MATEMATICA GENERALE APPLICAZIONI DI MATEMATICA PER L ECONOMIA 1/6/2011 A. NOME e COGNOME Matricola. x = x 3 + 1

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1 1/6/2011 A NOME e COGNOME Matricola I parte: quesiti preliminari (riportare le soluzioni su questo foglio, giusti cando la risposta) i) Si risolva l equazione: x = x ii) Si risolva la disequazione: x 5 x < 1 iii) Si disegni il gra co della funzione: y = j x 4 j :

2 2 1/6/2011 A II parte - Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata. I - Massimi e minimi vincolati per funzioni in più variabili Si utilizzi il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per trovare il punto o i punti di massimo relativo di f(x 1 ; x 2 ) = 10 x 2 1 x 2 2 con il vincolo x 1 + x 2 = 10; sapendo che esiste almeno un punto di massimo relativo. II - Si descrivano brevente i metodi studiati per risolvere un sistema di equazioni lineari, con particolare riferimento all algoritmo di Gauss- Jordan; - che cosa si può dire del limite: lim x! 1 c n x n + : : : + c 2 x 2 + c 1 x + c 0 d m x m + : : : + d 2 x 2 + d 1 x + d 0 con c i e d i costanti (c n 6= 0 e d m 6= 0)? - Si dia l enunciato del Teorema fondamentale del calcolo integrale (TFC). - Facoltativo: indicativamente, per la matematica che di erenza c è tra una dimostrazione ed un esempio?

3 3 1/6/2011 B NOME e COGNOME Matricola I parte: quesiti preliminari (riportare le soluzioni su questo foglio, giusti cando la risposta) i) Si risolva l equazione: x 5 1 = x ii) Si risolva la disequazione: 5 x x > 2 iii) Si disegni il gra co della funzione: y = -j x 4 j :

4 4 1/6/2011 B II parte - Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata. I - Massimi e minimi vincolati per funzioni in più variabili Si utilizzi il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per trovare il punto o i punti di massimo relativo di f(x 1 ; x 2 ) = 16 x 2 1 x 2 2 con il vincolo x 1 + x 2 = 16; sapendo che esiste almeno un punto di massimo relativo. II - Si descrivano brevente i metodi studiati per calcolare la matrice inversa; - che cosa si può dire del limite: lim x!+1 c n x n + : : : + c 2 x 2 + c 1 x + c 0 d m x m + : : : + d 2 x 2 + d 1 x + d 0 con c i e d i costanti (c n 6= 0 e d m 6= 0)? - Data: A(x) = Z x 0 e t2 dt si calcoli A 0 (x). - Facoltativo: indicativamente, per la matematica che di erenza c è tra una dimostrazione ed un esempio?

5 5 1/6/2011 A I parte: i) x = 3 2 ii) x < 5 2 e x > 5 iii) per il gra co della funzione si rimanda al libro di testo.

6 6 1/6/2011 A II parte: I - Si ha: 8>< f x1 = 2x 1 = = g x1 >: f x2 = 2x 2 = = g x2 g(x 1 ; x 2 ) = x 1 + x 2 10 = 0 da cui si ricava: 2 3 x 1 = 5 6 x 2 = = 10 Quindi il punto di coordinate (5,5) risolve il problema di ottimizzazione vincolata. Si ha inoltre: f(5; 5) = 40: II - Per le domande di teoria si rimanda al libro di testo, in particolare al secondo capitolo, al paragrafo 6.7 e al paragrafo Una dimostrazione è un procedimento logico-deduttivo in cui si mostra che da determinate ipotesi segue una certa tesi (si consideri, per esempio, la dimostrazione (alla voce: Domanda - Risposta) della formula di integrazione per parti a pag. 478 del libro di testo). Un esempio è l applicazione di un concetto o un risultato generale ad un caso particolare, magari numerico (si consideri, tra gli altri, il primo esempio ("esempio breve") dell applicazione della formula di integrazione per parti sempre a pag. 478).

7 7 1/6/2011 B I parte: i) x = 65 4 ii) x < 5 e x > 0 iii) per il gra co della funzione si rimanda al libro di testo.

8 8 1/6/2011 B II parte: I - Si ha: 8>< f x1 = 2x 1 = = g x1 >: f x2 = 2x 2 = = g x2 g(x 1 ; x 2 ) = x 1 + x 2 16 = 0 da cui si ricava: 2 3 x 1 = 8 6 x 2 = = 16 Quindi il punto di coordinate (8,8) risolve il problema di ottimizzazione vincolata. Si ha inoltre: f(8; 8) = 112: II - Per le domande di teoria si rimanda al libro di testo, in particolare al paragrafo 3.3 ed al paragrafo A 0 (x) = e x2 (si veda comunque il paragrafo 9.5). - Una dimostrazione è un procedimento logico-deduttivo in cui si mostra che da determinate ipotesi segue una certa tesi (si consideri, per esempio, la dimostrazione (alla voce: Domanda - Risposta) della formula di integrazione per parti a pag. 478 del libro di testo). Un esempio è l applicazione di un concetto o un risultato generale ad un caso particolare, magari numerico (si consideri, tra gli altri, il primo esempio ("esempio breve") dell applicazione della formula di integrazione per parti sempre a pag. 478).