Elaborazione di Segnali Multimediali

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CATANIA Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Telematica Elaborazione di Segnali Multimediali = Elaborazione Numerica dei Segnali + Comunicazioni Multimediali

2 Elaborazione numerica dei segnali (Digital Signal Processing, DSP) Tecniche e algoritmi per l analisi, la trasformazione, la sintesi di segnali digitali elaborati attraverso circuiti elettronici digitali programmabili (microprocessori, DSP) il cui funzionamento è regolato da un programma x [n] DSP (Digital Signal Processor) y [n] Algoritmi sempre più sofisticati Flessibilità DSP sempre più potenti e a basso costo

3 Campi applicativi dell elaborazione numerica dei segnali Analysis Synthesis Source Coding Recognition Modulation Filtering Regeneration Detection Identification Measurement

4 Comunicazioni Multimediali Sistemi interattivi che utilizzano contemporaneamente diversi mezzi di comunicazione come: testo grafica video suono Esempio: lavoro di gruppo a distanza in cui ognuno ha la possibilità di: interagire con i propri gli interlocutori avendo a disposizione un collegamento video sentire la loro voce condividere una tavola grafica

5 Corso Docente Elaborazione di Segnali Multimediali F. Beritelli Programma Segnali a tempo discreto (Lezioni: 5 ORE) Conversione D/A e metodi di interpolazione. Teoremi sulla trasformata di Fourier di segnali discreti. Analisi di Fourier di sequenze periodiche (DFT). Algoritmi veloci di trasformata discreta di Fourier (FFT). Sistemi a tempo discreto (Lezioni:14 ORE; Esercitazioni: 10 ORE) Caratterizzazione dei sistemi a tempo discreto. Proprietà. Sistemi lineari e stazionari. Risposta in frequenza. Interpolazione e decimazione di una sequenza numerica. La trasformata Z. Proprietà della trasformata Z. Sistemi a tempo discreto regolati da equazioni alle differenze. Risposta impulsiva. Funzione di trasferimento. Filtri FIR e IIR. Progettazione di filtri numerici. Tecniche di elaborazione del segnale vocale (Lezioni: 10 ORE; Laboratorio: 5 ORE) Caratteristiche del segnale vocale. Quantizzazione adattativa (APCM). Predizione lineare. Codifica differenziale ed adattativa (DPCM, ADPCM). Codifica di analisi per sintesi (RPE, MPE, CELP). Codifica della voce a bit-rate variabile. Standard di codifica per sistemi radiomobili GSM e UMTS. Tecniche di sintesi e riconoscimento della voce. Tecniche di elaborazione del segnale video (Lezioni:8 ORE; Laboratorio: 5 ORE ) Caratteristiche del segnale video. Quantizzazione vettoriale. Codifica di immagini fisse JPEG: modalità di funzionamento, codifica DCT, ricostruzione dell immagine. Codifica differenziale intracampo ed intercampo. Standard H.261 e H.263 per videoconferenza. Standard MPEG. Compensazione del movimento. Comunicazioni multimediali interattive in tempo reale su reti a pacchetto: telefonia su IP e videoconferenza. Tecniche di pattern recognition (Lezioni: 3 ORE) Architettura di un sistema di pattern recognition. Ottimizzazione dei parametri: analisi della correlazione, criterio di Fisher, criterio di separabilità di Fukunaga, analisi delle componenti principali, metodi ricerca del sottoinsieme ottimo. Metodi di classificazione: classificatore di Bayes, classificazione Nearest Neighbour, classificatore lineare di Fisher, classificazione basata su tecniche di Soft Computing. Modalità d esame Esame orale preceduto da una prova scritta o, in alternativa, da due/tre prove scritte intermedie.

6 Elaborazione numerica x(t) x[n] 3T 2T T T 2T 3T t n x(t) x[n] t=nt x(t) x[n] y[n] A/D DSP D/A y(t) x[n] ˆ x (t) n 3T 2T T T 2T 3T t x[n] ˆ x (t)

7 Esempi di segnali tempo discreto notevoli (1/2) 1) sequenza gradino unitario: u[ n]= 1 n 0 0 n < 0 u[n] n 2) sequenza esponenziale unilatera: x[ n]= a n u[ n] x[n] 1 0<a< n 3) sequenza δ o impulsiva: δ[ n]= 1 n = 0 0 altrimenti δ[n] n Relazione tra u[n] e δ[n]: n [ ] u[ n]= δ i i = quindi u[n] è la sequenza somma della sequenza δ[n].

