Note sul moto circolare uniforme.

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Clementina Venturi
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1 Note sul moto circolre uniforme. Muro Sit e-mil: Versione proisori, ottobre Indice 1 Il moto circolre uniforme in sintesi. 1 2 L ide di Hmilton 2 3 Esercizi Risposte Il moto circolre uniforme in sintesi. Figur 1: Moto di un prticell che descrie l circonferenz di rggio r = 2 con elocità unitri. Il ettore ccelerzione è indicto in blù e punt erso il centro dell circonferenz, il ettore elocità è quello rosso e risult in ogni istnte tngente ll triettori. 1. Velocità tngenzile. L direzione del ettore elocità cmbi continumente (il ettore elocità è in ogni istnte tngente ll circonferenz), mentre l su intensità è doe indic il periodo. = 2πr 2. Frequenz f. L frequenz f è il numero di giri che il punto mobile compie ttorno ll circonferenz nell unità di tempo. Si misur in hertz. 0 Nome file: moto-circolre-uniforme-2012.tex 1 Hz = 1 giro secondo 1

2 3. Relzione tr frequenz e periodo: f = 1 4. Accelerzione centripet. L ccelerzione punt sempre erso il centro dell circonferenz e per questo si chim ccelerzione centripet. L su intensità è c = 2 r 5. Velocità ngolre. Se il rggio ettore r spzz l ngolo α (misurto in rdinti) nel tempo t llor l elocità ngolre ω è dt d ω = α t. Poichè il rggio ettore descrie l ngolo α = 2π nel tempo si h: ω = 2π 6. Relzione tr elocità tngenzile e elocità ngolre ω. Poichè = 2πr = ωr 7. Relzione tr ccelerzione centripet c e elocità ngolre ω. Poichè c = 2 r c = ω2 r 2 r. Quindi c = ω 2 r si h: si h: 2 L ide di Hmilton Si consideri un prticell o un pinet P che si muoe in modo uniforme lungo un cerchio di rggio r e centro. L direzione del moto di P è in ogni istnte tngente l cerchio e continu cmbire, così come continu cmbire l direzione dell elocità. D ltr prte l prticell P si muoe di moto circolre uniforme, quindi percorre distnze uguli in tempi uguli; questo signific che il modulo dell elocità (l distnz che P percorre nell unità di tempo, indipendentemente dll direzione) è costnte. Se l elocità di P in P 1 è rppresentt in direzione e intensità dl ettore P 1 A 1 e l elocità in P 2 è rppresentt dl ettore P 2 A 2 llor entrmbi i ettori deono ere l stess lunghezz: P 1 A 1 = P 1 A 1 = 2

3 P 1 P2 A 1 ϑ A 2 Figur 2: Moto circolre uniforme: P descrie il cerchio di centro con elocità. Il modulo (l distnz percors nell unità di tempo) è costnte. I ettori P 1 A 1 e P 2 A 2 hnno stess lunghezz m diers direzione. Il ftto che i ettori elocità bbino l stess lunghezz interessò moltissimo Hmilton. Qul è il ero significto di quest ipotesi? In ltre prole, quli conseguenze si possono dedurre dl ftto che P si muoe con elocità costnte (in modulo)? Per rispondere quest domnd Hmilton escogitò un nuoo modo di rffigurre i ettori elocità e chimò quest rppresentzione odogrf. Egli duplicò i ettori P 1 A 1 e P 2 A 2 e, mntenendo inrite direzione e lunghezz, fece in modo che risultssero spiccti d uno medesimo punto prefissto O. osì OA 1 risult essere un copi di P 1 A 1 e OA 2 un copi di P 2 A 2. Poiché i due nuoi ettori sono prlleli gli originli, l ngolo θ indiiduto dlle copie è ugule ll ngolo indiiduto dgli originli. P 1 P2 A 1 ϑ A 2 O ϑ A 1 A 2 Figur 3: L rppresentzione di Hmilton dei ettori elocità. Qundo P descrie il cerchio di centro l punt A del ettore elocità descrie il cerchio di centro O. Si può pensre i due cerchi dell figur come i qudrnti di due orologi sincroni nel senso che mentre l lncett P ruot uniformememente d P1 P 2 sul primo qudrnte, l lncett OA ruot d OA 1 OA 2 sul secondo qudrnte. Ne segue che OA descrie l intero cerchio prtendo d OA 1 e tornndo in OA 1 nello stesso tempo in cui P descrie l intero cerchio prtendo d P 1 e tornndo in P 1. os si può dedurre d questo ftto? L prticell P, muoendosi con elocità uniforme, descrie nel tempo un cerchio di rggio r. Quindi = 2π r (2.1) 3

