Fisica Generale Modulo di Fisica II A.A Ingegneria Meccanica - Edile - Informatica Esercitazione 5 CAMPO MAGNETICO B LEGGE DI AMPÈRE

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1 Fisica Generale Modulo di Fisica A.A. 5-6 CAMPO MAGNETCO LEGGE D AMPÈRE Da. Sei ili conduttori entrano perpendicolarmente nel oglio come in igura. Ogni ilo è attraversato, nella direzione speciicata in igura, dalla corrente n n, dove n è il numero associato ad ogni ilo. Calcolare la circuitazione di lungo la linea chiusa continua, percorsa nella direzione indicata dalla reccia. (A) 6 () 3 (C) 9 (D) (E) Soluzione. La linea chiusa si avvolge intorno alle correnti,3,4,6 che, quindi, sono le sole ad essere concatenate con la linea chiusa; tenendo conto del verso delle correnti secondo la regola del cacciavite, la circuitazione di vale: d l ( ) Da. Due lunghi ili posti lungo gli assi cartesiani del disegno portano le correnti 3 A lungo la direzione positiva dell asse e 4A lungo la direzione negativa dell asse y. l modulo del campo nel punto di coordinate P(4 m, 3 m) vale: (A) T (). T (C).4 T (D).4 T (E). T Soluzione. Ambedue le correnti danno contributi e perpendicolari al piano del disegno; nel punto P appartenente al primo quadrante i vettori e hanno verso uscente dal piano del oglio e perciò si sommano. Per quanto riguarda i moduli, si ha: O 7 k 3 4 m 7 ( ) T. T; ( ) T.T.4T d 3 4 Da3. Due avvolgimenti circolari coassiali sono percorsi dalla stessa corrente diretta in senso opposto e si trovano a distanza cm l m; il primo avvolgimento consiste di N 36 spire di 5 cm 5 cm cm di diametro (r. m); il secondo avvolgimento ha un diametro di 3 cm (r.5 m). Quante spire N deve avere approssimativamente il secondo avvolgimento perché il campo si annulli nel punto medio della congiungente i centri delle due spire? (A) 6 () 4 (C) 7 (D) 54 (E) 37 Soluzione. l campo magnetico sull asse di una spira circolare di raggio r a distanza d dal suo centro è 3 cm Nr ( r + d ) 3 / l problema si risolve imponendo l uguaglianza dei moduli dei due contributi a, ciascuno relativo a una spira che, lungo l asse, hanno sempre versi opposti. Sempliicando il attore comune / si ha:

2 Fisica Generale Modulo di Fisica A.A. 5-6 ( r 3 / Nr N r ( r + d ) r N N + d ) 3 / ( r + d ) 3 / ( r + d ) 3 / r. ( ) 36.5 (. +.5 ) 3 / 3 / 7 Da4. Un conduttore cilindrico cavo, di raggio esterno a. cm e raggio interno b.6 cm, è percorso da una corrente A, distribuita uniormemente sulla sua sezione. Calcolare il modulo del campo magnetico per r.8 cm (all interno del conduttore). Disegnare il graico di (r). (A) 5.3( 4 ) T () T (C) 3.( 4 ) T (D) 4.5( 4 ) T (E).8( 4 ) T Soluzione: Per la simmetria cilindrica le linee di orza del campo magnetico sono delle circonerenze concentriche al conduttore, e è tangente ad esse. Quindi applichiamo il teorema di Ampère su una circonerenza di raggio r: per r < b (nel cavo del conduttore) d l dl perché la corrente concatenata è zero; per b < r < a (all interno del conduttore): la corrente concatenata si ricava moltiplicando la densità di corrente (rapporto ra la corrente e la sezione del conduttore) per la supericie del πr πb r b conduttore compresa nel cerchio di raggio r, cioè conc ; πa πb a b r b r b quindi dl conc π r ( r) ( r) a b π r a b r b a Per il raggio r.8 cm speciicato, (r) 5.5( 4 ) T. (r) per r > a (esterno al conduttore) la corrente concatenata è, quindi: r dl conc ( r) π r π r ( r) b a r Da5. L espressione di un campo in un rierimento cartesiano è A ( yi + j + k) ) rot. (A) rot Ai () rot Ak (C) rot Aj (D) rot Ak (E) Da6. L espressione di un campo in un rierimento cartesiano è A ( yi + j + k) ). Calcolare. Calcolare la circuitazione di lungo una circonerenza di raggio R e centro nell origine cartesiana. (A) AπR () AR (C) AπR (D) AπR (E) Da7. n un punto della supericie terrestre dove la componente orizzontale del campo magnetico vale 5 T, una piccola bussola viene posta orizzontalmente nel centro di un avvolgimento circolare che appartiene al piano individuato dalla verticale e dalla direzione del Nord magnetico. Se