8 Esempi di segnali tempo discreto notevoli (2/2) 4) sequenza impulso rettangolare causale di durata N : x[ n]= u[ n] u[ n N] x[n] 1 1 u[n] 0 1 N 1 N n 0 1 N 1 n -u[n-n] 5) oscillazione complessa discreta alla frequenza normalizzata Fo: x[n] = exp( j2πf 0 n) 6) differenza all indietro del primo ordine o incremento: δ[ n]= u[ n] u[ n 1]

9 Trasformata di Fourier di una sequenza x(n) aperiodica (1/5) Trasformata: x[n] X ( f ) X ( f)= x n n= [ ] e j 2πnfT = F [ x[ n] ] eq. di analisi è una funzione periodica in ambito frequenziale di un periodo pari alla frequenza di campionamento f c =1/T: X f ( ) = X f + 1 T Antitrasformata: 1 2T ( ) x[ n]= T X f 1 2T e j 2πnfT df eq. di sintesi Anche per la trasformata di una sequenza è comunque d uso introdurre lo spettro di ampiezza A ( f ) = X ( f ) e lo spettro di fase θ ( f ) = X ( f )

10 Trasformata di Fourier di una sequenza x(n) aperiodica (2/5) Una condizione sufficiente per l esistenza della trasformata è l assoluta sommabilità della sequenza, cioè la condizione x[ n] < + Infatti, essendo X f n = ( ) = x n [ ]e j2πnft x n n= n= [ ] si ha di conseguenza la convergenza della serie per tutti i valori della frequenza. 1) Trasformata di Fourier della sequenza δ[n]: δ[ n] f ( ) = δ[ n] n= La trasformata è quindi una funzione periodica di periodo 1/T che, in ciascun periodo, assume un valore costante e pari a 1. δ[n] 1 e j 2πnfT =1 (f) n 1/2T 1/2T f

11 Trasformata di Fourier di una sequenza x(n) aperiodica (3/5) 2) Trasformata di Fourier dell impulso rettangolare discreto di durata N x[ n]= u[ n] u[ n N] X ( f) = j2πnft 1 e = e jπnft 1 e j 2πfT e jπft e jπnft e jπnft e jπft e jπft ( ) ( ) = e jπ ( N 1) ft sin NπfT sin πft Lo spettro di ampiezza è allora X ( f ) = ( ) sin( πft) sin NπfT L andamento dello spettro di ampiezza in vicinanza di f=0 ricorda quello di una funzione N sinc(nft) Inoltre, restringendoci all intervallo base si annulla per le frequenze f k = k NT f [ 1 2T,1 2T] k = ±1, ± 2, K, ± N 2, esso

12 Trasformata di Fourier di una sequenza x(n) aperiodica (4/5) e assume per il valore massimo per f=0 dato da X ( 0) = lim f 0 X ( f ) = N N= Frequenza normalizzata, ft N= Frequenza normalizzata, ft

13 Trasformata di Fourier di una sequenza x(n) aperiodica (5/5) 3) Trasformata di Fourier della sequenza esponenziale discreto: x[ n]= a n u[ n] X ( f) = 1 1 a e j2πft a < 1 X ( f ) = 1 ( ) 1+ a 2 2 a cos 2πfT a=0.5, a= Frequenza normalizzata, ft ( ) ( ) a sin 2πfT X ( f )= arctg 1 a cos 2πfT a=0.5 0 a= Frequenza normalizzata, ft

14 Teoremi sulla Trasformata di Fourier di una sequenza (1/2) Teorema di linearità: x[ n]= a x 1 [ n]+ b x 2 [ n] X ( f) = a X 1 ( f) + b X 2 ( f) Teorema del ritardo: x[ n k] X ( f )e j2πkft Teorema della modulazione: x[ n]e j 2πnf 0 T X ( f f 0 ) Teorema del prodotto: 1 2T p[ n] = x[ n]y[ n] P ( f ) = T X ν 1 2T ( )Y ( f ν)dν

15 Teoremi sulla Trasformata di Fourier di una sequenza (2/2) Teorema della somma di convoluzione: z[ n] = x[ n] y n + [ ]= x k k= [ ] [ ] = y[ k] y n k + k= z[ n] = x[ n] y[ n] Y ( f) X ( f) = Z ( f ) x[ n k] Teorema dell incremento: x[ n]= x[ n] x[ n 1] Operatore incremento x[ n] X ( f) X ( f )e j 2πfT = X ( f) ( 1 e j 2πfT ) Teorema della sequenza somma: n y[ n]= x k k = [ ] Sequenza somma Y ( f) = X ( f ) X 0 1 e j2πft purchè = 0 ( ) = x[ n] n=

16 Condizione di Nyquist Segnale nel tempo Trasformata di Fourier x(t) X(f) x[n] X f X ( f) = 1 T k= ( ) X f k T La trasformata di Fourier di una sequenza ottenuta per campionamento si ricava come periodicizzazione della trasformata del segnale analogico di partenza, con un periodo di ripetizione in frequenza pari alla frequenza di campionamento f c = 1 / T Fissata la banda del segnale B, la frequenza di campionamento deve essere scelta in modo che valga la condizione f c = 1 T 2B Condizione di Nyquist condizione che garantisce assenza di aliasing.

