Marco Ferrando - Appunti del corso Architettura Navale 1: Principio di similitudine

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1 Marco Ferrando Appunti de corso Architettura Naae 1: Principio di simiitudine 2. PRINCIPIO DI SIMILITUDINE Neo studio dea resistenza e dea propusione dee imbarcazioni si à aro uso dea simiitudine in quanto consente, con determinati accorimenti ed entro determinate approssimazioni, di studiare i comportamento di carene in era randezza acendo esperienze di aboratorio su modei in scaa. Esistono quattro tipi di simiitudine: simiitudine eometrica simiitudine cinematica simiitudine statica simiitudine dinamica. 2.1 SIMILITUDINE GEOMETRICA Due corpi si dicono eometricamente simii se è possibie stabiire una corrispondenza biunioca tra eementi de primo e de secondo e se, per quaunque coppia di punti corrispondenti (omoohi) de'uno e de'atro, e distanze ra essi sono in rapporto costante; detto rapporto prende i nome di rapporto di simiitudine eometrica ed è indicato con. I rapporto tra aree omoohe di corpi eometricamente simii sarà eidentemente $, mentre i rapporto tra oumi corrispondenti sarà. Questo tipo si simiitudine, ià studiato ne corso di Diseno Naae, è aa base dea rappresentazione in scaa; i rapporto di scaa, inatti, atro non è che un rapporto di simiitudine. Carene eometricamente simii enono anche denominate GEOSIMS utiizzando a denominazione proposta da E. V. Teer tratta da'abbreiazione dee paroe inesi "GEOmetricay SIMiar bodies". simiitudine eometrica Ê parametro 2.2 SIMILITUDINE CINEMATICA Ainché esista a simiitudine cinematica è necessario che i punti omoohi di corpi eometricamente simii percorrano traiettorie anch'esse eometricamente simii e che i tempi impieati da punti omoohi ne percorrere traiettorie omoohe stiano ne rapporto costante 7. Come si ede, perché possa esistere a simiitudine cinematica è necessario che esista a simiitudine eometrica; in atre paroe 'esistenza dea simiitudine cinematica impica 'esistenza di quea eometrica. re. 09 ennaio 2003 pa. 2.1

2 Marco Ferrando Appunti de corso Architettura Naae 1: Principio di simiitudine La simiitudine cinematica introduce un uteriore incoo, queo sui tempi; pertanto essendo deiniti spazi e tempi restano incoate anche e eocità e e acceerazioni; indicando con a,, t, rispettiamente acceerazioni, eocità, tempi e spazi reatii ad un corpo e con i stessi simboi muniti di apice e corrispondenti randezze reatie ad un secondo corpo, aremo: simiitudine eometrica œ [2.1] t t simiitudine cinematica œ 7 [2.2] da cui, ricordando che si ottiene t t œ a œ t t per e eocità = = [2.3] a t a t per e acceerazioni = = [2.4] 7 simiitudine cinematica Ê parametri 7 indipendenti SIMILITUDINE STATICA Se su punti omoohi di corpi eometricamente simii aiscono orze aenti direzioni omoohe e ersi omoohi e e cui intensità siano ne rapporto costante : si ha a cosiddetta simiitudine statica; anche per questa simiitudine è necessario i presupposto de' esistenza dea simiitudine eometrica. simiitudine statica Ê parametri : indipendenti 2.4 SIMILITUDINE DINAMICA Se coesistono e tre simiitudini sopra descritte si ha a simiitudine dinamica. In questa simiitudine i parametri sono tre,, :, 7, ma essi non sono indipendenti tra oro essendo eati da'equazione che esprime i primo principio di Neton; inatti, indicando con e orze, con a e acceerazioni, con m e masse (prodotto di densità 3 per oumi ), si può scriere: m a 3 a 3 % $ 3 m a 3 a : = = = = = [2.5] re. 09 ennaio 2003 pa. 2.2

3 Marco Ferrando Appunti de corso Architettura Naae 1: Principio di simiitudine Consideriamo ora i numero di Neton, indicato con Ne, che è i rapporto tra una orza ed i prodotto di densità per unhezza per eocità a quadrato: Ne œ 3 con a soita conenzione sui apici potremo scriere: Ne œ 3 ma, utiizzando e deinizioni dei parametri dea simiitudine, potremo scriere anche: : 3 : Ne = = = 3 % = Ne da momento che a quantità ra parentesi quadra ae 1 per 'eq. [2.5]; si può quindi concudere che i numeri di Neton reatii a corpi in simiitudine dinamica sono euai. % simiitudine dinamica Ê parametri 7 : equazione : = SIMILITUDINE DI FROUDE Come si è isto i tre parametri dea simiitudine dinamica sono eati tra oro da una soa equazione; restano, quindi, due radi di ibertà, oero abbiamo a possibiità di sceiere arbitrariamente due di essi mentre i terzo rimane determinato doendo essere eriicata 'equazione anzidetta. Ipotizziamo di introdurre una uteriore equazione che contena parametri dea simiitudine, ad esempio a: 7 œ É [2.6] oe con e si sono indicate e acceerazioni di raità reatie a due corpi in simiitudine dinamica. Questa uteriore equazione rappresenta un incoo suppementare ed eimina uno dei radi di ibertà; in questo modo, issando ad esempio, restano determinati 7 e : dae due equazioni. L'equazione [2.6] può essere riscritta ne modo seuente: re. 09 ennaio 2003 pa. 2.3