3 Fisica Generale Modulo di Fisica A.A. 5-6 l avvolgimento consiste di N 5 spire di raggio R 4 cm, in corrispondenza di quale intensità di corrente l ago magnetico deletterà di 45 rispetto alla direzione del Nord magnetico? (A).34 A ().64 A (C).8 ma (D).56 ma (E) 7.4 ma Da8. Un cavo di rame isolato, rettilineo e verticale, è percorso da una corrente di 3 A diretta verso il basso. Tenendo conto della presenza del campo magnetico terrestre, diretto verso Nord e del valore di.45( 4 ) T, a quale angolo rispetto al Nord punterà l ago di una bussola, se questa viene posta in un piano orizzontale e con il centro in un punto a cm a Sud del ilo? (angolo positivo in senso antiorario, ovvero verso Ovest). (A) 3 () 34 (C) (D) 3 (E) 34 Da9. Un primo ilo verticale è percorso da una corrente di A nel verso ascendente. Un secondo ilo, parallelo al primo e distante da questo m, è percorso da una corrente di A in senso ascendente. A che distanza dal primo ilo il campo sarà nullo? (A).5 m ().33 m (C).5 m (D) m (E) m g Nord Da. Tre lunghissimi ili quasi complanari, percorsi ciascuno da una corrente di A nei versi indicati nella igura, si incrociano nei tre punti A,, C che si trovano ai vertici di un triangolo equilatero con lato lungo.73 m. Nel baricentro O del triangolo equilatero il campo di induzione magnetica vale in modulo: (A) (). T (C).4 T A C O (D) 3.6 T (E).8 T Da. Un ilo indeinito lungo l asse z porta una corrente A. Sul piano y vi è una spira di raggio R 5 cm percorsa da una corrente s 5 A il cui centro si trova nel punto di coordinate (, 7cm, ). Nel punto P di coordinate (, 7 cm, cm) il modulo del campo vale Z P y (A) 66 T () 3 T (C) 38 T (D) 7 T (E) 79 T Da. Due anelli identici di raggio r.7 m e ormati da spire hanno assi coincidenti e sono percorsi da corrente equiversa di uguale intensità.8 A. Se la distanza tra i due centri è l.4 m, il modulo del campo nel centro del primo anello vale (A) 8.6( 4 )T () 6. ( 4 )T (C) 3.3 ( 4 )T (D) 9.4( 4 )T (E) Da3. Un ilo rettilineo sottile, percorso da una corrente da A, corre lungo l asse di un lungo solenoide di raggio R 3 cm, con 5 spire al metro, portanti una corrente di 7 A. l modulo del campo magnetico in un punto del solenoide a mm di distanza dall asse del solenoide è pari a: (A).9 mt ().7 mt (C) 3.7 mt (D) 4.8 mt (E) 6.5 mt Da4. Due lunghi solenoidi coassiali con asse lungo sono così costituiti: solenoide interno 5 spire al metro, corrente, raggio.3 m; 3

4 Fisica Generale Modulo di Fisica A.A. 5-6 solenoide esterno 35 spire al metro, corrente, raggio.5 m. Se, a distanza d. m dall asse dei solenoidi, il modulo del campo vale.57 mt e se la corrente è di A e luisce nello stesso verso di, il rapporto / vale, in valore assoluto: (A). ().86 (C) 3.4 (D) 3.7 (E) indeterminato Da5. Un ilo di rame di diametro 4 mm è percorso da una corrente A di densità uniorme. Utilizzando il teorema di Ampère si trovi il modulo del campo magnetico all interno del ilo a distanza di mm dal centro. (A) ( 4 ) T () 6( 4 ) T (C) T (D) ( 4 ) T (E) 4( 4 ) T Da6. Una grande lastra