A.S. 2013/2014 CLASSE 1B

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1 A.S. 0/0 CLASSE B Progrmm svolto In riferimento i testi Leonrdo Ssso "Mtemtic colori - edizione lu, Alger vol., ed.petrini Ascri, Morzenti, Vlsecchi L geometri del pino e le trsformzioni, vol. ed.sn Mrco ) Numeri nturli e numeri interi Gli insiemi numerici N e Z operzioni e proprietà. Numeri primi, M.C.D. e m.c.m, potenze con esponente nturle e loro proprietà, espressioni numeriche, prolemi in N e in Z. ) Numeri rzionli Le frzioni e numeri rzionli. L insieme numerico Q. Numeri decimli finiti e periodici. Proporzioni e percentuli. Potenze con esponente intero negtivo. Espressioni e prolemi in Q. I numeri irrzionli e i numeri reli. ) Logic Le impliczioni logiche. Forme equivlenti per l impliczione logic (condizione necessri e sufficiente). Impliczione invers. Alcune forme di rgionmento modus ponens e modus tollens. I quntifictori. ) elzioni Il concetto di relzione. ppresentzioni di un relzione. Proprietà delle relzioni. elzioni di equivlenz e d ordine. Il concetto di funzione, funzione invers, prodotto di funzioni, funzione iunivoc (nche grfici) ) Monomi e polinomi I monomi e i polinomi. Le operzioni e le espressioni con i monomi e i polinomi. M.C.D. e m.c.m. fr monomi. I prodotti notevoli. Le funzioni polinomili. Il teorem del resto e il teorem di uffini. ) L scomposizione in fttori e le frzioni lgeriche L scomposizione in fttori dei polinomi rccoglimento fttor comune e rccoglimenti przili, scomposizioni medinte i prodotti notevoli, scomposizione del trinomio di secondo grdo, scomposizione medinte l regol di uffini. M.C.D. e m.c.m. fr polinomi. Le frzioni lgeriche condizioni di esistenz e semplificzione. Le operzioni con le frzioni lgeriche. Semplificzione di espressioni con frzioni lgeriche. 7) Equzioni lineri Clssificzione delle equzioni; dominio e soluzioni di un equzione. Le equzioni equivlenti e i principi di equivlenz. isolvere equzioni numeriche, intere e frtte. Utilizzre le equzioni per rppresentre e risolvere prolemi.

2 8) Enti geometrici, primi ssiomi e teoremi Il metodo dell geometri. ette prllele e secnti, ssiom di Euclide. Fsci di rette. Semipini e reltivo ssiom. Insiemi convessi e concvi. Angoli. ) Trsformzioni geometriche, isometrie Trsformzioni geometriche. Invrinti e elementi uniti di un trsformzione. Trsformzioni involutorie. Assiom dell distnz. Isometrie e loro proprietà. Lunghezz del segmento e mpiezz di un ngolo. 0) Confronto e operzioni tr segmenti e ngoli Confronto e operzioni tr segmenti. Confronto e operzioni tr ngoli. Angoli prticolri. ) Proprietà dell simmetri ssile ette perpendicolri e ssiomi di perpendicolrità. Asse di un segmento. Distnz di un punto d un rett, proiezioni e olique. Simmetri ssile e proprietà. ) Appliczioni dell simmetri ssile Poligoni e tringoli. Lti, vertici digonli di un poligono, ngolo interno, ngolo esterno. Poligono equiltero, poligono equingolo, poligono regolre. Luogo geometrico. Asse del segmento come luogo geometrico. Circocentro di un tringolo. Bisettrice dell ngolo come luogo geometrico. Incentro di un tringolo. Proprietà del tringolo isoscele. Semplici costruzioni geometriche con rig e compsso. Applicre teoremi già cquisiti nell dimostrzione di nuovi teoremi. Bergmo, giugno 0 MATEMATICA CLASSI B A.S. 0/0 LAVOO ESTIVO Il presente file contiene. Indiczioni di lvoro suddivise per fsce di profitto. Schede di lvoro, numerte d, che costituiscono il mterile che verrà utilizzto nei corsi di recupero estivi

3 . Allegti, numerti d, contenenti esercizi e riferimenti i testi utilizzti durnte l nno Il lvoro è oligtorio per tutti, secondo le indiczioni. Se qulche esercizio cresse qulche prolem, riportre il testo e lscire lo spzio vuoto per lo svolgimento segnlndo in reve perché non si riesce risolverlo. iportre un eventule svolgimento, nche se errto. ] Studenti con sospensione del giudizio Si ricord che tli studenti, per essere mmessi ll clsse successiv, dovrnno sostenere prim dell inizio del prossimo nno scolstico un prov d esme (secondo il clendrio che verrà comunicto sul sito) consistente in un prov scritt e un orle, in cui verrnno verificte si le conoscenze che le ilità opertive. Per l preprzione ll esme si rccomnd di seguire il corso di recupero orgnizzto dll scuol o un equivlente intervento guidto individule. Le schede d vnno stmpte e portte l corso di recupero. Gli esercizi svolti l corso stesso e i reltivi compiti svolti ndrnno poi portti in sede di esme settemre. Questo vle nche per chi non si vvlesse dei corsi. Per eventuli ulteriori esercitzioni si possono utilizzre nche gli esercizi indicti negli llegti d. ] Studenti promossi, i quli però è stto comunicto il permnere di lcune in mtemtic Le schede d costituiscono, nche per costoro, un percorso guidto per colmre le lcune residue. In occsione dell prim lezione di mtemtic, dovrnno consegnre ll insegnnte il quderno con il lvoro svolto. Le prove di ingresso ll clsse successiv, che srnno somministrte nche l resto dell clsse e vlutte come verifiche del qudrimestre, permetternno di ccertre l vvenuto recupero di tli lcune. ] Studenti promossi con voto Dovrnno svolgere gli esercizi indicti negli llegti d. A titolo fcolttivo potrnno poi vvlersi delle schede d per gli rgomenti sui quli ritengno di doversi meglio consolidre. Questo vle nche per gli ulteriori esercizi indicti nell llegto. ] Studenti promossi con voto mggiore o ugule 7 Dovrnno seguire le indiczioni contenute nell llegto All'inizio dell nno scolstico verrà considerto come prerequisito irrinunciile per tutti l conoscenz di - definizioni - proprietà delle operzioni fr numeri e fr polinomi - proprietà degli insiemi - proprietà delle relzioni - enunciti degli ssiomi e dei teoremi studiti, dimostrzione dei teoremi studiti INDICAZIONI DI LAVOO Prim di inizire fre gli esercizi si rileggno (per quell rgomento) le spiegzioni del liro di testo, rileggendo nche eventuli esempi di esercizi svolti. Per geometri è prticolrmente importnte ripssre e memorizzre tutti i contenuti (definizioni, ssiomi, teoremi). Ci si può iutre nche utilizzndo le schede rissuntive del testo e svolgendo le prove di utovlutzione e l simulzione di verific (si ricordi che in fondo l testo si possono trovre le soluzioni).

