Corso di Laurea in Fisica Anno Accademico

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1 Corso di Lure in Fisic Anno Accdemico Compito di Fisic 2 (09/04/204) Un corrente superficile j = jẑ scorre lungo uno strto cilindrico di lunghe infinit, spessore trscurbile e rggio. L intensità di corrente totle è I = 2πj. Clcolre ) il cmpo mgnetico B in tutto lo spio, b) l for per unità di superficie P esercitt dl cmpo mgnetico sullo strto di corrente (specificndone il verso, cioè se lo strto di corrente tend d espndersi o collssre), c) l vriione di energi mgnetic per unità di lunghe du m ssocit un umento infinitesimo del rggio d. Si spieghi perché P (2π) du m /d e come clcolre correttmente P usndo il principio dei lvori virtuli. (5 punti) j Figur : Corrente superficile su cilindro. 2 Lungo un cvo cossile si propgno segnli di intensità di corrente I = I(,t) = I 0 e ik iωt e densità di cric per unità di lunghe = (,t) = 0e ik iωt nel conduttore interno (rggio ) e segnli I e nel conduttore esterno (rggio b). L resisten dei conduttori e le suscettività elettric e mgnetic del meo ll interno del cvo sono trscurbili. ) Determinre l relione tr I 0 e 0. b) Mostrre che i cmpi elettrico e mgnetico ll interno del cvo hnno le sole componenti E r e B φ nell form I 0 e ik iωt I 0 e ik iωt 0e ik iωt b E r (r,,t) = A r eik iωt, ~ I 0 e iωt B φ (r,,t) = D r eik iωt, () Figur 2: Cvo cossile. determinndo il vlore di A e D, e l relione tr ω e k. c) Clcolre il vettore di Poynting ll interno del cvo ( < r < b) e il suo flusso Φ s ttrverso l seione del cvo. d) Si ssum che l corrente nel cvo si prodott d un genertore di corrente I = I 0 e iωt che connette le due rmture = 0, come mostrto in figur. Clcolre l poten medi sul periodo spes dl genertore, e confrontrl con Φ s clcolto l punto c). (6 punti)

2 3 Un prticell puntiforme di mss m e cric q si muove nel pino xy sotto l ione di un for elstic f = mω 2 r con r = (x,y). A t = 0 si h r = (,0) e ṙ = (0,v). ) Si risolv l equione del moto e si di l form dell triettori. b) Si di l frequen dell rdiione di dipolo elettrico emess dll cric e si dic che polriione si osserv lungo gli ssi x, y e. Si trovi un direione in cui l polriione è circolre. c)sissumchel orbitsicircolre(perunsceltprecisdiev)einquestocsosiclcoliconche dipenden temporle e tempo crtteristico l prticell perde energi nell ipotesi che du/dt = P, dove U è l energi totle dell prticell e P è l poten irrggit (si ssume che l perdit per ciclo dell orbit si piccol rispetto l totle). d) Cos si può dire sul contributo del termine di dipolo mgnetico ll emissione di rdiione? (6 punti) NB Si scriv chirmente e si giustifichi brevemente ogni pssggio; risultti dti sen commento non srnno considerti. FORMULE UTILI Equioni di Mxwell E = ρ/ε 0, B = 0, E = t B, B = µ 0 (J+ε 0 t E). (2) For mgnetic su un elemento infinitesimo di corrente df = J Bd 3 x = Idl B, (3) dove l ultim eguglin vle per un elemento infinitesimo di circuito di spessore trscurbile per cui Jd 3 x = JSdl = Idl. Cmpi di rdiione di dipolo elettrico e dipolo mgnetico E e = k 0 p(t rit ) ˆr ˆr rc 2, E m = k 0 m(t rit) ˆr rc 3. (4) dove ˆr = r/r è l direione di emissione. Poten istntne irrggit per emissione di dipolo elettrico p = p(t) P irr = 2k 0 3c 3 p 2. (5) Formul rpid per l medi temporle di un prodotto di cmpi oscillnti scritti in notione compless come A(t) = Re(Ãe iωt ) e B(t) = Re( Be iωt ): A(t)B(t) = 2 Re(Ã B ), A 2 (t) = 2 Ã 2. (6) 2