4 Marco Ferrando Appunti de corso Architettura Naae 1: Principio di simiitudine 7 œ É e, ricordando che per 'eq. [2.3] i rapporto tra e 7 rappresenta i rapporto tra e eocità di due corpi in simiitudine eometrica tra oro, si può ricaare: œ É [2.7] Si può quindi osserare che, procedendo in questo modo, e eocità di due corpi, soetti a questo tipo particoare di simiitudine dinamica, risutano incoate da'equazione [2.7]; quest'utima può essere riscritta nea orma: ed anche ne modo seuente: œ É È œ È I rapporto tra una eocità e a radice quadrata de prodotto di una unhezza per 'acceerazione di raità prende i nome di numero di Froude e si indica con Fn, da'inese Froude number, pertanto 'equazione precedente può essere riscritta nea orma: È È Fn œ œ œ Fn I particoare tipo di simiitudine dinamica, che soddisi e equazioni [2.5] ed [2.6] e che mantena inariato i numero di Froude, prende i nome di simiitudine di Froude. È interessante notare che i numero di Froude è una randezza adimensionae che contiene a eocità; per questo motio esso è stato adottato daa comunità idrodinamica internazionae per esprimere in orma adimensionae a eocità di una carena. A questo scopo si utiizza come randezza ineare a unhezza a aeiamento dea carena o, per usi particoari, a radice cubica de oume di carena; è anche possibie, sempre per usi particoari, utiizzare atre dimensioni dea nae, a patto che siano introdotte ne numero di Froude con un opportuno esponente in modo tae che a randezza risuti di dimensione ineare. Doendo condurre dee esperienze su modei di carena è necessario distinuere tra e randezze reatie aa nae in era randezza e quee reatie a modeo in scaa. Si è quindi conenuto di indicare con i pedice s e randezze reatie aa nae (ship) e con i pedice m quee reatie a modeo (mode). re. 09 ennaio 2003 pa. 2.4

5 Marco Ferrando Appunti de corso Architettura Naae 1: Principio di simiitudine Reaizzando a simiitudine di Froude, i rapporto tra e orze in ioco si potrà scriere, ne modo seuente: œ : œ = = 7 7 ma per 'equazione [2.6] questa reazione diiene: % = 3 % = 3= = $ œ : œ œ Le densità de'acqua e e acceerazioni di raità per a nae e per i modeo non sono riorosamente euai, ma poco dierenti, quindi i oro prodotti, che danno i pesi speciici de'acqua, saranno anch'essi circa euai. Sostituendo poi, ne'equazione $ precedente, a i rapporto tra i oumi di carena e ricordando che i prodotto è euae a disocamento? si ottiene: œ?? = = 7 7 da cui si ricaa che i rapporto tra e orze aenti sua nae e su modeo, operando in simiitudine di Froude, è pari a queo dei corrispondenti disocamenti. % simiitudine di Froude Ê parametri 7 : equazioni : = 7 œ É 2.6 SIMILITUDINE DI REYNOLDS Consideriamo ora una simiitudine dinamica caratterizzata da'equazione [2.5] e daa reazione seuente: oe con si è indicata a iscosità cinematica de uido. 7 œ [2.8] Le eocità dei corpi che obbediscono a questo tipo si simiitudine saranno ne rapporto: œ 7 œ " [2.9] mentre e acceerazioni saranno eate daa: a a œ 7 œ $ [2.10] re. 09 ennaio 2003 pa. 2.5

6 Marco Ferrando Appunti de corso Architettura Naae 1: Principio di simiitudine I rapporto : tra e orze risuta determinato daa equazione [2.5] e ae: : œ œ 3 3 [2.11] resta così dimostrato che, utiizzando questo tipo di simiitudine, e orze in ioco sono indipendenti da rapporto di scaa; se a sperimentazione su modeo iene condotta utiizzando o stesso uido, a parità quindi di densità e iscosità, e orze reatie a modeo sono euai a quee in era randezza. L'equazione [2.9], che ea e eocità dei corpi in simiitudine, può essere riscritta, utiizzando 'equazione [2.8], nea orma seuente: œ œ 7 œ I rapporto tra i prodotto di una eocità per una unhezza e a iscosità cinematica prende i nome di numero di Reynods e si indica con Rn da'inese Reynods number, pertanto 'equazione precedente potrà essere riscritta nea orma seuente: Rn œ œ œ Rn I particoare tipo di simiitudine dinamica, che soddisi e equazioni [2.5] ed [2.8] e che mantena inariato i numero di Reynods, prende i nome di simiitudine di Reynods. % simiitudine di Reynods Ê parametri 7 : equazioni : = 7 œ 2.7 CONSIDERAZIONI FINALI Se pensassimo di reaizzare contemporaneamente e simiitudini di Reynods e di Froude introdurremmo tre equazioni che eano e tre inconite, annuando tutti i radi di ibertà; in atre paroe non potremmo neppure sceiere a scaa de modeo. Inatti dae dae equazioni: 7 œ É re. 09 ennaio 2003 pa. 2.6

7 Marco Ferrando Appunti de corso Architettura Naae 1: Principio di simiitudine 7 œ si ricaa: É œ œ É $ che, ne caso in cui e, conduce ad ottenere 1. Si può osserare quindi che è impossibie condurre una sperimentazione su un modeo osserando contemporaneamente a simiitudine di Reynods e quea di Froude, in quanto i rapporto di scaa dorebbe essere pari a'unità. re. 09 ennaio 2003 pa. 2.7