Per ognuno di questi effetti si definisce una sezione d urto microscopica σ ph, σ C, σ pp.

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1 Interazione dei fotoni con la materia I fotoni interagiscono con la materia attraverso tre effetti : fotoelettrico (ph); compton (C); produzione di coppie (pp). Per ognuno di questi effetti si definisce una sezione d urto microscopica σ ph, σ C, σ pp. L Effetto fotoelettrico E il processo di interazione di un quanto gamma con gli elettroni legati. In questo processo il fotone si annichila e la sua intera energia viene trasferita all elettrone. L elettrone viene allora espulso dall atomo con una energia cinetica: T e = E γ - B n, dove E γ è l energia del fotone e B n rappresenta l energia di legame dell elettrone nella shell atomica n-esima. Ovviamente, per E γ < B K, l effetto fotoelettrico è possibile solo su elettroni delle shell L, M,.. e non della shell K. Si ha così una serie di salti nella curva che rappresenta la probabilità di interazione, corrispondenti all energia di legame delle differenti orbite.

2 sezione d urto fotoelettrica in vari materiali

3 Queste energie sono date approssimativamente dalla legge di Moseley: ( Z σ n ) 2 E n = Rhc, dove Rhc = 13.6 ev, Z è il numero atomico, n è il numero quantico n 2 principale e σ n la costante di schermo (vale 3 per lo strato K, 5 per lo strato L). La vacanza creatasi nelle shell di partenza viene riempita da elettroni delle shell più esterne e quindi l effetto fotoelettrico è sempre accompagnato dalla emissione di raggi X tipici dell atomo bersaglio. La sezione d urto fotoelettrica dipende fortemente da Z e dall energia del fotone E γ. Il processo è tanto più probabile quanto maggiore è Z e quanto minore è E γ. Si può scrivere: σ Z n E m, dove n = e m = 3 3.5

4 Diffusione Thomson e Compton Nell effetto fotoelettrico è essenziale che l elettrone sia legato. Tuttavia, anche un elettrone libero nel campo elettromagnetico variabile associato al fotone è posto in oscillazione e irradia come un oscillatore. La radiazione appare sotto forma di raggi gamma diffusi. Si deve a J.J.Thomson una teoria classica di questo effetto: consideriamo un onda piana sinusoidale che si propaga in direzione z, con il vettore elettrico polarizzato lungo x e di intensità I 0 = < E2 > 4π c. I 0 rappresenta l intensità di flusso di energia trasportata dall onda e si misura in energia/cm 2 s. Un elettrone nel campo di un onda sinusoidale subisce una forza data da: ee = ee 0 sin(ωt), e acquisterà una accelerazione a = ee 0 m sin ωt.

5 Una carica elettrica soggetta ad una accelerazione irraggia una potenza media data da: < W > = 2e2 3c 3 < a2 > Nel nostro caso quindi, sostituendo e sapendo che <sin 2 (ωt) > = ½, la potenza media irraggiata risulta: 2 E < W > = 2e4 0 3m 2 c 3 2 = 2e 4 3m 2 c < 3 E2 > = 8π 3 e 2 I mc 2 0 questa potenza è sottratta all intensità di flusso del fascio primario e possiamo quindi dire: σ T = < W > I 0 = 8π 3 e 2 = 8π mc 2 3 r 2 0 = cm 2 = barn dove σ T rappresenta la sezione d urto Thomson. r 0 = e2 mc 2 = cm è chiamato raggio classico dell elettrone. In questa approssimazione la sezione d urto non dipende dalla energia del fotone incidente.

6 La sezione d urto differenziale (distribuzione angolare) dei fotoni diffusi risulta essere: dσ T dω = 1 2 r 0 ( ). Naturalmente: dσ T cos 2 θ dω dω = 8 πr π sezione d urto Compton (e Thomson)

7 Una trattazione più completa fornisce una sezione d urto che dipende dall energia e tende alla sezione d urto Thomson per E γ 0. La distribuzione angolare, come calcolato da Klein-Nishina, è data dalla seguente espressione: dσ C dω = 1 2 r 0 ( ) cos 2 θ α 1 cos θ ( ) α 2 ( 1 cos θ) 2 ( 1 + cos 2 θ) 1 + α 1 cos θ ( ( )) α=e γ /mc 2

8 In figura è rappresentata la distribuzione angolare del fotone diffuso in un diagramma polare: i numeri accanto alle curve rappresentano α=e γ /mc 2, e si vede che il fotone è diffuso ad angoli tanto più in avanti quanto maggiore è l energia del fotone incidente.

