RAPPRESENTAZIONE ANALITICA DEI PUNTALI OGIVALI PER PROIETTILI

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1 M. G. BUSATO RAPPRESENTAZIONE ANALITIA DEI PUNTALI OGIVALI PER PROIETTILI mgbstudio.et

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3 SOMMARIO I umerose applicazioi balistiche, ed i particolare per calcolare la resisteza aerodiamica di u proiettile, occorre spesso disporre delle formule che cosetoo di descrivere aaliticamete u putale ogivale quado se e cooscao le caratteristiche dimesioali. I questo scritto soo riportate e dimostrate tali formule, e precisamete è riportata l equazioe della circofereza che rappreseta l ogiva, l equazioe che cosete di trovare gli agoli di raccordo della ogiva e le equazioi che e cosetoo di calcolare la superficie laterale ed il volume.

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5 1. INTRODUZIONE Il tipo di putale cosiderato è mostrato ella seguete Figura 1.1, ella quale soo ache idicati i parametri che e caratterizzao la geometria. Il putale è detto co raccordo secate se δ ' > 0 metre è detto co raccordo tagete se δ ' = 0. Figura 1.1 Le gradezze solitamete assute per idividuare u putale ogivale soo le segueti: D diametro massimo, D diametro miimo, L lughezza totale, R raggio dell ogiva oppure δ agolo al vertice. hiaramete, se D = 0 l ogiva ha la termiazioe a puta. Se R l ogiva degeera i u troco di coo (caso D 0) o i u coo (caso D = 0). Nel presete scritto soo riportate e dimostrate le formule attraverso le quali è possibile rappresetare u ogiva di assegate caratteristiche, idividuare gli agoli di raccordo, cioè δ e δ ', e calcolare la superficie laterale ed il volume.. EQUAZIONE DELL OGIVA Utilizzado il riferimeto cartesiao { O, x, y} mostrato i Figura.1, l equazioe della circofereza che rappreseta l ogiva è la seguete: y= y + R ( x x ).1 dove R è il raggio dell ogiva e x, y soo le coordiate del cetro della circofereza cosiderata, 1

6 cioè le coordiate del puto i Figura.1. Si ha, utilizzado il simbolismo itrodotto el precedete paragrafo: x 1 L ( D D ) 16 R ( D D ) 4L = 4 ( D D) + 4L. y 1 D D L 16 R ( D D ) 4L = + 4 ( D D) + 4L.3 Risulta ioltre che per assegati valori di D, D ed L, l ogiva si raccorda correttamete al corpo del proiettile, cioè il suo arco è sempre decrescete el primo quadrate del riferimeto { O, x, y}, purché si assuma: ( D D) + 4L R R = 4( D D ).4 Si ha quidi ua limitazioe iferiore per il valore di R. Nella.4, la codizioe R = R corrispode all ogiva co raccordo tagete ( δ ' = 0). Se si assume ivece R > R allora si ottiee u ogiva co raccordo secate ( δ ' 0). Figura.1

7 3. ANGOLI DI RAORDO DI UN OGIVA Noti D, D, L ed R, gli agoli δ e δ ' si ottegoo mediate le formule segueti: δ = arcta x L R ( x L ) 3.1 δ ' = arcta R x x 3. dove x è dato dalla.. Per gli agoli δ e δ ' sussiste chiaramete ua limitazioe equivalete alla.4. Si ha ifatti: δ D D 4( D D) L arcta < δ arcta δ L ( D D) 4L 3.3 Nella 3.3, la codizioe δ δ = δ corrispode all ogiva co raccordo tagete. Se ivece si assume = δ l ogiva degeera i u troco di coo (caso D 0) o i u coo (caso D = 0). I tal caso si ha ovviamete δ ' = δ. ome si è detto all iizio, per caratterizzare u ogiva si può assumere δ i luogo di R. I questo caso R è allora forito dalla seguete relazioe: R = [( D D) + 4 L ]sec δ 4[L ta δ ( D D )] 3.4 hiaramete, ella 3.4 δ deve soddisfare alla limitazioe SUPERFIIE LATERALE E VOLUME DI UN OGIVA la superficie laterale S lat ed il volume V di u ogiva risultao rispettivamete dati dalle formule segueti: S lat x x L L = π Ry arcta arcta + R x R ( x L) y 4.1 π V = x ( ) y D D + π R y arcta x x L arcta + V R x R ( x L ) L D + π L R x ( x L) + y

