Analizziamo ora alcuni esempi, al fine di acquisire quel un metodo di ragionamento tipico dell intera teoria della probabilità.

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2 Il calcolo delle probabilità nasce dalla necessità di prevedere l incerto. Inizialmente si sviluppò principalmente per dare risposte a quesiti riguardanti i giochi d azzardo (dadi, carte, ), ove il realizzarsi o meno degli eventi dipende unicamente dal caso. Dall Ottocento in poi il calcolo delle probabilità diventa uno strumento fondamentale nella fisica, nella biologia, nell economia e nelle scienze sociali. Oggi, le teorie dell incerto dominano la vita di ogni essere umano, sempre più teso a prevedere l esito dei più svariati eventi che lo riguardano direttamente: non solo giochi d azzardo, dunque, ma soprattutto eventi naturali (terremoti, alluvioni, ), scelte di tipo economico-finanziario, simulazioni di voli spaziali per studiare la probabilità che un astronave ha di essere colpita da un meteorite, eventi relativi alle nascite e ai decessi, teoria delle assicurazioni (contro le malattie, gli infortuni sul lavoro, gli incidenti stradali, il furto e l incendio, ) e tanti altri eventi simili ai precedenti. Lo strumento aritmetico di supporto indispensabile nell intera teoria della probabilità è proprio il calcolo combinatorio. Per calcolo combinatorio (C.C.) si intende una branca della Matematica che studia i modi di raggruppare ed ordinare oggetti presi da un insieme assegnato, con l obiettivo finale di contare il numero dei possibili raggruppamenti od ordinamenti. Analizziamo ora alcuni esempi, al fine di acquisire quel un metodo di ragionamento tipico dell intera teoria della probabilità. Problema 1): quante parole di tre lettere possono essere scritte utilizzando solo le cinque vocali (es.: aoe, iii, uaa...), supponendo che le vocali possano essere ripetute? Per rispondere a tale domanda pensiamo di scrivere effettivamente tutte queste parole di tre lettere per poi poterle contare. Evidentemente, per evitare confusione, omissioni o ripetizioni, dobbiamo seguire un certo ordine, un certo schema nel mettere giù tutte le parole possibili. A B C 5 possibilità 5 possibilità 5 possibilità Poiché le vocali, in ogni singola parola di tre lettere, possono essere ripetute, otteniamo, in totale, ben 125 possibilità ovvero 5 3 = 125: infatti, 5 sono le vocali a disposizione e 3 è il numero di lettere di ogni singola parola, ovvero per ogni lettera ci sono sempre 5 possibilità, tante quante sono le vocali che possono essere ripetute. 2

3 Sempre in riferimento al problema precedente, possiamo stilare anche un grafo ad albero come il seguente: La stesura del grafo è partita dall idea di considerare innanzitutto le possibilità che abbiamo per la prima lettera della parola; ne segue, allora, che: - per la prima lettera abbiamo 5 possibilità, ovvero quelle elencate in prima colonna (a, e, i, o, u); - ad ognuna di queste 5 possibilità si possono abbinare 5 possibilità per la seconda lettera della parola; - per le prime due lettere, quindi, abbiamo, in totale, 5 5 = 25 possibilità (aa, ae, ai, ao, au; ea, ee, ei, eo, eu; ); - ad ognuna di queste 5 5 possibilità per le prime due lettere, possiamo abbinare 5 possibilità per la terza lettera, per cui in definitiva otteniamo = 125 possibilità (aaa, aae, aai, ). Risposta 1): le parole di tre lettere costruibili utilizzando solo le cinque vocali, anche ripetute, sono

