ed è pari a: 683 lumen/watt, pertanto:

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1 RICIAI GRADEZZE FOTOMETRICHE Fattoe di visibilità (o di sensibilità visiva) K ( λ) : funzione che appesenta la sensibilità media dell occhio umano a adiazioni di diffeente lunghezza d onda ma di eguale enegia. a massima sensazione visiva si isconta in coispondenza della adiazione con λ 555nm ed è pai a: 683 lumen/watt, petanto: ln K( 555nm) Kmax 683 W pe comodità si definisce un coefficiente di visibilità V, o coefficiente spettale di visibilità, tamite la elazione: V ( ) λ K ( λ) K max il flusso luminoso in coispondenza di una data lunghezza d onda saà dato da: dove ( λ) ( λ) W ( λ) φ K [ln] W è la potenza della adiazione della lunghezza d onda consideata [W]. Il flusso luminoso si misua in lumen (ln). Se la adiazione non è monocomatica si dovà calcolae il K medio come segue: V medio 0 K ( λ) e( λ) 0 e ( λ) dλ dλ dove e ( λ) à il potee emissivo monocomatico (W/m 3 ) della sogente che emette la adiazione. intensità luminosa è definita come il appoto ta il flusso luminoso e l angolo solido ento cui esso viene emesso: I [cd] dω la sua unità di misua è la candela (cd) definita nella Confeenza Intenazionale di pesi e misue del979 come l intensità luminosa in una deteminata diezione di una sogente che emette una adiazione monocomatica di fequenza pai a Hz, la cui intensità enegetica nella stessa diezione è pai ad /683 di watt pe steadiante. a candela è una delle sette unità di misua fondamentali del S.I. Da tale definizione consegue che il lumen (ln) è il flusso luminoso emesso da una sogente puntifome ed isotopa avente intensità pai ad una candela ento l angolo solido di uno steadiante quando λ 0, 555μm cioè f Hz. In tali condizioni il flusso enegetico uscente dalla sogente, ento l angolo solido di uno steadiante, è pai ad /683 di watt.

2 illuminamento (E) è dato dal appoto ta il flusso luminoso e l aea della supeficie su cui esso incide: E [lx] da esso si misua in lux [lx], un lux equivale ad un lumen su un meto quadato. a Radianza (R) è data invece dal appoto ta il flusso luminoso e l aea della supeficie che lo emette. Si misua anch essa in lux. R [lx] da Se una supeficie caatteizzata da un coefficiente di iflessione (di invio) δ è sottoposta ad un illuminamento E, la sua Radianza saà data da: R E δ [lx] Se una supeficie con coefficiente di taspaenza τ è sottoposta ad un illuminamento E, la sua adianza sul lato opposto a quello illuminato saà data da: R E τ [lx] Si definisce uminanza () di un punto di una supeficie emittente (S) e pe una data diezione individuata dall angolo θ (ispetto alla nomale ad S), il appoto ta il flusso luminoso elementae emesso nella diezione θ ed il podotto delle seguenti gandezze: l angolo solido elementae d ω uscente da e contenente la diezione θ ento cui viene emesso il flusso elativo alla diezione, l aea appaente nella stessa diezione della supeficie elementae contenente ( cosθ ). Se si tiene conto della definizione di intensità luminosa la uminanza può anche essee definita come il appoto ta l intensità luminosa nella diezione θ e l aeola appaente cosθ. a uminanza si misua in candele pe meto quado (cd/m ) o it. d φ di [cd/m ] cosθ dω cosθ Ө S dω

