro ai suoi puti di discotiuità; i questo caso si parla di, che può essere distito i limite siistro o destro ( f x x x + ) se la fuzioe assume valori diversi a destra o a siistra di x. lim ( ) o Limite per x che tede a u valore ifiito: ache qui sarà utile distiguere due casi. Si dice che ua fuzioe f (x) per x tedete ad ha per limite =l x ± se, per ogi umero reale ε > esiste u umero reale k > tale che, per ogi x > k apparteete al domiio risulti: f (x) - < ε Ivece, la fuzioe f (x) tede a + per x tedete ad x = + x + se, per ogi umero reale E positivo è possibile determiare u umero reale k > tale che, per ogi x > k apparteete al domiio risulti: f (x) > E. Aalogamete per il caso - : = se risulta f (x) < - E Il limite di ua fuzioe va perciò ricercato ache agli estremi del campo di esisteza della f (x), siao essi dei puti degli assi cartesiai oppure per x che tede a + o a - ; si parla i questi casi di oppure di. x + Normalmete il limite si ottiee sostituedo alla x il valore che essa assume i quel puto, o (se i valori soo diversi) a siistra e a destra di quel puto. x 3

4 Teoremi sui limiti I teoremi sui limiti soo assai utili ache per determiare il valore di particolari limiti. a) Teorema dell uicità del limite: se ua fuzioe f (x), per x tedete ad x [o a + o a - ] ammette limite, questo è uico. b) Teorema della permaeza del sego: se per x tedete ad x [o a + o a - ] la fuzioe f (x) ha per limite il umero fiito l!, esiste u itoro del puto x tale che per ogi x di tale itoro la fuzioe f (x) assume valori dello stesso sego di l. c) Teorema del cofroto: se f (x), g (x) e h (x) soo tre fuzioi defiite i uo stesso itoro (a, b) di x, se per ogi x di detto itoro risulta: f (x) [ g (x) [ h (x) e se ioltre è = lim h( x) = l allora esiste ache il limite della g (x), per x tedete ad x ed è lim g ( x ) = l Il teorema sussiste ache se x è + o - oppure quado il limite per x tedete a + o - è l o + o -. d) Teorema della somma: se f (x) e g (x) soo due fuzioi defiite i uo stesso itoro (a, b) di x e se esistoo e soo fiiti i loro limiti, per x tedete a x, allora ache la somma f (x) + g (x) ha limite fiito, per x tedete a x, e questo limite è uguale alla somma dei due limiti: + lim g( x) = l + l 2 Questo teorema è valido ache quado il limite, per x tedete a x, di ua delle due fuzioi è fiito metre l altro è + o -, ed ache quado i due limiti soo etrambi + o etrambi -. Nulla si può dire, ivece, el caso + -. e) Teorema della differeza: se f (x) e g (x) soo due fuzioi defiite i uo stesso itoro (a, b) di x e se esistoo e soo fiiti i loro limiti, per x tedete a x, allora ache la differeza f (x) + g (x) ha limite fiito, per x tedete a x, e questo limite è uguale alla differeza dei due limiti: lim g( x) = l l 2 Questo teorema è valido ache quado il limite, per x tedete a x, di ua delle due fuzioi è fiito metre l altro è + o -. Nulla si può dire, ivece, quado i due limiti soo etrambi + o etrambi -, o el caso i cui x teda a + o a -. f) Teorema del prodotto: se f (x) e g (x) soo due fuzioi defiite i uo stesso itoro (a, b) di x e se esistoo e soo fiiti i loro limiti, per x tedete a x, allora ache il prodotto f (x) g (x) ha limite fiito, per x tedete a x, e questo limite è uguale al prodotto dei due limiti: lim g( x) = l l 2 Questo teorema è valido ache quado uo dei due limiti sia ifiito e l altro fiito ma!, e el caso i cui i due limiti siao etrambi ifiiti. Nulla si può dire, ivece, ei casi i cui i due limiti siao uo ifiito e l altro =, oppure quado x teda a + o a -. g) Teorema della fuzioe reciproca: se la fuzioe f (x) per x tedete ad x ha limite fiito!, allora la fuzioe reciproca f ( x) ha per limite l 4