9 La dipendenza della sezione d urto Compton da Z e da E γ è del tipo: σ C Z E γ -1. Quanto all energia del fotone diffuso, questa dipende dall angolo di diffusione e si calcola considerando l urto tra fotone ed elettrone completamente elastico. Facendo i calcoli, si ottiene: E' γ = 1 + E γ m e E γ ( 1 cos θ) che rappresenta l energia del fotone diffuso in funzione dell angolo di scattering ϑ. per ϑ = 0: E γ max = E γ e T e min = 0 per ϑ = π: E' γ min = E γ E γ m e c 2 e T e max = E γ 1 + m e c2 2E γ

10 sezione d urto Compton in funzione di energia ed angolo di diffusione

11 In figura è rappresentato lo spettro di energia degli elettroni diffusi: il taglio verticale corrisponde alla massima energia degli elettroni: T max = αe γ /(α+½)

12 Produzione di coppie Per fotoni di relativamente alta energia esiste un altra forma di interazione con la materia: il processo di creazione di coppie. In questo processo il fotone si annichila e materializza una coppia elettrone-positrone: naturalmente questo è un processo a soglia, in quanto l energia del fotone deve essere almeno pari alla somma delle masse delle particelle create: E γ > 2m e = 1.02 MeV. Il processi di produzione di coppie non può avvenire nel vuoto, ma richiede la presenza di un nucleo o di un elettrone. Infatti, per la conservazione del 4-momento, un fotone non può cedere contemporaneamente energia ed impulso ad una coppia di particelle in quanto dovrebbe essere: p γ = p 1 + p 2 (p γ ) 2 = (p 1 + p 2 ) 2 0 = m 1 2 c 4 + m 2 2 c 4 + 2E 1 E 2 /c 2 2p 1 p 2 = m 1 2 c 4 + m 2 2 c 4 + 2E 1 E 2 /c 4 +2 p 1 p 2 > 0 Il 4-impulso di particelle dotate di massa è sempre una quantità positiva.

13 L espressione della sezione d urto di produzione di coppie è abbastanza complicata: qui diremo soltanto che essa ha un andamento del tipo: σ pp Z 2 ln(e γ +cost). La figura ne illustra l andamento in funzione dell energia dei fotoni e del numero atomico del materiale. sezione d urto di produzione di coppie in vari materiali

14 Coefficiente di attenuazione lineare e massico Oltre alla sezione d urto microscopica σ ph, σ C, σ pp, per scopi pratici si definisce una sezione d urto macroscopica (coefficiente di attenuazione) µ ph, µ C, µ pp. σ e µ sono legati, per ognuno dei tre processi, dalla relazione: µ = Nσ dove N rappresenta il numero di bersagli (atomi) per unità di volume. La sezione d urto σ rappresenta un area e si misura in cm 2 oppure in barn (1 barn = cm 2 ). Il coefficiente di attenuazione µ rappresenta la probabilità di interazione per unità di percorso, ha come dimensioni l inverso di una lunghezza e si misura in cm -1. σ = σ ph + σ C + σ pp µ = µ ph + µ C + µ pp.