4 Sched n di lger Tempo 0 Dt Clsse Nome Contenuti Insiemi. Impliczioni logiche Contenuti minimi Insiemi e loro rppresentzioni Sottoinsiemi Operzioni fr insiemi unione, intersezione, differenz, complementre, prodotto crtesino Appliczioni ppresentre per elenczione, crtteristic, digrmmi di Venn Utilizzre correttmente i simoli di inclusione ed pprtenenz, insieme vuoto, insieme universo Determinre gli elementi di tli insiemi Proposizioni mtemtiche Invers, contrri, controinvers di un impliczione Quntifictori Costruire tli proposizioni Utilizzre i quntifictori ESECIZIO] icord che un insieme può essere fornito per elenczione dei suoi elementi, per crtteristic, trmite digrmmi di Venn. Dti i seguenti insiemi, fornisci per ciscuno le rppresentzioni mncnti. A B C,,,7,8 N n nn 0 Z - D,,,,,... 8 E Z n nn n ESECIZIO icopi più volte il digrmm in figur e color gli insiemi elencti, indicndo per ciscuno l operzione con cui si ottengono prtire dgli insiemi A, B, C. Color l insieme delle persone che prticno. l pllvolo e il nuoto. il clcio o l pllvolo c. l pllvolo m non il nuoto d. il clcio o l pllvolo, m non entrmi e. nessuno dei tre sport Modific il digrmm dell figur in modo d rppresentre l situzione in cui nessuno prtic tutti e tre gli sport e tutti coloro che giocno clcio prticno nche nuoto.

5 ESECIZIO Nel periodo delle elezioni dei rppresentnti di clsse, in un clsse di lunni si sono cndidti studenti Ann, Betrice, Cristin. Tutti gli lunni sono presenti. Ogni lunno dell clsse può votre nche più di un cndidto. Allo spoglio dei voti risult che due schede sono inche non ci sono schede nulle schede indicno tutti e tre i nomi 8 schede indicno solo Ann schede indicno solo Betrice schede indicno solo Ann e Betrice schede indicno solo Betrice e Cristin schede indicno solo Ann e Cristin Qunti hnno votto solo Cristin? E chi srnno i due rppresentnti di clsse eletti? (7; Ann e Cristin) ESECIZIO7 Scrivi in form simolic le seguenti proposizioni perte utilizzndo il quntifictore opportuno. Indic poi il vlore di verità delle proposizioni.. Ogni numero nturle è minore del suo successivo.. Tutti i qudrti sono positivi. c. Ci sono numeri rzionli che sono uguli l loro reciproco. d. Non esistono numeri interi il cui cuo è ugule. ESECIZIO Trscrivi le proposizioni. Se smette di piovere vdo in piscin.. E necessrio che ritorni il sole ffinché i pomodori mturino. c. Solo se sono iscritto ll cors posso greggire. d. E sufficiente non presentrsi ll esme per non superrlo. nelle forme equivlenti Se llor.. Condizione sufficiente. Condizione necessri Solo se. COMPITO ESECIZIO Ci sono persone in un stnz. Di queste, prlno frncese, prlno inglese, e non prlno né frncese né inglese. Qunte persone nell stnz prlno si frncese che inglese? ESECIZIO Si s che in un città di confine l popolzione prl il tedesco o il frncese e che il 70% dell popolzione prl il tedesco mentre il 0% prl il frncese. Qule percentule di popolzione conosce entrme le lingue? ESECIZIO Scrivi in linguggio verle le seguenti proposizioni e indic il loro vlore di verità. Z Z 0 Z 0 Q NOTA BENE Per l prossim volt ripss i contenuti dell prossim sched