5 Se poi il limite della f (x) è + o -, allora il limite della fuzioe reciproca è. Ifie, se il limite della f (x) è uguale a e se la f (x) i u itoro di x matiee lo stesso sego, allora il limite della fuzioe reciproca è + o - a secoda che il suddetto sego sia positivo o egativo. h) Teorema del quoziete: dai teoremi del prodotto e della fuzioe reciproca si può dedurre il valore del limite del quoziete f ( x) g( x) per x tedete ad x [o a + o a - ]; a secoda del valore dei limiti della f (x) e della g (x) questo limite sarà fiito o ifiito. Nulla si può dire, ivece, circa l esisteza e il valore evetuale del limite di detto rapporto ei casi e. Limiti i forma idetermiata I limiti possoo presetarsi i forma determiata, e quidi dare come risultato u valore defiito (fiito o ifiito) oppure i forma idetermiata: + ; ; ; soo i casi idetermiati. Ci soo delle regole che tuttavia, i molti casi, aiutao a risolverli. I limiti possoo i forma vao sempre aalizzati caso per caso. forma : il limite del rapporto di due poliomi, per x tedete a + o a -, è uguale al limite del rapporto dei due termii di grado maggiore del umeratore e a del deomiatore. Se è = m, il valore del limite sarà, se < m sarà, b se > m sarà + o - Nella fuzioe a x + a x + a x +... a x + a f ( x) = b x + b x + b x + b x + b 2 2 m m m m m ax il limite è = lim x ± x ± b x Per risolverlo dovrò raccogliere il termie di grado maggiore el umeratore e el deomiatore e semplificare. forma : spesso si ricava da limiti che tedoo a u valore fiito, che aulla umeratore e deomiatore. i geere avviee se etrambi soo divisibili per lo stesso poliomio, che si aulla per x che tede a quel valore. si risolve compoedo i fattori e semplificado umeratore e deomiatore. forma + - : il limite di u poliomio, per x tedete a + o a -, è uguale al limite del suo termie di grado maggiore. 2 Nella fuzioe ( ) f x a x a x a x = a x + a il limite è = lim ax 2 x ± Si risolve razioalizzado il umeratore o attraverso altri espedieti. x ± m 5

6 Discotiuità di ua fuzioe Sia f (x) ua fuzioe cotiua i ogi puto dell itervallo (a, b) escluso il puto x di questo. Si dice allora che f (x) preseta i x ua discotiuità, o che x è u puto di discotiuità o sigolare. Ci soo tre diverse specie di discotiuità: a. discotiuità di prima specie: quado esistoo fiiti i due limiti destro e siistro, ma soo tra loro diversi. la differeza tra i due limiti si dice salto della f (x) i x. + x x + x x : salto della f (x) b. discotiuità di secoda specie: quado i x o esiste fiito almeo uo dei due limiti siistro o destro della f (x). c. discotiuità di terza specie: quado esiste fiito il defiita i x, oppure lo è ma risulta f ( x )., ma la f (x) o è Questo tipo di discotiuità si dice ache elimiabile perché x può divetare puto di cotiuità, poedo f (x ) = l. Asitoti (orizzotali, verticali o obliqui) Grazie all itroduzioe del cocetto di limite è possibile aalizzare l adameto della fuzioe ell itoro degli estremi degli itervalli che costituiscoo il suo isieme di defiizioe e di idividuare i suoi asitoti. Se