3 CORRENTE ELETTRICA E CIRCUITI

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1 3 ONT LTT UT lessandro ola Descrizione dell esperienza di Galvani Nel 79 il medico bolognese Luigi Galvani nell ambio dello sudio delle azioni eleriche sugli organi animali osservò che occando con uno scalpello meallico i nervi crurali di una rana precedenemene dissecaa menre una macchina elerosaica posa a breve disanza veniva messa in funzione i muscoli risulavano soggei a conrazioni n seguio Galvani verificò che era sufficiene porre a conao araverso un arco meallico i nervi crurali con i muscoli delle zampe della rana per osservare le conrazioni inolre queso effeo risulava più inenso qualora l arco che realizzava il conao era cosiuio da due mealli differeni Da ale fenomeno Galvani dedusse che il nervo agiva come una sora di boiglia di Leyda la cui elericià accumulaa veniva faa circolare araverso l arco bimeallico ale inerpreazione si oppose ola il quale dopo aver riprodoo gli esperimeni di Galvani suggerì che le conrazioni delle rane non fossero dovue ad elericià propria dell animale bensì alla simolazione dei nervi operaa dalla correne elerica prodoa dalla diversià dei mealli cosiueni l arco (effeo ola) n sosanza secondo ola la rana agiva come rivelaore di correne elerica anziché da generaore Nel 796 ola uilizzando un rudimenale srumeno per la misura delle differenze di poenziale rilevò le ensioni che si originano ai capi di coppie di conduori cosiuii da mealli diversi posi a conao ra loro La spiegazione dell effeo ola giunse poco più di ceno anni dopo la sua scopera quando fu inrodoa la meccanica quanisica nerponendo un disco di felro inumidio con una soluzione di acido solforico ra i due conduori uno di rame e l alro di zinco nel 8 ola realizzò la pila elerica il primo generaore di correne elerica non elerosaico Pila di ola 3 orrene elerica e densià di correne onsideriamo il moo non accelerao e con velocià piccole rispeo a quella della luce nel vuoo di un insieme di paricelle doae di carica elerica n ali condizioni possono rienersi valide le leggi dell elerosaica Supponiamo per semplicià che il moo avvenga araverso un conduore filiforme; esaminando una sezione S di ale conduore osserveremo che in un empo d una quanià di carica dq araversa la sezione consideraa Si definisce perano l inensià di correne come: S

2 3- orrene elerica e circuii dq d e si misura in ampere () dove s Se con un opporuno disposiivo si sabilisce ai capi del conduore una differenza di poenziale cosane nel empo a regime ds si osserva che il conduore è sede di una correne cosane che prende il n r v nome di correne sazionaria d d r Una descrizione del moo delle cariche araverso l uso della sola ds v S inensià di correne risula incomplea poiché ale grandezza non d d fornisce alcuna informazione riguardo la direzione ed il verso del flusso delle cariche llo scopo di compleare quesa descrizione consideriamo un conduore di sezione S all inerno del quale il numero di poraori liberi di carica q per unià di volume sia n Sia v d la velocià media di ali cariche (velocià di deriva) Per sabilire la quanià di carica dq che durane l inervallo di empo d araversa una sezione ds consideriamo un volume dτ di base ds n e alezza vd d dove ds n pari a ds cosϑ è la proiezione della sezione ds perpendicolarmene alla direzione di v d e ϑ è l angolo ra ds e v d La quanià di carica che araversa la sezione ds nel empo d è pari alla carica conenua ra un empo e il empo + d nel volume dτ cioè: Sia: dq = nq dτ = nq v d ds = nq v ds d (3) d n d J nqv d (3) allora dalla (3) segue: dq d = d = J ds ; d quindi inegrando sulla sezione S dell inero conduore si ha: = J ds S Perano il flusso del veore J araverso la sezione S fornisce il valore dell inensià della correne araverso la superficie consideraa; il veore J prende il nome di densià di correne Nei mealli le cariche associae alla correne sono gli eleroni così la carica che compare nella (3) è pari a e : J = env d e in queso caso i veori J e v d sono aniparalleli Ne segue che qualora in un conduore meallico la correne scorre in una cera direzione il moo dei corrispondeni eleroni si esplica nella direzione opposa sempio: onsideriamo un conduore di rame di sezione uniforme S pari a cm percorso da una correne di ; sabiliamo la velocià media degli eleroni nell ipoesi che parecipino alla conduzione due eleroni per aomo di rame (33)

3 orrene elerica e circuii 3-3 Siccome una quanià di rame pari al suo peso aomico u 635 espresso in grammi coniene un numero di aomi 3 pari al numero di vogadro N 6 il numero di aomi di rame per unià di volume è dao dalla relazione: 3 N 6 aomi n ρ = g m = aomi m g 635 g u in cui ρ indica la densià del rame così la concenrazione di eleroni di conduzione vale: n = n = eleroni m La densià di correne araverso il conduore è: J = = = 6 S m 6 m così dalla relazione (33) segue: v d 6 J m = = = ne eleroni m ( 94 ) ( 6 ) m s cioè un elerone di conduzione impiega poco meno di 3 minui per percorrere un cenimero di lunghezza nel conduore Un valore così basso della velocià media degli eleroni non deve essere rienuo conraddiorio con la velocià con la quale si propagano le variazioni del campo elerico in seno al conduore che risula essere dello sesso ordine di grandezza della velocià della luce nel vuoo nalogamene in corrispondenza dell applicazione di una pressione ad una esremià di un ubo pieno d acqua un onda di pressione viaggia molo rapidamene lungo il ubo sebbene la velocià con la quale si sposa l acqua denro il ubo è noevolmene inferiore 3 quazione di coninuià onsideriamo un volume racchiuso in una superficie S sooposo ad un flusso di cariche con densià J La carica che passa nell unià di empo araverso S è: i = J ds = J nˆ ds ; S S in paricolare nelle regioni di S in cui il prodoo J nˆ è posiivo risula che una carica posiiva esce da S oppure una carica negaiva enra in S; viceversa J nˆ negaivo indica che in ali regioni una carica posiiva sa enrando oppure una carica negaiva sa uscendo Dal principio di conservazione della carica segue che la carica che araversa nell unià di empo S cioè la correne i è uguale alla variazione nell unià di empo della carica complessiva q in conenua in S: S ˆn J r dq i = J ds = d S in l segno meno è giusificao dal fao che se l inegrale è complessivamene posiivo la carica all inerno diminuisce così dqin d < (e viceversa se l inegrale è negaivo) D alra pare se ρ è la densià di carica inerna a si ha:

