Lezione 4. Risposte canoniche dei sistemi del primo e del secondo ordine

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1 Lezione 4 Ripoe canoniche dei iemi del primo e del econdo ordine

2 Parameri caraeriici della ripoa allo calino Per ripoe canoniche i inendono le ripoe dei iemi dinamici ai egnali coiddei canonici (impulo, calino, rampa), ovvero quei egnali uilizzabili come e per evidenziare le proprieà dinamiche del iema. Ci concenreremo ui iemi del primo e econdo ordine in quano rappreenaivi dei modelli di prima approimazione di larga pare dei iemi fiici. Sul racciao di una generica ripoa allo calino poremo definire alcuni parameri caraeriici: () 0.9 S ±ε% 0.1 aε Fig. 1 : Parameri caraeriici della ripoa allo calino empo di alia : è il empo impiegao dalla ripoa a paare dal 10% al 90% del valore di regime. empo di aeameno al (100-ε)% aε : è il empo impiegao dalla ripoa ad enrare definiivamene in una facia comprea ra ±ε% del valore di regime. Sovraelongazione percenuale maima S E : è l ecurione maima della ripoa ripeo al valore di regime, rapporaa in percenuale al valore di regime eo: { ()} S max SE = 100 = 100. P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-1

3 Siemi del primo ordine L epreione più generale della funzione di raferimeno per un iema del primo ordine (oia con un olo polo) è la eguene: ( ) G τ = g. Siemi reamene propri Sono i iemi in cui il grado del denominaore è maggiore del grado del numeraore. Siemi del primo ordine reamene propri non poono quindi preenare zeri: 1, g = 0 G ( ) = g =, g = 1 g = 0 ( ) G = 1 + Sudiamo la ripoa allo calino ( u () = ca() U() = 1 ): Y ( ) = GU ( ) ( ) = 1 = + + = / Aniraformando: () ( ) = 1 e, 0. A econda del egno di l andameno di riula molo divero 1 : > 0 < 0 Fig. : Ripoa allo calino per >0 e <0 1 Qui e nel eguio i aumerà, enza alcuna perdia di generalià, il paramero poiivo. P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4 -

4 Quando >0, la ripoa i aea u un valore finio, menre quando <0 la ripoa diverge all infinio. Si oervi che il iema di funzione di raferimeno G() preena un polo per = 1/. Perano il iema riula ainoicamene abile per >0, inabile per <0. 1/ 1/ > 0 < 0 Fig. 3 : Poizione del polo per >0 e <0 Coniderando olo il cao ainoicamene abile (>0), i può calcolare il valore limie (per ) della ripoa allo calino con il eorema del valore finale: lim () = lim[ Y ()] = lim =. Perano la ripoa allo calino ende al guadagno del iema: in alre parole il rapporo ra il valore limie dell ucia ed il valore limie dell ingreo (che in queo cao vale 1, eendo l ingreo uno calino), è pari al guadagno del iema. Ciò coiuice una circoanza generale. La forma del raniorio dipende invece olo dalla coane di empo. All iane iniziale (=0) la derivaa di vale /: perano inizialmene la curva è angene alla rea che paa per l origine e che inercea la rea orizzonale di ordinaa (oia la rea a cui ende la ripoa), in corripondenza dell iane = (fig. 1). Ne conegue che il raniorio è ano più veloce quano più piccolo è il valore della coane di empo. Si può verificare che la ripoa raggiunge praicamene (al 98 99%) il valore di regime dopo un empo pari a 4 5 vole la coane di empo. Si oervi che da quee coniderazioni emerge anche con mola evidenza un meodo grafico per racciare l andameno approimao della ripoa allo calino. Sudiamo anche la ripoa all impulo ( u () = imp() U() = 1 ): 1 Y ( ) = GU ( ) ( ) = = / Aniraformando: () e =, 0. Si noi che la ripoa all impulo riula uguale alla derivaa ripeo al empo della ripoa allo calino (circoanza generale). A econda del egno di i oiene: P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-3

5 / > 0 < 0 Fig. 4 : Ripoa all impulo per >0 e <0 Coerenemene con la definizione di abilià, per >0 (iema ainoicamene abile), la ripoa converge a zero, per <0 (iema inabile) la ripoa diverge. g = 1 ( ) G =. Il iema ha un polo in =0: è perano emplicemene abile. Sudiamo la ripoa allo calino ( u () = ca() U() = 1 ): 1 Y ( ) = GU ( ) ( ) = = Aniraformando: () = ram ().. 1 Fig. 5 : Ripoa allo calino Per quano riguarda la ripoa all impulo: Y ( ) = GU ( ) ( ) =. P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-4

6 e quindi: () = ca (). Fig. 6 : Ripoa all impulo In enrambi i cai l ucia equivale all inegrale dell ingreo, moliplicao per il faore. Siemi propri non reamene Sono i iemi in cui il grado del denominaore è uguale al grado del numeraore. Siemi del primo ordine propri non reamene preenano quindi uno zero: ( ) G τ = g = τ, τ,, g = 0 g = 1 g = 1 g = 0 τ G ( ) = Sudiando la ripoa allo calino i perviene alla eguene epreione: () τ = + e 1 1, 0. Al variare del valore relaivo di τ e (e quindi della poizione relaiva del polo e dello zero) la ripoa allo calino cambia enibilmene (i conidera olo il cao ainoicamene abile, >0): P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-5

