Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10. Lecture 10: 6-7 Maggio Meccanismi con Pagamenti: Applicazioni e Limiti

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1 trument della Teora de Goch per l Informatca A.A. 2009/0 Lecture 0: 6-7 Maggo 200 Meccansm con Pagament: Applcazon e Lmt ocente Paolo Penna Note redatte da: Paolo Penna Lezone precedente Funzon d scelta socale Impossbltà d Arrow Meccansm con pagament Compatbltà VCG agl ncentv }{{} OGGI: applcazon, lmt 2 Un Esempo Facle Asta 2ndo Prezzo (Vckrey). celgo Mglore Offerta 2. Vnctore Paga 2nda Mglore Offerta Esempo: 7, 0 vnce, paga 7 Problema (2 Lnk, Pacchetto) c 2 c = costo d spedzone (latenza) Voglo sceglere l mglore (costo mnmo) Esempo:

2 2 Lecture 0: Meccansm con Pagament: Applcazon e Lmt scelgo lo pago Meccansmo per 2 Lnk, Pacchetto: Input:,c 2 (cost due lnk). Algorthmo: cegl lnk costo mn 2. Paga l lnk scelto l 2ndo mglor costo Perché funzona? (compatble agl ncentv) scelto, lo facco pagare 2nda offerta = -7 cost valutazon rceve 7 Basta essere Compatble agl Incentv? Modfchamo pagament così: P V ckrey È ancora compatble agl ncentv. Ma = P V ckrey 00 scelgo lo pago - 00 nessun gocatore vuole gocare! lo pago -00 Partecpazone Volontara (nformale): Gocare convene sempre

3 Lecture 0: Meccansm con Pagament: Applcazon e Lmt Partecpazone Volontara (sem-nformale): Gocare onestamente (dco l vero) convene rspetto a non gocare efnzone (Partecpazone Volontara): Un meccansmo (A, P) soddsfa la partecpazone volontara se, c, u (,c ) 0 dove u (,c ) := P u (,c ) (A(,c )) Problema (hortest-path) Esempo: c c 2 selezonare cammno mnmo Provamo ad usare Vckrey. selezono cammno mnmo 2. ogn arco selezonato rceve 2ndo mglor costo }{{}?????? evo pagare l secondo lnk pù corto o l secondo cammno pù corto? Non funzona comunque: 7 0 Convene mentre: 7 4 L Idea d Vckrey Meccansmo Fesso:. selezono cammno mn 2. pago arco selezonato P Fesso (c) = c

4 4 Lecture 0: Meccansm con Pagament: Applcazon e Lmt massma speculazone massma speculazone MIGLIOR CAMMINO ENZA - LUNGHEZZA CAMMINO MIN MA NON CONTANO massma speculazone Idea d Vckrey: Pago drettamente la massma speculazone del meccansmo fesso Usamo queste tre cose: P(c) = lunghezza cammno mnmo per cost c P c =0(c) = come sopra, ma non contando P (c ) = lunghezza cammno mnmo alternatvo ad (tolgo dal grafo) Vedamo cosa succede: Gl agent sono, 2 e per gl arch sopra (da snstra a destra) e 4 per l arco sotto. P(,7,0,0) = = 20 P c2 =0(,7,0,0) = = Ecco l pagamento per 2 : P 2 (,,0,0) = 0 P P 2 (c) := P 2 (c 2 ) P c2 =0(c 2 ) = = P 2 (c 2 ) ( c )

5 Lecture 0: Meccansm con Pagament: Applcazon e Lmt Perchè funzona? Abbamo costruto un meccansmo VCG Input: Cost (),...,c n () Algortmo: Trova la solutone x che mnmzza la somma de cost: (x) c n (x) Pagament: Agente rceve P V CG (c) = h (c ) [ (x ) + + c (x ) c + (x ) + c n (x )] dove h () non dmende da c. x = cammno mnmo per cost,...,c n c (x) = c se x usa/contene, c (x) = 0 se x non usa/contene Basta dmostrare (Eserczo) e osservare che P c =0 = (x ) + + c (x ) c + (x ) + c n (x ) P P (c) := P (c ) P c =0 sono d tpo V CG. Tutt meccansm VCG sono compatbl agl ncentv (lezone precedente) e qund: Teorema: Il problema dello shortest-path ha un meccansmo (A,P P ) compatble agl ncentv. Eserczo: mostra lo stesso rsultato per l problema del Mnmum pannng Tree (MT). 4 Lmt d VCG Problema (2 Lnk, 00 Pacchett)

6 6 Lecture 0: Meccansm con Pagament: Applcazon e Lmt Voglo blancare l carco (metà e metà crca) Provamo ad usare pagament VCG P V CG (c) = h (c ) c j (A(c)) j Per ora supponamo h () = 0. Ecco cosa succede: P V CG (9, 0) = 0 u (9, 0) = 0 9 = 9 P V CG (, 0) = 0 u (, 0) = = 8 Eserczo: mostra che anche sceglendo h () dversa da 0, pagament V CG non vanno bene con questo algortmo. omanda: Esstono de pagament per l algortmo A che blanca l carco (2 pacchett)? omanda: Qual algortm possono essere usat n un meccansmo (dato A esste P tale che (A,P) è compatble agl ncentv)? 2 Lnk, celgo pù lento Ammettono un meccansmo Comp. Incent. Utltar (VCG) 2 Lnk, 2 Pacchett (blanco carco) 2 Lnk, Pacchetto (lnk mglore) P MT