4 3-4 orrene elerica e circuii dq d ρ = = ρ = d d in J ds dv dv S ; applicando quindi il eorema della divergenza al primo membro si ha: ρ Jdv = dv ovvero: ρ J + dv= ; dovendo essere valida per qualunque volume da ale relazione segue: ρ J + = (34) Quesa espressione noa col nome di equazione di coninuià esprime in maniera generale il principio di conservazione della carica elerica n condizioni sazionarie la densià di carica ρ è indipendene dal empo così ρ = e di conseguenza: J = (35) che esprime l equazione di coninuià della carica elerica in regime sazionario 33 Legge di Ohm Già nel 77 eccaria si rese cono che non era correo disinguere i corpi semplicemene in isolani e conduori per cui inrodusse il conceo di resisenza elerica per caraerizzare i maeriali in relazione alla loro capacià di condurre più o meno efficacemene il fenomeno elerico eccaria noò inolre che la resisenza è proporzionale alla lunghezza del conduore avendish nel 776 mosrò che collegando le armaure di una boiglia di Leyda a più conduori di diversa resisenza la correne araversa ui i conduori ma in misura maggiore in quelli di resisenza più bassa avendish misurò la resisenza di varie soluzioni acquose e di Georg Simon Ohm alcuni mealli e inolre noò che ale grandezza è indipendene dalla correne Gli sudi sulla conduzione ripresero circa ven anni dopo la cosruzione della pila; nel 87 il fisico edesco Georg Simon Ohm pubblicò un resocono delle misure svole su conduori filiformi araverso le quali aveva sabilio la dipendenza dell inensià della correne dalla sezione e dalla lunghezza dei conduori nolre basandosi su una analogia ra il flusso di calore e quello di correne elerica Ohm giunse alla conclusione che è la differenza di poenziale applicaa ai conduori a deerminare la correne e che quesa varia direamene con la differenza di poenziale e inversamene con la resisenza Solo nel 85 Gusav ober Kirchhoff provò che la differenza di poenziale denominaa da Ohm forza eleroscopica era la sessa inrodoa da Poisson e Laplace

5 orrene elerica e circuii 3-5 onsideriamo un rao di conduore filiforme di lunghezza l e sezione uniforme S percorso da una correne di inensià La misura della differenza di poenziale agli esremi del filo evidenzia l esisenza di una relazione di proporzionalià ra quesa grandezza e la correne : = (36) S l i v = i il coefficiene di proporzionalià è deo resisenza del rao di conduore considerao; ale espressione prende il nome di legge di Ohm n figura è mosrao il simbolo elerico della resisenza Per conduori meallici è indipendene sia da che da ma dipende dalla geomeria del conduore dal maeriale che lo cosiuisce e dalla emperaura n paricolare si verifica che per il conduore filiforme considerao la resisenza è direamene proporzionale alla sua lunghezza e inversamene proporzionale alla sua sezione: l = ρ (37) S dove ρ è la resisivià del conduore L unià di misura della resisenza è l ohm (Ω ) e risula Ω = così la resisivià si esprime in Ω m L inverso della resisenza G = è deo conduanza onsideriamo un conduore meallico reilineo e cilindrico di lunghezza l sezione S e S resisivià ρ Se è la differenza di poenziale applicaa ai suoi esremi all inerno del maeriale sarà presene un campo elerico ale che: l = l D alra pare la correne che percorre il conduore può essere espressa come il flusso del veore densià di correne J araverso la sezione S; assumendo per semplicià che il veore J sia uniforme in corrispondenza dei puni della sezione del conduore si ha: = JS D alra pare dalla relazione (36) risula: l = JS e dalla (37) segue: ovvero: l l = ρ JS S

6 3-6 orrene elerica e circuii = ρ J Sebbene ricavaa in una accezione unidimensionale si prova che ale idenià è valida anche veorialmene nroducendo la conducibilià definia come: σ ρ la relazione precedene si scrive come: J = σ (38) Quesa espressione è da inerpreare come una formulazione di ipo punuale della legge di Ohm in quano assegnao il valore di σ in una daa posizione del conduore fornisce il valore della densià di correne J una vola noo il campo elerico agene in ale posizione Nel 8 il fisico inglese Humphry Davy verificò che la capacià conduiva dei mealli è influenzaa dalla emperaura e in paricolare ale capacià diminuisce all aumenare della emperaura Successivamene furono idenificae moleplici eccezioni a ale legge; ad esempio nel 833 Faraday consaò che nel solfuro d argeno il poere conduore aumena con la emperaura Per la maggior pare dei mealli la dipendenza della resisivià dalla emperaura è espressa araverso una relazione del ipo: ( ) ρ = ρ + α T T dove ρ è la resisivià alla emperaura T ρ la resisivià alla emperaura di riferimeno T in Maeriale esisivià ( Ω m ) oefficiene Termico ( ) rgeno ame lluminio Tungseno Ferro Plaino Grafie * Germanio * Silicio * 6 7 ero 9 - Quarzo fuso Gomma induria 3 - * n quesi maeriali denominai semiconduori la resisivià è foremene condizionaa dalla presenza di impurià nel maeriale genere e α un paramero noo come coefficiene ermico della resisivià Dalla relazione precedene poso ρ ρ ρ e poso T T T segue: ρ α = ρ T Nella abella sono rappresenai i valori della resisivià e del coefficiene ermico per alcuni maeriali Facendo uso della relazione (37) per un conduore di sezione uniforme è possibile scrivere la legge di variazione della resisenza con la emperaura: ( ) = + α T T La dipendenza della resisenza dalla emperaura rova applicazione nella realizzazione di ermomeri di precisione