6 Sched n di lger Dt Clsse Nome Tempo 0 Contenuti elzioni insiemi numerici Contenuti minimi elzioni e loro rppresentzione Proprietà delle relzioni. elzioni d equivlenz e d ordine. Appliczioni Utilizzre diverse rppresentzioni Clssificre relzioni in un insieme Introduzione gli insiemi numerici isolvere semplici prolemi numerici ESECIZIO Un relzione può essere rppresentt medinte digrmm sgittle o grfico crtesino. Delle seguenti relzioni definite tr gli insiemi A ;;;;7 e B ;;, illustr tutte le possiili rppresentzioni, indic poi Dominio e Condominio.. ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;. e sono pri c. 0 ESECIZIO Studi le proprietà delle seguenti relzioni, stilisci poi quli fr le relzioni sono di equivlenz, per queste individu le clssi di equivlenz, o quli sono d ordine, per queste individu se sono d ordine stretto/lrgo, totle/przile.. In A 7,,,0, se e solo se h un numero di cifre minore di quello di. Nell insieme degli studenti del tuo liceo, essere nti nello stesso nno o nello stesso luogo c. Nell insieme degli studenti del tuo liceo, essere nti nello stesso nno e nello stesso luogo d. Nell insieme B Z, 0 e. Nell insieme delle persone presenti in quest stnz, se e solo se è venuto scuol con lo stesso mezzo di trsporto di f. In un insieme di persone, ver prnzto lmeno un volt insieme. ESECIZIO] Dopo verne disegnto un grfico (sgittle o crtesino), stilisci se le seguenti corrispondenze definite dll insieme A ll insieme B sono o no funzioni. In cso ffermtivo stilisci se è un funzione iunivoc. A,,,,e B 0,,,8,,. A,,,e B,,0,7 c. A,,,e B, 0,7, =-, = +, = + ESECIZIO] Individu fr le seguenti le ffermzioni Vere e le ffermzioni Flse. Motiv le Vere e costruisci un controesempio per quelle Flse. L differenz dei qudrti di due numeri è ugule l qudrto dell loro differenz. L opposto del qudrto di un numero è il qudrto dell opposto del numero stesso c. Il reciproco dell somm di due numeri è ugule ll somm dei reciproci dei due numeri d. Il prodotto dei cui di due numeri è ugule l cuo del prodotto dei due numeri e. Il doppio del vlore ssoluto di un numero è ugule l vlore ssoluto del doppio del numero f. L somm dei vlori ssoluti di due numeri interi è mggiore l vlore ssoluto dell somm dei due numeri g. Il quoziente di due numeri uguli è sempre h. Se il risultto di un potenz è negtivo, il suo esponente è dispri i. Se il risultto di un potenz è positivo, il suo esponente è pri j. Se si moltiplic per un qulunque numero, si ottiene un risultto negtivo ESECIZIO] Dimostr che per moltiplicre un qulsisi numero nturle per, st moltiplicrlo per 0 e sommrgli il suo doppio. Anlogmente dimostr che per qudruplicre un qulsisi numero nturle st rddoppirlo due volte. Quli proprietà hi utilizzto?

7 COMPITO ESECIZIO ppresent con un grfo le seguenti relzioni e studine le proprietà. Nell insieme A, 8,, 7,,, 8,. essere formti dlle stesse cifre (nche in ordine diverso) Nell insieme delle espressioni C, 7,, 8,,, essere equivlente (cioè vere lo stesso risultto) c. Nell insieme D 00, 0, 00, 88, 0, 0 vere lo stesso numero di cifre, 0, ESECIZIO7 Verific che in N l relzione vere ugule l cifr delle unità è un relzione di equivlenz. Stilisci quli e qunte sono le clssi di equivlenz che si costruiscono. ESECIZIO8 Dto l insieme A, Δ considerne l insieme delle prti P(A). In tle insieme si può definire l relzione di inclusione. Dimostr che è un relzione d ordine przile e disegnne il grfo. ESECIZIO In un clsse di 7 lunni, l medi dei voti nell ultimo compito di mtemtic è stt,. L medi dei voti delle rgzze è stt 7. Qul è l somm dei voti di tutti gli lunni? Qul è l somm dei voti di tutte le rgzze? Qul è l medi dei voti dei soli rgzzi? 0 ESECIZIO0 Se 8 n, qunto vle n? (USA Universit of South Crolin, 00) NOTA BENE Per l prossim volt ripss i contenuti dell prossim sched

8 Sched n di lger Dt Clsse Nome Tempo 0 Contenuti Gli insiemi numerici Contenuti minimi L insieme dei numeri nturli N Potenze e loro proprietà; MCD e mcm L insieme dei numeri interi Z Potenze e loro proprietà L insieme dei numeri rzionli Q Ordinmento ppresentzione decimle Potenze e loro proprietà Operzioni con i numeri rzionli Appliczioni Semplificre espressioni nei tre insiemi Clcolre MCD e mcm isolvere prolemi in N, Z, Q ESECIZIO] Semplific le seguenti espressioni, utilizzndo qundo possiile le proprietà delle potenze e specificndo quli proprietà sti utilizzndo ESECIZIO] Scomponi in fttori i seguenti numeri nturli, nche utilizzndo le proprietà delle potenze. Clcol i MCD e i mcm richiesti c d 0.. MCD(,c)=.. MCD(,,c)=.. mcm(,c)=.. mcm(,c)=.. ESECIZIO] Semplific le seguenti espressioni, utilizzndo qundo possiile le proprietà delle potenze e specificndo quli proprietà sti utilizzndo

9 . ESECIZIO] Semplific le seguenti espressioni in Q, utilizzndo qundo possiile le proprietà delle potenze e specificndo quli proprietà sti utilizzndo ESECIZIO] Stilisci se le seguenti ffermzioni sono vere o flse 7 ; ; - ; - ; - ; ESECIZIO] Scrivi le frzioni genertrici dei seguenti numeri decimli (l prte in prentesi rppresent il periodo). 0.() 8.() 0.(0) () 7.() 7.().0 7.().().().().() ESECIZIO7] Confront o ordin tr loro i seguenti numeri decimli () 7.() ; 0.(0) ; 0.0() ()...8.(0).0() ; 0.(00) ; 0.0(0) ; 0.00()... ESECIZIO8] Fr i prtecipnti d un convegno il 0% sono mschi; il 0% dei mschi e il % delle femmine sono l di sotto dei 0 nni. Qul è l percentule complessiv dei prtecipnti l di sotto dei 0 nni? (7%) ESECIZIO] Mri h cquistto un liro, scontto del %, l prezzo di euro e 0 centesimi. Dopo ver letto delle pgine del liro, legge delle pgine rimnenti e questo punto le restno d leggere ncor 0 pgine. Determin il prezzo del liro prim dello sconto (prezzo di copertin) Il numero di pgine complessivo del liro L percentule che rppresent il numero di pgine che restno d leggere Mri rispetto l numero di pgine complessivo 8 euro, pgine, % ESECIZIO0] Semplific le seguenti espressioni COMPITO

