Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Indice generale. Modulo 1 Algebra 2"

Transcript

1 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori Raccoglimento a fattor comune Raccoglimenti successivi a fattor comune Scomposizione in fattori mediante i prodotti notevoli 8 A 2 B 2 2AB (A B) 2,8 A 2 B 2 C 2 2AB 2AC 2BC (A B C) 2, 11 A 2 B 2 (A B)(A B), 11 x 2 (a b)x ab (x a)(x b), 13 A 3 B 3 3A 2 B 3AB 2 (A B) 3, 15 A 3 B 3 (A B)(A 2 AB B 2 ), 17 A 3 B 3 (A B)(A 2 AB B 2 ), Scomposizione in fattori mediante il teorema e la regola di Ruffini 18 Risoluzione dell equazione P(x) 0 con Ruffini, M.C.D. e m.c.m. fra polinomi 21 Ricapitoliamo 22 Esercizi Raccoglimento a fattor comune, 23. Raccoglimento a fattor comune parziale, 25. Quadrati di polinomi, 27. Differenza di quadrati, 28. Somma e prodotto, 31. Cubo di un binomio, 31. Somma o differenza di cubi, 32. Teorema di Ruffini, 33. Capitolo 2 Frazioni algebriche. Equazioni fratte 2.1 Frazioni algebriche. Dominio Frazioni algebriche equivalenti Semplificazione di frazioni algebriche Riduzione di frazioni algebriche allo stesso denominatore Operazioni con le frazioni algebriche 42 Addizione, 42. Moltiplicazione, 43. Potenza, 45. Inverso di una frazione algebrica, 46. Divisione, 47. Frazioni a termini frazionari, Equazioni razionali fratte 49 Ricapitoliamo 52 Esercizi Dominio, 53. Frazioni algebriche equivalenti, 56. Semplificazione di frazioni algebriche, 57. Riduzione di frazioni algebriche allo stesso denominatore, 58. Addizione di frazioni algebriche, 58. Moltiplicazione di frazioni algebriche, 62. Potenza di frazioni algebriche, 63. Divisione di frazioni algebriche, 64. Equazioni razionali fratte, 67. Capitolo 3 Disequazioni e sistemi di disequazioni lineari 3.1 Richiami sulle disuguaglianze Le disequazioni 68 Dominio di una disequazione, 70. Classificazione delle disequazioni, 72. Strumenti per la risoluzione delle disequazioni, 72. Forma normale. Grado di una disequazione, Gli intervalli in 74 Gli intervalli sulla retta, Risoluzione delle disequazioni lineari (o di primo grado) 77 Rappresentazione grafica dell insieme soluzione, Sistemi di disequazioni lineari Disequazioni di grado superiore al primo e disequazioni fratte 84 Ricapitoliamo 86 Esercizi Le disequazioni e le loro soluzioni, 87. Intervalli in, 90. Risoluzione delle disequazioni lineari, 90. Sistemi di disequazioni lineari, 94. Disequazioni di grado superiore al primo, 96. Disequazioni fratte, 98.

2 IV Indice generale Modulo 2 Equazioni in due incognite Capitolo 4 Equazioni di primo grado in due o più incognite. Sistemi lineari 4.1 Le equazioni in due incognite 100 Il dominio di un equazione in due incognite, 101. Le soluzioni di un equazione in due incognite, 101. La rappresentazione cartesiana delle equazioni di primo grado in due incognite, 103. Forma implicita, esplicita, normale, I sistemi lineari 105 Gli elementi di un sistema, 106. Sistemi equivalenti. Classificazione dei sistemi, Risoluzione di un sistema lineare 109 Metodo grafico, 109. Metodo del confronto, 112. Metodo di sostituzione, 114. Metodo di addizione e sottrazione o di riduzione, 115. Metodo di Cramer, Risoluzione di un sistema di tre equazioni in tre incognite Riconoscere un sistema non determinato 122 Ricapitoliamo 124 Esercizi Equazioni in due incognite, 125. Equazioni equivalenti, 126. Forma implicita, normale, esplicita, 127. Sistemi lineari, 128. Sistemi equivalenti, 129. Risoluzione di un sistema lineare, 130. Risoluzione di un sistema di tre equazioni in tre incognite, 139. Problemi, 140. Capitolo 5 Il piano cartesiano e la retta 5.1 Coordinate cartesiane nel piano Distanza di due punti nel piano Punto medio di un segmento Equazione della retta passante per due punti Equazione della retta in forma esplicita 148 Il significato di m, 149. Equazione del fascio di rette proprio, 150. Il significato di q. Retta per l origine, Equazione della retta in forma implicita o normale 152 Casi particolari, 152. Un altra condizione di parallelismo, Intersezione fra rette: significato geometrico di un sistema di equazioni lineari Il grafico di una funzione Risoluzione grafica delle disequazioni 160 Risoluzione grafica delle disequazioni lineari, 161. Ricapitoliamo 164 Esercizi Coordinate cartesiane nel piano, 166. Distanza e punto medio fra due punti, 167. Retta per due punti e coefficiente angolare, 169. Equazione della retta, 173. Rette parallele, 173. Rette perpendicolari. Asse di un segmento, 175. Intersezione fra rette, 177. Grafico di una funzione, 179. Modulo 3 Algebra 3 Capitolo 6 I radicali 6.1 Richiami sulle potenze La radice quadrata La radice n-sima 184 Le proprietà fondamentali dei radicali, Radicali algebrici Proprietà invariantiva dei radicali. Semplificazione Riduzione di radicali allo stesso indice Operazioni con i radicali 190 Moltiplicazione e divisione fra radicali che hanno lo stesso indice, 190. Moltiplicazione e divisione fra radicali che non hanno lo stesso indice, 191. Addizione algebrica, Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice Trasporto di un fattore sotto il segno di radice Radice di un radicale Razionalizzazione del denominatore di una frazione 199 Il denominatore è un unico radicale, 200. Il denominatore è della forma 2a 2b, 203.