7 orrene elerica e circuii 3-7 sempio: onsideriamo due conduori cilindrici coassiali di lunghezza L pari a cm e di raggi r e r rispeivamene pari a cm e cm la cui inercapedine è riempia con della grafie di 5 resisivià pari a 38 Ω m Sabiliamo la resisenza r r r corrispondene al flusso di una correne nella grafie per effeo dell applicazione di una differenza di poenziale ra i due L conduori pplicando la legge di Gauss ad una superficie cilindrica concenrica ai due conduori e di raggio r con r < r < r si ricava che il campo elerico nell inercapedine è pari a Q ( πε Lr) dove Q indica la carica presene sul conduore più inerno ed ε la cosane dielerica della grafie La differenza di poenziale ra i due conduori è pari all inegrale di ra r e r ossia Q ( πε L) ln( r r) così il campo elerico può esprimersi come: = r r ln r (39) La densià di correne J nella grafie può essere espressa come S dove è la correne che araversa lo spazio compreso ra i due conduori e S è una generica superficie cilindrica di raggio r ( r < r < r ) e alezza L concenrica ai due conduori: S = π rl così adoperando la relazione (38) la correne vale: π rl π L = SJ = Sσ = = ρ r r r ln ρ ln r r dove si è fao uso delle relazioni (38) e (39) Perano dalla legge di Ohm (36) segue che la resisenza vale : ρ r m m = = = πl r π m 5m 5 38 Ω 5 ln ln 5 Ω (3) 34 araerisiche dei conduori in regime sazionario L equazione (35) che definisce il regime sazionario ha imporani conseguenze Una di quese è che il veore J non ha componeni perpendicolari alla superficie del conduore; infai se così non fosse e J avesse una componene direa come il veore raeggiao di J r J r rova: Moliplicando la relazione (3) per l espressione della capacià del condensaore cilindrico πε L ln( r r ) ρ r πεl = = π L r r ln r ln ρε è possibile dimosrare che quesa idenià lega in maniera generale la capacià e la resisenza del volume compreso ra due conduori si

8 3-8 orrene elerica e circuii figura allora si manifeserebbe localmene un progressivo accumulo di carica e conseguenemene risulerebbe ρ Dalla relazione (38) risula inolre che pure il campo elerico all inerno del conduore non ha componeni perpendicolari alla superficie del conduore onsideriamo un conduore percorso da una correne sazionaria di densià J sia S una superficie chiusa che inerseca il conduore in corrispondenza delle sezioni S e S ; poiché il veore J non ha componeni normali alla superficie del conduore gli unici conribui al flusso di J J r S J r S araverso S provengono dalle sezioni S e S : S J ds = J ds + J ds (3) S S S ma per il eorema della divergenza e dalla (35) si ha: S J ds = J dv= (3) essendo il volume conenuo in S così con riferimeno ai versi indicai in figura siccome J ds è pari alla correne che araversa la sezione S e analogamene J ds è la correne S che araversa S dalla (3) segue: = S Quesa relazione verificaa sperimenalmene da Peer arlow nel 85 afferma che in condizioni sazionarie la correne araverso ogni sezione del conduore è la sessa Tale risulao si presa ad una immediaa generalizzazione al caso di n fili conduori ciascuno percorso rispeivamene dalle correni n che convergono in uno sesso puno deo nodo pplicando la relazione (3) ad una generica superficie chiusa S che racchiude il nodo segue: n k = (33) k = cioè in regime sazionario la somma algebrica delle correni che confluiscono in un nodo è nulla Perano assumendo ad esempio posiive le correni che enrano nel nodo e negaive quelle usceni quesa legge dea legge di Kirchhoff per le correni (o prima legge di Kirchhoff) afferma che la somma delle correni enrani nel nodo è uguale alla somma delle correni usceni 35 Modello della conduzione effeo Joule Dalla evidenza di una proporzionalià direa ra densià di correne in un conduore e campo elerico applicao (38) segue che deve esisere una analoga relazione di proporzionalià ra la velocià v dei poraori nel conduore ed il campo elerico ad esso applicao ; infai dalle relazioni (3) e (38) segue che è possibile esprimere ale velocià come σ ( nq) D alra pare

9 orrene elerica e circuii 3-9 siccome il campo elerico è proporzionale alla forza F agene sui poraori in quano doai di carica necessariamene la velocià dei poraori deve risulare proporzionale a quesa forza cioè si ha F = ( nq σ ) v Da ali considerazioni emerge un apparene conraddizione con la seconda legge della dinamica che afferma che l azione di una forza su di un corpo ne deermina l accelerazione Quindi a differenza delle cariche pose nel vuoo le cariche nei conduori non accelerano soo l azione di un campo elerico Un analogia con ale fenomeno si inconra nello sudio della cadua di un corpo maeriale araverso un mezzo viscoso; per effeo della forza di gravià il corpo inizialmene accelera uavia agendo su di esso anche una forza proporzionale alla velocià la forza di ario viscoso la velocià del corpo non cresce indefiniamene ma da un cero isane in poi divena cosane Nel 9 il fisico edesco Paul Drude formulò un modello del fenomeno della conduzione elerica secondo cui un conduore meallico può essere schemaizzao come un reicolo ionico immerso in un gas di eleroni Per effeo della presenza di impurià nel maeriale che lo cosiuisce ed a causa dell agiazione ermica che sposa coninuamene le posizioni di equilibrio degli ioni del reicolo gli eleroni subiscono numerosi uri cambiando ogni vola direzione in maniera casuale ed assumendo velocià dell ordine di 6 ms Perano in assenza di un campo elerico applicao il flusso neo degli eleroni araverso una qualsiasi sezione del conduore è nullo ll applicazione di un campo elerico si osserva che a ale moo disordinao viene a sovrapporsi un moo più leno degli eleroni nella direzione opposa a quella del campo con velocià media 6 dell ordine di ms L azione del campo Paul Drude su ciascun elerone si esplica di fao ra due uri successivi per cui in ale fase il moo dell elerone può rienersi libero La velocià v dell elerone al ermine di quesa fase che assumiamo abbia duraa pari a vale: e v = v m e dove v è la velocià con cui l elerone è emerso dall uro precedene l valor medio di quesa velocià per ui gli eleroni è: e e v = v v m = m τ e e in cui τ deo empo libero medio è il empo medio che inercorre ra due uri successivi degli eleroni col reicolo Poiché v varia in maniera casuale il suo valor medio è nullo così la velocià media degli eleroni cioè la velocià di deriva è: e v d v = m τ Quindi dalla relazione (33) segue: e r Moo degli eleroni in un conduore secondo il modello di Drude: in assenza di campo elerico (in alo) ed in presenza di un campo elerico (in basso)