10 . ESECIZIO] Ordin in senso crescente i seguenti numeri rzionli ;.(); - 0.; 0 ; -.; 0.(); -.(); ESECIZIO] Dividi il prodotto tr il cuo di e il qudrto di per il qudrto di 7. Aggiungi l risultto il cuo di, quindi dividi l somm ottenut per. ESECIZIO] Semplific le seguenti espressioni ESECIZIO] Il rpporto fr le ree di due rettngoli è. Trov l ltezz del secondo rettngolo spendo che h l se di 0 cm e che il primo rettngolo h i lti lunghi cm e cm. ESECIZIO] In un ziend il % del personle è costituito d impiegti, il 0% d tecnici specilizzti e infine ci sono 7 operi. Qunti sono gli impiegti e qunti i tecnici? NOTA BENE Per l prossim volt ripss i contenuti dell prossim sched

11 Sched n di lger Dt Clsse Nome Tempo 0 Contenuti Gli insiemi numerici Il clcolo letterle monomi, operzioni con i polinomi. Contenuti minimi L insieme dei numeri rzionli Q Operzioni con i numeri rzionli Monomi e polinomi definizioni vrie Operzioni con i monomi MCD e mcm di monomi Operzioni con i polinomi (ddizione e moltipliczione) Prodotti notevoli (somm per differenz, qudrto del inomio e del trinomio, cuo del inomio) Appliczioni Semplificre espressioni nei tre insiemi Clssificre e determinre il grdo di monomi e polinomi Semplificre espressioni Clcolre MCD e mcm Semplificre espressioni ESECIZIO] Semplific le seguenti espressioni in Q ESECIZIO] Complet z in form normle è. ; il coefficiente numerico è ; il grdo complessivo è.. il grdo rispetto è.., rispetto.., rispetto z., rispetto t Dto il monomio, scrivi un monomio simile. il monomio opposto. un monomio con lo stesso grdo. è un polinomio di grdo.. e i suoi termini sono.. Scrivi un trinomio omogeneo di qurto grdo.. e il suo opposto.

12 Ordin il polinomio di grdo.. rispetto d.. rispetto d.. ESECIZIO Clcol 0.. ESECIZIO Per ogni coppi di monomi, scrivi tre divisori comuni e il MCD. Monomi Divisori comuni MCD 8 z c ; ; 7 c d ESECIZIO Per ogni coppi di monomi, scrivi tre multipli comuni e il mcm. Monomi Multipli comuni mcm 8 z c ; ; 7 c ESECIZIO] Complet d c

13 ESECIZIO7] Clcol c c c c c. ESECIZIO8] In un tringolo ABC, l ltezz reltiv d AB è di AB. Indic con l misur di AB e con l re di ABC ed esprimi in funzione di. Se rddoppi l re rddoppi? 0,, no, qudruplic COMPITO ESECIZIO] Semplific le seguenti espressioni ESECIZIO0] Clcol c 8 c c c c

14 ESECIZIO] In un trpezio rettngolo ABCD, l se mggiore AB misur e l ltezz AD è del lto oliquo BC. Indic con l misur di BC e stilisci quli vlori può ssumere. Indic con il perimetro del trpezio ABCD; esprimi in funzione di. Stilisci per quli vlori di il perimetro di ABCD è ugule 0. NOTA BENE Per l prossim volt ripss i contenuti dell prossim sched

15 Sched n di lger Dt Clsse Nome Tempo 0 Contenuti Il clcolo letterle operzioni con i polinomi. Scomposizione di polinomi in fttori. Contenuti minimi Divisione fr polinomi egol di uffini, teorem del resto Appliczioni Eseguire divisioni fr polinomi Applicre regol di uffini e teorem del resto ccoglimento totle ccoglimento przile iconoscimento di prodotti notevoli Trinomio prticolre, monico e non monico Somm e differenz di cui Metodo di uffini MCD e mcm fr polinomi Scomporre polinomi trmite l cominzione dei vri metodi Determinre MCD e mcm SECIZIO] Determin quoziente e resto delle seguenti divisioni, pplicndo l regol di uffini. Q ; ESECIZIO Senz eseguire le divisioni, clcol il resto pplicndo il teorem del resto..

16 ESECIZIO] Scomponi in fttori i seguenti polinomi (rccoglimento totle e przile) c m n - m n - m n m n ESECIZIO] Scomponi in fttori i seguenti polinomi ( + riconoscimento di prodotti notevoli) ESECIZIO] Scomponi in fttori i seguenti polinomi (trinomio prticolre) ESECIZIO] Scomponi in fttori i seguenti polinomi (metodo di uffini) ESECIZIO7] Trov MCD e mcm fr i seguenti polinomi. ; ;. 8; ;

17 . ; ; 0 COMPITO ESECIZIO8 Determin quoziente e resto delle seguenti divisioni, pplicndo, se possiile, uffini. Q ; ESECIZIO] Scomponi in fttori ESECIZIO0] Trov MCD e mcm fr i seguenti polinomi. ; ;. 8 ; ;. ; 0 7; NOTA BENE Per l prossim volt ripss i contenuti dell prossim sched

18 Sched n Dt Clsse Nome di lger Tempo 0 Contenuti Frzioni lgeriche. Contenuti minimi Frzioni lgeriche Operzioni con le frzioni lgeriche Appliczioni Determinzione delle C, frzioni equivlenti, semplificzione di frzioni Semplificzione di espressioni ESECIZIO] Complet ) ) ) ) ) ESECIZIO] Semplific le seguenti frzioni lgeriche, dopo ver determinto le C ESECIZIO] Indic con e due numeri reli e scrivi l espressione lgeric che corrisponde ll seguente frse dividere l somm dei reciproci dei due numeri per il qudrto dell somm dei due numeri e moltiplicre il risultto ottenuto per l somm dei cui dei due numeri. Determin il dominio (CE) dell espressione e semplificl. Determin il vlore che ssume l espressione per =- e =-. CE 0, 0, ESECIZIO] Semplific le seguenti espressioni. icordti di determinre le C 0; ;

19 . m m m m m m - m m m m ESECIZIO] Semplific le seguenti espressioni.. 8 COMPITO ESECIZIO] Complet ) ) ) ) ) ) ESECIZIO7] Semplific le seguenti frzioni lgeriche, dopo ver determinto le C. ; ;

