MOTO CIRCOLARE VARIO

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1 MOTO ARMONICO E MOTO VARIO PROF. DANIELE COPPOLA

2 Indice 1 IL MOTO ARMONICO LA LEGGE DEL MOTO ARMONICO L ACCELERAZIONE DEL MOTO ARMONICO MOTO CIRCOLARE VARIO MOTO CURVILINEO VARIO MOTO RETTILINEO VARIO ESERCIZIO SUL MOTO ARMONICO ESERCIZI DI RIEPILOGO SULLA CINEMATICA di 12

3 1 Il moto armonico Un altalena, un pendolo o una corda di chitarra compiono un moto di va e vieni intorno ad una posizione di equilibrio. Il loro movimento oscillatorio è caratterizzato da un periodo e da una frequenza. Il periodo è l intervallo di tempo in cui l oggetto percorre un oscillazione completa ovvero un movimento completo di andata e ritorno. La frequenza è il numero di oscillazioni nell unità di tempo. Un tipo particolare di moto oscillatorio è il moto armonico. Osservando la Figura 1 possiamo dire che mentre il punto P si muove di moto uniforme sulla circonferenza la sua proiezione Q sul diametro si muove di moto armonico. Figura 1 Esempio di moto armonico Sapendo che P si muove di moto uniforme (pertanto percorre archi uguali in intervalli di tempo uguali), vogliamo sapere se anche il punto Q si muove di moto uniforme. Osserviamo la Figura 2. 3 di 12

4 Figura 2 Moto armonico Mentre il punto P passa tra le posizioni P1, P2, P3,, la sua proiezione Q si trova successivamente in Q1, Q2, Q3,. Gli archi P0P1, P1P2, P2P3 che sono stati disegnati tutti della stessa ampiezza, sono percorsi da P in eguali intervalli di tempo. I segmenti P0Q1, Q1Q2, Q2Q3 su cui si muove la proiezione Q, sono diversi l uno dall altro. Questo vuol dire che il punto Q in intervalli di tempo eguali non percorre distanze uguali; di conseguenza non si muove di moto rettilineo uniforme. In particolare verso il centro della circonferenza (da P0 a Q3 nell andata e da P6 a Q3 nel ritorno) la proiezione Q percorre in uguali intervalli di tempo segmenti sempre più lunghi. Allontanandosi dal centro (da Q 3 a P 6 nell andata e da Q 3 a P 0 al ritorno), percorre in uguali intervalli di tempo segmenti sempre più brevi. Pertanto il moto è accelerato (la velocità aumenta) quando Q va dagli estremi al centro è decelerato (la velocità diminuisce) quando Q va dal centro agli estremi. Un moto armonico, come quello che compie il punto Q, è un particolare moto oscillatorio. Ma non tutti gli oggetti che oscillano si muovono di moto armonico. Per riprodurre questo moto, devono spostarsi come la proiezione Q sulla retta del diametro, di un punto che percorre una circonferenza a velocità costante. Nella vita quotidiana si incontrano spesso moti armonici, lo sono ad esempio il moto di un pendolo, quello di una molla o di una corda di chitarra questo purché i loro spostamenti siano piccoli rispetto ad una posizione di equilibrio. Se gli spostamenti dalle posizioni di equilibrio sono grandi, il moto diventa generalmente più complesso e perde il suo carattere di armonicità. Il grafico spazio-tempo di un moto armonico è rappresentato da una sinusoide. La distanza tra due creste consecutive della curva rappresenta il periodo T del moto armonico. 4 di 12

5 1.1 La legge del moto armonico Se scegliamo un sistema di riferimento in cui l origine s = 0 è posta al centro dell oscillazione, la posizione s occupata da un punto che si muove di moto armonico può essere descritta dalla seguente relazione (legge del moto armonico) s = r cos(ωt) dove ω è la velocità angolare del moto circolare (ω =2π/T), che spesso viene detta anche pulsazione del moto armonico. Questa scelta corrisponde alla scelta fatta alla Figura 2, se si immagina che all istante t = 0 il punto P si trovi all estremo P 0 del diametro e quindi il punto Q sia a distanza r dal centro della circonferenza. La legge del moto descrive il grafico di una sinusoide. Per convincersene, studiamo alcuni casi: all istante t = 0, il corpo si trova nella posizione s = r cos0 = r, cioè nel punto di massimo spostamento positivo. Nell istante t = T/4 si trova in s = r cos(π/2) = 0: il corpo passa per il punto centrale dell oscillazione. A t = T/2 (dopo metà periodo) si ha s = r cosπ = r(-1) = - r, il corpo è giunto al punto di massima oscillazione negativa. Se si sceglie come t = 0 l istante in cui il punto passa per il punto centrale dell oscillazione, la formula che descrive il moto è, invece: s = r sen(ωt) 1.2 L accelerazione del moto armonico La traiettoria del moto armonico è un segmento rettilineo (per esempio il segmento AB della Figura 1). Per questo motivo il vettore accelerazione e il vettore velocità del punto che si muove di moto armonico sono sempre paralleli a tale segmento. Per questo tipo di moto il modulo dell accelerazione a è variabile. Poiché il moto del punto Q è la proiezione su un diametro del moto del punto P sulla circonferenza, l accelerazione a di Q si ottiene dall accelerazione centripeta a c di P proiettando questo vettore sul diametro della circonferenza. Siccome i triangoli rettangoli OPQ e quello che ha per lati a c e a sono simili, i lati corrispondenti a e s (OQ) e a c e r (OP) sono tra loro in proporzione e si ha: 5 di 12

