Soluzioni della prova scritta di Fisica Generale

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1 Scienze e Tecnologie dell Ambiente Soluzioni della prova scritta di Fisica Generale 1 Febbraio 2011 Parte 1 Esercizio 1 Un punto parte dall origine dell asse x con velocità v 0 positiva. Il punto viaggia con un accelerazione negativa e si arresta dopo aver percorso la distanza d. Si osserva che quando passa nella posizione x=3/4 d la sua velocità, v, è pari a v 0 /2. 1A) Stabilire se la situazione descritta è compatibile con un moto a decelerazione costante, determinando eventualmente il valore di tale decelerazione (suggerimento: supporre che la decelerazione sia costante e vedere se si ottiene un accordo/disaccordo con le informazioni date). Soluzione dell esercizio 1 1A) Supponendo che il corpo abbia decelerazione costante, a, si può utilizzare la formula generale per il moto uniformemente decelerato: v 2 = v 2 0 2ax Applicando le condizioni v=0 ed x=d, si ottiene che la decelerazione dovrebbe essere pari a: a = v 2 0 Per verificare se il moto è effettivamente a decelerazione uniforme si sostituisce nella legge generale il dato del testo (spazio percorso x=3/4 d e velocità v=v 0 /2) ottenendo un accordo: v = v 2 0 2a3 4 d a = v 2 0 Quindi il moto è effettivamente a decelerazione costante con: a = v 2 0 Esercizio 2 Uno dei satelliti di Marte, Deimos, si muove intorno a Marte in un orbita circolare di raggio R d =23480 km con un periodo di rivoluzione, T d, uguale ad 1 giorno, 6 ore, 17 minuti e 35 secondi. Un altro satellite, Phobos, si muove anch esso in un orbita circolare intorno a Marte con un periodo di rivoluzione T p di 7 ore, 39 minuti e 14 secondi. Calcolare: 2A) i) la massa di Marte, M m, 2B) ii) Il raggio dell orbita del satellite Phobos, R p. Soluzione dell esercizio 2 2A) Sappiamo che la relazione tra periodo e velocità angolare di rotazione,ω, è:ω=(2π)/t. La forza di attrazione gravitazionale di Marte su un orbita circolare è una forza normale legata all accelerazione normale dalla relazione: ω 2 R = GM m R 2.

2 Invertendo l ultima formula, sostituendovi l espressione per ω in funzione del periodo ed esprimendo il periodo di Deimos (T d ) in secondi, si ottiene: M m = 4π2 G R 3 Td 2 = kg. 2B) Utlizzando la relazione del punto precedente ed usando il dato per il periodo di Phobos, troviamo: R p = ( GM mt 2 p 4π 2 ) 1/3 = 9384 km. Parte 2 Esercizio 3 Un volume V 1 = 1 litro di gas perfetto subisce una trasformazione isoterma a T 1 =20 C seguita da una trasformazione isobara. Alla fine del processo il volume è divenuto V 3 = 3 l e la pressione si è dimezzata. 3A) Determinare il volume, V 2, al termine dell isoterma. 3B) Determinare la temperatura finale, T 3. Soluzione dell esercizio 3 3A) Se chiamiamo P 1 la pressione iniziale, P 2 la pressione al termine dell isoterma e P 3 la pressione al termine dell isobara, si ha: P 2 = P 3 = P 1 /2. Per l isoterma vale PV=costante e quindi: da cui: P 1 V 1 = P 1 2 V 2. V 2 = 2V 1 = 2 l. 3C) Nell isobara successiva vale: T/V = costante. Quindi: T 2 V 2 = T 3 V 3. Si ha perciò: T 3 = V 3 V 2 T 2 = 166 C. Esercizio 4 Una macchina termica, che lavora con un gas, segue un ciclo di Carnot la cui temperatura massima è T c =350 K e la minima è T f =273 K. Sapendo che il calore ceduto alla sorgente fredda è Q f = cal, determinare: 4A) i) il calore, Q c, che il gas assorbe dalla sorgente a temperatura T c ; 4B) ii) Il lavoro, L 15, sviluppato dalla macchina in 15 cicli. Soluzione dell esercizio 4 2

3 4A) Il rendimento,η, della macchina termica vale: η = 1 T f T c = 0.22 d altra parteηèanche uguale a: Quindi: η = 1 Q f Q c. Q c = Q f 1 η = cal. 4B) Il lavoro, L, svolto in un ciclo è dato da: L =ηq c = J. Quini il lavoro svolto in 15 cicli vale: L 15 = 15L = J. Parte 3 Esercizio 5 Due particelle aventi la stessa carica q sono tenute ferme ad una distanza d=2.6 cm. Le particelle vengono liberate e si muovono con accelerazioni iniziali rispettivamente di a 1 =6.2 m/s 2 ed a 2 =10 m/s 2. La massa della prima particella è m 1 = kg. Calcolare: 5A) i) la massa m 2 della seconda particella; 5B) ii) il valore della carica q. Soluzione dell esercizio 5 5A) Si utilizza il secondo principio della dinamica per ricavare il modulo della forza F 1 agente sulla prima particella: F 1 = m 1 a 1. Per il principio di azione e reazione questa è uguale al modulo della forza F 2 che agisce sulla seconda particella, ovvero F 1 =F 2. Si ha dunque: F 2 = m 2 a 2 m 2 = F 2 a 2 = m 1 a 1 a 2 = kg 5B) La carica si ricava dalla legge di Coulomb: F 1 = F 2 = F = k q2 d 2 = q = F d 2 k = C. Esercizio 6 Una goccia di olio sferica, uniformemente carica, viene mantenuta in equilibrio dall azione della sua forza peso e di un campo elettrico. 3