20 ESECIZIO8] Semplific le seguenti espressioni z - z z z z z z + z z + z z z ESECIZIO] Semplific le seguenti espressioni. -. NOTA BENE Per l prossim volt ripss i contenuti dell prossim sched

21 Sched n 7 di lger Tempo 0 Dt Clsse Nome Contenuti Equzioni numeriche intere e frtte di primo grdo. Prolemi Contenuti minimi Equzioni e loro soluzioni Principi di equivlenz Equzioni numeriche intere e frtte di primo grdo Equzioni letterli intere e frtte di primo grdo Prolemi con equzioni di primo grdo Appliczioni Forme normli e verific delle soluzioni Determinzione delle soluzioni di un equzione Discussione di un equzione letterle e determinzione dell soluzione isoluzione di prolemi lgerici e geometrici con equzioni di primo grdo ESECIZIO Trov per ciscun equzione l su form normle, il grdo e verific che i vlori finco indicti sono soluzioni dell equzione... c. ESECIZIO isolvi in le seguenti equzioni numeriche.. S c. S 0; d. 8 e. S ESECIZIO] isolvi i seguenti prolemi con equzioni di primo grdo. Un rockstr nell su tourneè nnule h rccolto nei suoi ultimi concerti spetttori, rddoppindoli ogni concerto. In qunti hnno ssistito ll ultimo concerto?

22 . L età di un mdre super di 8 nni l somm delle età delle due figlie e l età dell figli mggiore è i dell età dell sorell. Determin le loro età spendo che fr due nni l età dell mdre srà il triplo di quell dell figli mggiore.. Un segmento è diviso in due prti tli che di un è ugule i 7 dell ltr. Spendo che l intero segmento è lungo cm 0, determinre le lunghezze delle due prti.. In un rettngolo i dell se superno di 7 cm l ltezz; determin perimetro e re del rettngolo, spendo che l somm dei dell se con i dell ltezz è 8 cm.. Cinque mici, Aldo, Bruno, Crlo, Drio ed Enzo uniscono le loro forze in denro per relizzre un git domenicle Bruno dà i di quello che h dto Aldo, Crlo i di quello che h dto Bruno, Drio l metà di quello che hnno dto Bruno e Crlo insieme, Enzo dà euro. All fine si contno 0 euro qunto h dto ciscuno? ISULTATI ; 0;. cm; cm. cm; 0 cm. Aldo euro, Bruno 8 euro, Crlo 0,00 euro, Drio,0 euro COMPITO ESECIZIO isolvi in le seguenti equzioni, discutendo se necessrio. 7. S

23 S ESECIZIO] isolvi i seguenti prolemi con equzioni di primo grdo. Miscelndo un soluzione A contenente il 0% di lcol e un soluzione B contenente il 0% di lcol, si vogliono ottenere dieci litri di un soluzione C contenente il % di lcol. Qule quntità di ciscun delle due miscele A e B si devono utilizzre?. In un clsse le ore complessive di itlino e di mtemtic sono ll settimn. In un giorno di ssenz dell insegnnte di mtemtic, le sue due ore di lezione sono stte condotte dll insegnnte di itlino e così l clsse quell settimn h ftto un numero di ore di itlino qudruplo rispetto quelle di mtemtic. Qunte ore di mtemtic e di itlino sono previste per quell clsse ll settimn?. Determin l misur degli ngoli di un tringolo spendo che il primo è del secondo e che il terzo ngolo super di l metà del secondo.. Aumentndo il lto di un qudrto di cm l su re ument di 7 cm. Clcolre il lto del qudrto.. In un fmigli l età del pdre super di nni quell dell mdre e, fr nni, srà il triplo di quell del figlio. Spendo che tutti e tre insieme oggi hnno 08 nni, qul è l età di ciscuno dei tre?. In un numero di due cifre l cifr delle unità super di quell delle decine. Scmindo le cifre, il numero che si ottiene è 8 del numero inizile. Qul è questo numero? 7. Il resto, il quoziente e il divisore di un divisione sono tre numeri consecutivi. Se si scmino tr loro il quoziente e il resto, il dividendo diminuisce di. Quli sono le due divisioni? 8. Nel mgzzino di un negozio di rticoli per mini ci sono fr tricicli e iciclette e si contno 8 ruote qunti sono i tricicli e qunte le iciclette?. Se pro il ruinetto e chiudo lo scrico, l vsc d gno vuot si riempie in minuti; se poi chiudo il ruinetto e pro lo scrico, l vsc d gno si vuot in minuti. Se pro il ruinetto e lo scrico, in qunto tempo si vuot l vsc pien? 0. Ho litri di cqu oric l % per diluirl l % qunt cqu devo ggiungere? ISULTATI., litri di soluzione A e, litri di soluzione B. ; 0. 7 ; 0 ;. cm. pdre nni, mdre, figlio nni e 7 8. tricicli e iciclette. 0 minuti 0. litri NOTA BENE Per l prossim volt ripss i contenuti dell prossim sched

24 Sched n 8 Dt Clsse Nome di geometri Tempo 0 Contenuti scrittur in simoli; teoremi su rette prllele e perpendicolri; definizione di simmetri ssile e su ppliczione su disegni. Contenuti minimi Enti geometrici e loro costruzione Scritture in simoli Assiomi Teoremi su rette prllele e rette perpendicolri Teoremi su distnze e olique Definizione di simmetri ssile Appliczioni ppresentre grficmente situzioni geometriche Trdurre scritture geometriche dl linguggio verle l linguggio simolico e vicevers Semplici dimostrzioni con l utilizzo di questi teoremi Costruzione grfic di figure simmetriche; individuzione degli ssi di simmetri di un figur ESECIZIO] Complet l figur con le ulteriori costruzioni indicte e l tell con il linguggio mncnte. DE A Costruisci l sse s di EA che intersec il segmento in M; costruisci l isettrice dell ngolo che intersec r in F; costruisci il punto medio N di DC; prolung ED dll prte di E di un segmento EG congruente d ED Linguggio verle Linguggio simolico D pprtiene ll rett I punti D, P, C sono llineti DE // r AB ed r si intersecno in un punto s è sse di EA è isettrice dell ngolo DE A S s E A EM MA MEA