7 Lecture 0: Meccansm con Pagament: Applcazon e Lmt 7 Un problema rrsoluble Problema (2 Lnk, celgo pù lento) 6 Algortmo A: scegle l pù lento (max(,c 2 )) Teorema: Nessun pagamento P può dare un meccansmo compatble agl ncentv con questo algortmo. Ossa, comunque scelgo P, (A,P) non è compatble agl ncentv. mostrazone: Per assurdo, suppon che essta P t.c. (A,P) è compatble agl nceentv. Analzzamo due cas sopra, guardando al lnk d sopra. e l suo vero costo fosse allora l meccansmo garantsce che dcharando 6 l suo utle non mglora. In altre parole: P (,) 0 P (6,) e l suo vero costo fosse 6 allora l meccansmo garantsce che l suo utle non mglora dcharando P (6,) 6 P (,) 0 a queste due dsuguaglanze ottengo un assurdo 6 (somma le due dsuguaglanze). Qual sono gl algortm BUONI e quell CATTIVI? celgo l pù veloce celgo l pù lento

8 8 Lecture 0: Meccansm con Pagament: Applcazon e Lmt Eserczo: mostra che l seguente algortmo non può essere trasformato n un meccansmo (non esstono pagament, come nel teorema sopra). 0 Algortmo scalno Algortmo 00 pacchett è BUONO o CATTIVO? 00 Blanco l carco 6 Un alternatva a VCG Cosa camba da a 2 pacchett?

9 Lecture 0: Meccansm con Pagament: Applcazon e Lmt 9 PK I 2 PK 2 II I pk pago I = 2 pk I + II pk I Idea: Pago la massma speculazone pacchetto a pacchetto PK 2 PK speculazone 2 speculazone pk2 speculazone pk,4,...,00 PK? pagamento 2

10 0 Lecture 0: Meccansm con Pagament: Applcazon e Lmt Formula Pagament: P (c,c ) = q (c,c ) + c q (x,c )dx () 00 Blanco l carco Eserczo: mostra che quest pagament soddsfano la partecpazone volontara Algortm BUONI = MONOTONI (carco non aumenta) Eserczo: mostra che se un algortmo è CATTIVO (l carco d un agente aumenta quando l suo costo aumenta) allora non posso usare questo algortmo per ottenere un meccansmo compatble agl ncentv. uggermento: e l algortmo è cattvo, esstono due valor c e c tal che c < c e q (c,c ) < q (c,c ). Adatta la dmostrazone vsta per l problema 2 Lnk, celgo l pù lento. Problem One-Parameter Algortmo A: alloca q d carco ad ogn agente Costo agent: c per una untà = costo = q c efnzone (Algortmo Monotono): Un algortmo A è monotono se l carco d ogn agente non aumenta (quando l suo costo aumenta e gl altr cost rmangono ugual):, c q (x,c ) è non crescente n x

11 Lecture 0: Meccansm con Pagament: Applcazon e Lmt Teorema: Ogn algortmo A monotono ammette un meccansmo (A, P) compatble agl ncentv che utlzza pagament della formula (). mostrazone: Confrontamo l utltà d quando dce l vero con l utltà che dce un valore pù grande o uno pù pccolo. L utltà quando dcharo l vero costo è: q utltà [ pagamento - costo = q (,c ) + Vedamo l utltà quando dcharo un costo falso: (costo falso > costo vero). ] q (x,c )dx c q (,c ) = c q v (x,c ) q pagamento utltà c f c pagamento - costo = [ c f q (c f,c ) + c f q (x,c )dx ] q (c f,c ) = (c f cv ) q (c f,c ) + q (x,c ) La dfferenza tra le due utltà è tutta nel pezzo n mezzo a due punt. Qu usamo la monotona d q (): q q a b c a b c (b a) q(b) b a q(x)dx (b a) q(a) (2)

12 2 Lecture 0: Meccansm con Pagament: Applcazon e Lmt La parte d snstra è quella che usamo ora (dopo useremo quella destra): utle v = q (x,c )dx = (costo falso < costo vero). c f c v q (x,c )dx + (c f cv ) q (c f,c ) + q (x,c )dx q (x,c )dx = utle f q scoperto pagamento utltà c f c A destra d c f ho lo stesso utle del caso dco l vero, mentre a snstra d c f ho una parte del costo vero non coperta dal pagamento: l costo vero è mentre l pagamento è c f q (c f,c ) + q (c f,c ) = c f q (c f,c ) + ( cf ) q (c f,c ) c f c v q (x,c )dx = c f q (c f,c ) + q (x,c )dx + c f pagamento - costo = [ ] c v q (x,c )dx ( c f ) q (c f,c ) c f + q (x,c )dx = [ ] c v q (x,c )dx ( c f ) q (c f,c ) + utle v c f q (x,c )dx La parte n parentes sarebbe lo scoperto : per far vedere che è negatva o zero usamo la monotona d q () e l osservazone a pagna (parte destra della dsuguaglanza (2)). Qund l utle quando dco l falso non è mglore dell utle quando dco l vero. Ogn algortmo monotono può dare un meccansmo compatble agl ncentv. e un algortmo non è monotono allora non c è nessun meccansmo compatble agl ncentv con quell algortmo.