4 Problema 2): quante sono le parole di 7 lettere costruibili utilizzando tutte le 21 lettere dell alfabeto italiano? Risposta 2): le parole di 7 lettere che si possono costruire con le 21 lettere dell alfabeto italiano sono 21 7 (se si calcola questo numero con la macchinetta, si potrà constatare che supera 1 miliardo e 800 milioni). Problema 3): quante parole di tre lettere possono essere scritte utilizzando solo le cinque vocali, che, però, non possono essere ripetute (es.: aoe, uao, aei, ma non iii, uaa, eie,...)? Risposta 3): = 60 Infatti: - abbiamo 5 possibilità per la prima lettera della parola; - a ciascuna di queste 5 possibilità sono abbinate 4 possibilità per la seconda lettera (perché una vocale è stata scelta per la prima lettera e non può essere ripetuta, motivo per cui le vocali rimaste sono 4); - quindi, per le prime due lettere abbiamo 5 4 possibilità; - a ciascuna di queste 5 4 possibilità sono abbinate 3 possibilità per la terza lettera; - dunque, abbiamo possibili parole. Problema 4): quante sono le parole di 7 lettere costruibili utilizzando tutte le lettere dell alfabeto italiano, senza ripetizione, ovvero col vincolo di non utilizzare una lettera più di una volta in una stessa parola? Risposta 4): PRIMO PRINCIPIO GENERALE DEL CALCOLO COMBINATORIO Se una scelta può essere fatta in r modi diversi, per ciascuno dei quali una seconda scelta può essere effettuata in s modi diversi, e, per ciascuno dei modi in cui si sono compiute le prime due scelte, una terza scelta può essere effettuata in t modi diversi, ecc., allora la successione di tutte le scelte può essere compiuta in r s t... modi diversi. (traduzione dal testo americano Introduction to Finite Maths di Kemeny-Snell-Thompson) Problema 5): se 6 persone si vogliono mettere in fila da sinistra a destra (rispetto al fotografo) per una foto di gruppo, in quanti modi diversi possono farlo? Equivalentemente: se 6 persone arrivano contemporaneamente ad uno sportello, in quanti modi diversi possono mettersi in coda? Risposta 5): in totale, le 6 persone possono mettersi in fila (o in coda) in = 6! ( 6 fattoriale ) modi diversi. Infatti: - per scegliere il primo elemento della fila (o della coda), abbiamo 6 possibilità; - in corrispondenza delle precedenti 6 possibilità, abbiamo 5 possibilità per il secondo elemento; abbinate alle precedenti 6 5 possibilità abbiamo 4 possibilità per il terzo elemento; - per ciascuna di queste possibilità abbiamo 3 possibilità per il quarto elemento, ecc...; - dunque, abbiamo proprio possibilità. 4

5 SECONDO PRINCIPIO GENERALE DEL C.C. (CONSEGUENZA DEL PRIMO) Dati n oggetti, essi si possono mettere in fila (o mettere in coda, o mettere in colonna ) in n! ( n fattoriale ) modi diversi, dove il simbolo n! indica il numero n (n-1) (n-2) 3 2 1, ovvero il prodotto dei primi n numeri. Infatti: - per la scelta del primo oggetto della fila abbiamo n possibilità; - a ciascuna di queste n possibilità sono abbinate (n-1) possibilità di scelta per il secondo oggetto della fila; - ad ognuna delle n (n-1) possibilità per i primi due oggetti corrispondono (n-2) possibilità di scelta per il terzo oggetto della fila; -... ; - in totale, quindi, n oggetti possono essere ordinati (o messi in fila, o in coda, o in colonna) in: n (n-1) (n-2) = n! modi diversi. In tutti i problemi precedentemente considerati, pertanto, abbiamo cercato, in sostanza, di pescare da un insieme avente un certo numero k di elementi, nel tentativo di costruire tutte le possibili sequenze di n elementi (in una parola, n-uple ), al fine di riuscire a contare proprio il numero di tali n-uple. Le n-uple, però, andavano pensate ordinate, nel senso che occorreva tenere conto dell ordine con cui gli elementi di una data n-upla si succedevano: due n-uple costituite dagli stessi elementi, posti però in ordine diverso, andavano, infatti, considerate distinte. Ad esempio, nel problema 1) la parola aio è diversa dalla parola oai, pur avendo le due parole le stesse vocali, distribuite, però, in ordine diverso: le due terne (a, i, o) e (o, a, i) sono, cioè, tra loro distinte. Nei problemi analizzati fino a questo momento, quindi, ci siamo occupati di coppie ordinate, o di terne ordinate, ecc., insomma di n-uple ordinate. Una sequenza di n elementi si dice, genericamente, n-upla - ordinata, quando consideriamo importante l'ordine in cui gli elementi si susseguono; tale n-upla è indicata con le parentesi tonde, precisamente (x 1, x 2,., x n ); - non ordinata, quando consideriamo irrilevante, ovvero non importante l ordine; tale n- upla è indicata con le parentesi graffe, precisamente {x 1, x 2,, x n }. In particolare, per n = 2 si parlerà di coppia, per n = 3 di terna, per n = 4 di quaterna, per n = 5 di cinquina, per n = 6 di sestina, per n > 6 di sequenza di 6, 7, 8,... elementi ). Ricapitolando: Due n-uple ordinate sono distinte se hanno gli stessi elementi ma l ordine di tali elementi cambia dall una all altra; ad esempio, risulta: (a, o, i) (a, i, o) La n-upla ordinata, del resto, è stata indicata con le parentesi tonde. Invece, due n-uple non ordinate, che contengono gli stessi elementi, vanno considerate come un unica n-upla, indipendentemente dall ordine nel quale sono scritti gli elementi; ad esempio, risulta: {a, o, i} = {a, i, o} In tal caso, la n-upla non ordinata è stata indicata con le parentesi graffe, ovvero è stata utilizzata la medesima notazione che, in genere, si usa per indicare un insieme: com è ben noto, infatti, in un insieme non conta affatto l ordine che seguiamo nell elencare i suoi elementi. 5

