Figura 7: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 15

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1 Figura 7: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 15

2 Casi Possibili B= La lancetta indica il Blu V= La lancetta indica il Verde R= La lancetta indica il Rosso Figura 8: B, V, R sono ugualmente possibili? Ritieni che P (B) =P (V )=P (R) = 1 3? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 16

3 Figura 9: Casi possibili giudicati ugualmente possibili? E i = La lancetta indica il settore circolare i i =1, 2,...,10 G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 17

4 Consideriamo un dado come in figura. Si lancia una volta il dado. Supposto che sia uscito un quadrato qual è la probabilità che la figura sia scura? Figura 10: G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 18

5 Proposizioni logiche, eventi L analisi di situazioni e problemi reali spesso comporta l esame di fatti e aspetti incerti, che potranno successivamente risultare veri o falsi. Nell esame di un problema aleatorio si possono distinguere sostanzialmente due aspetti: uno in cui si applica la logica del certo ed un altro, successivo, in cui si applica la logica del probabile. I fatti incerti sono formalizzati (in modo non ambiguo) mediante proposizioni logiche che possono assumere il valore Vero oppure Falso. Una proposizione o a ermazione logica si indica con il termine di evento, che si può definire come un entità logica a due valori: vero (V )ofalso(f ). In una prima fase, avendo un informazione incompleta in relazione al fissato esperimento aleatorio, si analizzano i fatti incerti individuando l insieme delle eventualità possibili (detto anche insieme dei casi elementari, o insieme dei casi possibili, o insieme dei costituenti). Di tali casi uno e uno solo risulterà vero. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 19

6 Eventi In astratto, l insieme dei casi possibili potrà essere rappresentato con uno spazio e ogni caso elementare sarà rappresentato con un punto di. Allora, ogni fissato sottoinsieme E di rappresenta un evento, indicato con lo stesso simbolo, che sarà vero oppure falso a seconda che il risultato dell esperimento, ovvero il caso elementare che si verifica, corrisponde ad un punto che appartiene oppure no ad E. Due eventi particolari sono: l evento certo, rappresentato dall insieme, che risulta sicuramente vero; l evento impossibile, rappresentato dall insieme vuoto ;, che risulta sicuramente falso. Gli eventi si indicano di solito con le lettere maiuscole: A, B,..., E, H,... Dato un evento E, si definisce Indicatore di E la seguente quantità E = ( 1 se E è vero, 0 se E è falso. Notare che si ha: =1, ; =0. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 20

7 Negazione. L evento contrario o negazione di un evento E è l evento che è vero quando E è falso ed è falso quando E è vero. L evento contrario di E si indica con il simbolo E c.utilizzando gli indicatori si ha che E c =1 E. E c = ( vero falso se E falso, se E vero. Figura 11: Negazione Esempio 4 Supponiamo di fare 4 lanci di un dado. E = Esce almeno 2 volte il numero 6. E c = Esce al più una volta il numero 6, G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 21

8 Operazioni e relazioni logiche Implicazione. Un evento A implica un altro evento B se quando è vero A segue che è vero anche B. In simboli si scrive A B. A B equivale alla disuguaglianza A apple B. A B Ω Figura 12: A B Esempio 5 Supponiamo di fare 4 lanci di un dado. A = Esce almeno una volta il numero 2. B = Esce almeno una volta un numero pari. Si ha A B. Uguaglianza. Due eventi A e B si dicono uguali se ognuno dei due implica l altro, cioè se A B e B A. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 22

9 Unione. L unione o somma (logica) di due eventi A, B è l evento che è vero quando almeno uno dei due eventi è vero ed è falso quando sia A che B sono falsi. Si indica con A _ B oppure A [ B. Esempio 6 Lancio di un dado. A = Esce il numero 1 o il numero 2, B = Esce il numero 2 o il numero 3, A _ B = Esce uno dei seguenti numeri 1, 2, 3. Proprietà Unione: associativa : (A _ B) _ C = A _ (B _ C) =A _ B _ C; commutativa : A _ B = B _ A. Osservazioni: A _ = ; A _;= A ; A _ A = A ; A _ A c =. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 23