25 DE è perpendicolre d I segmenti AB ed ED non hnno punti in comune

26 ED ed EG sono dicenti e congruenti DC P pprtiene DC m non è il suo punto medio Le rette ed r sono perpendicolri e si intersecno in P Le rette DE e CB sono prllele e non coincidenti N è punto medio di DC ESECIZIO] Complet l tell in relzione i segmenti disegnti in figur, utilizzndo i teoremi sull distnz di un punto d un rett e sulle olique. ) Complet Distnz di A d r BC ; Olique d A su r BC ; ; Distnz di P d r AC ; Olique d P su r AC ; ; Distnz di P d r BA ; Distnz di B d r PD ; Olique d B d r PD ;. ) Complet ffermzione spiegzione AC<AB PA<AB PA>PD AB>PC

27 c) Disegn l distnz di D d r; l distnz di D d r BC ; l proiezione ortogonle di B su r; l proiezione ortogonle del segmento PC su r BA. ESECIZIO] Nell esercizio seguente rppresent l situzione con un disegno scrivi tutte le ipotesi e le tesi in simoli, dimostr le tesi. Complet inoltre dove richiesto. AB C Dto un tringolo isoscele ottusngolo ABC di se BC, trcci l isettrice dell ngolo (esiste ed è... per......) che incontr AC in D. D D trcci l perpendicolre BC (esiste ed è.. per.. ) che incontr l se in E. D A trcci l ltezz AH e d B l ltezz BK (con HBC e Kr AC ). Infine d K trcci l prllel DE (esiste ed è.. per.. ) che intersec l se BC in F. Dimostr che. AH e DE sono prllele. BD > DE c. KF < BD d. l rett KF è perpendicolre ll se del tringolo e prllel ll rett AH Disegno Ipotesi Tesi.. c. d. Dimostrzione

28 ESECIZIO] Esegui le simmetrie indicte (copi tre volte il disegno sul quderno) Disegn l immgine di ABC in S CD Disegn l immgine di BCD in S AC Disegn l immgine di ABC in S BC Trov l immgine FGHIL di ABCDE nell simmetri di sse r e successivmente l immgine QSTU di FGHIL nell simmetri di sse. ESECIZIO] Individu gli ssi di simmetri di lcuni segnli strdli Segnli di divieto Segnli di oligo

29 Segnli di pericolo Segnli di precedenz COMPITO ESECIZIO] Si O un punto del prolungmento del segmento AB, del qule M è punto medio. Dimostr che OA OB OM ESECIZIO7] Nell esercizio seguente rppresent l situzione con un disegno scrivi tutte le ipotesi e le tesi in simoli, dimostr le tesi. Complet inoltre dove richiesto. Nel pino sino dti un rett r e un punto P che non le pprtiene (esiste perché.). D P trcci un rett s perpendicolre d r (esiste ed è.. per.. ) che l intersec in H. Preso un punto Q di r diverso d H (esiste per ), trcci l rett per P e Q (esiste ed è per ). Si M il punto medio di QH (esiste ed è per....), K l proiezione di H su PQ. Trcci infine d P l rett prllel d r (esiste ed è. per. ) e d Q l rett perpendicolre d r. Dimostr che. PH<PQ e HQ<PQ. PQ<PH+QH c. KH<PM<PQ d. è perpendicolre s e. s è prllel f. e sono perpendicolri e incidenti ESECIZIO8] Fr tutte le lettere in stmptello miuscole dell lfeto individu quelle che hnno un sse di simmetri. ESECIZIO] Esegui le simmetrie indicte e rispondi lle domnde

30 NOTA BENE Per l prossim volt ripss i contenuti dell prossim sched. Disegn l immgine EFGH di ABCD in Sr. Disegn l immgine ILMN di ABCD in S c. Indic quli prti dell figur ottenut nell Sr confermno che (fornisci, se possiile, un esempio per ogni richiest). si conserv il prllelismo fr rette. rette prllele ll sse si trsformno in prllele ll sse. rette corrispondenti si incontrno sull sse. rette perpendicolri ll sse sono unite d. ipeti l esercizio l punto c in riferimento ll figur ottenut nell S.

31 Sched n di geometri Tempo 0 Dt Clsse Nome Contenuti Appliczioni dell simmetri ssile Contenuti minimi Proprietà dell simmetri ssile Proprietà crtteristiche dell sse di un segmento e dell isettrice di un ngolo Appliczioni Dimostrzioni con l utilizzo dell simmetri ssile e delle proprietà reltive Negli esercizi che seguono rppresent l situzione con un disegno scrivi tutte le ipotesi e le tesi in simoli, dimostr le tesi. Complet inoltre dove richiesto. ESECIZIO] Trcci gli ssi di due segmenti AB e BC, consecutivi m non dicenti. Dimostr che i punti A, B, C sono equidistnti dl punto di incontro O degli ssi dei due segmenti. (Il punto O esiste per.. ) ESECIZIO] Trcci gli ssi s e r di due segmenti AB e BC, consecutivi m non dicenti. Indic con M il punto medio di BC e con O il punto d incontro degli ssi. Trcci l isettrice dell ngolo s Ôr indic con P il punto di intersezione fr l isettrice e l rett BC. D P trcci l prllel d AB che incontr s in N. Dimostr che i segmenti PN e PM sono congruenti come pure gli ngoli P Mˆ N e PNˆ M. ESECIZIO] Dto il segmento AB si r il suo sse e O un punto dell sse. Consider un rett r perpendicolre d r non pssnte per O che intersec l rett OA in A e l rett OB in B. Dimostr che r è sse di A B ESECIZIO] Dimostr che se il qudriltero ABCD h l digonle AC isettrice degli ngoli in A e in C, llor le sue digonli sono perpendicolri. AO B ESECIZIO] Trcci l isettrice OC dell ngolo convesso e d un suo punto P trcci l perpendicolre d OP che incontr l rett r OA in M e l rett r OB in N. Dimostr che NOM è isoscele. ESECIZIO] Nel tringolo isoscele ABC si r l sse dell se BC che intersec BC nel punto H. Consider un punto P di r interno l tringolo e sino C e B rispettivmente i punti di intersezione fr l rett CP e AB, e l rett BP e AC. Dimostr che. Gli ngoli A Bˆ C e AĈB sono congruenti. A pprtiene d r; c. BC CB ; d. C B è prllelo BC. ESECIZIO7] Si ABC un tringolo rettngolo in A e AD l ltezz reltiv ll ipotenus BC. Costruisci i punti E ed F simmetrici di D rispetto d AB e d AC. Dimostr che DF è perpendicolre DE e che AF AE. ESECIZIO8] Si ABCD un trpezio rettngolo di se mggiore AB perpendicolre BC. Si r l sse di AB che intersec AB in M. Costruisci il simmetrico A B C D di ABCD nell simmetri ssile di sse AD e indic con M il trsformto di M. Consider un punto P sul prolungmento di AD dll prte di A e il punto E comune r e ll rett AD. Dimostr che