3 Indice generale V Ricapitoliamo 204 Esercizi La radice quadrata, 205. La radice n-sima, 206. I radicali come potenze a esponente razionale. Proprietà invariantiva dei radicali, 206. Semplificazione di un radicale e riduzione di radicali allo stesso indice, 207. Moltiplicazione fra radicali, 209. Divisione fra radicali, 210. Addizione algebrica di radicali, 211. Trasporto di un fattore fuori e sotto il segno di radice, 213. Radice di un radicale, 216. Razionalizzazione del denominatore di una frazione, 217. Capitolo 7 Equazioni e disequazioni di secondo grado 7.1 L equazione di secondo grado 222 Classificazione delle equazioni di secondo grado rispetto ai coefficienti, Risoluzione di un equazione di secondo grado completa 223 Formula risolutiva ridotta, 226. Relazione fra i coefficienti dell equazione e il segno delle soluzioni, Equazioni incomplete Relazione fra i coefficienti e le soluzioni di un equazione di secondo grado Scomposizione in fattori del trinomio ax 2 bx c Segno del trinomio di secondo grado 234 Studio del segno del trinomio di secondo grado, Disequazioni di secondo grado 239 Ricapitoliamo 242 Esercizi I coefficienti del trinomio di secondo grado e il discriminante, 243. Risoluzione di equazioni di secondo grado, 244. Relazione fra i coefficienti dell equazione e le sue soluzioni, 247. Scomposizione in fattori del trinomio di secondo grado, 249. Equazioni fratte, 251. Segno del trinomio di secondo grado, 252. Disequazioni di secondo grado, 255. Capitolo 8 Il trinomio di secondo grado e la parabola 8.1 La parabola Intersezione della parabola con l asse x: l equazione ax 2 bx c Posizione della parabola rispetto all asse x. Studio del segno del trinomio Risoluzione grafica di disequazioni di secondo grado Risoluzione grafica di sistemi di disequazioni di grado superiore al primo 268 Ricapitoliamo 270 Esercizi La parabola e i suoi elementi, 271. Posizione della parabola rispetto agli assi, 273. La parabola e le disequazioni di secondo grado, 277. Sistemi di disequazioni, 279. Capitolo 9 Equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni irrazionali 9.1 Le equazioni di grado superiore al secondo 281 Scomposizione in fattori, Equazioni biquadratiche Equazioni reciproche 285 Risoluzione delle equazioni reciproche di prima specie, 287. Risoluzione delle equazioni reciproche di seconda specie, Equazioni razionali fratte Equazioni irrazionali 292 Ricapitoliamo 298 Esercizi Risoluzione di equazioni mediante la scomposizione in fattori, 299. Equazioni biquadratiche, 302. Equazioni reciproche, 302. Equazioni razionali fratte, 305. Equazioni irrazionali, 305. Soluzioni 307 RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

4 1 2 3 Algebra 2 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo Frazioni algebriche. Equazioni fratte Disequazioni e sistemi di disequazioni lineari Modulo 1 Prerequisiti Prodotti notevoli Teorema di Ruffini Legge di annullamento del prodotto Frazioni numeriche Dominio di un espressione algebrica Concetto di disuguaglianza Scomposizione in fattori di un polinomio Saper scomporre un polinomio in fattori Saper risolvere equazioni di grado superiore al primo mediante la scomposizione in fattori Risoluzione di un equazione di grado superiore al primo Saper operare con le frazioni algebriche Saper risolvere equazioni fratte Frazioni algebriche Acquisire il concetto di disequazione Equazioni fratte Acquisire il concetto di sistema di disequazioni Disequazioni e sistemi di disequazioni Saper risolvere sistemi di disequazioni Obiettivi