esiste ua retta r alla quale si avvicia sempre più la fuzioe di equazioe y = f (x) al suo tedere all ifiito lugo quel ramo, tale retta viee chiamata asitoto del diagramma. Ua fuzioe f (x) può avere:. asitoti orizzotali: se è = ± oppure = ±, la retta di equazioe x = x è asitoto orizzotale, parallelo all asse delle y. 2. asitoti verticali: se è = l ; i questo caso, la retta y = l è u asitoto x ± orizzotale, parallelo all asse delle x. 3. asitoti obliqui: se vale la relazioe lim[( mx + q) f ( x)] = abbiamo u asitoto x obliquo, ossia ua retta di equazioe y = mx + q. L equazioe della retta si ricava co il calcolo dei limiti f ( x) m = lim x e q = lim[ f ( x) mx] x x + 6

7 f. Il calcolo della derivata prima (fuzioe crescete o decrescete e ricerca dei puti di massimo e di miimo relativo) Per cooscere l adameto di ua fuzioe è utile determiare gli itervalli i cui la fuzioe è crescete e quelli i cui la f (x) è decrescete, oché ricercare gli evetuali puti di massimo e di miimo relativo. Itroduciamo perciò la defiizioe di derivata, che servirà a calcolare il coefficiete agolare della retta tagete la fuzioe i u puto e quidi a determiare l icliazioe del grafico della fuzioe i quel puto. Sia y = f (x) ua fuzioe defiita i u itervallo (a, b) e siao x u puto itero a detto itervallo ed y = f (x ) il valore assuto dalla fuzioe per x = x. Se alla variabile idipedete x diamo u icremeto (positivo o egativo), spostadoci al puto x + x, ache la variabile dipedete y (la fuzioe) varierà, passado da f (x ) al valore f (x + x). Chiamiamo icremeto della fuzioe y la differeza f (x + ) - f (x ), che può essere positivo, egativo o ullo. chiamiamo poi rapporto icremetale il rapporto = 7 y f ( x) f ( x + ) - f ( x ) = tra l icremeto subito dalla fuzioe f (x) e l icremeto dato alla variabile idipedete x; e di preciso rapporto icremetale siistro quello corrispodete ad u < e rapporto icremetale destro quello corrispodete ad u >. Il rapporto icremetale della fuzioe è u idice di come varia la fuzioe ell itoro del puto x ; esso viee chiamato ache la variazioe media della fuzioe che corrispode alla variazioe della variabile idipedete. Fissato x, il valore del rapporto icremetale dipede solo dal valore di, ed è cioè ua fuzioe della variabile. Vediamo cosa succede co. Per valori di sempre più piccoli i valore sia egativi che positivi ( ) l icremeto f (x) tederà ach esso a se è cotiua i x ; si preseterà perciò i forma idetermiata il f ( x) lim =, per cui i geerale o possiamo sapere il valore di detto limite. Diremo quidi che la derivata della fuzioe f (x) el puto x è il f ( x) f ( x + ) - f ( x ) = limite, se esiste ed è fiito, del rapporto icremetale tedere comuque a dell icremeto della variabile idipedete. La derivata si idica co uo dei simboli f (x ) ; y (x ) ; [D f (x)] x=x Scriveremo duque f '( x ) = lim f x + f x x ( ) ( ) Se del rapporto icremetale o esiste il limite fiito per ma esistoo e soo fiiti il limite destro o siistro o etrambi, li chiamiamo rispettivamete derivata siistra e derivata destra di f (x) i x e li idichiamo co i simboli: f ' ( x ) = lim f ( x + ) f ( x). e f ' + ( x) = lim+ al f ( x + ) f ( x ) Va otato, però, che se ua fuzioe y = f (x) è derivabile i u puto x essa è qui ache cotiua; viceversa, o è vero che se ua fuzioe è cotiua i u puto x essa sia pure derivabile i questo puto.