10 3- orrene elerica e circuii ne τ J = envd = m e e confronando ale espressione con la legge di Ohm punuale (38) segue: ne τ σ = ; (34) m e quesa relazione indica che la conducibilià di un maeriale aumena sia col crescere del numero di eleroni disponibili alla conduzione che con l aumenare del empo τ poiché in al caso gli eleroni posseggono un empo maggiore per orienare il proprio moo nella direzione del campo elerico l modello di Drude è incompleo in quano assume che l inerazione ra gli eleroni liberi ed il reicolo ionico del conduore meallico si esplichi solo araverso il meccanismo degli uri; di fao esisono alre forme di inerazione spiegae nell ambio della meccanica quanisica che possono essere considerae modificando la relazione (34) nella maniera seguene: nq τ σ = * m in cui m * e q prendono il nome rispeivamene di massa efficace e carica efficace dei poraori di carica che deerminano la conduzione Nel caso esremo come per alcune leghe di uranio l inerazione col reicolo è ale che la massa efficace dei poraori risula essere anche ceno vole superiore a m e menre in alri solidi come nelle eerosruure di arseniuro di gallio la massa efficace è pari ad appena il 7% circa di m Nei maeriali superconduori e in cui al di soo di una cera emperaura criica la correne circola senza resisenza la carica efficace è pari a e n ali maeriali si genera una debole forza araiva ra coppie di eleroni formalmene analoga a quella che lega i due eleroni in uno ione H (un aomo di idrogeno al quale è sao aggiuno un elerone); l origine di queso legame idenificaa nel 957 da John ardeen Leon ooper e John Schrieffer è deerminaa dalle deformazioni locali che si generano nel reicolo ionico di quesi maeriali in corrispondenza del passaggio di un elerone; ale modificazione che permane per un cero empo dal passaggio dell elerone crea una regione di carica posiiva che arae un alro elerone Si forma così una coppia di eleroni (coppia di ooper) che sposandosi araverso il reicolo inconra una minore resisenza di quana ne rovi un elerone isolao iò accade in quano per ue le coppie di eleroni all inerno del maeriale lo sao favorio è quello per il quale l energia è la medesima siccome gli uri con il reicolo deerminano una variazione dell energia dei singoli poraori ali processi sono inibii e le coppie si sposano senza inconrare alcuna resisenza Nei maeriali semiconduori i poraori di carica sono rappresenai sia da eleroni che da alre enià dee lacune la cui carica è pari in modulo a quella dell elerone ma ha segno opposo nfine sudiando la conduzione araverso caene lineari di poliaceilene un polimero dell aceilene sono sai rilevai poraori la cui carica è pari a una frazione di e l modello di conducibilià esé descrio suggerisce l esisenza di un processo di dissipazione energeica inrinseco al meccanismo della conduzione nfai l energia fornia alle cariche araverso l applicazione di un campo elerico non ne deermina l incremeno dell energia cineica che a quano appena viso resa in media cosane osì quesa energia viene di fao rasferia al reicolo ionico cosiuene il conduore araverso gli uri con gli eleroni; ale energia risula quindi dissipaa in calore deerminando l aumeno della emperaura del conduore percorso da correne Queso processo deo effeo Joule fu descrio nel 84 da James Presco Joule e riscopero indipendenemene da Heinrich Lenz due anni dopo n generale la poenza impiegaa da una forza F per imprimere una velocià v d ad un corpo vale F vd perano: James Presco Joule

11 orrene elerica e circuii 3- P = F v = e v e d d dove si è specificao che F è deerminaa dall azione del campo elerico su di un elerone osì se n indica la concenrazione di eleroni di conduzione all inerno conduore la poenza dissipaa per unià di volume è: p = np = en v = J e d in cui si è fao uso della relazione (33) Quesa relazione esprime la legge di Joule in forma locale e p prende il nome di densià di poenza Per un conduore reilineo di sezione S e lunghezza l in cui la densià di correne J è uniforme su S la poenza dissipaa vale: volume del conduore ( )( ) P= pdv= psl = JSl = l JS = che rappresena la legge di Joule per un conduore pplicando la legge di Ohm (36) a quesa espressione risula inolre: = = = (35) P 36 Forza eleromorice legge di Ohm generalizzaa onsideriamo un conduore di resisenza percorso da una correne la differenza di poenziale ai capi di ale conduore si esprime araverso la legge di Ohm come: = dl = ; (36) in paricolare applicando ale relazione ad un circuio chiuso di resisenza complessiva T risula: dl = T ossia per oenere nel circuio una correne è necessaria la presenza di un campo elerico la cui circuiazione è diversa da zero Tale campo non può avere naura elerosaica poiché in al caso risulerebbe dl = quindi all inerno del circuio deve agire un campo elerico di naura non elerosaica Per generaore si inende un disposiivo capace di manenere una differenza di poenziale e quindi un campo elerico ra due puni di un conduore; in figura è mosrao il simbolo di ale componene onsideriamo un circuio in cui un conduore di resisenza è connesso ra i poli di un generaore sui quali è cosanemene presene una differenza di i + - v G =

12 3- orrene elerica e circuii poenziale ossia sono cosanemene accumulae delle cariche di segno opposo l campo elerosaico e generao da ali cariche è direo da a sia nel conduore che nel generaore così: r e r e r e e dl = e dl + e dl = ircuio eserno inerno al generaore al generaore + - r e r * dove il primo addendo della somma è valuao lungo il conduore e l alro nel generaore l campo e quindi non può deerminare il moo all inerno del generaore di una carica posiiva dal polo negaivo a quello posiivo ; ciò suggerisce l esisenza di un campo elerico * di naura non elerosaica agene all inerno del generaore ale che: l campo * * dl = dl + + dl = dl (37) e ( e ) ircuio eserno inerno inerno al generaore al generaore al generaore * è deo campo eleromoore menre: inerno al generaore * dl è dea forza eleromorice doperando ale definizione e la relazione (36) la (37) si scrive: = dl + + dl = eserno al generaore e inerno al generaore * ( e ) = + + dl = + + dl ; * * ( ) ( ) e e inerno inerno al generaore al generaore siccome la correne percorre anche il generaore inroduciamo un alra grandezza caraerisica del generaore la resisenza inerna r ale che: + r (38) inerno al generaore + dl r * ( e ) - così l espressione (38) si scrive: ( ) T = + r = + r = (39) quindi l inensià della correne in seno a ale circuio è daa dalla relazione = + r inolre dalla (36) segue:

13 orrene elerica e circuii 3-3 = = r l valore di può essere sabilio araverso l inerruzione del circuio; in queso modo nel generaore si raggiunge un equilibrio in quano l accumulo di carica sui morsei impedisce uleriori sposameni di carica ne segue che la correne è nulla e perano: = cioè la forza eleromorice è la differenza di poenziale che si rileva ai capi del generaore a circuio apero n figura è mosrao l andameno del poenziale lungo il circuio considerao Siccome l energia poenziale di una carica q è q ale grafico illusra anche l andameno dell energia poenziale di una carica uniaria che percorre il circuio ome si può osservare dal grafico dal puno al puno la carica acquisa un energia q che per effeo della resisenza inerna r perde parzialmene all inerno dello sesso generaore quindi dopo essere passaa araverso la resisenza degrada compleamene la sua energia Se nell espressione (39) moliplichiamo ui i membri per la correne si ha: r r x = + r = ; T quesa relazione che esprime il bilancio energeico in seno al circuio considerao mosra come la poenza erogaa dal generaore di forza eleromorice viene ineramene dissipaa sulla resisenza oale T offera dal circuio onsideriamo il rao di circuio percorso dalla correne mosrao in figura; applicando le regole esé espose si ha: = = r D D ( ) = r r r D ovvero: = = + r D = + r ; D sommando membro a membro quese espressioni si rova: ( ) ( ) + = + r + r Per queso moivo la differenza di poenziale = ai capi della resisenza è anche dea cadua di ensione

14 3-4 orrene elerica e circuii araverso ale relazione è possibile derivare una regola generale per la descrizione dei rai di circuio quindi fissao il verso della correne cioè il verso secondo cui il poenziale elerico diminuisce lungo la resisenza oale + r+ r la forza eleromorice compare col segno posiivo perché la correne enra nel polo negaivo ed esce da quello posiivo al conrario la forza eleromorice compare col segno negaivo in quano la correne enra nel polo posiivo ed esce da quello negaivo infai se il corrispondene generaore agisse da solo farebbe scorrere la correne nel verso opposo a quello scelo n generale possiamo scrivere per un ramo di un circuio ineso come un rao del circuio compreso ra i nodi e la legge di Ohm generalizzaa: n + = k m l k= m= s l in cui n rappresenano i generaori di forza eleromorice preseni nel ramo e sl le resisenze comprese le resisenze inerne dei generaori conenue nel ramo percorso dalla correne l Qualora il circuio è chiuso risula uguale a così dall espressione precedene si oiene la relazione 3 : n r k m l k= l= m= s l = (3) che prende il nome legge di Kirchhoff per le ensioni (o seconda legge di Kirchhoff) 37 ollegameni ra resisori onsideriamo due resisori di resisenza e collegai come mosrao in figura nalogamene al caso dei condensaori quando enrambi i resisori sono sooposi alla sessa differenza di poenziale la connessione è dea in parallelo Le correni che araversano ciascun resisore sono: M N = = Facendo uso della legge di Kirchhoff per le correni in corrispondenza del nodo M si ha: = + così sosiuendo a e il loro valore si ha: 3 l circuio chiuso considerao è cosiuio dall inerconnessione di r rami a ciascuno dei quali compee in generale una correne differene l ; perano al secondo membro occorre sommare le r espressioni cadua di ensione lungo ogni ramo s l m= m l che rappresenano la

15 orrene elerica e circuii 3-5 = + = + = + = dove si è poso: = + + ioè il sisema cosiuio da due resisori collegai ra loro in parallelo è assimilabile ad un unico resisore la cui resisenza è pari al reciproco della somma dei reciproci delle resisenze di ciascun resisore Qualora il sisema sia cosiuio dalla connessione in parallelo di n resisori n la resisenza equivalene del sisema è pari a: n k = k onsideriamo una coppia di resisori collegai come in figura n quesa connessione dea in serie la correne che araversa ciascun resisore è la sessa pplicando la legge di Ohm ad ogni resisenza si ha: = = e sommando membro a membro siccome la differenza di poenziale è pari alla forza eleromorice erogaa dal generaore si ha: ( ) = = + = dove si è poso: = + ioè il sisema cosiuio da due resisori connessi ra loro in serie è equivalene ad un unico resisore la cui resisenza è pari alla somma delle resisenze di ciascun resisore Qualora il sisema sia cosiuio dal collegameno in serie di n resisori n la resisenza equivalene è pari a: n k = k sempio: elaivamene all esempio precedene è possibile valuare la resisenza richiesa con un approccio differene onsideriamo due superfici cilindriche conenue nell inercapedine ra i due conduori concenriche ai conduori di alezza L e di raggi rispeivamene r e r+ dr ; dalla relazione (37) il conribuo del volume di grafie conenuo ra ali superfici al calcolo della resisenza è pari a: dr r r r

16 3-6 orrene elerica e circuii dr d = ρ ; π rl ui quesi elemeni infiniesimi che si oengono al variare di r per r < r < r sono collegai in serie ra loro perano la resisenza oale sarà daa da: r r dr ρ dr ρ r = ρ = π rl π L = r π L r r r ln sempio: (Pariore di ensione) Sabiliamo la differenza di poenziale ai capi della resisenza del circuio di figura Dalla legge di Ohm applicaa alla serie delle resisenze e segue: ( ) = + per cui la correne vale: = + La differenza di poenziale è pari alla cadua di ensione sulla resisenza : = = + l circuio appena descrio deo pariore di ensione consene di oenere a parire da una ensione una più bassa + che prende il nome di rapporo di parizione del faore ( ) sempio: (Teorema del massimo rasferimeno di poenza) onsideriamo un generaore di forza eleromorice e resisenza inerna r collegao ad un carico cosiuio da una resisenza Sabiliamo il valore che deve assumere quesa resisenza affinché si abbia il massimo rasferimeno di poenza dal generaore a ale carico Siccome la correne araverso vale: = r + la poenza dissipaa dal carico è: P = = r ( + ) r Per sabilire il valore di in corrispondenza del quale si ha il massimo rasferimeno di poenza imponiamo che la derivaa prima di P rispeo ad sia nulla: da cui segue: ( r+ ) ( r+ ) ( ) ( ) P r = = 4 3 r+ r+ r 4 P( ) ioè si ha il massimo rasferimeno di poenza dal generaore alla resisenza di carico quando ale resisenza è uguale alla resisenza inerna del generaore; quesa proprieà prende il nome di eorema del massimo rasferimeno di poenza n figura è mosrao il grafico della poenza P al variare di O r