conduttrice indeinita spessa s cm è percorsa da corrente unidirezionale con densità uniorme di A/cm. l campo magnetico in un punto posto.4 cm sopra il punto centrale O vale circa (A). T () 5. mt (C).6 mt (D). m T (E) 37.7 mt J L s FORZE SU CORRENT ELETTRCHE Db. l modulo del campo magnetico terrestre all equatore vale circa 5 T ed è diretto verso Nord. Su un tratto di ilo lungo l m, percorso da una corrente 4 A diretta da Est ad Ovest, il campo magnetico esercita una orza di: (A) 4 mn in giù () N (C) mn in su (D) 4 N verso Est (E) 4 mn verso Nord Soluzione. l modulo della orza è: l l sinϑ (4 5 6 sin9 )N 4 mn. Applicando la regola della mano destra al prodotto vettoriale, si trova che la orza è diretta verso il basso. Db. Una spira rettangolare di dimensioni a cm e b 5 cm, percorsa da una corrente s 5 A, è collocata in prossimità di un lungo ilo percorso dalla corrente A, come indicato nel disegno. La risultante delle orze agenti sulla spira vale circa: a cm s 5 A b 5 cm (A).5 mn (). mn (C).6 mn (D) 3.4 mn (E).4 mn d 4 cm A Soluzione. Nella regione in cui vi è la spira è presente il campo magnetico generato dalla corrente del ilo, perpendicolare al piano del oglio, con direzione uscente dal piano e modulo ( r) π r tratti di ilo della spira sono soggetti alla orza F l. n particolare, il lato lungo della spira prossimo al ilo è attirato verso questo da una orza: Ovest giù Nord 4

5 Fisica Generale Modulo di Fisica A.A as ( d) as π d mentre il lato della spira distante dal ilo è respinto dalla orza: as ( d + b) a s. π ( d + b) Sui due lati normali al ilo agiscono orze uguali e contrarie, una diretta verso destra e l altra verso sinistra, che si annullano. La risultante è perciò diretta verso il ilo e vale + a s π d d + b ab 7 5 s ( ) 5 N.4 mn π d( d + b) 4 9 Db3. Un avvolgimento circolare di raggio R 7 cm è costituito da 3 spire percorse da una corrente s 5 A. L asse dell avvolgimento, orientato nella direzione che vede la corrente circolare in senso antiorario, è parallelo al versore i. L avvolgimento si trova in un campo magnetico.3i.4j+.5k (valori delle componenti in tesla). L avvolgimento è sottoposto a una coppia di circa (A) 3.4 N m () 4.4 N m (C) 34.6 N m (D) 44.4 N m (E) N m Soluzione. Si consideri il momento magnetico associato alla spira: m NSn, dove S è l area della spira e n un versore normale ad essa, orientato in accordo con il verso della corrente; in questo caso è m NSi. l momento agente sulla spira è M m e può essere calcolato con la matrice: i j k M m ( m ) j + ( m ) k z y il cui modulo è y z M NS z + y 3 5 π (.7) Nm 44.4 Nm Db4. Con rierimento al problema precedente, se l avvolgimento è libero di orientarsi nel campo, passando dall orientamento iniziale a quella di equilibrio l energia potenziale dell avvolgimento diminuisce di circa (A) 8. J () 4.35 J (C) 83.6 J (D).7 J (E) J Soluzione. Le orze magnetiche orientano l avvolgimento dalla posizione iniziale, nella quale il momento magnetico m della spira orma l angolo ϑi con il campo, alla posizione di equilibrio nella quale m e sono paralleli e l angolo ϑ tra le loro direzioni è nullo. Poiché l energia potenziale è data dal prodotto scalare cambiato di segno dei vettori m e, le energie potenziali iniziali e inali nel nostro caso sono: E m m e E m P i P La variazione di energia potenziale è quindi (notare che ϑi è maggiore di 9 e l energia potenziale iniziale è positiva) E P E P i NS( ) 3 5 π (.7) (.5 +.3)J J 5