6 Problema 6): una compagnia di 5 ragazzi, Aldo (A), Bruno (B), Carlo (C), Dario (D) ed Ernesto (E), deve passare una notte in una stanza in cui ci sono solo 2 letti. In quanti modi è possibile scegliere i due ragazzi che dormiranno nei letti? Risposta 6): è chiaro che, in questo caso, si tratta di contare il numero di coppie non ordinate che è possibile costruire pescando dall insieme {A, B, C, D, E}, essendo, come risulta evidente, la scelta {C, E} equivalente alla scelta {E, C} (i ragazzi sono gli stessi, per cui le coppie sono non ordinate): le due coppie, cioè, andranno contate una volta sola, contenendo gli stessi elementi, ovvero le medesime persone. Per risolvere il problema posto, e soprattutto per iniziare a familiarizzare con una strategia di pensiero che ci servirà ogniqualvolta avremo a che fare con n-uple non ordinate, procediamo nel seguente modo: immaginiamo di costruire un grafo che ci conduca a scrivere tutte le possibili coppie ordinate di ragazzi; successivamente, prese due coppie ordinate equivalenti (perché contenenti gli stessi due ragazzi, ma in ordine scambiato), le inglobiamo in una sola, ovvero le consideriamo come se fossero una sola coppia. Risulta allora evidente che il numero di scelte possibili sarà dato da (5 possibilità per il 2 primo letto e 4 possibilità per il secondo letto); il fratto 2 è dovuto al fatto che due coppie equivalenti sono prese una sola volta. Problema 7): supponendo che i ragazzi del problema precedente siano 7 (A, B, C, D, E, F, G) ed i letti 3, in quanti modi può essere effettuata la scelta? Risposta 7): utilizzando lo stesso ragionamento precedente, basterà pensare a tutte le terne ordinate di ragazzi e, solo successivamente, raggruppare quelle equivalenti, ovvero contenenti gli stessi elementi. Ma allora, presa una terna ordinata, ad esempio la terna (A, D, E), quante sono le terne ad essa equivalenti? Tali terne sono esattamente tante quanti sono i modi di mettere in fila 3 oggetti fissati, ovvero 3! = 6, avendo incluso anche la terna di partenza, precisamente (A, D, E), (A, E, D), (D, A, E), (D, E, A), (E, A, D), (E, D, A). Dunque, la scelta può essere effettuata in modi. 3! 6 TERZO PRINCIPIO GENERALE DEL C.C. (CONSEGUENZA DEL PRIMO E DEL SECONDO) Se in un certo problema abbiamo considerato inizialmente le n-uple ordinate, ma in realtà ci interessano le n-uple NON ordinate, dobbiamo pensare il nostro elenco di n-uple ordinate ripartito in tanti gruppi, avendo posto in ciascun gruppo tutte le n-uple equivalenti ad una n-upla data (cioè, contenenti gli stessi elementi, se pure in ordine diverso). Abbiamo così tanti gruppi, ciascuno formato da n! n-uple, e ciascun gruppo va contato come se si trattasse di una sola n-upla. È chiaro allora che il numero totale delle n-uple ordinate andrà diviso per n! Il calcolo combinatorio, oltre che a rispondere a domande simili a quelle precedentemente illustrate, costituisce, come accennato inizialmente, anche un indispensabile strumento aritmetico di supporto al Calcolo delle Probabilità, offrendo la possibilità di determinare il numero di eventi possibili (ma anche quelli favorevoli e contrari) che si possono verificare in una prova, ovvero in un esperimento. In definitiva, il Calcolo Combinatorio fornisce quegli strumenti di calcolo utili per determinare quanti raggruppamenti si possono formare con un numero k di oggetti presi da un insieme contenente n oggetti (n k), secondo le modalità seguenti: a) i k oggetti (n > k) possono formare gruppi ordinati, che chiameremo disposizioni; b) i k oggetti (n k) possono formare gruppi non ordinati, che chiameremo combinazioni; c) i k oggetti (n = k) possono formare gruppi ordinati, che chiameremo permutazioni. 6