17 orrene elerica e circuii nalisi delle rei eleriche Per ree elerica si inende l inerconnessione di generaori e resisenze; per caraerizzare opologicamene una ree elerica si fa uso dei concei già inrodoi di nodo e ramo Per nodo si inende il puno in cui convergono almeno re conduori i nodi sono collegai ra loro araverso rami coneneni in generale resisori e generaori Un qualsiasi percorso chiuso all inerno di una ree è deo maglia Per analisi o soluzione di una ree elerica si inende la deerminazione delle correni che scorrono in ciascun ramo noe che siano le caraerisiche opologiche e fisiche della ree ale scopo è possibile far uso delle leggi (33) e (3) formulae da Gusav Kirchhoff nel 845: k = (3) k = ; (3) m n l m l n in quesa maniera l analisi di una ree corrisponde alla risoluzione di un sisema di equazioni lineari ffinché ale sisema risuli risolvibile è necessario che le equazioni siano linearmene indipendeni Se la ree ha N nodi e L rami il numero equazioni (3) indipendeni è N poiché l equazione all N esimo nodo può sempre essere oenua come somma delle equazioni relaive a due o più nodi della sessa ree; inolre si prova che il numero di equazioni (3) indipendeni è L N + n quesa maniera è possibile disporre in oale di un numero ( N ) + ( L N + ) pari a L di equazioni indipendeni cioè ane quani sono i rami della ree La risoluzione del sisema formao da L equazioni in L incognie porerà perano alla deerminazione di ue le correni circolani araverso i rami della ree elerica assegnaa osì la soluzione di una ree elerica Gusav Kirchhoff araverso l applicazione delle leggi di Kirchhoff richiede che vengano inizialmene individuae le M maglie indipendeni; a ale scopo ad esempio è possibile scegliere quese maglie in modo che ciascuna abbia almeno un ramo che non fa pare delle maglie scele precedenemene Quindi si aribuisce arbirariamene il verso delle correni araverso ciascun ramo ed un verso di percorrenza per ogni maglia Successivamene con riferimeno ai versi sceli per le correni si scrive l equazione (3) per ciascuno degli N nodi; quindi si scrive l equazione (3) per ciascuna delle M maglie; in paricolare se il generaore di forza eleromorice m è percorso dal verso della maglia dal polo negaivo a quello posiivo è considerao col segno posiivo alrimeni col segno negaivo; inolre qualora nel ramo l esimo la correne l è concorde col verso scelo per la corrispondene maglia l addendo n l è preso col segno posiivo alrimeni col segno negaivo Una soluzione negaiva per le correni è indice del fao che il verso effeivo per la correne nel ramo è opposo a quello arbirariamene sabilio sempio: onsideriamo la ree di figura in cui vale 5 Ω e valgono 3 Ω vale 4 9 Ω vale 5 Ω ed il generaore eroga una forza eleromorice di ; sabiliamo la correne che scorre araverso il ramo D La ree possiede quaro nodi e sei rami per cui si avranno re equazioni ai nodi e re alle maglie ribuiamo dei versi arbirari alle correni in ciascun ramo così come indicao in figura ed assumiamo quale verso per la percorrenza di ciascuna maglia quello orario Scegliendo i nodi e si hanno le segueni equazioni ai nodi: D 6 4

18 3-8 orrene elerica e circuii = 3 6 = 5 = ; 4 6 scegliendo le maglie D D e D si hanno le equazioni alle maglie: = = = ; perano per sabilire il valore della correne occorre risolvere il seguene sisema di sei equazioni in sei incognie: 5 quindi poso: 3 = D Ω si ha 5 = 5 D Si noi che siccome il valore rovao è negaivo il verso della correne è opposo a quello indicao in figura 5 La soluzione di una ree elerica può essere noevolmene semplificaa qualora quesa sia piana ovvero qualora non vi siano rami che si incrociano; una ale ree può essere consideraa come formaa da sole maglie conigue Per la soluzione di una ree con quesa caraerisica si idenificano le maglie indipendeni e si aribuisce a ciascuna di esse una circolazione fiizia di correne (correne di maglia); facendo uso di ali correni si scrive la seconda legge di Kirchhoff per ogni maglia Se la ree presena M maglie conigue e quindi M correni di maglia queso meodo dovuo a James lerk Maxwell compora la redazione di un sisema di M equazioni in alreane incognie che risula perano risolvibile Noe le correni di maglia le effeive correni che percorrono i rami cosiueni la ree si oengono come differenza fra le correni fiizie delle due maglie conigue che hanno in comune il ramo ineressao

19 orrene elerica e circuii 3-9 sempio: on riferimeno all esempio precedene sabiliamo il valore della correne 5 facendo uso del meodo delle correni di maglia Perano associamo arbirariamene delle correni alle maglie indipendeni D D e D così come indicao in figura pplicando la seconda legge di Kirchhoff a ali maglie si ha: ( ) M 5M 3M3= 5M ( ) M 4M3 = 3 M 4 M ( 3 + 4) M3 = 5 M M D M 3 ovvero: M M = M 3 Si noi che in queso caso la marice dei coefficieni è simmerica e inolre l elemeno di poso ii rappresena la somma di ue le resisenze preseni nella i esima maglia e l elemeno di poso ij con i j rappresena la somma cambiaa di segno delle resisenze comuni ra la maglia i esima e la maglia j esima La correne 5 è daa dalla differenza della correne di maglia e la correne di maglia M che valgono rispeivamene: M M = M = perano: 5 = M M 5 5 Malgrado l applicazione delle leggi di Kirchhoff consena in principio la soluzione di qualsiasi ree elerica spesso ale approccio risula nella praica piuoso complesso Sebbene esisano numerosi eoremi relaivi alla soluzione delle rei eleriche che consenono di fare a meno delle leggi di Kirchhoff in quesa sede preseniamo il solo eorema formulao dall ingegnere francese Léon harles Thévenin nel 883 derivao dal principio del generaore equivalene di Helmholz del 853 l eorema di Thévenin afferma che una qualsiasi ree elerica conenene in generale resisori e generaori compresa ra due morsei risula equivalene alla serie di un generaore di forza eleromorice ed una resisenza ; la forza eleromorice rappresena la differenza di poenziale che si misura Léon harles Thévenin