4 Nel medesimo tempo (gli orologi sono sincroni) il punto A descrie con elocità uniforme il cerchio di rggio. Indict con l elocità del punto A si ottiene: Dlle equzioni (2.1) e (2.2) si ric: = 2π (2.2) Infine, si ottiene: = 2π 2π r = r (2.3) (2.4) = 2 r (2.5) he cos rppresent? è il modulo dell elocità istntne del punto A, il suo lore non cmbi nel tempo perchè il moto di A è uniforme. M, ricordimo, OA è l copi del ettore che rppresent l elocità di P, quindi è il modulo dell ccelerzione istntne di P. M l ccelerzione è un grndezz ettorile, qul è llor l su direzione? Ancor un olt bisogn fre riferimento ll Figur 3: il moto del punto A qundo si tro in A 1 è istntnemente tngente l cerchio in A 1, cioè perpendicolre OA 1 e di conseguenz prllelo P 1. osì l ccelerzione di P in P 1 h l direzione del ettore P 1, cioè è dirett erso il centro del suo cerchio di rotzione. Figur 4: Nel moto circolre uniforme il ettore ccelerzione è diretto erso il centro del cerchio di rotzione e il suo modulo le = 2 r. 4

5 3 Esercizi Esercizio 3.1. L terr compie un rioluzione complet ttorno l sole in circ 365 giorni e 6 ore. Supponendo l orbit circolre (rggio orbitle medio = km), determinre l elocità tngenzile dell terr. (Esprimere il risultto in km/s). Esercizio 3.2. L lun compie un rioluzione complet ttorno ll terr in 27.3 giorni. Supponendo l orbit circolre, determinre l ccelerzione centripet dell lun dout l suo moto di rioluzione. L Figur 5: Il moto di rioluzione dell lun ttorno ll terr. L orbit è suppost circolre. Esercizio 3.3. Un stellite ruot ttorno ll terr un ltezz di 200 km dll superficie terrestre descriendo un orbit circolre. L unic forz che gisce sul stellite è l forz gritzionle terrestre che quell ltezz è circ g = 9.2 m/s 2. Perchè il stellite non cde sull terr? A B motori. D Il stellite non cde perché quell quot l ccelerzione di grità è qusi null. Il stellite non cde perché corregge periodicmente l su triettori ttindo i Il stellite non cde cus dell su elocità tngenzile. Il stellite non cde cus dell forz gritzionle esercitt su di lui dl sole. S Figur 6: Perché il stellite non cde sull terr? Esercizio 3.4. Un stellite rtificile orbit ttorno ll terr con moto circolre uniforme. Dett g l ccelerzione di grità e R il rggio dell orbit, dimostrre che l elocità tngenzile del stellite è = R g. Soluzione. Si consideri l seguente figur 5

6 A dx dy B Figur 7: Stellite che ruot ttorno ll terr di moto circolre uniforme. Il centro dell orbit coincide con il centro dell terr. Nell interllino di tempo dt il stellite, inizilmente nell posizione A, si spost di un trtto dx = dt lungo l tngente ll orbit e di un trtto dy = 1 2 g (dt)2 in direzione rdile, orientto erso il centro dell terr. rscorso questo interllino di tempo, il stellite rggiunge l posizione B. Si osseri or che il tringolo infinitesimo zzurro è simile l tringolo rncione (perchè?). Pertnto, detto R il rggio dell orbit, si h: dx dy = 2R dy dx (3.1) Posto dx = dt e dy = 1 2 g (dt)2 l uguglinz (3.1) dient: dt 1 2 g = 2R 1 2 g (dt)2 (dt)2 dt (3.2) 2 2 g = 2R 1 2 g (dt)2 Infine, trscurndo il termine infinitesimo di secondo grdo ( cioè, ponendo (dt) 2 = 0), si ottiene: g = 2 R e = Rg Esercizio 3.5. Un stellite rtificile orbit ttorno ll terr con moto circolre uniforme d un ltezz di 200 km dl suolo. Spendo che l ccelerzione di grità quell quot è g = 9.2 m/s 2, si determini: 1. l elocità tngenzile del stellite. 2. il periodo dell orbit. Soluzione. 6

7 1. Il rggio dell orbit circolre è R = ( ) km = 6580 km. Quindi l elocità tngenzile del stellite è = R g = = m/s Quindi l elocità del stellite è poco meno di 8 km/s. 2. Il periodo dell orbit è = 2πR. In questo cso si h: = 2π = s 88.5 min Il 4 ottobre 1957 l URSS mndò in orbit ttorno ll terr il primo stellite rtificile, lo Sputnik 1. Ae le dimensioni di un sfer di 58 cm di dimetro, pes 83.3 kg, il suo periodo orbitle er di circ 96 minuti, l orbit er ellittic: l distnz dll superficie terrestre ri d 228 km 947 km. 3.1 Risposte Esercizio 3.1 L elocità tngenzile dell terr è circ km/s, cioè km/h. Esercizio 3.3 L rispost estt è. 7

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