15 Quando un fascio di fotoni penetra in un mezzo, a causa delle interazioni con il mezzo stesso l intensità del fascio decresce esponenzialmente. Sia infatti NI il numero di fotoni che interagiscono nel tratto di materiale dx e che quindi vengono sottratti al fascio originario. dn = -Nµdx ( ) = N 0 e µx N x N(x) rappresenta il numero di fotoni ancora presenti alla profondità x, essendo N 0 il numero di fotoni iniziale. Accanto al coefficiente di attenuazione lineare, come nel caso del potere frenante, si preferisce misurare gli spessori di materiale in g/cm 2, utilizzando lo spessore massico τ = ρ x. Per ognuno dei tre effetti (indicati genericamente con il pedice i ) possiamo scrivere: da cui ricaviamo µ i = N σ i = N Av A ρ σ i µ ph ρ = N Av A σ ph µ C ρ = N Av A σ C µ pp ρ = N Av A σ pp

16 In particolare si può notare che il coefficiente di attenuazione massico per l effetto Compton dipende molto poco dal materiale: infatti, poichè abbiamo visto che la sezione d urto ha l andamento del tipo: σ C Z E γ -1, avremo: e scompare la dipendenza dal materiale. µ C ρ = N Av A σ C N Av Z AE γ N Av 2E γ Nel caso di composti o miscele, analogamente a quanto già visto nel caso del potere frenante, avremo dove p i rappresenta molecola, si ha ovviamente: p i µ ρ = µ ρ i i p i la frazione massa dell elemento i-esimo. Se il composto è una = n i A i A dove n i rappresenta il numero di atomi della specie i-esima contenuti nella molecola, A i il loro peso atomico e A il peso molecolare.

17 Cammino libero medio Rappresenta il percorso effettuato in media da un fotone prima di interagire. La probabilità di interagire tra x e x+dx è data da: µdx e -µx Infatti e -µx rappresenta la probabilità di non aver interagito fino alla profondità x, mentre µdx è la probabilità di interagire nel successivo tratto dx. Se chiamiamo λ il libero cammino medio, si ha quindi (per definizione di valor medio): 1 λ = x p( x) dx = x µe µx dx = µ 0 0

18 Strato emivalente Rappresenta lo spessore di materiale che dimezza l intensità del fascio incidente. Se chiamiamo S 1/2 tale spessore, si ha: ( ) = 1 N = N exp ( µs ) / 2 N S 1/ 2 e quindi: S 1/ 2 = ln2 µ = λln2 Si definisce allo stresso modo lo strato decivalente: S 1/ 10 = ln10 µ = λln10 Nelle figure che seguono è riportato il grafico del coefficiente di attenuazione massico in ossigeno e rame, e in piombo ed alluminio. Nelle stesse figure sono anche rappresentati i coefficienti massici parziali dei vari effetti fotoelettrico, Compton e produzione di coppie.

19 coefficiente di attenuazione massico in ossigeno e rame

20 coefficiente di attenuazione massico in alluminio e piombo

21 Coefficienti di assorbimento. Spesso, specie in problemi di dosimetria e di radioprotezione, ha interesse valutare l energia che i fotoni, nelle loro interazioni con il mezzo, depositano in esso. In tutti e tre i processi il fotone cede energia ad un elettrone, il quale a sua volta la depositerà nel mezzo attraverso i processi di ionizzazione e/o bremsstrahlung. Nell effetto fotoelettrico e nella produzione di coppie il fotone si annichila, e sia l elettrone che la coppia elettrone-positrone hanno un range limitato e cedono quindi localmente l energia ricevuta dal fotone. Diverso è il caso in cui avvenga un effetto Compton, perche in questo caso parte dell energia del fotone primario viene ceduta al fotone duffuso e quindi depositata non localmente. I coefficienti di assorbimento di energia, denominati µ en, sono definiti attraverso i corrispondenti coefficienti di attenuazione moltiplicati per la frazione di energia ceduta agli elettroni sotto forma di energia cinetica (e quindi dissipata localmente).