32 . L rett r è perpendicolre ll rett DC. A B e B C sono perpendicolri c. PB e PB sono congruenti d. I segmenti A B e D C sono prlleli e. Le rette BB e CC sono prllele f. Il tringolo EAB è isoscele di se. come pure EAB g. EM<EA h. Il punto E pprtiene ll sse di A B i. r AD è isettrice dell ngolo MEM j. il punto di intersezione fr le rette BC e B C pprtiene ll rett r AD k. Il tringolo MAM è isoscele e MM è perpendicolre d r AD l. D è equidistnte d AB e AB Indicto con H il punto di intersezione fr MM e l rett AD, dimostr che m. AE>MH e deduci che il perimetro di ABE è mggiore del perimetro di AMM ESECIZIO] Si ABC un tringolo isoscele di se AC. Trcci d A le rette r e rispettivmente perpendicolri BC e d AB; trcci d C le rette s e rispettivmente perpendicolri AB e d BC. Indic con F il punto di intersezione fr s e AB, con G il punto di intersezione fr r e BC e con D il punto di intersezione fr e. Dimostr che. i lti del qudriltero AECD sono prllele due due, dove E=rs;. BF e BG sono congruenti; c. I tringoli AGC e AFC sono congruenti; d. L rett ED è sse di AC; e. AEC e ADC sono tringoli isosceli; f. BAG BCE ; g. AC>AD e AC>AG; è possiile confrontre AD e AG?

33 Allegto ESECIZIO] Semplific le seguenti espressioni c c c + c + c + Soluzioni c c ESECIZIO] Semplific le seguenti espressioni fr frzioni lgeriche 8 8 m + m m - m + m m m m m Soluzioni m

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35 ESECIZIO] isolvi le equzioni Numeriche frtte sul liro di testo d pg.8 d 0, 0, 07, 0 ESECIZIO] isolvi i seguenti prolemi Sul liro di testo d pg.7 0,,, 7, 8, 8; pg.0 Sul liro di testo d pg.,,, 7, 8, 8 ESECIZIO] isolvi i seguenti prolemi. All fine di un cmpionto 8 squdre, comprensivo di girone di ndt e di ritorno, un squdr h totlizzto punti. Spendo che l vittori vle punti, il preggio punto e l squdr h preggito un sol volt, qunte vittorie e qunte sconfitte h conseguito l squdr? vinte 0;perse. Un rgzzo perde giocndo i delle sue figurine. Gioc ncor e ne perde di qunte gliene erno rimste. All fine h in tsc 7 figurine. Qunte ne vev ll inizio del gioco?. Per un git scolstic cui prtecip un inter clsse, gli lunni devono pgre euro test. All ultimo momento due lunni non possono prtecipre ll git e quindi il costo deve essere riprtito tr i soli lunni che vi prtecipernno. Si clcol che, visto che i due ssenti non hnno pgto, ognuno deve ggiungere euro ll quot precedentemente stilit. Qunti sono gli lunni dell clsse?. Si vuole suddividere un insieme di 0 persone in tre gruppi, in modo che nel secondo gruppo ci sino persone in più che nel primo, e nel terzo ci sino il doppio delle persone che ci sono nel secondo. Qunte persone ci sono in ciscuno dei tre gruppi? Impossiile. Un ciclist pedl in un direzione 0 km ll or. Un mrcitore prte piedi dllo stesso punto e ll stess or, m v in direzione oppost km ll or. Dopo qunto tempo srnno lontni 0 km? h 0' oppure 0'. Giovnni h in tsc 0 euro in più di Aldo, il qule h l metà dei soldi di Livio, che h il triplo del denro di Tommso. I quttro frtelli decidono di unire tutte le loro sostnze per cquistre un mgli del costo di 87 euro per l loro mmm e non vnzno null. Qunto vev in tsc Aldo?,0euro 7. Il signor ossi h risprmito nello scorso nno il % del suo gudgno e, nel corrente nno, intende umentre di il risprmio precedente e cioè risprmire 800 euro. Qunto h gudgnto il signor ossi nello scorso nno? 0.000euro 8. Trov le età di due frtelli spendo che l loro somm è 0 nni e che fr cinque nni l età del mggiore srà i 7 dell età del minore. Clcol poi qunti nni f l età del mggiore er il doppio dell età del minore? 0 e0;0nnif. Un treno prte d un stzione e viggi ll velocità costnte di 0 km/h. Dopo 80 minuti prte un secondo treno dll stess stzione e nell stess direzione ll velocità di 0 km/h. Dopo qunti km il secondo rggiungerà il primo? 800 km 0