6 Fisica Generale Modulo di Fisica A.A. 5-6 Db5. n un campo uniorme di componenti 5 mt, y e z, vi è un tratto di ilo percorso da una corrente A tra i punti P(,,) e P(, 4, 5) (le coordinate sono espresse in metri). l modulo della orza agente sul tratto di ilo vale: (A) N ().4 N (C) 3.4 N (D) 4.4 N (E) 5. N Db6. Un tratto di conduttore rettilineo congiunge i punti A(,) e (3m,4m) del piano,y ed è percorso da una corrente 5 A. n presenza di un campo magnetico giacente nel piano y,.3t i+.4t j, il conduttore è sottoposto ad una orza che in modulo vale (A) N () N (C) 3.5 N (D) N (E).5 N Db7. La componente orizzontale del campo magnetico terrestre a ergamo è di ( 5 )T. La orza che si esercita su un metro di ilo verticale, percorso da una corrente di A diretta verso l alto (in su), è di: (A).4 mn verso Est ().4 mn verso Ovest (C).4 mn verso Nord (D).4 mn verso Sud (E).4 mn in giù Db8. Una spira rettangolare rigida è percorsa da una corrente s A nel verso indicato ed è complanare a un ilo indeinito percorso da una corrente 5 A (vedi igura). La risultante delle orze sulla spira prodotte dal campo generato dalla corrente del ilo vale in modulo circa (A).5 mn () 4 mn (C) 5 mn (D) 6 mn (E) 8 mn cm y cm s cm b Db9. La bobina rettangolare del disegno è costituita da spire ed è percorsa da una corrente di intensità 8 A, nel verso indicato. l campo di induzione magnetica è uniorme e di modulo.33 T. La bobina è sottoposta ad una coppia pari a (in N m): (A) 6.84 () 3.4 (C).6 (D) 5.3 (E) cm a 8 cm Db. L avvolgimento della igura è costitutito da spire percorse da ma ed è libero di ruotare attorno all asse y. Se si ha un campo uniorme i con.5 T e l area dell avvolgimento è di 7 cm, il momento della coppia agente sull avvolgimento quando questo è nel piano del disegno vale: y (A) 7( 4 ) N m () 5( 4 ) N m (C) 4( 4 ) N m (D) ( 4 ) N m (E) ( 4 ) N m Db. Un avvolgimento costituito da spire circolari di raggio R cm appartenenti al piano y e percorse da una corrente è immerso in un campo uniorme di componenti cartesiane. T, y.3 T, z.5 T. Se il momento torcente sull avvolgimento vale in modulo M 5 Nm, la corrente dell avvolgimento è pari a circa (A). A ().5 A (C) 3.3 A (D) 4.8 A (E) 6

7 Fisica Generale Modulo di Fisica A.A. 5-6 Db. Un avvolgimento rettangolare di ( 3)cm è costituito da 8 spire e giace inizialmente nel piano z, dove è percorso da una corrente antioraria (il verso della corrente individua il terzo asse y con la regola della mano destra). L avvolgimento è libero di orientarsi nel campo magnetico uniorme di componenti cartesiane.7 T, y.3 T, z. T. Nel portarsi dalla posizione iniziale a quella di equilibrio, la orza magnetica compie un lavoro di 6 J. L intensità della corrente che percorre l avvolgimento vale (A).85A ().44 A (C).87 A (D).67 A (E) 8.35 A Db3. Un avvolgimento circolare giace nel piano y ed è costituito da spire di raggio R cm. L avvolgimento è posto in un campo magnetico uniorme di modulo pari a.5 T che orma un angolo ϑ 5 con la direzione positiva dell asse delle z (k). Se la spira è sottoposta ad una coppia di momento M Nm, essa è percorsa da una corrente di circa (A) 4.9 A ().55 A (C).98 A (D).47 A (E).3 A Db4. Un avvolgimento circolare di raggio R 7 cm è costituito da 3 spire percorse da una corrente s. L asse dell avvolgimento, orientato nella direzione che vede la corrente circolare in senso antiorario, è parallelo al versore k. L avvolgimento si trova in un campo magnetico.5i+.3j+.4k (valori delle componenti in tesla) ed è libero di orientarsi nel campo. Se, passando dall orientamento iniziale a quella di equilibrio, l energia potenziale dell avvolgimento diminuisce di circa.7 J, l intensità di corrente circolante nell avvolgimento è di (A) 3.8 A (). A (C).3 A (D) 5 A (E) MOTO D CARCHE N CAMP MAGNETC Ea. Un elettrone con velocità v (3 6 m/s)i +(4 6 m/s)j si muove in un campo magnetico (.4 T)i (.3T)j. l modulo della orza agente sull'elettrone è di (A).6 4 N ().9 4 N (C) N (D) 4. 