10 Intersezione L intersezione (logica) o prodotto (logico) di due eventi A, B è l evento che è vero quando entrambi gli eventi sono veri ed è falso quando almeno uno dei due eventi A, B è falso. L evento intersezione di A, B si indica con A^B, oppure A\B, opiù semplicementeab. Esempio 7 Lancio di un dado. A = Esce il numero 1 o il numero 2, B = Esce il numero 2 o il numero 3, AB = Esce il numero 2. Proprietà Intersezione: associativa : (A ^ B) ^ C = A ^ (B ^ C) =A ^ B ^ C. commutativa : A ^ B = B ^ A. Osservazioni: A ^ = A ; A ^;= ; ; A ^ A = A ; A ^ A c = ;. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 24

11 Incompatibilità Due eventi A, B si dicono incompatibili se non possono essere entrambi veri, cioè se AB = ;. Esempio 8 Lancio di un dado. Sia A = Esce il numero 2 e B = Esce un numero dispari si ha AB = ;. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 25

12 Proprietà degli indicatori: AB = A B ; A _ B = A + B AB, con A _ B = A + B nel caso in cui AB = ;. Altre proprietà: AB A A _ B, AB B A _ B, ( AB apple A apple A _ B ) ( AB apple B apple A _ B ) Proprietà distributive : (A _ B) ^ C = AC _ BC, (A ^ B) _ C =(A _ C) ^ (B _ C). Formule di De Morgan : (A _ B) c = A c ^ B c ; (A ^ B) c = A c _ B c. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 26

13 La corrispondenza tra i valori logici di due eventi A, B equellidiab e A _ B è riportata nella Tabella 2. Utilizzando gli indicatori: A B AB A _ B V V V V V F F V F V F V F F F F Tabella 2: Tavola di Verità (Intersezione e Unione di due eventi) A B AB A _ B Tabella 3: Tavola di Verità degli indicatori Intersezione e Unione G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 27

14 De Morgan A B (A _ B) c A c ^ B c (A ^ B) c A c _ B c V V F F F F V F F F V V F V F F V V F F V V V V Tabella 4: Tavola di Verità delle leggi di De Morgan Calcolare la tavola di verità per l evento A c _ B nel caso in cui A B. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 28

15 Diagrammi di Venn. Consentono una rappresentazione geometrica degli eventi, utile per esaminare le relazioni e operazioni logiche. '$ AB &% '$ C D &% Eventi certo impossibile contrario implicazione incompatibili unione intersezione Insiemi universo vuoto complementare inclusione disgiunti unione intersezione Tabella 5: Corrispondenza tra insiemi ed eventi. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 29

16 Richiami di calcolo combinatorio Esempio 9 Tre località A, B, C sono collegate nel seguente modo : per andare da A a B vi sono 3 percorsi distinti : p 1,p 2,p 3 ;dab a C vi sono 2 percorsi distinti : s 1,s 2. '$ A &% p 1 p 2 p 3 '$ B &% s 1 s 2 '$ C &% I percorsi distinti (per almeno un tratto) che vanno da A a C passando per B non sono 3+2,ma3 2=6, cioè i seguenti : (p 1,s 1 ), (p 1,s 2 ), (p 2,s 1 ), (p 2,s 2 ), (p 3,s 1 ), (p 3,s 2 ). Il principio della moltiplicazione interviene spesso nel calcolo combinatorio. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 30

17 Nell Esempio 9 la scelta di un percorso richiede l esecuzione di una procedura in due passi, con un certo numero di alternative in ogni passo: 1. si sceglie il tratto da A a B (3 alternative); 2. si sceglie il tratto da B a C (2 alternative); il numero di modi in cui si può svolgere l intera procedura è pari al prodotto delle alternative in ogni passo (3 2=6). Ogni percorso corrisponde ad una coppia ordinata (p i,s j ), i =1, 2, 3; j =1, 2. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 31

18 Disposizioni In generale, dato un insieme S formato da n oggetti a 1,a 2,...,a n,puòessereutile contare, per un intero r, ilnumerodidisposizioni o gruppi ordinati distinti ( 1,..., r ), con i 2 S, i =1,...,r, che si possono formare utilizzando gli elementi di S. Due gruppi ordinati di eriscono se contengono almeno un elemento diverso oppure se contengono gli stessi elementi ma in ordine diverso. Per scegliere un gruppo ordinato si esegue una procedura di r passi. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 32