8 Sigificato geometrico della derivata prima di ua fuzioe Il cocetto di derivata è utile per determiare l equazioe della retta tagete a ua curva piaa i u suo puto. Ua retta tagete ad ua curva piaa γ i u puto P è la posizioe limite che assume la retta (se esiste) che cogiuge P co u secodo puto P, pure di γ, al tedere di P a P, mateedosi sempre su γ. Sia y = f (x) l equazioe della curva γ e siao (x ; f (x )) e (x +; f (x +)) le coordiate rispettivamete dei puti P e P. Il rapporto icremetale è la tagete trigoometrica dell agolo che la retta secate P P forma co l asse delle x, ed è quidi il coefficiete agolare m della retta P P : mp p f ( x + ) f ( x ) m = lim = f '( x) Pertato sarà f ( x) f ( x + ) - f ( x ) = tgβ = = x x : la derivata di ua fuzioe el puto x rappreseta il coefficiete agolare della retta tagete alla curva di equazioe y = f (x) el suo puto di ascissa x. Quidi, se coosciamo il coefficiete agolare e le coordiate di u puto, possiamo calcolare l equazioe della retta che passa per x : y - f (x ) = f (x ) ( x- x ) La retta tagete esisterà solo se è derivabile i x, quado cioè esiste il limite: f x + f x lim x ( ) ( ) Es.: retta di equazioe y=2x 3 el suo puto di ascissa x=2. Sostituisco ed ottego le coordiate del puto P : 2x 3 = 22 3 =6 >> P (2; 6) Il coefficiete agolare sarà f (x ) = f (2) = 6x 2 = = 24>> m = 24 L equazioe della retta sarà perciò y 6 = 24 (x - 2) >> y = 24 x 32 Derivate di alcue fuzioi elemetari y y y y. y = k y = 2. y = x y = 3. y = kx y = k 4. y = x k y = kx k y = x y = x x y ' = 6. y = x y = 2 x 2 x y ' = x 8. y = f(x) y = [ f (x) ] - f (x) 9. y = se x y = cos x. y = cos x y = - se x. y = a x y = a x l a 2. y = e x y = e x 3. y = log x 5. y = f ( x ) y ' = log a e 4. y = l x y = x x f '( x) y = f ( x) 8

9 Teoremi sul calcolo delle derivate Di seguito presetiamo alcui teoremi sul calcolo delle derivate: a) La derivata della somma algebrica di due o più fuzioi derivabili è uguale alla somma delle derivate delle sigole fuzioi, e cioè: y = f (x) + g (x) y = f (x) + g (x) b) la derivata del prodotto di ua costate k per ua fuzioe derivabile f (x) è uguale al prodotto della costate per la derivata della fuzioe, cioè: y = k f (x) y = k f (x) c) La derivata del prodotto di due fuzioi derivabili è uguale alla derivata della prima fuzioe per la secoda più la derivata della secoda prima fuzioe per la prima, e cioè: y = f (x) g (x) y = f (x) g (x) + f (x) g (x) d) la derivata della fuzioe reciproca: se ua fuzioe g (x) è defiita e derivabile i u certo itervallo i cui è sempre g (x), allora la fuzioe reciproca è derivabile ell itervallo e risulta: y = g( x) la derivata prima è uguale a g '( x) y ' = [ g( x) ] 2 e) La derivata del quoziete di due fuzioi derivabili è uguale al deomiatore moltiplicato per la derivata del umeratore meo il umeratore moltiplicato per la derivata del deomiatore, il tutto diviso per il quadrato del deomiatore, e cioè: f ( x) f '( x) g( x) f ( x) g '( x) y = g( x) y ' = 2 g ( x) Applicado questo teorema calcoliamo ora le derivate di tre particolari fuzioi: f (x) = x - = - x -- f (x) = tg x = + tg 2 x f (x) = cotg x = - ( + cotg 2 x) f) la derivata della fuzioe composta: se z = g (x) e y = f (x) soo due fuzioi derivabili, allora ache la fuzioe y = f [ g (x) ] è derivabile e la sua derivata sarà: y = f [g (x)] y = f [g (x)] g (x) g) la derivata della fuzioe iversa: la derivata della φ (x), iversa della f (x) el puto y = f (x ) è uguale al reciproco della derivata f (x) el puto x, e cioè: ϕ '( y ) = f '( x ) h) la derivata logaritmica: per il calcolo di derivate di fuzioi tipo [ f (x)] g (x), co f (x), o si può applicare é la derivazioe della fuzioe espoeziale (perché la base è variabile), é la derivazioe della fuzioe poteza (perché l espoete è variabile); si utilizza pertato la cosiddetta derivata logaritmica: g( x) = ( ) ( ) y f x g( x) f '( x) y ' = f x g '( x) l f ( x) + g( x) f ( x) 9