6 Figura 3 L'accelerazione del moto armonico Se risolviamo l uguaglianza rispetto ad a si ha: Se al posto dell accelerazione centripeta sostituiamo la sua espressione si ha: Scopriamo così che l accelerazione a del punto Q è proporzionale alla distanza s del punto dal centro O dell oscillazione. La relazione tra i moduli che abbiamo appena dimostrato può essere facilmente trasformata in un eguaglianza tra vettori. Infatti, già abbiamo detto che, nel moto armonico, è parallelo al vettore spostamento. Inoltre questi due vettori hanno sempre verso opposto. Quindi la relazione vettoriale diventa: 6 di 12

7 2 Moto circolare vario Rappresenta la generalizzazione del moto circolare uniforme al caso in cui la velocità periferica non sia più costante. Nella norma si tratta dei moti circolari naturali dovuti alla presenza di fenomeni dissipativi o alla presenza di motori che agiscono durante il moto. Per esempio: le rotazioni di un atleta che lancia il martello avvengono con velocità variabile per volontà dell atleta, mentre la velocità angolare della ruota di bicicletta diminuisce se si smette di pedalare per gli effetti dissipativi di energia dovuti all attrito. 7 di 12

8 3 Moto curvilineo vario E il moto più generale possibile. Un corpo soggetto a forze solitamente si muove cosi e il suo moto può essere analizzato come scomposizione di tanti moti circolari con raggio di curvatura e velocità variabili. Queste caratteristiche sono presentate ad esempio dal moto di uno sciatore durante uno slalom. 8 di 12

9 4 Moto rettilineo vario E un caso particolare dei moti rettilinei in cui l accelerazione cambia. Un generico moto rettilineo, fatto di accelerazioni, frenate, moti per inerzia corrisponde al moto rettilineo vario. Questo moto si ha ad esempio nel colpo di karate. 9 di 12

10 5 Esercizio sul moto armonico Se un punto si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza, il cui raggio misura 5 cm, percorrendola 15 volte al minuto, qual è la legge del moto armonico della sua proiezione sull asse orizzontale? Anche in questo caso bisogna sistemare le unità di misura. Dobbiamo esprimere il raggio in metri, per tanto 5 cm = 0.05 m. Inoltre bisogna esprimere la frequenza in giri al secondo e non al minuto. Se il punto percorre la circonferenza 15 in un minuto la sua frequenza è di 15 giri al minuto Il numero di giri al secondo sarà di 15/60 = 1/4 = 0.25 Hertz. Da qui possiamo scrivere la pulsazione del moto ricordando che sostituendo si ha che, quindi la legge del moto è: 10 di 12

11 6 Esercizi di riepilogo sulla cinematica 1) Un automobile di media cilindrata compie il kilometro con partenza da fermo in 30s. Supponendo che si muova di moto uniformemente accelerato, qual è il valore della sua accelerazione? Ricordiamo che la legge del moto uniformemente accelerato è: Nel nostro caso sappiamo che l automobile percorre 1 km (cioè 1000 m) in 30 secondi con partenza da fermo, questo vuol dire che nel nostro caso s 0 = 0. La posizione finale, dai dati del problema, campiamo essere 1000 m, dunque sostituendo questi dati nell equazione del moto, si ha: Da cui: 2) Due auto hanno una velocità iniziale di 60 km/h e 100 km/h rispettivamente. A un certo istante frenano contemporaneamente, la prima con una accelerazione uguale a -1.66m/s 2 e la seconda con un accelerazione pari a m/s 2. Quale delle due macchine si ferma per prima? Come al solito bisogna riportare le unità di misura di partenza in modo opportuno rispetto a quelle date, visto che l accelerazione è data in m/s 2, dobbiamo portare i km/h in m/s. Quindi: La legge che usiamo è quella sulla velocità del moto rettilineo uniformemente accelerato Ricordiamo che l accelerazione è negativa perché stiamo decelerando. Le velocità iniziali sono in questo caso 16.2 m/s e 27 m/s rispettivamente. Se il problema richiede che l istante in cui si ferma la macchina, la velocità finale sarà 0, dunque sostituendo: 11 di 12

12 Ricaviamo dunque che a fermarsi prima è la prima macchina. 12 di 12