7 Disposizioni Semplici Consideriamo un insieme A formato da n elementi distinti ed un numero k < n. Si chiama disposizione semplice degli n elementi presi k a k (o disposizione di classe k), e la si indica con D, un gruppo ordinato formato da k degli n elementi dell insieme A in modo che valgano le seguenti proprietà: 1) in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizione, ovvero tutti distinti; 2) due raggruppamenti sono diversi se differiscono per almeno un elemento oppure per l ordine con cui gli stessi elementi si presentano. Problema 8): in quanti modi diversi 4 persone si possono sedere su 3 sedie? Risposta 8): osserviamo, in primo luogo, che n = 4 e k = 3, ovvero è k < n, e le persone formano gruppi ordinati. Ne segue che ci sono 4 possibilità per la prima sedia, 3 per la seconda e 2 per la terza. Le quattro persone, dunque, si possono sedere sulle tre sedie in modi diversi. Generalizzando il problema precedente, possiamo affermare che il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti, di classe k, indicato con il simbolo D ed il l cui valore dipende da n e da k, è uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti dei quali il primo è n, precisamente: Dnk, nn 1n 2... n k 1 Si dimostra, inoltre, che: n! nn 1n 2... n k 1 n k! da cui segue: D n! n k! ove il simbolo n! si legge n fattoriale e non è altro che il prodotto di n numeri interi decrescenti a partire da n; si pone, inoltre, per definizione 0! = 1. Se, ad esempio, vogliamo calcolare D 7,3 nei due modi descritti, otteniamo: D7, ! D7, ! 4321 cioè lo stesso risultato. Le due formule sopra riportate, dunque, sono totalmente equivalenti. 7

8 Disposizioni con Ripetizione Consideriamo un insieme costituito da n elementi distinti ed un numero naturale k, non necessariamente minore di n, ovvero senza alcuna limitazione superiore. Si chiama disposizione con ripetizione degli n elementi presi k a k (o disposizione di classe k), e la si indica con D ', un gruppo ordinato formato da k degli n elementi dell insieme A in modo che valgano le seguenti proprietà: 1) in ciascun raggruppamento figurano k oggetti ed uno stesso oggetto può essere ripetuto fino ad un massimo di k volte; 2) due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell altro, oppure gli oggetti sono diversamente ordinati, oppure gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell altro ma ripetuti un numero diverso di volte. Se riprendiamo, ad esempio, il seguente problema: Problema 1): quante parole di tre lettere possono essere scritte utilizzando solo le cinque vocali (es.: aoe, iii, uaa...), che possono essere ripetute? Risposta 1): osserviamo, in primo luogo, che n = 5, k = 3 e le vocali formano gruppi ordinati. Ne segue che il numero massimo di volte che una vocale può figurare in una parola costituita solamente da tre lettere, è proprio 3. Risulta, dunque: 3 D' Generalizzando il problema precedente, possiamo affermare che il numero delle disposizioni con ripetizione di n elementi distinti, di classe k, indicato con il simbolo D ' ed il cui valore dipende da n e da k, è uguale a k volte il prodotto del numero totale degli elementi cui è costituito l insieme di partenza, precisamente: D' Se, ad esempio, vogliamo determinare quanti numeri diversi di tre cifre si possono formare con le nove cifre significative, trattandosi di disposizioni con ripetizione di 9 elementi della classe 3, otteniamo: 3 D' ,3 n k 8