10 Massimi e miimi relativi di ua fuzioe Sia y = f (x) ua fuzioe defiita i u itervallo (a, b) e sia x u puto di tale itervallo el quale la fuzioe assume u valore o miore dei valori che essa assume egli altri puti di (a, b); si dice allora che la fuzioe ha i x u massimo assoluto. Il valore f (x ) si dice poi massimo assoluto della f (x) i x. Aalogamete, se la fuzioe assume i u puto x di (a, b) u valore o maggiore dei valori assuti egli altri puti di (a, b); si dice che la fuzioe ha i detto puto x u miimo assoluto. Il valore f (x ) si dice allora miimo assoluto della f (x) i x. Si dice ivece che la fuzioe f (x) ha el puto x dell itervallo (a, b) u massimo relativo se esiste u itoro di x per ogi puto x del quale risulti: f (x) [ f (x ) Aalogamete, si dice che la fuzioe f (x) ha el puto x dell itervallo (a, b) u miimo relativo se esiste u itoro di x per ogi puto x del quale risulti: f (x) µ f (x ) Il valore f (x ) che la fuzioe f (x) assume i u puto di massimo o miimo relativo si chiama u massimo o u miimo relativo della f (x). Il puto x si dice poi massimo relativo proprio o miimo relativo proprio se esiste u itoro di x per ogi x del quale sia rispettivamete: f (x) < f (x ) o f (x) > f (x ) Affiché u puto x sia u massimo relativo proprio per la fuzioe è quidi ecessario e sufficiete che la f (x) sia crescete i u itoro siistro di x e decrescete i u itoro destro di x. U puto di massimo assoluto di ua fuzioe defiita e cotiua i u itervallo (a, b) coicide sempre o co u puto di massimo relativo o co uo degli estremi dell itervallo (a, b); aalogamete, u puto di miimo assoluto coicide sempre o co u puto di miimo relativo o co uo degli estremi di (a, b). Se x è u puto di massimo o di miimo relativo di ua fuzioe f (x), defiita ell itervallo (a, b), e se f (x) i tale puto è derivabile, risulta: f (x ) = La retta tagete ad ua curva i u suo puto di massimo o di miimo relativo è quidi parallela all asse delle x. Questo teorema o è ivertibile. g. derivata secoda (cocavità di ua curva e puti di flesso) Si determiao quidi gli itervalli i cui la fuzioe volge la cocavità verso l alto e quelli i cui la fuzioe volge la cocavità verso il basso e quidi ricercare gli evetuali puti di flesso. La derivata secoda si calcola derivado la f (x), ossia la derivata prima della fuzioe origiale. Valgoo le regole di derivazioe già viste per la derivata prima. Vediamo che sigificato geometrico assume la derivata secoda ello studio di fuzioe:

11 i valori della x per cui la derivata secoda si aulla: puto di flesso della fuzioe; i questo puto la cocavità cambia da positiva a egativa o viceversa. Per trovare le coordiate del puto di flesso sostituiremo il valore della x alla fuzioe origiale, trovado il corrispodete valore della y. gli itervalli della x per i quali la derivata secoda è positiva: la fuzioe ha cocavità verso l alto. gli itervalli della x per i quali la derivata secoda è egativa: la fuzioe ha cocavità verso il basso.