+ V in - + V out - V(z) z=l (sezione di carico) z=0 (sezione di generatore)

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1 Appunti di ompatibilità Elttromagntica ERDITE DI OTENZA NEI AI Il calcolo dll prdit di potna ni cavi di intrconnssion ha grand importana, data la prsna di cavi in tutti i sistmi di misura. r introdurr qusto argomnto, dobbiamo prò riprndr rapidamnt alcuni conctti ondamntali rlativi all lin di trasmission, la cui schmatiaion gnral può ssr la sgunt: i srv un modllo lttrico (a paramtri distribuiti) di qusta struttura. ossiamo considrar il sgunt, rlativo ad una lina di trasmission di lungha : I in in - I() () - out - I out 0 (sion di gnrator) (sion di carico) ass grand ch carattriano qusto tipo di struttura sono solitamnt l impdna carattristica la vlocità di propagaion v dll ond lungo la lina.

2 Appunti di ompatibilità Elttromagntica Sbbn sia important conoscr il comportamnto dlla lina quando i sgnali di ingrsso abbiano orm d onda arbitrari, è altrttanto important studiarn il comportamnto in rgim sinusoidal prmannt: ciò signiica ipotiar ch la sorgnt sia sinusoidal monorqunial ch ogni vntual sgnal transitorio si sia stinto. In qust circostan, è possibil risolvr l quaion dll lin nl dominio dlla rquna, ossia in trmini di asori associati all tnsioni d all corrnti lungo la lina. Indicati, inatti, rispttivamnt con () d I() tali asori (ch quindi dscrivono l andamnto spaial, ma anch tmporal, dlla tnsion dlla corrnt lungo la lina), si trova ch ssi sono dati dall sgunti quaioni: α jβ α jβ () α jβ α jβ I() quantità - sono costanti (in gnral complss) d il loro valor può ssr dtrminato solo dopo avr spciicato la sorgnt d il carico connssi alla lina (si tratta cioè di issar l condiioni al contorno dl problma). Il paramtro α è la cosiddtta costant di attnuaion, associata all prdit lungo la lina, ossia all prdit sia ni conduttori sia nl mo circostant. In assna di prdit, risulta vidntmnt α0. a costant α si misura in npr/m. Il paramtro β è invc la costant di as: ssa sprim la variaion di as subita dall onda nl suo propagarsi lungo la lina. Si misura in rad/m. quaioni prima riportat si possono anch riscrivr nlla orma sgunt: dov cioè si sono att l sgunti du posiioni: () () b () () b () I() () b () Qusto pr vidniar ch () è un onda progrssiva di tnsion, mntr b () è un onda rgrssiva di tnsion. r comprndr il signiicato di qust diioni, basta convrtir l sprssioni di () d I() nl dominio dl tmpo, tramit l classich ormul di antitrasormaion (bisogna moltiplicar i asori pr il trmin sponnial, ch tin conto dl rgim sinusoidal, poi calcolar la part ral dl prodotto così ottnuto): v(, t) R i(, t) α α jβ jβ α jβ α jβ { () } R{ } { I() } R α jβ α jβ Facndo gli opportuni passaggi su qust sprssioni (tnndo conto ch l quantità, - sono complss, pr cui possidono un modulo d una as), si trova immdiatamnt ch Autor: Sandro trilli