4 N (E) Soluzione. Dato che i vettori v e giacciono nel piano y, il vettore F qv è parallelo all asse z. La sua componente lungo tale asse, che perciò è anche uguale al modulo del vettore, è data da: Fz (qvy qvy).6 9 C[( 3 6 m/s.3t) (4 6 m/s.4t)] 4. 4 N Ea. Un protone (q.6( 9 )C, m.67( 7 )kg) con una velocità iniziale v 4( 6 m/s)i + 4( 6 m/s)j entra in una zona dove vi è un campo magnetico uniorme.3 T i. La traiettoria del protone sarà un elica con passo di (A) m () 3.4 m (C).7 m (D).87 m (E) 98 mm Soluzione. ndicata con v la componente della velocità normale a, il raggio r dell elica ed il periodo di rivoluzione T sono rispettivamente mv r q πr T v πm π q ( ) 9 ( ).3 7 s.86( )s l passo dell elica è v T (4( 6 ).86( 7 ))m.87 m Ea3. Un protone (mp.67 7 kg, q.6 9 C) entra con velocità di modulo v 6( 6 ) m/s in un campo magnetico uniorme zk e descrive una spirale di raggio R m e passo d m. L angolo acuto α ormato tra le direzioni di e di v vale circa 7

8 Fisica Generale Modulo di Fisica A.A. 5-6 (A) () 45 (C) 6 (D) 8 (E) 9 Soluzione. Dato che è diretto come l asse z, la orza F qv non ha componenti lungo tale asse, per cui la traiettoria della carica è una spirale che risulta dalla combinazione del moto circolare nel piano y e del moto rettilineo uniorme lungo l asse z. ndicata v la componente della velocità che giace nel piano y ed è perciò normale a e con vz la componente parallela a, il raggio R della spirale, il periodo T e il passo d sono rispettivamente mv πr πm R e T q v q d vzt L angolo richiesto si ricava dalla relazione v TqR πr tanϑ 6.8 ϑ 8 v dm d z Ea4. Un protone e una particella pesante circa quattro volte il protone e con carica doppia vengono accelerati dalla stessa dierenza di potenziale V ed entrano in una regione dello spazio con un campo magnetico perpendicolare alla loro velocità di entrata. Se il protone descrive in tale regione una traiettoria con raggio di curvatura Rp, il raggio di curvatura della particella nel limite classico è di circa (A).4 Rp ().73 Rp (C).53 Rp (D) 3.3 Rp (E) Soluzione. Le particelle accelerate dalla dierenza di potenziale V acquistano energia cinetica: Scriviamo per una particella generica le uguaglianze tra l energia cinetica e l energia potenziale elettrica e tra la orza di Lorentz e la orza centripeta. m v qv Poiché per entrambe le particelle i vettori v e sono perpendicolari, possiamo eguagliare la orza di mv Lorentz alla orza centripeta: qv R Da quest ultima ricaviamo il raggio R di curvatura della traiettoria e sostituiamo la velocità v ottenuta dalla prima relazione: mv R costante q m q Si ottiene la relazione tra raggio, massa e carica. Quadruplicando la massa e raddoppiando la carica, il raggio aumenta di un attore. 4 Ea5. Dopo essere stato accelerato da una dierenza di potenziale di 3 V un protone entra in una regione dove il campo magnetico è perpendicolare alla direzione del moto e descrive una traiettoria circolare di cm di raggio; il modulo di vale (A).44 mt () 7.6 mt (C).5 mt (D) 3.4 mt (E) 74.5 mt Ea6. Uno ione diretto lungo l asse non viene delesso in una regione dello spazio in cui vi è un campo elettrico di.37 kv /cm nella direzione y ed un campo magnetico di.4 T lungo z. La velocità dello ione è di (A) 8.8( 5 ) m/s () 3.43( 3 ) m/s (C) 98 km/s (D) 55 km/s (E) 8