17 Esempio di Campionamento con e senza Aliasing Trasformata del segnale analogico x(t) B B Frequenza normalizzata, f/b /T=2.5B Trasformata del segnale digitale x[n] (f c >2B) B B Frequenza normalizzata, ft /T=1.25B Trasformata del segnale digitale x[n] in presenza di aliasing (f c <2B) B B Frequenza normalizzata, ft

18 Filtro Anti-Aliasing e Teorema del Campionamento Filtro Anti-Aliasing x(t) 1 H(f) ξ(t) ξ[n] y[n] A/D DSP D/A y(t) B' f Teorema del campionamento (C. Shannon): Un segnale il cui spettro è limitato nella banda B può essere ricostruito esattamente a partire dai propri campioni, purché la frequenza di campionamento non sia inferiore a 2B.

19 Altri esempi di trasformata di Fourier di sequenze digitali 1) Trasformata di Fourier della sequenza costante: x[n] = 1 X ( f) = 1 T k= δ f k T 1 x[n] X(f) 1/T n -1/T 1 2T 1 2T 1/T f 2) Trasformata di Fourier del coseno e del seno: x[n] = cos(2πnf 0 T) X ( f ) = 1 2T δ ( f f 0 1/ T ) + 1 2T δ ( f + f 0 1/ T ) y[n] = sin(2πnf 0 T) Y ( f ) = 1 2 jt δ ( f f 0 1/ T ) 1 2jT δ( f + f 0 1 / T ) ove ci siamo limitati a considerare l intervallo base della trasformata, 1 senza esplicitamente 2T f 1 2T indicare la periodicizzazione

20 Trasformata discreta di Fourier (DFT) di una sequenza periodica Sequenza periodica di periodo N o : x[ n]= x[ n + ] 1 x[ n]= X k X k = 1 k= 0 N0 1 n= 0 e j 2πkn [ ] x n e j 2πkn x( t) = X k e j 2πkt T 0 X k = 1 T 0 k = T 0 2 T 0 2 ( ) x t e j 2πkt T 0 dt Per i segnali periodici a tempo continuo la rappresentazione mediante serie di Fourier comporta una somma infinita di termini; nel caso di sequenze periodiche, invece, la rappresentazione mediante antitrasformata discreta consiste in una somma con un numero finito di addendi. Infatti la trasformata di una sequenza periodica di periodo N o è essa stessa periodica con il medesimo periodo. 1 X k+ N0 = 1 x[ n] e j 2π k+ = 1 x n n=0 ( )n 1 n=0 [ ] e j 2πkn e j2πn = 1 [ ] = 1 x n n =0 e j 2πkn = X k

21 Una sequenza periodica quindi può essere rappresentata mediante uno sviluppo del tutto analogo alla serie di Fourier per i segnali periodici a tempo continuo, chiamato serie discreta o antitrasformata discreta di Fourier: La sequenza dei coefficienti discreti di Fourier è comunemente chiamata trasformata discreta di Fourier o DFT (Discrete Fourier Transform) della sequenza periodica data. Periodicizzazione di una sequenza x(n) aperiodica ( ) = x t mt 0 y t Analogico + m = ( ) y n Digitale + [ ] [ ] = x n m m = Y k = 1 X k T 0 T 0 Y k = 1 X ( f ) k N f = 0 T = 1 X k T

22 Complessità di calcolo della trasformata discreta di Fourier (1/3) (DFT, Discrete Fourier Transform) Si consideri la trasformata di una sequenza x[n] periodica di periodo N o : Trasformata: X k = 1 1 n= 0 [ ] x n e j 2πkn = 1 x[ 0] e j 0 + x[ 1] e j 2πk + x[ 2] e j 2π 2 k x[ 1] e j 2π ( 1)k Antitrasformata: x[n] = X 0 e j0 + X 1 e j 2πn 2π 2n j + X 2 e X N0 1 e j 2π ( 1)n Se x[n] è una sequenza di valori complessi e si trascura il prodotto per il termine 1/N o possiamo dire che la complessità di calcolo tra trasformata e antitrasformata è la stessa. Supponendo che i fattori esponenziali complessi che figurano nelle espressioni sopra siano precalcolati, cioè già disponibili in memoria, per calcolare il k-esimo coefficiente X k sono necessarie N o moltiplicazioni complesse e N o -1 addizioni complesse.