5 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori La definizione di scomposizione in fattori per un polinomio è praticamente identica a quella data per i numeri: d DEFINIZIONE Scomporre un polinomio in fattori significa trovare due o più polinomi il cui prodotto dia il polinomio stesso. Esempio Sia dato il polinomio A(x) 3x 2 x 2. Il prodotto (3x 2)(x 1) risulta essere una scomposizione in fattori del polinomio A(x), poiché: (3x 2)(x 1) 3x 2 3x 2x 2 3x 2 x 2 A(x) Quindi, come detto: 3x 2 x 2 (3x 2)(x 1) è una scomposizione in fattori del polinomio A(x). o OSSERVAZIONE Sappiamo che se il polinomio A è divisibile per il polinomio B (R 0), esiste un polinomio C per cui risulta: A B C Questa è una scomposizione in fattori o una fattorizzazione del polinomio A. I fattori della scomposizione, B e C, sono entrambi divisori di A. Questo vuol dire che i polinomi fattori della scomposizione vanno cercati tra i divisori del polinomio A. Si dà la seguente definizione: d DEFINIZIONE Un polinomio si dice riducibile quando è possibile scriverlo come il prodotto di due o più polinomi di grado minore di quello del polinomio dato; si dice irriducibile (o primo) nel caso opposto. Dalla definizione segue immediatamente che ogni polinomio di primo grado è sempre irriducibile.

6 Capitolo 1 Scomposizione in fattori 3 Non è facile decidere se un polinomio sia riducibile o irriducibile, e non esiste una regola per scomporre un qualunque polinomio in fattori. Di seguito vedremo vari metodi di scomposizione in fattori, e li applicheremo immediatamente alla risoluzione di equazioni di grado superiore al primo. A questo scopo, si svolgono i seguenti passaggi: 1. si riduce l equazione nella forma normale P(x) 0; 2. si scompone il polinomio P(x) in fattori; 3. si applica al prodotto ottenuto la legge di annullamento del prodotto ottenendo, così, delle equazioni di grado inferiore; 4. si risolvono le equazioni così ottenute. È importante ricordare, allora, la legge di annullamento del prodotto: se un prodotto è nullo, almeno uno dei suoi fattori deve essere nullo. Ciò significa che se 3ax 0 deve essere o 3 0 (non è possibile), o a 0, o x 0. Esercizi p Raccoglimento a fattor comune Nella trattazione dei monomi (volume 1, capitolo 7), abbiamo detto che un monomio A è divisibile per un monomio M non nullo se esiste un monomio A tale che A MA Il monomio A si ottiene dividendo il monomio A per il monomio M: Consideriamo, adesso, un polinomio A B C e supponiamo che ciascuno dei termini sia divisibile per un monomio M non nullo. Questo vuol dire che esistono dei monomi A, B e C per cui abbiamo: A MA B MB C MC Diciamo, in questo caso, che i monomi hanno un fattore comune, e il monomio M viene detto, appunto, fattore comune. Possiamo, allora, scrivere il polinomio in questo modo: A B C MAMBMC Sappiamo che la moltiplicazione gode della proprietà distributiva rispetto all addizione: Si può riscrivere la (2) così: Applicando la (3) al nostro polinomio, abbiamo: quindi: A A M k (a b c) ka kb kc (2) ka kb kc k (a b c) (3) A B C MAMBMCM (ABC ) A B C M (ABC ) (4) (1) RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