22 µ en ph = µ ph E e E γ = µ ph E γ B e E γ µ ph in quanto E γ >> B e µ en pp = µ pp E e E γ 2 E γ 2m e c = µ pp E γ µ pp in quanto, nel range di energia in cui domina la produzione di coppie, E γ >> 2m e µ en C = µ C E e E γ = µ C E γ E' γ E γ. In questo caso invece µ en C è sempre sensibilmente minore di µ C. Naturalmente, anche i coefficienti di assorbimento essi potranno essere sia lineari che massici. Nota: N( x) = N 0 e µx dà l attenuazione del numero di fotoni del fascio in funzione di x E( x) = E 0 e µ en x dà l attenuazione dell energia del fascio in funzione di x

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25 Esercizio 1 Calcolare il coefficiente di attenuazione massico per l ossido di Uranio (UO 2 ) per fotoni da 10 MeV. La densità dello UO 2 è 10 g/cm 3. µ ρ p U = U = cm 2 /g µ ρ = 0.88 p O = µ µ = p U ρ ρ UO2 U µ + p O ρ O O = cm 2 /g = 0.12 pertanto: µ µ = ρ UO UO2 2 = cm -1 UO2 ρ λ UO2 = 1 µ UO2 = 2.08 cm = = cm 2 /g

26 Esercizio 2 Un fascio parallelo di fotoni da 2 MeV di intensità di flusso (fluenza) Φ =10 6 cm -2 s -1 incide su uno schermo di piombo di spessore 10 cm. Calcolare l intensità di flusso di fotoni che hanno interagito. Alla profondità x il numero di fotoni che non hanno ancora interagito è data dalla solita legge esponenziale: N(x) = N 0 e -µx. Il numero ΔN di fotoni che hanno interagito sarà pertanto dato dalla differenz: ΔN = N 0 - N(x) = N 0 (1 - e -µx ) in questo caso abbiamo: µ /ρ = cm 2 /g e ρ = 11.3 g/cm 3 dai dati si ricava µ = cm -1 e quindi µx = 5.21 Sostituendo: ΔN = N 0 (1 - e -µx ) = 10 6 (1 e ) = 10 6 ( ) = Esercizio 3 Calcolare il libero cammino medio di fotoni di energia 0.01 MeV, 0.1 MeV, 1 MeV e 10 MeV in aria, acqua, muscolo, osso calcestruzzo e piombo. λ = 1 µ = 1 µ ρ ρ

27 aria E γ µ /ρ (cm 2 /g) ρ (g/cm 3 ) λ (cm) 10 kev kev MeV MeV acqua E γ µ /ρ (cm 2 /g) ρ (g/cm 3 ) λ (cm) 10 kev kev MeV MeV

28 muscolo E γ µ /ρ (cm 2 /g) ρ (g/cm 3 ) λ (cm) 10 kev kev MeV MeV osso E γ µ /ρ (cm 2 /g) ρ (g/cm 3 ) λ (cm) 10 kev kev MeV MeV

29 calcestruzzo E γ µ /ρ (cm 2 /g) ρ (g/cm 3 ) λ (cm) 10 kev kev MeV MeV piombo E γ µ /ρ (cm 2 /g) ρ (g/cm 3 ) λ (cm2.3) 10 kev kev MeV MeV

30 Esercizio 4 Si supponga di avere due fasci di fotoni, entrambi di intensità I = 10 7 s -1, aventi energie di 0.5 MeV e di 10 MeV. Calcolare per i due fasci i rispettivi spessori di Al, Fe, Pb e calcestruzzo che riducono l intensità del fascio primario di un fattore 100 (cioè I = 10 5 s -1 ). Si supponga di avere una sorgente di 60 Co, che emette per ogni decadimento due fotoni di rispettive energie E 1 = 1.17 MeV ed E 2 = 1.33 MeV. Per gli stessi materiali calcolare lo spessore che riduce l intensità dei fotoni di un fattore A questo proposito, essendo le energie dei due fotoni abbastanza simili, possiamo considerare il loro valor medio (E = 1.25 MeV) ai fini dell attenuazione nei materiali. L attenuazione dei fotoni, qualsiasi sia la loro energia, è data dalla relazione: N(x) = N 0 e -µx Lo spessore x è allora dato da: x = 1 µ ln N 0 N( x) = 2.31 µ log N 0 10 N( x) = 2.31 N log 10 0 µ ρ ρ N( x)

31 Al E γ µ /ρ (cm 2 /g) ρ (g/cm 3 ) N 0 /N(x) x (cm) 0.5 MeV MeV MeV ( 60 Co) Fe E γ µ /ρ (cm 2 /g) ρ (g/cm 3 ) N 0 /N(x) x (cm) 0.5 MeV MeV MeV ( 60 Co)