4 6A) Calcolare la carica Q della goccia sapendo che il raggio r della goccia è pari ad r= m, la densità di massa èρ=0.9 g/cm 3 ed il campo elettrico ha modulo E= N/C. Soluzione dell esercizio 6 6A) Sulla goccia agiscono due forze: la forza peso P, il cui modulo è P=mg (dove m è la massa della goccia) e la forza dovuta al campo elettrico F E il cui modulo è dato da: F E = Q E. La massa della goccia è data da: m=ρ V, dove V è il volume della sfera (V=4/3πr 3 ). Perchè la goccia sia in equilibrio le due forze devono essere uguali ed opposte. Uguagliando i moduli delle due forze si ha quindi: F = P QE = mg = 4 3 πr 3 ρg. Da cui: Q = 4/3πr 3 ρg E = C. Parte 4 Esercizio 7 Un condensatore con capacità C 1 =8 pf viene caricato con una differenza di potenziale V 1 =100 V e la batteria viene poi staccata. Il condensatore viene quindi collegato in parallelo ad un secondo condensatore inizialmente scarico e si registra una differenza di potenziale V =70 V. 7A) Calcolare la capacità C 2 del secondo condensatore. 7B) Calcolare la quantita totale di energia che e stata dissipata in calore quando i due condensatori sono stati collegati. Soluzione dell esercizio 7 7A) Quando il primo condensatore viene caricato su di esso viene trasferita una quantità di carica Q pari a: Q = C 1 V 1. La presenza del secondo condensatore, una volta staccata la batteria, fa si che questa carica si ripartisca tra i due condensatori in modo da creare una situazione di equilibrio. In questa situazione la d.d.p. ai capi del condensatore è V =70 V e sui due condensatori è presente, rispettivamente, la carica Q 1 e Q 2 tali che Q= Q 1 + Q 2. Si può quindi scrivere: C 1 + C 2 = Q 1 V + Q 2 V = (Q 1 + Q 2 ) V = Q V = C V 1 1 V. Da cui si ricava: C 2 = C 1 V 1 V C 1 = 3 pf. 7B) E facile calcolare l energia immagazzinata nei condensatori prima e dopo il collegamento. All inizio si ha un solo condensatore carico, con energia E 1 = CV 2 /2 = J Dopo il collegamento, abbiamo un condensatore di capacita totale C 1 + C 2 alla tensione di 70V, da cui: E 2 = (C 1 + C 2 )V 2 /2 = J Quindi l energia dissipata in calore è: E = E 2 E 1 = J. 4

5 Esercizio 8 Tra i due capi di un filo di rame rettilineo di lunghezza l = 10m viene misurata una resistenza di R = 0.05Ω. 8A) Se la resistività del rame èρ = Ωm, qual è il diametro d del filo? 8B) Nel filo scorre una corrente ignota. Un sensore posto a distanza D = 0.6 cm dal filo misura un campo magnetico tangenziale B = T. Calcolare l intensita della corrente che scorre nel filo. 8C) Qual e la potenza totale, in Watt, dissipata nel filo sotto forma di calore? 8D) Una carica di q = C si muove parallelamente al filo alla stessa distanza del sensore e con velocità v = 7 m/s. Qual e la forza che agisce sulla carica? 8E) Nelle vicinanze del filo si trova una spira conduttrice, che ha un coefficiente di mutua induttanza con il filo uguale a M = 10 6 H e una resistenza r = 1Ω. An un certo istante il filo si spezza, interrompendo cosi bruscamente la corrente che lo attraversava. Quanta carica totale attraversa la spira in conseguenza di questo evento? Soluzione dell esercizio 8 8A) Usando la formula che dà la resistenza in funzione della resistività, risolviamo per l area della sezione del filo: R =ρ l area ; da cui: area =ρ l R d = 2 area/π = 2 ρ l πr = 0.65 mm. 8B) Usando la formula che dà il campo magnetico di un filo infinito, risolviamo per la corrente: B = µ 0i 2πD ; B 2πD π i = = µ 0 4π 10 7 = 180 A 8C) Dal valore calcolato per la corrente si ottiene la potenza dissipata come W = Ri 2 = 1620 W. 8D) Il campo magnetico generato è perpendicolare al moto, per cui: F = q v B; F = qvb = N 8E) Dalla definizione di mutua induttanza si ha, per la fem indotta nella spira ad ogni dato istante t: V (t) = M di(t) dt dove I(t) e la corrente nel filo in funzione del tempo. Utilizzando la legge di Ohm per la spira si ha: V (t) = ri(t) = r dq(t) dt dove i(t) e la corrente, e q(t) la carica che ha attraversato la spira. Sostituendo si ha: (1) dq(t) = M di(t) dt r dt Integrando sul tempo entrambi i membri si trova la quantita totale di carica che ha attraversato la spira, data la variazione di corrente I nel filo: q = M r I = C. 5

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