9 Permutazioni Semplici Dato un insieme di n oggetti, chiamiamo permutazione semplice degli n oggetti, e la si indica con P n, quel gruppo ordinato di elementi che si può formare con tutti gli n oggetti dati (n = k). Ne segue, allora, che due permutazioni semplici differiscono tra loro soltanto per l ordine con cui sono disposti gli n oggetti distinti contenuti nei vari raggruppamenti. Le permutazioni semplici, dunque, non sono altro che disposizioni semplici di n oggetti presi n ad n. Ad esempio, tutti i possibili anagrammi di una data parola, costituita da lettere distinte, sono permutazioni semplici che si ottengono dalla parola data cambiando semplicemente il posto delle lettere. Dalla definizione segue, quindi, che le permutazioni semplici coincidono con le disposizioni semplici di classe n, ovvero il calcolo del numero delle permutazioni semplici è uguale a quello delle disposizioni semplici di n elementi di classe n, precisamente: n! n! Pn Dn, n nn 1n n! n n! 0! cioè il numero delle permutazioni di n elementi distinti è uguale al prodotto dei primi n numeri naturali (escluso lo zero), ovvero, ricorrendo alla definizione di fattoriale, il numero delle permutazioni semplici di n elementi distinti è dato dal fattoriale del numero n, precisamente: P n! n 9

10 Permutazioni con Ripetizione Nel definire le permutazioni semplici abbiamo supposto che gli n elementi dell insieme fossero tutti distinti. Supponiamo ora che di questi n elementi ve ne siano uguali tra loro ( n). Ci proponiamo allora di trovare il numero delle permutazioni degli n elementi che indicheremo con P. n Se consideriamo, ad esempio, la parola ORO, che contiene due lettere uguali, precisamente la vocale O, possiamo osservare che se le lettere della parola data fossero state tutte distinte, allora il numero dei suoi anagrammi (con lettere tutte diverse) sarebbe stato proprio: P3 3! Poiché, però, la parola ORO contiene due lettere uguali, precisamente la lettera O è ripetuta 2 volte, allora i suoi possibili anagrammi distinti sono soltanto tre, cioè: ORO ROO OOR e quindi in numero minore rispetto a P n. Generalizzando l esempio precedente, qualora volessimo calcolare le permutazioni di n oggetti in cui ve ne siano identici fra loro, dovremmo ricorrere alla seguente relazione: Pn n! P n!! Nel nostro caso, quindi, risulterebbe, con n = 3 (le lettere della parola ORO sono 3) ed = 2 (la vocale O è ripetuta 2 volte): 2 3! 321 P3 3 2! 21 Se consideriamo, invece, una parola di n lettere nella quale una lettera è ripetuta volte, un altra volte, ecc. o, più in generale, se consideriamo un insieme di n elementi dei quali alcuni sono uguali tra loro in numero, altri sono uguali fra loro in numero, ecc., allora il numero delle permutazioni distinte, con elementi ripetuti, è dato da:, n! P n!!... Ad esempio, se esaminiamo la parola MATEMATICA, osserviamo che delle 10 lettere che la costituiscono, la lettera M è ripetuta 2 volte ( = 2), la lettera A è ripetuta 3 volte ( = 3) e la lettera T è ripetuta 2 volte ( = 2). Ne segue allora che il numero di anagrammi distinti che si possono costruire con la parola data è paria a: 2,3,2 10! P !3!2!

11 Combinazioni Semplici Consideriamo un insieme A formato da n elementi distinti ed un numero k n. Si definisce combinazione semplice degli n elementi presi k a k (o combinazione di classe k), e la si indica con C, un gruppo non ordinato di k elementi, scelti fra gli n dell insieme dato, in modo che ciascun gruppo differisca dai restanti almeno per uno degli elementi in esso contenuti (l ordine degli elementi, quindi, non conta). Occorre evidenziare, a tal riguardo, la differenza sostanziale fra le disposizioni (semplici) e le combinazioni (semplici): nelle disposizioni si tiene conto dell ordine, mentre nelle combinazioni, al contrario, si considerano distinti solo due raggruppamenti che differiscono almeno per un elemento. Riprendiamo, ad esempio, il seguente: Problema 7): supponendo che i ragazzi del problema precedente siano 7 (A, B, C, D, E, F, G) e i letti 3, in quanti modi può essere effettuata la scelta? Risposta 7): risulta evidente che si tratta di combinazioni semplici con n = 7, k = 3, per cui risulta: 7! D7,3 7 3! 7! 7! 4! C7,3 35 P 3! 3! 7 3! 3!4! 3!4! 3! 6 3 Generalizzando il problema precedente, possiamo affermare che il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k, indicato con il simbolo C, è dato da: da cui: C ! D n n n k n P k k k! n k! k C n! k! n k! ovvero, il numero delle combinazioni di n oggetti di classe k è dato dal quoziente di k fattori interi, consecutivi, decrescenti a partire da n, ed il prodotto di k fattori interi, consecutivi, decrescenti, a partire da k. 11

