Rigidità di una similitudine

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1 Istituzioni di matematiche 2 Diego Noja (diego.noja@unimib.it) 21 aprile 2009 DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 1 DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 2 bbiamo definito le similitudini come trasformazioni di tutto il piano. Giocoforza quando le rappresentiamo, ci limitiamo a considerarne l azione solo su una porzione di piano. Di fatto siamo in qualche modo legittimati a fare questa confusione: infatti le similitudini sono qualcosa di estremamente rigido sapere come una similitudine si comporta su un pezzo di piano, anche molto piccolo, ci permette di sapere come questa similitudine si comporta su tutto il piano. Supponiamo di avere tre punti, e non allineati e di conoscere le immagini, e di questi tre punti. k vale onoscendo k e la distanza di da, da e da, sappiamo quale deve essere la distanza di da, da e da. DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 3 DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 4

2 Supponiamo di avere tre punti, e non allineati e di conoscere le immagini, e di questi tre punti. Dato un qualsiasi punto è possibile determinare univocamente l immagine di. Supponiamo di avere tre punti, e non allineati e di conoscere le immagini, e di questi tre punti. Dato un qualsiasi punto è possibile determinare univocamente l immagine di. DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 5 DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 6 I seguenti triangoli sono simili? uante similitudini riuscite a trovare che mandino il primo triangolo nel secondo? Similitudini e relazioni di equivalenza seconda di come mettiamo le lettere corrispondenti abbiamo similitudini diverse. DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 7 DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 8

3 Terminologia Figure simili volte nei libri di testo il termine similitudine è utilizzato con un significato diverso da quello che abbiamo dato fin qui, ad esempio nella frase TTENZIONE: la similitudine è una relazione di equivalenza fino ad ora abbiamo definito le similitudini come trasformazioni del piano..., ovvero come corrispondenze biunivoche... una corrispondenza biunivoca in generale non è una relazione di equivalenza Le nostre similitudini non sono relazioni di equivalenza. DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 9 Le nostre similitudini non sono relazioni di equivalenza. È però vero che le similitudini ci permettono di definire una relazione di equivalenza nell insieme delle figure del piano. (una figura del piano è un qualsiasi insieme di punti del piano) Definizione Due figure del piano si dicono simili se è possibile costruire una similitudine del piano che manda la prima figura nella seconda. DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 10 Figure simili Definizione Due figure del piano si dicono simili se è possibile costruire una similitudine del piano che manda la prima figura nella seconda. La geometria delle similitudini studia le proprietà in comune a due figure simili. La definizione Definizione hiamiamo quadrato un poligono con 4 lati uguali e 4 angoli retti. Individua una qualsiasi figura nella classe di similitudine di questa: ltre geometrie? ossiamo inventarci una nuova geometria ogniqualvolta riusciamo ad identificare una relazione di equivalenza. In altre parole queste geometrie si differenziano nel concetto di uguaglianza, ovvero nel decidere quali figure siano considerate uguali. ( ll inizio fu lo scriba, paragrafi Le molte facce della geometria e lla ricerca di solide fondamenta.) In generale la relazione di equivalenza viene costruita attraverso quello che si chiama gruppo di trasformazioni. L insieme di tutte le similitudini del piano è un primo esempio di gruppo di trasformazioni. DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 11 DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 12

4 Equivalenze in geometria Vogliamo stabilire una relazione di equivalenza tra le figure geometriche (per stabilire che cosa significhi che due figure sono uguali). bbiamo visto l esempio di una relazione di equivalenza fatta in questo modo due figure geometriche sono equivalenti se è possibile trovare una similitudine di tutto il piano che mandi l una nell altra Equivalenze in geometria otremmo però scegliere invece la relazione di equivalenza fatta in questo modo due figure geometriche sono equivalenti se è possibile trovare una omotetia del piano che mandi l una nell altra Se queste sono le regole del gioco, allora i seguenti quadrati non sono equivalenti Se queste sono le regole del gioco, ne possiamo trarre le dovute conseguenze: ad esempio tutti i quadrati sono equivalenti. DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 13 DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 14 uestioni metriche La geometria delle isometrie Nel momento in cui andiamo a porre delle questioni metriche (misura di lunghezze, misure di aree,...) stiamo passando dalla geometria delle similitudini alla geometria delle isometrie i fini della misurazione dell area questi due quadrati sono diversi (mentre nella geometria delle similitudini ci eravamo orientati a studiare le proprietà comuni a questi due quadrati) DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 15 DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 16

5 Isometrie del piano Una isometria è una trasformazione f del piano che lascia invariate le distanze. In altre parole, f è una isometria se comunque si prendano due punti e del piano, allora la distanza tra e è uguale alla distanza tra f() e f(). ome sono fatte le isometrie del piano? L equivalenza determinata dalle isometrie che tipo di geometria mi fa considerare? come sono fatte/come riconosco che due figure sono equivalenti? roprietà delle isometrie ur non avendo ancora dato esempi, la proprietà astratta che definisce se una trasformazione sia o meno un isometria permette di dedurne alcune proprietà geometriche comunque si fissino tre punti, e del piano, l angolo da questi individuato è uguale all angolo individuato dai loro corrispondenti f(), f() e f() se tre punti, e sono allineati, allora f(), f() e f() sono allineati l immagine di ogni segmento è un segmento, l immagine di ogni retta è una retta DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 17 DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 18 Riflessione rispetto ad una retta r Esempi di isometrie Fissata una retta r, la riflessione corrispondente è quella trasformazione che manda ogni punto del piano in quel punto che appartiene alla perpendicolare da a r e tale che la distanza di dalla retta r sia uguale alla distanza di da r R r otremmo anche dire che la riflessione rispetto alla retta r manda ogni punto in quel punto tale che r risulti essere l asse del segmento. ttenzione al punto R DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 19 DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 20

6 Riflessione rispetto ad una retta r Riflessione rispetto ad una retta r DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 21 DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 22 Riflessioni Le riflessioni sono isometrie. KSEG Si può dimostrare che, qualunque sia la scelta dei punti e, si ha che la distanza tra e è uguale alla distanza tra e DL Scienze della Formazione rimaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 23