3 v(, t) i(, t) α α cos cos α ( ωt β θ ) cos( ωt β θ ) α ( ωt β θ θ ) cos( ωt β θ θ ) rdit di potna ni cavi Qust sprssioni sono vidntmnt dl tutto analogh tra loro. onsidriamo allora solo l sprssion dlla tnsion. Essa ci dic quanto sgu: α l onda progrssiva è cos( ωt β θ ) : al crscr dl tmpo t, è ncssario aumntar il valor di al in di mantnr costant l argomnto dl osno; così acndo, si sgu il movimnto di un punto dll onda. ossiamo dunqu armar ch si tratta di un onda ch si muov lungo la dirion positiva dll ass, cioè si dirig dalla sorgnt vrso il carico: da qui il trmin progrssiva; α vicvrsa, l onda rgrssiva è cos( ωt β θ ) : al crscr dl tmpo t, s vogliamo sguir un punto dll onda dobbiamo diminuir il valor di (al in smpr di mantnr costant l argomnto dl osno). Si tratta quindi di un onda ch si muov lungo la dirion ngativa dll ass (dal carico vrso la sorgnt): da qui il trmin rgrssiva. Si dinisc adsso coicint di rilssion pr la tnsion la sgunt quantità: b () Γ() () α jβ Si tratta dunqu dl rapporto tra l onda rgrssiva qulla progrssiva di tnsion risulta quindi variabil con la sion ch si considra sulla lina. S considriamo, in particolar, la sion di carico (), si ottin b () α jβ Γ Γ() () Facndo qualch passaggio in più, si trova ch il coicint di rilssion al carico è Γ Qusta rlaion è molto important, in quanto ci dic ch, quando, risulta Γ 0: si tratta dlla condiion di adattamnto tra lina carico, in corrispondna dlla qual non c è onda rgrssiva lungo la lina, ma solo onda progrssiva: () I() α α jβ jβ () () iò signiica ch tutta la potna disponibil al carico vin ttivamnt cduta al carico stsso, sna ch una quota part di ssa (rapprsntata appunto da Γ ) torni inditro vrso la sorgnt. 3 Autor: Sandro trilli

4 Appunti di ompatibilità Elttromagntica E possibil sprimr il coicint di rilssion nlla gnrica sion in union dl coicint di rilssion al carico: si trova inatti ch Γ() Γ α() jβ() Si può inoltr utiliar Γ() pr sprimr in altro modo i asori dlla tnsion dlla corrnt lungo la lina: inatti, in bas all sprssion appna riportata pr Γ() si trova acilmnt ch () I() α α jβ jβ [ Γ() ] ()[ Γ() ] () [ Γ() ] [ Γ() ] Si dinisc inoltr impdna di ingrsso in una gnrica sion dlla lina la sgunt quantità, data dal rapporto tra i asori dlla tnsion dlla corrnt in qulla sion: in () () I() Γ() Γ() Nl caso di lina adattata ( ), abbiamo dtto ch Γ 0, da cui consgu anch ch Γ()0 quindi ch l impdna di ingrsso coincid con l impdna carattristica dlla lina ( quindi anch con qulla di carico). a potna mdia ch attravrsa, procdndo vrso dstra, una gnrica sion dlla lina è data dalla sgunt sprssion gnral: mdia () R{ ()I ()} dov I () è il complsso coniugato dl asor dlla corrnt. Tutti qusti conctti introduttivi ci consntono di introdurr carattriar l prdit di potna ni cavi usati ni sistmi di misura ( non solo). Tipici cavi pr intrconnssioni sono qulli di tipo coassial, di cui la igura sgunt propon una schmatiaion (da divrs sioni): Abbiamo dunqu sostanialmnt un sistma ormato da du conduttori cilindrici coassiali, di raggio R d R : il conduttor più strno prnd il nom di cala (o smplicmnt schrmo), mntr il conduttor intrno vin dtto anima dl cavo. ond si propagano nllo spaio intrno 4 Autor: Sandro trilli