3 RICIAI REAZIOI FOTOMETRICHE Relazione ta l illuminamento podotto da una sogente puntifome S su una supeficie ed intensità luminosa della sogente. Δ A ΔA cosθ Δω Ө S angolo solido ento cui la sogente puntifome S vede la supeficie Δ A è: Δ ω ΔA cosθ l illuminamento podotto da S su Δ A (sul punto al cento di Δ A ) saà: E I dω da cosθ I cosθ I () da da da Dunque l illuminamento sul punto della supeficie Δ A dipende dall intensità luminosa della sogente nella diezione del punto, è invesamente popozionale al quadato della distanza ed è massimo quando la adiazione incide nomalmente sulla supeficie ( cos θ cos0 ). egame ta Radianza e uminanza dei copi emittenti secondo la egge di ambet. Data una supeficie S di aea A, se su di essa la R è unifome e la è unifome e indipendente dalla diezione di ossevazione, tale supeficie è detta pefettamente diffondente o lambetiana. e l unifomità di R sulla supeficie si avà: R φ da A (ovveo non ci sono vaiazioni di R ta un aeola di S e l alta). Analogamente, pe l unifomità di sulla supeficie si avà: di di cosθ da cosθ da I A.

4 Se è anche indipendente dalla diezione, alloa l intensità luminosa deve vaiae secondo la seguente legge, detta legge di ambet: I ( θ ) I cosθ dove I è l intensità luminosa in diezione nomale alla supeficie S. etanto: ( θ ) I cosθ A cosθ I A Il flusso luminoso emesso ento l angolo solido elementae d ω elativo alla diezione individuata dagli angoli θ e ϕ è: I θ cos d ( ) dω I θ ω il flusso totale emesso dall aeola da veso l inteo semispazio saà ottenuto sommando tutti i contibuti elementai di flusso d φ emessi in π steadianti. angolo solido elementae d ω è dato (pe definizione) dal appoto ta l aeola da n, su di un emisfea con cento nel punto di ifeimento sulla supeficie S, ed il aggio della emisfea al quadato: quest aeola può essee descitta come segue. d A d ω n θ θ θ θ θ sin θ φ 0 < φ < π

5 a lunghezza di un aco di ciconfeenza è pai al aggio pe l angolo sotteso, espesso in adianti. etanto il lato dell aeola che in figua appae veticale saà pai a dθ, mente il lato oizzontale saà pai a: sinθ d ϕ. aeola da n può quindi essee calcolata come: da n sinθ dϕ dθ sinθ dθ dϕ (3.4) e segue che l angolo solido dω può essee deteminato da: dω sinθ dθ dϕ (3.5) Il flusso luminoso totale emesso dall aeola da con cento in veso il semispazio saà quindi icavato pe integazione: φ π / π π / I sen d d cos θ θ θ ϕ π I senθ cosθ dθ π / [ π I sen θ ] π I a pima integazione ispetto a d ϕ fonisce l angolo solido elativo alla coona sfeica di spessoe d θ indicata in figua (che è pai a π senθ dθ ) e la sua poiezione sul piano equatoiale della semisfea (che è pai a π senθ cosθ dθ ), la seconda integazione fonisce l angolo solido poiettato elativo al semispazio visto dal punto (che è pai a π ). etanto pe una supeficie pefettamente diffondente la Radianza saà: 0 φ π I R A A e dal momento che I si avà: R π A Radianza e uminanza delle supefici pefettamente diffondenti sono ta loo popozionali (secondo la costante π ). IUMIAMETO RODOTTO DA SUERFICI ESTESE. Illuminamento podotto in un punto da una sogente illimitata è pai allla Radianza di quest ultima. Consideando una sogente luminosa costituita da una supeficie infinitamente estesa S che illumina un punto situato su un alta supeficie S, ogni aea elementae di S poduce su un contibuto di illuminamento de che saà dato da: de di dω, ()

6 S dω Θ Θ S essendo: d φ, di di cos cosθ d cosθ ω Θ e dω cosθ con distanza fa i baicenti delle aeole e, sostituendo queste ultime due elazioni nella () si avà: de cosθ cos Θ l illuminamento totale su dovuto all intea supeficie illuminante S si ottiene integando su S :

