Lezione 2. f : r r. Un esempio molto significativo di trasformazione puntuale di una retta su un altra è la proiezione su rette parallele:

Transcript

1 Lezione 2 Trsformzioni puntuli tr rette. Si r un rett e r un second rett. Un trsformzione puntule (il termine puntule indic che l trsformzione gisce sui punti di r, qulor questo si en chiro si potrà, più semplicemente, prlre di trsformzione) di r in r è un precis legge f, che permette di trsformre ogni punto di r in un en determinto punto di r. trsformzione è Il simolo mtemtico con il qule si indic l f : r r r si chim il dominio dell trsformzione e r il codominio. Il trsformto di un punto A di r trmite l funzione f si indic con f(a) o A. f(a) è dunque un en determinto punto di r ottenuto pplicndo d A l trsformzione f. Un esempio molto significtivo di trsformzione puntule di un rett su un ltr è l proiezione su rette prllele: f : r r L trsformzione f gisce nel modo seguente: preso un qulunque punto A si r si trcci l rett AS e si intersec quest rett con l rett r : il punto in cui queste rette si incontrno è il punto f(a). Un vrinte di quest proiezione si ottiene proiettndo con rette prllele (in questo cso il centro di proiezione S possimo pensrlo ll infinto. M di questo prleremo meglio più vnti) Questo esempio è molto importnte perché f vedere ene il dominio il condominio e l legge f dt dll proiezione. Si vede nche immeditmente che l trsformzione è iunivoc. Definizione di similitudine tr rette Un trsformzione puntule f tr due rette r ed r f : r r

2 r si chim un similitudine di r in r se conserv i rpporti cioè se, dti comunque tre punti A, B, C di r, risult AB : BC = f(a)f(b) : f(b)f(c) Le proiezioni su rette prllele sono un esempio significtivo e molto concreto di similitudine tr rette. Possimo llor dire che due figure rettilinee F r e F r sono simili se esiste un similitudine dell rett r nell rett r trsform i punti di F in quelli di F. Notimo che quest definizione h significto nche se F e F non sono insiemi finiti. Non è difficile or dimostrre il seguente. Teorem fondmentle sulle similitudini tr rette Dte due rette r e r e dti due punti A e B di r e due punti A, B di r, esiste un e un sol similitudine f di r in r che trsform A in A e B in B. Dimostrzione. Si trtt di trovre l immgine f(x) di un qulunque punto X di r spendo che f è un similitudine e che f(a)=a e f(b)=b. Se X è diveso d B, possimo considerre il rpporto AB : BX = k che si conserv nell trsformzione perché f è un similitudine. Aimo dunque che AB : BX = k = f(a)f(b) : f(b)f(x) m sppimo che (per il postulto di continuità) sull rett r esiste un unico punto X tle che A B : B X = k e dunque questo punto X deve coincidere con f(x). Questo teorem ci permette di rppresentre ogni similitudine tr rette con un proiezione su rette prllele. E questo un cso semplice di un modo di pensre molto generle che cercheremo di ripercorre in situzioni più complicte e che conviene presentre fin d or. L definizione di similitudine è un definizione purmente strtt: ci sono due rette (un d un prte e l ltr d un ltr generlmente non immerse nello stesso pino) e poi c è un trsformzione (in questo cso l similitudine) che h delle proprietà di conservzione (in questo cso l trsformzione conserv i rpporti). Eene i teoremi di rppresentzioni ci dicono che tle trsformzione si può sempre ottenere ttrverso un costruzione concret e chirmente definit. Nel nostro cso un proiezione. Teorem di rppresentzione per le similitudini tr rette Dt un similitudine f : r r è sempre possiile immergere le due rette in uno stesso pino come rette prllele in modo che l trsformzione si un proiezione. Dimostrzione Sceglimo due punti A e B su r e considerimo i punti f(a) e f(b) su r, immergimo le rette come rette prllele in uno stesso pino e trccimo le rette A f(a) e B f(b). Queste rette si incontrno in un punto (o sono prllele). Proiettimo i punti di r su quelli di r d (o con rette prllele). Quest trsformzione come imo visto è un similitudine inoltre, per costruzione, A si proiett in f(a) e B in f(b). Dto che esiste un sol similitudine con quest proprietà l similitudine f deve necessrimente essere ugule ll proiezione.