23 Complessità di calcolo della DFT (2/3) Considerando che 1 moltiplicazione complessa = 4 moltiplicazioni reali + 2 addizioni reali 1 addizione complessa=2 addizioni reali quindi, sono necessarie per ogni k-esimo coefficiente: 6N o +2(N o -1)=8N o -2 operazioni il numero complessivo di operazioni da compiere per calcolare la trasformata discreta di Fourier (TDF) di una sequenza periodica di periodo N o è: N TDF ( ) = (8 2) = Possiamo notare che la complessità di calcolo (o computazionale) della trasformata discreta è di tipo quadratico nell ordine N o di trasformazione.

24 Complessità di calcolo della DFT (3/3) ESEMPIO: Microelaboratore con F clock =100 MHz (cioè 100 milioni di operazioni al secondo) Sequenza x[n] di periodo N o =2 10 =1024 il tempo necessario per effettuare il calcolo della DFT è pari a: T N0 = N TOT f clock = 80 ms Supponiamo adesso che la sequenza venga generata campionando un segnale analogico x(t) a frequenza f c =1/T c. Per poter operare in tempo reale si deve utilizzare una frequenza di campionamento tale che f c T N = 12.8 khz Ricordando la condizione di Nyquist, questo risultato rappresenta un vincolo sulla banda B del segnale da elaborare.

25 Fast Fourier Transform (FFT) (1/3) L algoritmo veloce di calcolo della trasformata discreta consente un deciso miglioramento della velocità di elaborazione. Sfruttando particolari simmetrie insite nei fattori esponenziali complessi della trasformata stessa si può infatti ridurre la complessità computazionale. L algoritmo di FFT fu pubblicato nel 1965 da Cooley e Tukey; a questa data si fa risalire la nascita della moderna elaborazione numerica dei segnali. Supponiamo di avere N o =2 M X k = 2 1 m= 0 x[ 2m]e 2π 2m j ( )k x[ 2m +1]e m=0 2π 2m +1 j ( )k = x[ 2m]e j 2πkm 2 m=0 P k e j 2πk 2 1 x[ 2m +1]e j 2πkm 2 m = 0 D k k = 0,K, 1 la trasformata di ordine N o è espressa come combinazione lineare di due trasformate di ordine N o /2.

26 Fast Fourier Transform (FFT) (2/3) Il numero di operazioni N FFT (N o ) necessario a calcolare la trasformata di ordine N o secondo questo nuovo criterio può allora essere espresso in maniera ugualmente ricorsiva sulla base di questa scomposizione: N FFT ( ) = N FFT 2 + N FFT 2 + 6N avendo tenuto conto del fatto che, per ogni valore di k, è necessario moltiplicare per un esponenziale complesso (precalcolato, 6 operazioni reali) e quindi effettuare la somma con (2 operazioni reali). Questo procedimento di scomposizione può essere poi ripetuto in modo ricorsivo ottenendo: N FFT ( ) = log 2 8 log 2 Il rapporto tra il numero di operazioni necessarie nei due casi è pari a: N TDF N FFT ( ) ( ) = log 2 = log 2

27 Fast Fourier Transform (FFT) (3/3) Con riferimento all esempio precedente, se si usa il medesimo elaboratore per calcolare una FFT di ordine 1024, si otterrà un tempo di calcolo inferiore a quello prima calcolato del fattore / log 2 = 1024 / Come già detto, gli stessi algoritmi utilizzati per il calcolo veloce della trasformata discreta possono essere anche utilizzati per il calcolo della antitrasformata, poiché le relazioni di trasformazione e di antitrasformazione sono formalmente identiche, a parte l inessenziale costante moltiplicativa, e l altrettanto ininfluente segno dell argomento degli esponenziali.