19 Disposizioni Disposizioni con ripetizione. Le componenti 1,..., r possono essere (in parte o anche tutte) coincidenti. In questo caso si parla di disposizioni con ripetizione di classe r di n oggetti. Le alternative in ogni passo sono sempre n; pertanto, in base al principio della moltiplicazione visto nell Esempio (9), indicando con D 0 n,r il numero di disposizioni con ripetizione si ha D 0 n,r = n n = nr. (1) Disposizioni semplici o senza ripetizione. Se i 6= j,peri 6= j. In questo caso si parla di disposizioni semplici o senza ripetizione (di classe r di n oggetti) e dev essere ovviamente r apple n. Indicando con D n,r il numero di disposizioni senza ripetizione si ha D n,r = n(n 1) (n r + 1). (2) In particolare, per r = n si ha n r +1=1, da cui segue : D n,n = n (n 1) 2 1=n!. (3) G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 33

20 Permutazioni Il numero di disposizioni di n oggetti di classe n, cioèd n,n, si indica con P n,erappresenta il numero di permutazioni o ordinamenti di n oggetti. P n = n! l simbolo n! si legge nfattorialee rappresenta il prodotto di tutti i numeri da 1 sino a n. Ad esempio : 3! = 3 2 1=6; 5!= = 120. Per convenzione si pone 0! = 1. La definizione di n! può esser data in forma ricorsiva: n! = ( n (n 1)! se n 2 N 1 se n =0. (4) Inoltre : n! D n,r = n(n 1) (n r + 1) = (n r)!. (5) Ad esempio : D 5,2 =5 4= 5! 3! ; D 10,4 = = 10! 6!. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 34

21 Combinazioni Consideriamo per l insieme S = {a 1,a 2,...,a n } il calcolo del numero di gruppi non ordinati distinti [ 1,..., r ], dove i 2 S, i = 1,...,r, che si possono formare utilizzando gli elementi di S. Due gruppi non ordinati si dicono distinti se di eriscono per almeno un elemento. Distinguiamo due casi: i 6= j,sei 6= j. In questo caso si parla di combinazioni semplici (di classe r di n oggetti) e dev essere ovviamente r apple n. Ogni combinazione semplice rappresenta un sottoinsieme di r oggetti di S e si indica con il simbolo { 1,..., r }. le componenti 1,..., r possono essere (in parte o anche tutte) coincidenti. In questo caso si parla di combinazioni con ripetizione (di classe r di n oggetti). G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 35

22 Combinazioni Semplici. Il numero di combinazioni semplici si indica con il simbolo C n,r e rappresenta il numero di sottoinsiemi distinti di r oggetti che si possono formare con gli elementi di S. Osservando che ogni combinazione semplice dà luogo ad r! disposizioni semplici (distinte per l ordine), segue: D n,r = r! C n,r, equindi: Il simbolo n r C n,r = D n,r r! si legge coe n r segue che C n,r = C n,n r. = n! r!(n r)! = n r. (6) ciente binomiale n su r. Ovviamente essendo: = n n r = n! r!(n r)!, G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 36

23 Esempio Si ha 2 0 = 2! 2!0! =1 n 0 = n! n!0! =1 n n = n! 0!n! = = 90! 6!84! = ! 6!84! Un altra formula utile è la seguente : n r = n 1 r 1 ovvero: C n,r = C n 1,r 1 + C n 1,r.Infattisiha + n 1 r, n n! (n r + r) (n 1)! = = = r r!(n r)! r!(n r)! r(n 1)! = (r 1)!r(n r)! + (n r)(n 1)! r!(n r)(n r 1)! G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 37

24 Esempio 10 (Ambo nel Gioco del Lotto) Si vuole valutare la probabilità dell uscita di un fissato ambo (ad es. 1,10).Poichè non interessa l ordine con il quale compaiono gli elementi della cinquina l insieme dei casi possibili che possono essere giudicati ugualmente possibili è 90 costituito dalle cinquine che si possono formare con 90 numeri. il loro numero è 5. 1 Pertanto la probabilità di ogni cinquina è. I casi favorevoli all evento uscita ( 90 5 ) dell ambo sono le cinquine che assieme ai numeri 1 e 10 contengono altri tre interi compresi tra 1 e 90. Il loro numero è pari a La probabilità cercata è data da p = = Si sarebbe pervenuto allo stesso risultato se avessimo considerato come casi possibili le disposizioni di 90 numeri in 5 posti (in numero pari a !) e come casi favorevoli le cinquine ordinate in cui compaiono i numeri 1 e 10 (in numero pari a ! ). G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 38