8 5. DIMOSTRAZIONE DELLE FORMULE DEI PARAGRAFI PREEDENTI Per dimostrare le formule riportate ei paragrafi precedeti, cosideriamo la seguete Figura 5.1 i cui il blu è riportata la sagoma del proiettile. Figura 5.1 Dalla Figura 5.1 si vede che: A = R ; Poiamo: DA D D = ; DB = L 5.1 Â K = α ; Â M = β ; D Â B = γ 5. Allora è evidete che: x K= Rsiα 5.3 D y OK = Rcosα 5.4 hiaramete: α = β γ 5.5 4

9 e cosiderado i triagoli rettagoli AM e DAB è facile vedere che: D D 1 R L M 4 β = arcsi = arcsi 5.6 A R Ifatti: DB L γ = arcsi = arcsi 5.7 AB D D + L AB = AD + DB ; 1 M = A AM = A AB 5.8 Sostituedo la 5.5 ella 5.3 e ella 5.4 co β e γ foriti rispettivamete dalle 5.6 e 5.7 ed applicado successivamete le formule di addizioe, si ottegoo subito la. e la.3, che risultao quidi dimostrate. hiaramete, affiché l ogiva si raccordi co il corpo del proiettile i modo corretto, cioè affiché i Figura.1 l arco di circofereza sia sempre decrescete el primo quadrate del riferimeto {O, x, y}, occorre che sia β γ, cioè che risulti: α Ovviamete, il caso α = 0 corrispode alla situazioe i cui l ogiva si raccorda al corpo del proiettile i modo tagete. La 5.9, i forza delle 5.6 e 5.7, poe ua restrizioe ai valori ammissibili per i parametri R, D, L e D. Utilizzado ella 5.5 le espressioi di β e γ forite dalle 5.6 e 5.7, risulta allora dalla 5.9 che il raggio R deve soddisfare alla seguete relazioe (per assegati valori di D, L, D ): R > R ( D 1) + 4L = 4(1 D) D 5.10 Ache la.4 è quidi dimostrata. La.1 è l equazioe cartesiaa di ua circofereza di raggio R e cetro el puto di coordiate x, y e quidi o ha bisogo di ulteriori precisazioi. Le 3.1 e 3. seguoo direttamete dalla.1 calcoladoe la derivata rispettivamete ei puti x= L ed x = 0. Il valore assoluto è stato itrodotto perché gli agoli δ e δ ' si cosiderao sempre positivi. La limitazioe 3.3 si ottiee osservado che a parità di D, 5 D ed L, l agolo δ è massimo quado

10 l ogiva è a raccordo tagete ed è miimo quado l ogiva degeera i u troco di coo (o i u coo se D = 0). L agolo limite δ si ottiee quidi assumedo che ella 3.1 sia R = R ed esprimedo di cosegueza ache il valore di di u coo di base D D ed altezza L. x. L agolo limite δ è ivece chiaramete quello La formula 3.4 che forisce R i fuzioe di D, D, L e δ si ottiee esprimedo ella 3.1 x mediate la. e quidi esplicitado R dalla relazioe che così si ottiee. Occorroo diversi passaggi ma alla fie si perviee alla 3.4 che risulta quidi dimostrata. No resta ora che dimostrare le formule 4.1 e 4. le quali foriscoo rispettivamete la superficie laterale ed il volume dell ogiva. Ma questo è immediato, ifatti (v. [1], ap. 10, 7): S lat L = π y( x) 1+ y' ( x) d x L V π y ( xdx ) 0 = 5.1 dove egli itegrali a secodo membro la fuzioe y (x) si deve cosiderare data dalla.4. alcolado gli itegrale i questioe si perviee, dopo alcui passaggi e semplificazioi, alle 4.1 e 4. che risultao quidi provate. NOTA: ome si è detto S lat è la superficie laterale dell ogiva e quidi se l ogiva è a termiazioe troca ( D 0), essa o rappreseta la superficie totale esposta all aria dell ogiva, cioè la superficie S che racchiude il volume V. Questa è ifatti data dalla formula seguete: π S = Slat + D

11 BIBLIOGRAFIA GENERALE [1] L. Brasca, Tavole Matematiche, Ghisetti & orvi [] N. F. Krasov, Aerodyamics of Bodies of Revolutio, America Elsevier [3] R. L. Mcoy, Moder Exterior Ballistics, Schiffer Publishig Ltd

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13 INDIE GENERALE 1. INTRODUZIONE 1. EQUAZIONE DELL OGIVA 1 3. ANGOLI DI RAORDO DI UN OGIVA 3 4. SUPERFIIE LATERALE E VOLUME DI UN OGIVA 3 5. DIMOSTRAZIONE DELLE FORMULE DEI PARAGRAFI PREEDENTI 4 BIBLIOGRAFIA GENERALE 7

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