20 3- orrene elerica e circuii ra i due morsei della ree quando quesi sono aperi La resisenza si valua applicando ai due morsei una differenza di poenziale e rovando la correne erogaa dopo aver sosiuio i generaori preseni nella ree con le proprie resisenze inerne risula allora = sempio: lla luce del eorema di Thévenin la ree dell esempio precedene può essere schemaizzaa relaivamene ai morsei e D come mosrao in figura l generaore eroga una forza eleromorice pari alla differenza di poenziale presene ra ali morsei a vuoo ovvero in assenza del resisore on riferimeno allo schema di figura noe le correni 5 e : D 5 5 D = = + 5 Ω + Ω D = = Ω + 9Ω 8 8 D 3 4 D D la ensione è pari alla differenza di poenziale 4 : D = D = + 3D = 5 Ω 8 + Ω 8 4 La deerminazione della resisenza equivalene richiede che il generaore venga sosiuio con la sua resisenza equivalene ovvero essendo ale resisenza nulla che venga sosiuio con un corocircuio 5 ; dopo ale operazione i puni e saranno collegai ra loro perano la resisenza risulerà in parallelo alla resisenza e analogamene la resisenza 3 risulerà in parallelo alla resisenza 4 ; inolre quese coppie di resisenze in parallelo saranno collegae in serie ra loro così come mosrao in figura La resisenza compresa ra i morsei e D vale quindi: 5 Ω Ω Ω 9 Ω 3 4 = + = Ω + Ω Ω + 9 Ω 34 Ω 3 4 D La correne araverso la resisenza sarà quindi: = = Ω + Ω 5 º 3 4 D l di la del vanaggio connesso al minor numero di calcoli necessari a conseguire il risulao si osservi che qualora si debba calcolare la correne 5 in corrispondenza di un alro valore della resisenza facendo riferimeno al circuio equivalene è sufficiene eseguire il solo calcolo finale; viceversa la sessa deerminazione araverso l uso delle leggi di Kirchhoff richiede nuovamene la risoluzione di un sisema di equazioni lineari sempio: (rea di carico) La deerminazione della correne araverso il carico resisivo r e della differenza di poenziale ai capi di ale carico nel circuio di figura possono essere effeuae araverso un procedimeno grafico Dall applicazione della legge di Kirchhoff per le ensioni al circuio considerao segue: i r v dove v v = i = ri Tale relazione può esprimersi araverso il sisema di equazioni: 4 on quesa scriura si soinende la differenza di poenziale D 5 ioè da una resisenza di valore nullo

21 orrene elerica e circuii 3- i = v + i = v r i i = ( r ) v che può essere risolo graficamene rappresenando nello sesso piano iv le due equazioni i = ( r) v e i = ( ) v+ e deerminando la loro inersezione valori di correne i e ensione v corrispondeni all inersezione che prende il nome di puno di lavoro del circuio cosiuiscono la soluzione cercaa: i O v i = - ( ) v + v i = + r r v = r + r i D v La rea descria dall equazione ( ) i = v+ è denominaa rea di carico Queso approccio risula paricolarmene efficace qualora la relazione che lega la correne i alla ensione v del carico collegao alla serie ra il generaore di forza eleromorice e la resisenza non sia lineare onsideriamo ad esempio il circuio di figura in cui al poso della resisenza r è sao sosiuio un componene un diodo la cui relazione che lega la correne i che lo araversa con la differenza di poenziale v ai suoi capi non sia noa analiicamene ma solo in forma grafica L applicazione di queso meodo corrisponde a risolvere graficamene il sisema di equazioni: in cui i f ( v) i = v + i = f ( v) = indica l equazione del diodo noa solo in forma grafica L inersezione ra la caraerisica correne-ensione del diodo con la rea di carico consene di sabilire il puno di lavoro del circuio Si osservi che la rea di carico del circuio può essere racciaa rapidamene in quano l inersezione con l asse orizzonale è rappresenaa dalla valore della ensione v ai capi del carico quando queso è sosiuio da un circuio apero e l inersezione con l asse vericale è cosiuia dal valore della correne i che araversa il circuio quando il carico è sosiuio con un corocircuio i i O v i = - ( ) v + v

22 3- orrene elerica e circuii 39 ircuii in regime quasi sazionario La descrizione dei circuii araverso le leggi di Kirchhoff è consenia dal fao che i circuii considerai si rovano nel regime sazionario definio araverso la relazione (35) Sebbene l analisi dei circuii in regime non sazionario risuli generalmene piuoso complessa ed esula dalle finalià di queso corso è possibile perseguire lo sudio dei circuii in condizioni ali che ad ogni isane le correni possono essere rienue di inensià cosane e pari a quelle che si avrebbero nelle condizioni sazionarie in cui i campi eleromoori che le originano assumerebbero gli sessi valori che assumono nel caso in esame all isane considerao iò corrisponde a rienere che le correni in seno ai circuii varino in maniera sufficienemene lena da consenire a uo il conduore il raggiungimeno ad ogni isane delle condizioni proprie del regime di funzionameno sazionario n quesa siuazione il conduore è deo in regime quasi sazionario Nauralmene la raazione che segue sarà applicabile nelle circosanze in cui ale assunzione risuli legiima ovvero ogni vola che è possibile assumere che le correni nei circuii siano praicamene cosani relaivamene al empo necessario affinché si ridisribuiscano sul conduore gli evenuali addensameni locali di carica sempio: onsideriamo un conduore omogeneo e isoropo originariamene in equilibrio sazionario ossia ale che la densià di carica ρ ed il campo elerico al suo inerno siano nulli Supponiamo che per = venga siuaa una cera carica nel conduore in modo che la densià di carica inerna non sia più nulla e in paricolare risuli pari a ρ Sabiliamo dopo quano empo queso eccesso di carica si disribuisce sulla superficie del conduore in maniera ale che si raggiunga la condizione di sazionarieà Dalle relazioni (34) e (38) si ha: ρ = J = ( σ) = σ dove l ulimo passaggio segue dall omogeneià del maeriale che cosiuisce il conduore D alra pare siccome = ρ ε dove ε è la cosane dielerica del conduore si ha: Poso: ρ σ = σ = ρ ε ε τ σ inegrando l espressione precedene risula: ρ dξ = ξ τ ρ dζ da cui segue: ρ = ρ e τ l empo τ prende il nome di empo di rilassameno e rappresena il empo necessario affinché la carica inerna al conduore si riduce di un faore pari a e (il 37 % circa) rispeo al valore iniziale Per un conduore perfeo in cui la conducibilià σ è infinia il empo di rilassameno è nullo Per il rame ε è praicamene uguale a 7 ε 8854 F m e σ 58 ( Ωm) 9 così τ 5 s D alra pare per il quarzo fuso il empo di