3 SOLUZIONI ) Per l simmetri del problem le linee di for di B devono essere circonferene con sse coincidente con l sse dell superficie cilindric su cui scorre l corrente. Dll legge dell circuitione di Ampère ottenimo per l interno (r < ) e l esterno (r > ) dell superficie cilindric B(r) = ˆφ 0 (r < ) µ 0 I (2πr) = µ 0j r (r > ). b) Su un strisci infinitesim di superficie di mpie dφ scorre un corrente di = jdφ. Su un peetto di strisci lto d gisce un for df = jdφdẑ B = jbdφdˆr (8) dirett verso l interno. Per ottenere l for per unità di superficie P dobbimo dividere df per l superficie infinitesim ds = dφ d, ricordndo nche che B è nullo immeditmente sotto ll elemento di superficie, mentre vle B() = µ 0 j immeditmente sopr. Abbimo così P = 2 jb()ˆr = B 2 ()ˆr. (9) c) Se il rggio dell superficie cilindric ument di d, tr e +d scompre l energi mgnetic precedentemente contenut nel volume infinitesimo 2πdd, pri du = B 2 ()2πdd, l vriione di energi per unità di lunghe è così du m = du d = B 2 ()2πd. (0) Quindi un espnsione del cilindro corrisponde un diminuione dell energi mgnetic e, se il sistem fosse isolto, P dovrebbe essere dirett in modo d fr diltre il cilindro stesso. M il sistem non è isolto perché è necessrio un genertore per mntenere costnte l corrente superficile. L diltione del cilindro provoc un diminuione del flusso tr e +d pri dφ = B()dd, corrispondente un diminuione del flusso per unità di lunghe dφ = B()d. Il genertore, per mntenere costnte l corrente, deve fre il lvoro necessrio per compensre l for elettromotrice per unità di lunghe E = dφ/dt, fornendo così un energi per unità di lunghe +d j d d (7) B Figur 3: Vriione di flusso. du gen = IdΦ = 2πjB()d = 2π µ 0 B 2 ()d = 2dU m. () Il bilncio complessivo dell energi per unità di lunghe è e l for per unità di superficie vle du tot = du gen +du m = du m, (2) P = du tot 2π d = + du m 2π d. (3) 3

4 2 ) Dll equione di continuità t = I ottenimo iω 0e ik ωt = iki 0 e ik ωt, d cui I 0 = ω k 0 = v f 0, (4) dove v f è l velocità di fse. b) Per simmetri e per le condiioni lle superfici conduttrici, le linee di for del cmpo elettrico devono essere rdili, e le linee di for del cmpo mgnetico delle circonferene. Abbimo cioè cmpi TEM, nloghi quelli sttici per verso e dipenden d r E = 0 2πε 0 r eik iωt = ki 0 2πε 0 ωr eik iωt, B = I 0 2πε 0 c 2 r eik iωt. (5) L equione E = t B, portndok 2 /ω = ω/c 2, puòessereustperstbilirechev f = ω/k = c. c) Per il vettore di Poynting nello spio tr i due conduttori bbimo S = ε 0 c 2 E B = che ci dà per il flusso di energi ttrverso l seione del cvo Φ s = b I 2 0 8π 2 ε 0 cr 2 2πrdr = I2 0 4πε 0 c ln I 2 0 8π 2 ε 0 cr 2 ẑ, (6) ( ) b. (7) d) L poten spes dl genertore è sempre VI dove I = I 0 e iωt e V è l differen di potenile tr i due conduttori: b V = E(r,0,t)dr = I ( ) 0 b 2πε 0 c e iωt ln. (8) Quindi bbimo VI = I2 0 4πε 0 c ln ( ) b = Φ s, (9) e l poten dissipt dl genertore è ugule l flusso di energi ssocito l vettore di Poynting. 3 ) Le equioni del moto lungo gli ssi x e y sono rispettivmente ẍ = ω 2 x e ÿ = ω 2 y, (20) che, con le nostre condiioni iniili, hnno soluione r = (x,y) = (cosωt,bsinωt), con b = v ω, (2) e l triettori corrisponde ll ellisse di semissi e b di equione ( x ) 2 + ( y b ) 2 =. 4

5 b) L frequen dell rdiione di dipolo emess dll cric è ω, e l polriione è dirett come l proieione di p = qr nel pino ortogonle ll direione di osservione ˆn. Quindi l polriione è linere (lungo ŷ) se ˆn = ˆx, linere (lungo ˆx) se ˆn = ŷ, ed ellittic se ˆn = ẑ. Se b, osservndo nel pino x d un ngolo θ (rispetto ẑ) tle che cosθ = b/ si osserv polriione circolre. Se invece b, per osservre un polriione circolre dobbimo metterci nel pino y d un ngolo θ (rispetto ẑ) tle che cosθ = /b. c) Abbimo un orbit circolre se = v/ω. In questo cso l energi totle (cinetic + potenile) dell prticell vle Dll (5) bbimo per l poten totle irrggit U = m 2 v2 + m 2 ω2 r 2 = mv 2. (22) P = 2k 0 3c 3 p 2 = 2k 0q 2 3c 3 ω4v2 ω 2 = 2k 0q 2 3c 3 ω2 v 2. (23) Differenindo l (22) bbimo per l dissipione dell energi dell prticell e dividendo per v ottenimo l equione du dt = 2mvdv dt = 2k 0q 2 3c 3 ω2 v 2, (24) che h soluione 2m dv dt = 2k 0q 2 3c 3 ω2 v, (25) v = v(0)e t/τ, con τ = 3mc3 k 0 q 2 ω 2. (26) d) Il momento di dipolo mgnetico è costnte (è proporionle l momento ngolre orbitle) per cui non contribuisce ll irrggimento. 5