36 Allegto TEOEMI ] Due tringoli isosceli ABC e ABD hnno in comune l se AB e si trovno nello stesso semipino di frontier r AB, con AD<AC. Dimostr che. L isettrice di AC ˆ B pss per D. Sono congruenti gli ngoli C A ˆD, CBˆ D. Il tringolo CEF è isoscele, essendo {E}=ACr BD, {F}=BCr AD. I tringoli ADE e BFD hnno gli ngoli ordintmente congruenti ] Si ABC un tringolo isoscele di se BC; sino, gli ssi dei lti AB, AC e si intersechino in P; sino BK e CH ltezze e si intersechino in Q. Dimostr che. I punti A, P, Q sono llineti. Il tringolo PHK è isoscele. Il tringolo BQC è isoscele. I tringoli APB e APC sono isosceli. Le rette, sono rispettivmente prllele CH, BK. BCKH è un trpezio isoscele 7. AH<AQ 8. AB<AP ] Si ABC un tringolo isoscele di se AB e si O il circocentro. Si M il punto medio di AO ed N quello di OB. Sino OHAC e OKBC, con H, K punti sui lti del tringolo. Dimostr che. Il tringolo OMN è isoscele. Il tringolo OHK è isoscele. H e K sono i punti medi di AC e BC. MNKH è un trpezio isoscele. I tringoli AOC e BOC sono isosceli ] Si ABC un tringolo isoscele di se AB e si T l incentro. Sino P e Q le intersezioni dei segmenti BC e AC rispettivmente con le rette r AT e r BT. Sino, le isettrici degli ngoli esterni in A e B del tringolo, che si incontrno in K. Dimostr che. AB è prllelo PQ. K si trov sull rett r CT. sono isosceli i tringoli CPQ, PQT, TAB. i tringoli QAT e PBT hnno gli ngoli rispettivmente conguenti. TH<PT oppure THPT (distingui in quli condizioni si verificno i due csi), essendo {H}= ABr CT. il punto K h l stess distnz dlle rette contenenti i lti del tringolo ] Dto il tringolo isoscele ABC, prolung i due lti, dll prte del vertice A, di due segmenti congruenti AE ed AD (con AEAB); unisci B con D e C con E e si O il punto di intersezione delle rette r BD e r CE. Essendo M il punto medio di BC, sino H e K l sue proiezioni sui segmenti OB ed OC. Dimostr che. BD è congruente CE. O pprtiene ll rett isettrice dell'ngolo BA^C.. Il qudriltero OHMK h i lti due due congruenti e le digonli perpendicolri. DEKH è un trpezio isoscele. MK<AC

37 ] Si ABC un tringolo isoscele di se AB e si CH un ltezz. Si Q un punto di CH tle che il AQ divid l ngolo C ÂB in due ngoli congruenti. Sino S ed le proiezioni ortogonli di Q su AC e BC rispettivmente; sino M ed N i punti medi di CS e C. Dimostrre che. Il tringolo AQB è isoscele. Gli ngoli Q Ĥ e Q ˆ H sono congruenti. Gli ngoli Bˆ Q e Q Bˆ H sono congruenti. Il qudriltero SNM è un trpezio isoscele Si poi {O}=MNS. Dimostrre che. O, C, H sono llineti Si trccino or le rette r NS e r M, che intersecno l rett r AB in E ed F. Dimostrre che. EH è congruente d HF. 7] Si ABC un tringolo isoscele di se AB e si CH un medin, M ed N i punti medi rispettivmente di AC e BC. Si O l intersezione fr CH e l sse del lto AC. Dimostrre che. Il tringolo ABO è isoscele. Gli ngoli O ĈB e C Bˆ O sono congruenti. I segmenti MN e AB sono prlleli. L rett r ON è perpendicolre BC Si trccino poi d M e N le prllele e rispettivmente d OA e OB, che si intersecno in F e secno i lti AC e BC rispettivmente in ed S. Dimostrre che. C, H, F sono llineti. MNS è un trpezio isoscele. 8] Si ABC un tringolo cutngolo e isoscele di se BC. Indic con AH l ltezz reltiv ll se (con HBC) e indic con L il circocentro del tringolo. Dimostr che. il tringolo ABL è isoscele. LH < LA Prolung i lti AB e AC dll prte di A di due segmenti congruenti AD e AE (con AD<AB). D D e d E trcci le rette s e r rispettivmente prllele d AC e d AB, che intersecno in G ed F l rett BC. Detto O il punto di intersezione delle rette r ed s, dimostr che. AH è isettrice dell ngolo E ÂD. l ngolo L Bˆ A è congruente ll metà dell ngolo E ÂD. D ed E sono simmetrici rispetto ll rett AH. O è un punto dell rett AH 7. DEFG è un trpezio ed è isoscele ] Si ABC un tringolo rettngolo in C e si r l isettrice dell ngolo C ÂB che intersec CB in P. D P conduci l rett perpendicolre d AB che incontr il lto AB in D e il prolungmento del lto AC in E. Si H il punto d intersezione fr CD ed r. Dimostr che. gli ngoli PC^D e PD^C sono congruenti. H è punto medio di CD. AH < AC < AP. gli ngoli B Pˆ D e E Pˆ C sono congruenti come pure CE^P e CB^D. CDBE è un trpezio isoscele. gli ngoli P ÊB e P Bˆ E sono congruenti 7. HD < PB e CD < CB 0] Si ABC un tringolo rettngolo in B e si BH l ltezz reltiv d AC. Costruisci D, punto simmetrico di A rispetto BH. Trcci l sse s dell ipotenus AC e l isettrice dell ngolo BA^C che si intersecno in P. D P conduci l prllel l lto BC che incontr l rett AB in E. Dimostr che i tringoli ABD, PAC, EPM, EAM sono isosceli, dove M = AC s.

38 Allegto Pg.,,0,,,,,8,,,, Pg.8 tutto il test d TEMA A I NUMEI TEMA C- D IL CALCOLO CON LE LETTEE E LE EQUAZIONI Esercizi llegto Esercizio i dispri Esercizio i dispri Esercizio equzioni numeriche frtte sul liro di testo d pg.8 0, 07, 0; Esercizio i dispri Pg.,7,,,7,8,7 Pg. tutto il test d 0 Tutto l llegto GEOMETIA