12 Combinazioni con Ripetizione Consideriamo un insieme A formato da n elementi distinti ed un numero k, non necessariamente minore di n, ovvero senza alcuna limitazione superiore. Si chiama combinazione con ripetizione degli n elementi presi k a k (o combinazione di classe k), e la si indica con C ', un gruppo non ordinato formato da k degli n elementi dell insieme A in modo che valgano le seguenti proprietà: 1) in ciascun raggruppamento figurano k elementi dell insieme dato, potendovi uno stesso elemento figurare più volte fino ad un massimo di k volte; 2) due raggruppamenti sono distinti se uno di essi contiene almeno un elemento che non figura nell altro, oppure gli elementi che figurano in uno figurano anche nell altro, ripetuti, però, un numero diverso di volte. Se consideriamo, ad esempio, l insieme: A = a, b, c allora le combinazioni di classe 2, con ripetizione, sono 6: (a, a) (a, b) (a, c) (b, b) (b, c) (c, c) e le combinazioni di classe 3, con ripetizione, sono 10: (a, a, a) (a, a, b) (a, a, c) (a, b, b) (a, b, c) (a, c, c) (b, b, b) (b, b, c) (b, c, c) (a, c, c) Generalizzando l esempio precedente, otteniamo che il numero delle combinazioni con ripetizione di n elementi di classe k è dato da: Dnk, nk1! C ' P k! n 1! da cui: C ' k nk1! k! n1! Se ora applicando la formula sopra riportata all esempio illustrato, otteniamo: 32 1! 4! 331! 5! C ' 3,2 6 e C ' 3,3 10 2! 31! 2!2! 3! 31! 3!2! 12

13 Coefficienti binomiali e potenza di un binomio Osserviamo che il numero delle combinazioni semplici, C, viene spesso indicato con il simbolo: n k che si legge «n su k» o anche «n sopra k» e che prende il nome di coefficiente binomiale in quanto utilizzato nello sviluppo della potenza di un binomio. Per definizione risulta, quindi: n n! Cnk, k k! n k! Tenendo poi conto del fatto che, per convenzione, si pone 0! = 1, otteniamo le seguenti proprietà fondamentali del coefficiente binomiale: n n! n n! n n! 1 n 1 0 0! n! 1 1! n 1! n n! n n! Ne segue, allora, che il numero delle combinazioni con ripetizione è dato proprio da: nk1 C ' k Parlando di coefficienti binomiali, non si può fare a meno di ricordare, infine, il famoso binomio di Newton, la cui formula, di notevole importanza per l algebra, consente di calcolare la potenza n- esima di un binomio, ovvero tutte le potenze della forma (a + b) n. Partendo, infatti, dalle seguenti ben note relazioni: a b 1 a b a b a 2ab b a b a 3a b 3ab b. ed analizzando il calcolo della generica potenza di un binomio, possiamo constatare che tutti gli sviluppi che si ottengono non sono altro che dei polinomi omogenei e completi, aventi grado uguale all esponente della potenza. Ordinando, quindi, tali sviluppi secondo le potenze decrescenti di uno dei due monomi, notiamo che i loro coefficienti sono i numeri del seguente prospetto, comunemente noto come Triangolo di Tartaglia e che i francesi chiamano Triangolo di Pascal: Per la costruzione del triangolo sopra riportato è sufficiente osservare che ogni riga può essere composta: - riportando, sia all inizio che alla fine di essa, il numero 1; - ottenendo i valori centrali effettuando la somma dei due elementi situati sopra il numero che si vuol determinare. 13

14 Ad esempio, dal precedente triangolo si evince il seguente sviluppo di quarto grado di un binomio, ovvero quello corrispondente alla quinta riga, essendo la prima associata allo zero: a b a b 4a b 6a b 4a b a b a 4a b 6a b 4ab b dove le potenze di a decrescono e le potenze di b crescono. A conclusione, osserviamo, inoltre, che il triangolo di Tartaglia può essere scritto anche in altro modo, tenendo conto, sia dello sviluppo della potenza secondo Newton che, nella sua dimostrazione, utilizza proprio le combinazioni, sia delle proprietà dei coefficienti binomiali, precisamente: