Derivazioni SLD. Passo di derivazione SLD. Derivazione SLD. Notazione

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1 Passo di derivazione SLD Derivazioni SLD Sia R una regola di selezione e P un insieme di clausole definite. Diciamo che G' deriva da G in P con un passo di derivazione SLD (G => G') se G = A,B,C dove B è l'atomo selezionato da R c: H B P (rinominata) con Var(c) Var(G) = θ= mgu(b=h) G'= (A,B,C) θ Derivazione SLD Notazione Una derivazione SLD è una derivazione per risoluzione SLD ovvero una sequenza di passi di risoluzione SLD. Una derivazione SLD individua una sequenza di goal G0,G1,,Gn; una sequenza di varianti di clausole di programma: c1,,cn; una sequenza di sostituzioni (mgu): θ1,..., θn tali che ogni G(i+1) è derivato da Gi e c(i+1) tramite θ(i+1). Notazione G => G' indica un passo di derivazione SLD G =θ=> G' indica un passo di derivazione SLD ottenuto con mgu θ. G -->* G' indica una derivazione SLD di 0 o più passi con sostituzione composta θ G -θ->* G' indica una derivazione SLD di 0 o più passi con sostituzione composta θ

2 Derivazioni di successo e non Una derivazione SLD ha successo quando è una refutazione (l'ultimo risolvente è la clausola vuota). Una derivazione SLD massimale (non è possibile applicare ulteriori passi di risoluzione) e' finita e di successo, oppure finita e non di successo (fallimento finito), oppure infinita (fallimento infinito). "Derivazione SLD" equivale a "derivazione SLD massimale". 20 Sostituzione di risposta calcolata Sia δ: G0 => G1 => =>Gn => ' una derivazione SLD di successo e θ0, θ1,... θn, la sequenza degli mgu utilizzati nei vari passi di derivazione. La sostituzione φ=(θ0 θ1... θn) Var(G0) viene detta sostituzione di risposta calcolata (c.a.s.) per G0 in P. Inoltre G φ viene detta istanza calcolata di G. 21 Successo P0= {volo_diretto(venezia, londra)., volo_diretto(roma, atene)., volo_diretto(roma, venezia)., volo(x,y) volo_diretto(x,z), volo(z,y)., volo(x,y) volo_diretto(x,y).} G0= { volo(roma,w)).} θ1={x/roma, y/w} G1 = { volo_diretto(roma,w).} θ2={w/atene} G2 = ' c.a.s. : {w/atene} 22 P0= {volo_diretto(venezia, londra)., volo_diretto(roma, atene)., volo_diretto(roma, venezia)., volo(x,y) volo_diretto(x,z), volo(z,y)., volo(x,y) volo_diretto(x,y).} G0= { volo(londra,w)).} θ1={x/londra, y/w} G1 = { volo_diretto(londra,w).} Fallimento finito 23

3 Fallimento infinito -1 P0= {volo_diretto(venezia, londra)., volo_diretto(roma, atene)., volo_diretto(roma, venezia)., volo(x,y) volo_diretto(x,z), volo(z,y)., volo(x,y) volo_diretto(x,y).} G0= { volo(u,v)).} θ1={x/u, y/v} G1 = { volo_diretto(u,z), volo(z,v).} 24 Fallimento infinito -2 P0= {. volo(x1,y1) volo_diretto(x1,z1), volo(z1,y1).,..} G1 = { volo_diretto(u,z), volo(z,v).} θ2={x1/z, y1/v} G2 = { volo_diretto(u,z), volo_diretto(z,z1), volo(z1,v).}. 25 Derivazioni SLD di successo: proprietà Corrispondenza tra Semantica Dichiarativa ed Operazionale Proposizione. Una formula F è conseguenza logica di una teoria T se e solo se T not(f) è insoddisfacibile (non ha modelli). Proposizione. Un insieme P di clausole è insoddisfacibile sse esiste una refutazione per P. 26 Proposizione Sia P un insieme di clausole definite e G un goal. P {G} è insoddisfacibile sse esiste una derivazione SLD di successo per G in P. 27

4 Insieme dei successi di P: SS(P) Definizione Sia P un programma logico. Indichiamo con SS(P) l'insieme di tutti gli atomi ground per i quali esiste una derivazione di successo in P. SS(P) = {A A è un atomo ground e A -->* '} Indipendenza dalla regola di selezione Proprietà Dato un programma logico P, l'insieme dei successi di P non dipende dalla regola di selezione utilizzata dalla risoluzione SLD. Notazione: -->* indica una derivazione SLD di 0 o più passi Correttezza e completezza: caso ground Teorema (Correttezza) Sia P un programma e A un atomo ground. Se A SS(P) allora A M(P). Teorema (Completezza) Sia P un programma e A un atomo ground. Se A M(P) allora A SS(P). Caso non ground Osservazione Per atomi non ground, il modello minimo di Herbrand non basta per caratterizzare la proprietà di essere conseguenza logica. Definizione Una risposta corretta per un goal G in un programma P è una sostituzione σ tale che P {G σ} è insoddisfacibile

5 Correttezza generalizzata Teorema (Correttezza generalizzata) Sia P un programma e A un atomo (anche non ground). Se esiste in P una derivazione SLD per A con risposta calcolata θ (A -θ->* ') allora (A θ) è conseguenza logica di P (P = (A θ)). "ogni risposta calcolata è una risposta corretta" 32 Completezza generalizzata Teorema (Completezza generalizzata) Sia P un programma, A un atomo e σ una sostituzione. Se (A σ) è conseguenza logica di P (P = (A σ)) allora esiste in P una derivazione SLD per A con sostituzione θ (A - θ ->* ') tale che Aθ è più generale di Aσ. "ogni istanza corretta può essere calcolata in forma più generale" N.B. A è più generale di B sse esiste φ tale che A φ = B 33 Attenzione: errore Molti testi di programmazione logica (i meno recenti) riportano una versione errata del teorema precedente: Teorema (Completezza generalizzata) Sia P un programma, A un atomo e σ una sostituzione. Se (A σ) è conseguenza logica di P allora esiste in P una derivazione SLD per A con risposta calcolata θ tale che θ è più generale di σ. "ogni sostituzione corretta può essere calcolata in forma più generale" SBAGLIATO! 34 Controesempio Siano P = {p(f(y,z)).} e G =?- p(x), dove x,y,z sono tutte variabili distinte. σ={x/f(a,a)} è una risposta corretta per P G. Si può provare che ogni mgu tra p(x) e una qualsiasi variante p(f(u,v)) di p(f(y,z)) è della forma θ={x/f(u',v')} dove u' e v' sono variabili distinte. Nessuna di tali risposte calcolate, θ, è più generale di σ. 35

6 Modello dei termini (term model) Definizione Sia I un insieme di termini o atomi. I è chiuso per sostituzione se contiene tutte le istanze di tutti i suoi elementi: se A I allora Aθ I per ogni sostituzione θ. Un insieme di atomi I, chiuso per sostituzione, può essere considerato una interpretazione (sul dominio dei termini) dove per ogni atomo A: I = A sse A I. 36