32 Pb E γ µ /ρ (cm 2 /g) ρ (g/cm 3 ) N 0 /N(x) x (cm) 0.5 MeV MeV MeV ( 60 Co) calcestruzzo E γ µ /ρ (cm 2 /g) ρ (g/cm 3 ) N 0 /N(x) x (cm) 0.5 MeV MeV MeV ( 60 Co)

33 Esercizio 5 La sezione d urto dell effetto fotolettrico nel piombo per fotoni da E γ = 0.6 MeV vale circa 18 barn. Valutare il valore della sezione d urto nell Uranio alla stessa energia. Sappiamo che la sezione d urto fotoelettrica in funzione del numero atomico del materiale e dell energia del fotone ha un andamento del tipo: σ Z n E m, dove n = e m = pertanto sarà: σ U σ Pb Z U Z Pb = = 18 ( ) = barn

34 Esercizio 6 Un fotone di energia E γ = 2 MeV è diffuso a ϑ = 30 per effetto Compton. Calcolare: 1) l energia del fotone diffuso; 2) l energia di rinculo dell elettrone; 3) l angolo a cui rincula l elettrone. E' γ = 1 + E γ m e E γ ( 1 cos θ) = ( 1 cos 30 ) = MeV Per la conservazione dell energia: T e = E γ - E γ = MeV Si tratta di un elettrone relativistico: la sua quantità di moto risulta: ( ) = MeV p e = T e T e + 2m e c 2

35 P γ p γ ϑ ϕ P e il diagramma dei momenti nell effetto Compton p γ = p γ + p e che proiettata dà le due relazioni: p γ = p γ cos ϑ + p e cos ϕ p γ sin ϑ = p e sin ϕ dalle quali si ricava: ϕ = arcsin p γ sin θ = arcsin sin 30 p e = 37.2.

36 Esercizio 7 Calcolare il coefficiente di attenuazione massico nel vetro (SiO 2, ρ = 2.21 g/cm 3 ) per fotoni di E γ = 3 MeV ed il relativo libero cammino medio. µ ρ p Si = p O = Si = cm 2 /g µ ρ = = = = µ µ = p Si ρ ρ SiO2 Si µ + p O ρ O O = cm 2 /g = = cm 2 /g pertanto: µ µ = ρ SiO SiO2 2 ρ = cm -1 ; SiO 2 λ SiO2 = 1 µ SiO2 = cm

37 Esercizio 8 Un fascio di fotoni di 1 cm di raggio di energia E γ = 0.8 MeV e intensità di flusso Φ = cm -2 s -1 incide su una lastra di ferro di spessore 2 cm (ρ = 7.86 g/cm 3 ). Calcolare il numero di fotoni che interagiscono nel ferro per secondo e la potenza perduta dal fascio. µ /ρ = cm 2 /g ; µ = cm -1. L intensità iniziale del fascio è: N 0 = Φ π r 2 = s -1. Il numero di fotoni che interagiscono è: N int = N 0 (1 e -µx ) = (1 e ) = ( ) = s -1 Per calcolare invece l energia depositata si usa il coefficiente di assorbimento µ en, che per fotoni di 0.8 MeV nel ferro vale: µ en /ρ = cm 2 /g ; µ en = cm -1. Pertanto: W dep = E γ N int = E γ N 0 ( 1 x ) e µ en = (1 e ) = MeV/s Convertendo l energia in joule si ottiene: W dep = Watt = 23 mwatt.

38 Esercizio 9 Calcolare la minima energia di un fotone diffuso per effetto Compton se la sua energia iniziale vale 0.1, 1, 10 e 100 MeV. Dalla formula : E' γ = 1 + E γ m e E γ ( 1 cos θ) L energia minima è in corrispondenza di una diffusione a ϑ = 180 : E' γ min = E γ E γ m e c 2 = m e c m e c2 E γ dalla formula si vede che per E γ >> m e c 2 si ha che E γ min m e c 2 /2.

39 In particolare, per i valori dell esercizio: E γ (MeV) E γ min (MeV)