7 0 < τ < τ/ 1/τ 1/ Fig. 7 : Ripoa allo calino per 0<τ< τ/ 0 < < τ 1/ 1/τ Fig. 8 : Ripoa allo calino per 0<<τ τ < 0 < 1/ 1/τ τ/ Fig. 9 : Ripoa allo calino per τ<0< Uno zero nel emipiano iniro anicipa la ripoa ripeo al cao di iema privo di zero, nel eno che la ripoa ea i pora inizialmene ad un valore divero da zero, dello eo egno del valore di regime. Uno zero nel emipiano dero riarda la ripoa ripeo al cao di iema privo di zero, nel eno che la ripoa ea i pora inizialmene ad un valore divero da zero, di egno oppoo al valore di regime (ripoa invera). Queo ipo di comporameno è ipico dei P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-6

8 iemi con zeri nel emipiano dero, che per ragioni che aranno chiare più avani nel coro, prendono anche il nome di iemi a fae non minima. g = 1 ( ) G τ = τ > 0 1/τ 1 Fig. 10 : Ripoa allo calino per τ>0 τ < 0 1 1/τ Fig. 11 : Ripoa allo calino per τ<0 g = 1 ( ) G = / 1/ Fig. 1 : Ripoa allo calino (zero in =0) P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-7

9 Siemi del econdo ordine Per i iemi del econdo ordine (che preenano cioè due poli) ci limieremo ad eaminare alcuni cai paricolari, rinunciando alla caiica complea. Siemi con poli reali e neuno zero G ( ) = ( )( ) 1. Aumiamo 1 e poiivi, oia il iema ainoicamene abile (i uoi poli, in = 1/ 1, = 1/, ono nel emipiano iniro). La raformaa di Laplace della ripoa allo calino è daa da: Y ( ) =. ( 1)( ) In bae al eorema del valore iniziale, oeniamo: [ ] ( 0) = lim Y( ) = lim ( ) L( ) ( )( ) 1 = 0 [ ] ( ( ) ( ) [ )] [ ( )] & 0 = lim & = lim Y 0 = lim Y = lim ( ) L( ) 3 [ ] ( ) [ ] ( ( ) ( )) [ ] && 0 = lim && = lim Y & 0 = lim Y = lim menre in bae al eorema del valore finale: [ ] ( ) = lim Y( ) = lim 0 0 ( )( ) 1 =. ( )( ) 1 ( )( ) = 0 = > La ripoa pare quindi da zero, con angene orizzonale e concavià rivola vero l alo. ende poi al valore. L aniraformaa i può oenere con il meodo di Heaviide: () e e 1 = 1 1 +, L andameno ipico è a forma di S : P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-8

10 Fig. 13 : Ripoa allo calino La duraa del raniorio può eere facilmene legaa alle due coani di empo 1 e olo e i due valori ono molo diveri ra loro: in al cao, infai, cona olo il valore della coane di empo più grande. Se, ad eempio 1 >>, allora: () [ ] 1 e 1, 0. raniorio veloce dovuo a 1 Fig. 14 : Ripoa allo calino con 1 >> Siemi con poli reali e uno zero G ( ) = τ ( )( ) 1. Aumiamo 1 e poiivi, oia il iema ainoicamene abile. La raformaa di Laplace della ripoa allo calino è daa da: τ Y ( ) = ( )( ) 1. In bae al eorema del valore iniziale, oeniamo: P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-9

11 ( 0) = lim[ Y( ) ] = lim τ ( )( ) 1 = 0 ( ) [ ( )] [ ( ( ) ( ) & 0 = lim L & = lim Y 0 )] = lim[ Y( ) ] = lim menre in bae al eorema del valore finale: τ τ = ( )( ) 1 1 τ ( ) = lim[ Y( ) ] = lim =. 0 0 ( 1)( ) La ripoa pare quindi da zero, con angene rivola vero l alo per τ>0, vero il bao per τ<0. La ripoa ende poi al valore. Qualiaivamene, gli andameni della ripoa allo calino aranno: < < τ 1 < τ < oppure 1 0 < τ < < 1 Fig. 15 : Ripoa allo calino con τ>0 τ < 0 Fig. 16 : Ripoa allo calino con τ<0 Si oervi il rao di ripoa invera nel cao di zero nel emipiano dero (τ < 0). P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-10