3 Equzione di un similitudine tr rette. Considerimo un generic proiezione di r in r. Fissimo un sciss x su r e un sciss x su r. Supponimo, come nell figur, che il punto, origine su r, si proietti nel punto origine su r fig. 15 Si U è il punto unità di r e U il punto unità di r. U= U =1. L rett SHH è perpendicolre lle due rette prllele. Il rpporto di scl k = SH : SH dipende solo dll posizione delle due rette e dll posizione del punto S. Si A un generico punto di r e si x l su sciss. Avremo A = xu D ltr prte, dto che i due tringoli SA e S A sono simili, imo che d cui A : A = SH : SH = k A = ka = kxu = kx U E quindi l sciss x di A è dt d x = kx dove k è il fttore di scl. L formul precedente è l equzione dell similitudine in termini di scisse: un punto di sciss x si trsform in un punto di sciss x =kx nel cso in cui l origine si trsformi nell origine. Se quest circostnz non dovesse verificrsi, srà sempre possiile ridursi, con un trslzione questo cso. Se l origine dell rett r non si trsform nell origine dell rett r, m in un punto qulunque *, se l sciss di * è imo

4 rgionndo come prim, *A = kx U cioè A = * + *A = + kx In generle, dunque, l espressione nlitic di un similitudine f : r r è dt d un equzione di primo grdo: il punto A di sciss x si trsform nel punto f(a) di sciss x = kx+ dove k è il fttore di scl e è l sciss del punto *= f(). Lo scopo principle dell trttzione che segue è quello di stilire un gncio nell memori e nell immginzione degli studenti che colleghi l espressione nlitic u = x+ con l qule si rppresent un similitudine tr rette con il suo significto geometrico e spzile. L formul che imo scritto è, come l mggior prte delle formule mtemtiche, molto comptt. Si vuole smontre l formul dndo significto e concretezz ogni su componente. Quest operzione che or presentimo dettglitmente, è molto importnte perché permette di crere significti più profondi e stili in grdo poi di operre utonommente nche in mienti nuovi. L formul deve intnto frci immginre due rette l prim descritt con un sciss x e l second con un sciss u e un trsformzione dell prim rett nell second che trsform il punto di sciss x nel punto di sciss x+. Che significto hnno i due coefficienti e? Già i nomi di questi coefficienti suggeriscono qulcos di più concreto: si chim il fttore di scl e il fttore di trslzione. Che significto h il segno del coefficiente? e quello di? e il loro vlore ssoluto? Cos signific che 0 < < 1? o che è molto grnde? Si vuole che lo studente sppi rispondere con sicurezz queste domnde spendo riconoscere nell formul il suo significto concreto e vicevers riproducendo con un formul un situzione ssegnt. Si cominci col proporre gli studenti l Tvol 5. Quest tvol contiene 2 esercizi grfici che ituno individure il significto del segno del coefficiente. L Tvol 6 chiede di trovre le equzioni di un similitudine tr rette prtire dl disegno di un proiezione. L Tvol 7 chiede di trovre l equzione di un similitudine prtire d un figur e richiede un uon comprensione del concetto di sciss, e di proiezione. Può essere lscit come esercizio fcolttivo d fre eventulmente cs. L Tvol 8 chiede di dimostrre un formul e di riflettere su ciò che è servito per l dimostrzione. Può essere lscit come esercizio fcolttivo d fre eventulmente cs. Quest prte dell lezione si svolge nel lortorio informtico dell scuol. Srà utilizzto il softwre Cri-Géomètre. Sree meglio se gli studenti (o un uon prte di loro) conoscessero le operzioni se del softwre. Tuttvi nell esercitzione srnno uste solo le costruzioni più semplici che potrnno essere spiegte nche per l prim volt.