23 orrene elerica e circuii 3-3 rilassameno è di giorni circa Dopo un empo pari a qualche cosane di empo da quando è saa inrodoa la carica nel conduore la carica nea ed il campo elerico nel conduore possono essere rienui praicamene nulli L esempio precedene mosra come per maeriali che siano buoni conduori elerici l approssimazione di quasi sazionarieà possa rienersi soddisfacene in numerosi casi di ineresse fisico Queso implica ad esempio che la correne araverso ogni sezione di uno sesso ramo è isane per isane la sessa; d alra pare poiché i segnali elerici si propagano araverso i rami ad 8 una velocià finia e prossima a quella della luce nel vuoo di circa 3 ms ai fini della descrizione dei circuii con correni variabili nel empo facendo uso delle leggi proprie dei circuii in regime sazionario occorrerà inolre assumere che la variazione della correne in seno a ciascun ramo avvenga in un empo rascurabile relaivamene al empo impiegao dalla luce a percorrere la lunghezza oale del ramo in esame 3 arica e scarica di un condensaore onsideriamo il circuio di figura in cui il condensaore è inizialmene scarico; supponiamo che all isane iniziale = l inerruore T venga chiuso; applicando la seconda legge di Kirchhoff al circuio in esame si ha: T i v v() = i() (33) in cui indica la forza eleromorice erogaa dal generaore e v( ) la differenza di poenziale ai capi del condensaore Dal principio di conservazione della carica segue che la variazione dq della carica q() presene sulle armaure del condensaore che si manifesa nel empo d è pari alla carica i() d che araversa la resisenza : () dq = i d ; (34) si noi che il segno della variazione dq è posiivo in quano al passaggio della carica i() d nella resisenza corrisponde un aumeno della carica sulle armaure del condensaore Poiché: () v () q = (35) sosiuendo nella relazione (33) e facendo uso della (34) si ha: q dq = d Separando le variabili e inegrando si ha: q dξ = dζ ξ

24 3-4 orrene elerica e circuii poso: segue: da cui si ha: τ (36) q = ln τ () ( ) q = e τ (37) Facendo uso della relazione (35) è possibile ricavare la legge di variazione della differenza di poenziale ai capi del condensaore: () ( ) v = e τ æ ç - è v( ) ö e ø La quanià τ ha le dimensioni di un empo e prende il nome di cosane di empo del circuio e rappresena il empo misurao rispeo all isane iniziale in corrispondenza del O quale la differenza di poenziale ai capi del condensaore risula inferiore di e vole rispeo al suo valore massimo L espressione della correne araverso la resisenza può essere ricavaa dalla (37) araverso la relazione (34): () τ τ τ dq i() = = e = e = e ; d τ si noi che la correne all isane iniziale = vale ovvero è pari alla correne che circolerebbe nel circuio qualora il condensaore fosse sosiuio da un corocircuio d alra pare per = dalla (37) segue q() = e di conseguenza i( ) dalla (35) anche v() = Qualora il condensaore possedesse all isane iniziale una carica non nulla ossia q( ) q l inegrazione dell equazione (33) si effeuerebbe nella maniera seguene: (e) O q dξ = dζ ξ q da cui segue: () ( ) q q e τ = +

25 orrene elerica e circuii 3-5 ndicando con v la differenza di poenziale presene all isane iniziale ra le armaure del condensaore: v q (38) v( ) æ ç ö v - e ø + è e la differenza di poenziale ai capi del condensaore in un isane generico si scrive: v O () ( ) v v e τ = + Nell ipoesi in cui il condensaore sia originariamene scarico l energia U erogaa dal generaore nel processo di carica vale: τ () () ; U = p d = i d = e d = al ermine del processo di carica meà di quesa energia divena energia elerosaica immagazzinaa nel condensaore: τ () () ( ) Ue = limue = lim v = lim e = e l alra meà risula dissipaa per effeo Joule nella resisenza cioè facendo uso della relazione (35) si ha: J τ τ () U = i d = e d = e d = onsideriamo il circuio di figura in cui il condensaore è inizialmene q q nell isane in cui l inerruore T viene chiuso; carico ossia ( ) applicando la seconda legge di Kirchhoff al circuio in esame si ha: T i v () i () v = d alra pare valendo ancora la relazione (35) risula: () q i() = (39) Nel empo d la resisenza è araversaa da una carica i( ) d dal principio di conservazione della carica segue che ale quanià deve rappresenare anche la diminuzione della carica q() possedua dal condensaore cioè: () dq = i d

26 3-6 orrene elerica e circuii perano sosiuendo nella relazione (39) si ha: q dq = d Poso τ come dalla (36) separando le variabili e inegrando segue: q dξ = dζ ξ τ q ovvero: q = ln τ q cioè: () q = q e τ Facendo uso della (35) ossia dividendo ambo i membri della precedene espressione per si rova l andameno della differenza di poenziale ai capi del condensaore: v( ) v () v = v e τ v e in cui v la differenza di poenziale presene all isane iniziale ra le armaure del condensaore è definia come nella (38) Dalla (39) infine è possibile deerminare l andameno della correne araverso la resisenza: O i( ) v = τ () e i v parire da quesa espressione e facendo uso della (35) si può sabilire l energia dissipaa nella resisenza a parire dall isane in cui si chiude il aso T: v (e) O v v q U = i d = e d = e d = J τ τ () ; ale quanià risula pari all energia elerosaica immagazzinaa nel condensaore all isane iniziale

27 orrene elerica e circuii 3-7 sempio: onsideriamo il circuio di figura in cui vale kω e valgono 3 enrambe kω vale µ F vale µ F ed il generaore eroga una forza eleromorice di ; sabiliamo le cariche q e q preseni sulle armaure dei due condensaori all equilibrio n ale condizione poiché i rami coneneni i condensaori non sono araversai da correne la correne erogaa dal generaore vale: 3 = = = m + + kω + kω + kω 3 così le differenze di poenziale ai capi di ciascun condensaore valgono rispeivamene: ( ) ( Ω Ω) ( ) ( Ω Ω) = + = m k + k = 6 = + 3 = m k + k = 8 da cui segue: q = = µ F 6 = 6 µ q = = µ F 8 = 6 µ sempio: Nel circuio di figura il condensaore di µ F inizialmene caricao alla ensione di per effeo della chiusura dell inerruore T all isane = viene collegao alla serie cosiuia dalla resisenza di kω e dal condensaore di 4 µ F inizialmene scarico Sabiliamo la differenza di poenziale presene ra le armaure di 5ms dopo la chiusura dell inerruore pplicando la seconda legge di Kirchhoff alla maglia che si oiene alla chiusura dell inerruore si ha: () () = () v v i v T v i ossia se () q e () q sono rispeivamene le cariche al empo sui condensaori e : () () q q = i () Derivando ambo i membri rispeo al empo si rova: dq dq di = (33) d d d ol verso scelo la correne i( ) è pari a dq d : dq i = (33) d inolre dal principio di conservazione della carica risula: dq = dq da cui segue l idenià dq d = dq d perano la relazione (33) divena: di ( i) i = d