12 Siemi con poli complei e coniugai e neuno zero In queo cao è comodo ricrivere l epreione della funzione di raferimeno nella forma equivalene: ωn G ( ) =, + ζωn+ ωn dove ζ, morzameno, e ω n, pulazione naurale, ono ai definii nella precedene lezione. Si ricorda che il ignificao dei parameri ζ e ω n è illurao dalla eguene figura: ζω n ω α n ζ = co(α) Si oervi inolre che: Fig. 17 : Significao dei parameri ζ e ω n ζ>0: due poli nel emipiano iniro iema ainoicamene abile ζ=0: due poli ull ae immaginario iema emplicemene abile ζ<0: due poli nel emipiano dero iema inabile Sudiamo la ripoa allo calino: ωn Y ( ) =. + ζωn+ ωn In bae al eorema del valore iniziale, oeniamo: [ ] ( 0) = lim Y( ) = ( ) L( ) lim ωn + ζωn+ ωn = 0 [ ] ( ( ) ( ) [ )] [ ( )] & 0 = lim & = lim Y 0 = lim Y = lim ( ) L( ) 3 [ ] ( ) [ ] ( ( ) ( )) [ ] && 0 = lim && = lim Y & 0 = lim Y = lim menre, per ζ>0, in bae al eorema del valore finale: [ ] ( ) = lim Y( ) = lim 0 0 ωn + ζωn+ ωn =. ωn + ζω + ω n n ωn + ζω + ω n n = 0 n = ω > 0 L epreione analiica della ripoa allo calino, oenibile per aniraformazione, è la eguene: P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-11

13 e in, 1 ζ 1 () = ζω n 1 ( ωn 1 ζ + α) dove ζ = co(α). Per ζ=0, i ha: [ n ] () = 1 co( ω ) oia una coinuoide di pulazione ω n : = π/ω n Fig. 18 : Ripoa allo calino per ζ=0 Per ζ 0, la ripoa ha l andameno di una inuoide inviluppaa da due eponenziali (convergeni nel cao ainoicamene abile, ζ>0, divergeni nel cao inabile, ζ<0). M ζω n (e ) = π/ω* n ζω n (1 e ) Fig. 19 : Ripoa allo calino per ζ>0 (ωn * = ωn 1 ζ ) Si può dimorare che, nel cao ainoicamene abile, la ovraelongazione percenuale maima, oia il rapporo percenuale ra l ecurione del primo picco della ripoa ripeo al valore di regime ed il valore di regime eo, dipende ecluivamene dal faore di morzameno ζ: P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-1

14 S E M = 100 = 100e ζπ 1 ζ 100 S E ζ Fig. 19 : Sovraelongazione percenuale maima ripeo al faore di morzameno Per fare in modo che la ovraelongazione percenuale maima ia inferiore ad un valore aegnao, occorrerà quindi che i poli del iema apparengano ad un deerminao eore del emipiano iniro del piano compleo (come quello raeggiao in figura): Fig. 0 : Seore del piano compleo per limiare la ovraelongazione Il empo di aeameno può invece eere deerminao con buona approimazione (per ecceo) facendo riferimeno anziché alla ripoa ad uno dei uoi inviluppi. Volendo quindi calcolare ad eempio il empo di aeameno al 99% ( a1 ), i imporrà: ( ζωna ) ζω 1 n a1 1 e = e = ζω = ln100 e quindi: ln ζω ζω. a 1 = n n n a1 Il empo di aeameno riula quindi inveramene proporzionale al modulo della pare reale dei poli. Per limiare il empo di aeameno occorrerà quindi che i poli del iema iano caraerizzai da un prodoo ζω n ufficienemene grande, oia che apparengano ad un P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-13

15 emipiano incluo nel emipiano iniro del piano compleo ufficienemene lonano dall ae immaginario (come quello raeggiao in figura): Fig. 1 : Semipiano del piano compleo per limiare il empo di aeameno Volendo conenere ia la ovraelongazione ia il empo di aeameno, i poli della funzione di raferimeno dovranno rovari in una regione del piano compleo inerezione delle due regioni raeggiae nelle precedeni figure. P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-14

16 Eercizi Eercizio 4.1 Si racci l andameno qualiaivo della ripoa allo calino del iema decrio dalla eguene funzione di raferimeno: 4 G () = + Eercizio 4. Si racci l andameno qualiaivo della ripoa allo calino del iema decrio dalla eguene funzione di raferimeno: G () = Eercizio 4.3 Si racci l andameno qualiaivo della ripoa allo calino del iema decrio dalla eguene funzione di raferimeno: () G = 10 ( )( 01. ) Eercizio 4.4 Si racci l andameno qualiaivo della ripoa allo calino del iema decrio dalla eguene funzione di raferimeno: G () 18 = + 9 P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-15

17 raccia delle oluzioni Eercizio 4.1 G() è della forma: ( ) G = 1 + con =, = 0.5. Perano: Eercizio 4. G() è della forma: τ G ( ) = con = 1, = 1, τ = 0.5. Perano: () () P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-16

18 Eercizio 4.3 G() è della forma: G ( ) = ( )( ) 1 con = 10, 1 = 1, = 0.1. Perano la ripoa allo calino è dominaa dalla coane di empo 1 : Eercizio 4.4 G() è della forma: ( ) G = ωn + ζωn+ ωn con =, ω n =3, ζ=0. Perano: () () Il periodo dell ocillazione permanene vale: π = =. 094 ω n P. Rocco - Dipene di Auomaica Lez. 4-17

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