5 L prim costruzione che proponimo è un proiezione su rette prllele. Mostrimo l costruzione psso per psso. 1. Costruimo l rett delle x: disegnimo un rett orizzontle ner ncort un punto e su di ess un vettore che ne di l orientzione. Mettimo il nome l punto e ll rett 2. Sull rett delle x disegnimo un figur compost, d esempio, di 5 punti i quli dimo i nomi di A,B,C,D,E. I punti possono trslre sull rett picimento 3. Disegnimo or un second rett ross d ess prllel ncort un punto del pino e orientt come l d sinistr destr ' 4. Fissimo or un punto S in un posizione ritrri del pino e trccimo in grigio le rette che proiettno i punti A,B,C,D,E e il punto sull rett ross. Indichimo il risultto dell proiezione con i punti A,B,C,D,E. Spostndo col mouse il punto S cmi l proiezione. S * ' A' B' C' D' E' 5. Clcolimo or il fttore di scl. Trccimo l rett per S perpendicolre lle rette delle x e delle u, che le incontr nei punti H e H. Clcolimo con lo strumento distnz l lunghezz dei segmenti SH e SH; con l clcoltrice clcolimo il loro rpporto e riportimo quest misur sul foglio scrivendo sull sue sinistr = fttore di scl = Nscondimo le misure SH e SH e l rett SH disegndo trtteggiti i segmenti SH e SH. Il segno +, che si ottiene con un + sottolineto, v discusso con i rgzzi. Il segno è + se l

6 trsformzione conserv l orientzione e - nel cso opposto qundo cioè S si trov tr H e H. S = fttore di scl SH' : SH = + 1,67 H A' B' C' D' E' * ' H' 6. Trovimo or il fttore di trslzione che è l sciss del punto * sull rett ross. Misurimo l distnz * con l clcoltrice dividimo quest distnz (che è espress in centimetri) con 1 cm in modo d vere un numero puro e riportimo questo risultto sul foglio scrivendo sull su sinistr = fttore di trslzione = Anche or si deve discutere con gli studenti sul significto del segno di. = fttore di scl SH' : SH = + 0,70 = fttore di trslzione = + 2,18 H S E' D' C'B'A' ' H' *

7 L esercizio seguente costruisce l similitudine tr due rette di equzione u=x+, qundo sino dti i vlori dei due prmetri e. 1. Fissimo un unità di misur e disegnimo su un scl grdut i numeri d +5: fissimo un punto ritrrimente, fccimo un rett orizzontle pssnte per e su quest il punto 1. Con delle circonferenze di rggio 1 riportimo gli ltri punti sull rett. Agendo sul punto si spost l scl e gendo sul punto 1 si cmi l unità di misur. 2. A prtire d disegnimo un segmento più spesso contenuto nell rett grdut: l lunghezz di questo segmento drà il vlore del prmetro. Nscondimo i cerchi e fccimo un segmento d 5 e nscondimo l rett. Ripetimo l operzione precedente per il prmetro. Per riportre i punti sull nuov scl possimo quest volt usre rette prllele che poi nscondimo. 3. Disegnimo or le due rette con le loro origini e i punti unità riportndo col compsso sulle due rette l distnz dell unità di misur. U ' U'

8 4. Riportimo il punto * sull rett ross: ricordimo che * = f() e quindi l sciss di * è u=.0+ =. Bst quindi riportre sull rett ross usndo rette prllele (che poi nscondimo) in modo che se è positivo * si ritrov ll destr di mentre se negtivo ll sinistr. U ' U' f() 5. Clcolimo or l immgine f(u) del punto U: poiché l sciss di U è 1, il punto f(u) vrà sciss u=.1+ = +. Riportimo quindi con rette prllele (che poi nscondimo) il vlore sull rett ross prtire d f() che h sciss. U ' U' f() f(u) 6. L trsformzione u=x+ trsform in f() e U in f(u) e poiché, per il teorem fondmentle, esiste un e un sol similitudine che mnd due punti dell rett ner in due punti dell rett ross, l proiezione che h centro nel punto S dove si incontrno le rette f() e U f(u) vendo quell crtteristic deve coincidere con l dt similitudine. Dunque qulunque si il punto X sull rett ner, l su immgine f(x) può essere costruit proiettndo d S il punto X sull rett ross.

9 S X U f() f(u) f(x) ' U' Muovendo il punto X possimo trovre l su immgine. E interessnte nche notre come cmi l trsformzione cmindo il prmetro (<0, 0<<1, >1) e cos succede cmino il prmetro.