5 rdit di potna ni cavi alla cala tal spaio è solitamnt occupato da un dilttrico carattriato da costanti rlativ ε r µ r. Ad smpio, nl caso dl cavo RG-58U, il dilttrico è il Tlon la sua prmttività rlativa val ε r.. costanti ε r (prmttività rlativa) µ r (prmabilità rlativa) dtrminano la vlocità di propagaion dll ond di tnsion di corrnt nl mo: tal vlocità è inatti data da v c ε µ r r dov ovviamnt c è vlocità dlla luc nl vuoto, pari a 30 8 mtri/sc. I costruttori solitamnt spciicano l carattristich di cavi coassiali ornndo: il modulo dll impdna carattristica nll ipotsi di bass prdit (ad smpio, pr il cavo RG-58U risulta 50Ω); la vlocità di propagaion prcntual risptto alla vlocità di propagaion dl vuoto (pr il cavo RG-58U risulta v0.69c); il valor dll prdit pr un cavo di 00 t a dtrminat rqun. Occupiamoci allora di qust ultimo asptto. Nll lin di trasmission sistono du tipi di prdit: qull all intrno di conduttori qulli nl dilttrico circostant. Tuttavia, all rqun di normal unionamnto, l prdit ni conduttori rapprsntano sicuramnt l tto dominant. a rsistna di conduttori aumnta, pr tto pll, proporionalmnt alla radic quadrata dlla rquna; nonostant sia nota la lgg di proporionalità, la prdita nl cavo dovrbb ssr spciicata pr ogni rquna a cui il cavo vin utiliato. Normalmnt, i costruttori n orniscono i valori solo pr alcun rqun spciich: ad smpio, la prdita nl cavo coassial RG-58U, alla rquna di 00 MH, è di 4.5 /00 t. E important inoltr sottolinar ch la spciica dll prdit a ririmnto ad una cavo adattato, ossia prsuppon ch risulti, dov è l impdna appunto dl carico: sotto qusta condiion, abbiamo visto prima ch non ci sono rilssioni di nrgia in corrispondna dl carico (Γ 0) la lina è prcorsa solo da ond progrssiv. Mttiamoci dunqu nll ipotsi di cavo adattato. onsidriamo l sprssion dlla potna mdia prcdntmnt citata: mdia () R{ ()I ()} Dato l adattamnto, i asori associati alla tnsion d alla corrnt sono () I() Esgundo allora la moltiplicaion ncssaria al calcolo dlla potna, abbiamo quanto sgu: α α jβ jβ 5 Autor: Sandro trilli

6 Appunti di ompatibilità Elttromagntica mdia () α R { ()I ()} R R α α jβ α jβ α R alcolando qusta quantità pr 0, ottniamo la potna ornita in ingrsso al cavo: mdia,in mdia ( 0) Analogamnt, prndndo ottniamo la potna ornita dal cavo al carico: mdia,out mdia ( ) α a dirna tra qust du quantità è dunqu la prdita di potna nl cavo, sprssa chiaramnt in Watt: mdia,in mdiaout α α ( ) In raltà, i costruttori non usano qusta sprssion pr carattriar la prdita di un cavo; al contrario, ssi anno ririmnto alla cosiddtta attnuaion, dinita com il rapporto tra la potna in ingrsso qulla in uscita: mdia,in α attnuaion mdia,out Gnralmnt, qusto paramtro vin misurato in pr unità di lungha dl cavo, pr cui parliamo di attnuaion spciica in : in pratica, dato ch α attnuaion in 0 log 0 α log α 0 t l attnuaion spciica è attnuaion in ( α ) α S onvnionalmnt, vin issata a 00 t, pr cui abbiamo ch attnuaion in t ( α ) α S /00t Autor: Sandro trilli 6

7 rdit di potna ni cavi Quindi, ripilogando, il dato spciicato dai costruttori è (α S ) /00t : ad smpio, pr il cavo RG- 58U alla rquna di 00 MH vin dtto ch (α S ) /00t 4.5/00t. Da qusto dato, si può ottnr la costant di attnuaion dl cavo: ( α ) S /00t α npr t S invc moltiplichiamo l attnuaion spciica ( α S ) pr la lungha ttiva dl cavo /00t (rapportata a 00 t), ottniamo dirttamnt l attnuaion dl cavo in trmini di (smpr pr qulla spciicata rquna): α ( αs ) [ ] /00t 00 Ad smpio, un cavo RG-58U, ch alla rquna di 00MH prsnta (α S ) /00t 4.5/00t, lungo 30 t introduc una attnuaion complssiva α r concludr, è molto important ricordar ch la carattriaion dlla prdita di potna di un cavo a ririmnto al atto ch sso sia adattato ( ) al carico. In caso contrario, la misura dll grand sopra indicat non ha nint a ch vdr con la prdita di potna dl cavo. Autor: SANDRO ETRIZZEI -mail: sandry@iol.it sito prsonal: succursal: 7 Autor: Sandro trilli