28 Analisi spettrale di una sequenza x[n] aperiodica basata su FFT (1/4) Si desidera effettuare l analisi spettrale di una data sequenza aperiodica x[n] attraverso il calcolo della relativa trasformata di Fourier: X f + ( ) = x[ n] n= e j 2πnfT Problema: nelle applicazioni reali non si hanno a disposizione tutti i valori della sequenza x[n], ma solo i valori in un intervallo finito, diciamo [0, N-1]. Inoltre, ad esempio nel caso di una sequenza vocale, in base al valore di N si parla di analisi spettrale a breve (NT=10 30 ms) o lungo termine (NT=qualche minuto). Vedremo che non è possibile calcolare la trasformata per gli infiniti valori della variabile f in un periodo, ad es. nell intervallo [0,1/T], ma ci si accontenterà di ottenere il valore della trasformata per un numero finito di punti normalmente equispaziati nell intervallo [0, 1/T]. Immaginiamo dunque di periodicizzare la sequenza data con periodo N o =N: [ ] = x[ n mn] y n + m=

29 Analisi spettrale di una sequenza x[n] aperiodica basata su FFT (2/4) Dalla relazione di campionamento in frequenza si ha: Y k = 1 k X k = 0,1, K, N 1 T Poiché y[n] è una sequenza periodica, possiamo calcolarne la trasformata discreta di Fourier Y k per k=0,..,n-1, mediante un algoritmo veloce. Pertanto dalla relazione precedente si ricava: X k NT = N Y k k = 0,1, K, N 1 Siamo cioè riusciti a calcolare la trasformata di Fourier X(f) in N punti, e precisamente per le N frequenze equispaziate nell intervallo [0,1/T]: f k = k NT k = 0,1, K, N 1 La distanza tra una frequenza e la successiva è pari a =1/NT e quindi la risoluzione in frequenza è pari a 1/ =NT.

30 Analisi spettrale di una sequenza x[n] aperiodica basata su FFT (3/4) ESEMPIO Calcoliamo lo spettro della sequenza aperiodica x[n] di figura. Essa ha durata finita e pari a N=3. x[n] n Effettuando una periodicizzazione si ottiene la sequenza periodica y[n] di periodo N=3: y[n] n

31 Analisi spettrale di una sequenza x[n] aperiodica basata su FFT (4/4) La trasformata di Fourier originaria è: X ( f) = x[ 0]+ x[ 1]e j 2πfT + x 2 della sequenza [ ( )] [ ]e j 2π 2 ft = e j 2πfT 1 + cos 2πfT il cui generico periodo [0, 1/T] è rappresentato nella seguente figura: _ X(f) _ 3 Y k 1/3T 2/3T 1/T Frequenza Utilizzando il metodo appena descritto, si usa una trasformata discreta di ordine 3 e si ricavano i 3 campioni della trasformata per le frequenze: f k = 0,1 3T, 2 3T

32 Zero-padding o riempimento con zeri (1/2) Per migliorare la risoluzione o accuratezza della trasformata di Fourier di una sequenza finita di valori, è possibile usare per il parametro N o un valore maggiore della durata della sequenza N. In particolare, aggiungendo N o -N zeri si ottiene una sequenza di periodo N o che nel periodo base vale: y[n] = x[n] 0 n N 1 0 N n 1 La nuova risoluzione in frequenza è pari a N o T avendo ancora una volta: X k T = N 0 Y k = 0,1, K, N k 0 1 Se si fa crescere il valore del parametro N o, ossia si aggiungono molti campioni nulli aumentando l ordine della FFT, si aumenta la risoluzione dell analisi spettrale della sequenza x[n] aperiodica e di durata finita originaria.

33 Zero-padding o riempimento con zeri (2/2) ESEMPIO Ripetiamo il calcolo dell esempio precedente, stavolta però con zero-padding fino a N o =8, ovvero aggiungendo 5 valori nulli alla sequenza originaria: y[n] n _ X(f) _ Y k Frequenza normalizzata, ft

34 Convoluzione veloce basata su FFT Si considerino due sequenze aperiodiche (per semplicità causali) a durata finita pari a N. La convoluzione (lineare) tra le due sequenze per definizione è data da: z[ n] = x[ n] y n + [ ]= x[ m] y[ n m] = x m m = N 1 m= 0 [ ] y[ n m] Si dimostra che la complessità della convoluzione di sequenze di durata N calcolata secondo la definizione è: N conv (N) = 2N 2 2N +1 2N 2 Una procedura alternativa, basata su FFT, per il calcolo della convoluzione è la seguente: Si dimostra che, in questo caso, la complessità è: N conv,fft (N) 12 / 2 log 2 ( / 2) 12N log 2 (N) che per N>32 è inferiore al caso precedente.

35 Riassunto caratteristiche dei segnali tempo-frequenza Tempo Frequenza x(t) X k t Segnale a tempo a tempo continuo continuo periodico periodico periodico x(t) Spettro discreto aperiodico X(f) k t Segnale a tempo continuo aperiodico Spettro continuo aperiodico f x[n] X (f) n Segnale a tempo discreto aperiodico Spettro continuo periodico f x[n] X k n Segnale a tempo discreto periodico Spettro discreto periodico k