7 E S de S cosθ cosθ se la supeficie S è pefettamente diffondente la sua uminanza saà uguale in ogni suo punto petanto la si può potae fuoi dall integale: S E (3) oa il temine appesenta l angolo solido d ω sotteso in dall aeola, che è lo stesso angolo solido sotteso in dall aeola sulla semisfea di aggio unitaio con cento in. aeola è individuata sulla semisfea di aggio unitaio dalla poiezione di con cento in. oiettando otogonalmente questa aeola sul piano equatoiale della semisfea di aggio unitaio, che è il piano contenente la supeficie S, si ottiene l aeola ' cosθ (angolo solido poiettato), che appesenta geometicamente l agomento dell integale. etanto, se S è infinitamente estesa, si può scivee: E S " π in tal caso infatti l integale di saà appesentato da un aea S coincidente con l aea del cechio poiezione dell intea semisfea sul suo piano equatoiale (giacente sulla supeficie S ), cechio di aea π π. Come si è pecedentemente dimostato π è la Radianza della supeficie S, petanto: E π R come volevasi dimostae. Quando invece la supeficie illuminante anziché essee infinitamente estesa è limitata ma sempe lambetiana, si può seguie lo stesso pocedimento fin qui descitto, la supeficie S non occupeà l inteo cechio - poiezione della semisfea, ma appesenteà sempe l angolo solido poiettato elativo alla supeficie illuminante. Moltiplicando questo pe la uminanza della supeficie si otteà l illuminamento ad essa dovuto. etanto si può asseie che l illuminamento podotto su un punto da una supeficie con unifome ed indipendente dalla diezione di ossevazione (supeficie lambetiana) dipende dalla della supeficie e dalla estensione appaente della supeficie illuminante vista da, ovveo dall entità del elativo angolo solido poiettato (supeficie S ). Il metodo fin qui esposto tova laga applicazione nello studio di poblemi di illuminazione natuale, almeno nei casi in cui la volta celeste può essee assimilata ad una supeficie adiante infinitamente estesa che emette con Radianza unifome ed indipendente dalla diezione (cielo copeto unifome). In casi del genee dovendo calcolae ad esempio l illuminamento in un punto situato in un inteno, le supefici illuminanti sono costituite dalle pati di volta celeste visibili attaveso le

8 supefici finestate. In genee l aea S elativa ad una finesta può essee calcolata come l integale di aeole ' calcolate come segue: ' cosα dα dβ Θ α α β β petanto: E S ' S ' " ' cosθ cosθ cosα dα dβ dato che: π Θ α si avà che cos senα Θ quindi:

9 E S ' senα cosα dα dβ e, dato che lungo i lati veticali della poiezione della finesta sulla sfea di aggio unitaio l angolo β è costante E α β senα cosα dα dβ dβ α β ( sen α sen α ) ( β β ) FATTORI DI VISTA E CACOO DE IUMIAMETO. Come si è visto, in geneale l illuminamento in dovuto ad una geneica supeficie lambetiana S è dato dalla (3). Oa il flusso luminoso che da S aiva all aeola, contenente, saà icavabile come segue: φ S S E ed il flusso totale che da S aiva su S si otteà integando su quest ultima supeficie: φ S S S E S S Mente il flusso totalmente emesso da S, saà dato dal podotto della sua Radianza (costante sulla supeficie) pe la sua estensione: S R S π. Ricodando la definizione di Fattoe di Vista (FV), se si divide pe il flusso cha va da S ad S pe quello totalmente emesso da S si ottiene appunto il Fattoe di Vista da S ad S (FV S-S ): FV S S S S S π S π S S tonando oa a consideae l aeola contenente, il Fattoe di vista da S a saà più semplicemente: FV S S S π da cui:

10 S π FV S S icodando il appoto ta adianza e luminanza delle supefici lambetiane (la loo pozionalità secondo pigeca) si può scivee: S R FV S S (4) ta e la supeficie S vaà il teoema della ecipocità pe il quale: S FV FV S S sostituendo nella (4): R FV S S dividendo tutto pe e icodando la (3) si avà: S R FV S E p dunque l illuminamento in dovuto ad S può essee espesso sia dalla (3) che dal podotto della Radianza di S pe il FV -S che possiamo anche denominae FV -S E l illuminamento in dovuto ad una seie di n supefici saà dato dalla sommatoia: E p n i R FV i Si