7 4 Modulo 1 Algebra 2 Nota bene Ricordando che A, B e C si ottengono dividendo i monomi A, B e C per il monomio M, possiamo leggere la (4) nel modo seguente: se i termini di un polinomio hanno un fattore comune M, il polinomio stesso può scriversi come il prodotto di questo fattore per il polinomio che si ottiene dividendo ciascun termine del polinomio dato per il fattore comune. Tale operazione viene detta raccoglimento a fattor comune o messa in evidenza e si dice che è stato messo in evidenza il fattore M. Essa rappresenta il primo tipo di scomposizione in fattori: permette di scrivere un polinomio come il prodotto di un monomio per un polinomio. È necessario rispondere, adesso, a due domande: Come si fa a sapere se i termini di un polinomio hanno un fattore comune M? Come si fa a stabilire qual è questo fattore comune? Le due domande hanno un unica risposta: basta calcolare il M.C.D. fra tutti i termini: se il M.C.D. risulta diverso da 1 allora i termini hanno un fattore comune; il fattore comune è proprio il M.C.D. Il fattore comune ai termini del polinomio può anche essere solo un numero oppure un prodotto in cui uno o più fattori possono essere addirittura polinomi (li chiameremo, con molta fantasia, fattori polinomiali). Quindi: si possono mettere in evidenza anche solo numeri; si possono mettere in evidenza anche polinomi. Ricapitolando quanto abbiamo detto fino a ora, per la messa in evidenza occorre procedere nel modo seguente: Regola 1. Si individuano i fattori dei singoli termini del polinomio (considerando, eventualmente, anche i polinomi). 2. Si determina il M.C.D. di tutti i termini prendendo i fattori comuni a tutti i termini (eventualmente anche polinomi) una sola volta con il minimo esponente. 3. Si divide ciascun termine del polinomio per il M.C.D. 4. Si considera il polinomio che ha come termini i quozienti di queste divisioni e lo si moltiplica per il M.C.D. o OSSERVAZIONE Esempi Prima di provare qualunque altro tipo di scomposizione in fattori fra quelli che indicheremo in seguito, è bene verificare sempre se è possibile il raccoglimento a fattor comune e, eventualmente, svolgerlo. 1. Scomponiamo il polinomio 4ax 12ay 8az. Vediamo nella tabella quali sono i fattori dei singoli termini. I fattori comuni con il minimo esponente sono 2 2 e a (ricordiamo che per determinare il M.C.D. si moltiplicano i fattori Termini Fattori 4ax 2 comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente); abbiamo, allora: 12ay a y 2 a x M.C.D. 2 2 a 4a 8az 2 3 a z

8 Capitolo 1 Scomposizione in fattori 5 Il fattore comune ai termini del polinomio è, dunque, 4a: mettiamolo in evidenza facendo le divisioni di ciascun termine del polinomio per 4a: (4ax) : (4a) x (12ay) : (4a) 3y (8az) : (4a) 2z Moltiplichiamo il polinomio formato dai quozienti così ottenuti per il M.C.D.: Questa è la scomposizione cercata. 4ax 12ay 8az 4a(x 3y 2z) 2. Scomponiamo in fattori il polinomio 9x(a 1) 15(a 1). I termini del polinomio sono 9x(a 1) e 15(a 1). In tabella è riportata la loro scomposizione in fattori. I fattori comuni con il minimo esponente sono 3 e il polinomio (a 1); quindi: M.C.D. 3(a 1) Questa è la quantità che dobbiamo mettere in evidenza. Eseguiamo le divisioni: [9x(a 1)] : [3(a 1)] 3x [15(a 1)] : [3(a 1)] 5 Moltiplichiamo il polinomio formato dai quozienti così ottenuti per il M.C.D.: Questa è la scomposizione cercata. Termini 9x(a 1) 15(a 1) 3(a 1)(3x 5) Fattori 9x (a 1) 3 2 x (a1) 15 (a 1) 3 5 (a1) Come si vede, è un caso in cui uno dei fattori da mettere in evidenza è un polinomio. Ora prova tu Scomponi in fattori i seguenti polinomi. ax ay az 3a 3b 3c 4x 2 y 3xy 5xy 2 8x 3 12ax 5 24a 2 x 2 3a 12b 6c ax bx cx 25a 2 b 2 20a 2 c 2 18a 3 b 2 c 12a 2 b 2 c 2! ATTENTI ALL ERRORE 12a 2 x 2 8a 2 x 2a 2 (6x 2 4x) Qui l errore consiste nel fatto che viene messo in evidenza un fattore che i due termini hanno in comune, cioè 2a 2, ma non il maggiore (cioè il M.C.D.). Di conseguenza nel polinomio 6x 2 4x c è ancora un fattore comune che si può (anzi, si deve) mettere in evidenza: 2x. Questo vuol dire che dovremo fare un altro passaggio mettendo in evidenza 2x, che è il fattore che i termini 6x 2 e 4x hanno in comune: 12a 2 x 2 8a 2 x 2a 2 (6x 2 4x) 2a 2 2x (3x 2) 4a 2 x (3x 2) Esercizi p. 25 Applicazione all equazione ax 2 bx 0 L equazione ax 2 bx0 è il primo esempio di equazione di grado superiore al primo che si può risolvere mediante la scomposizione in fattori. Infatti, essendo x un fattore comune ai termini dell equazione, può essere messo in evidenza: ax 2 bx x(ax b) e l equazione diventa: x(ax b) 0

9 6 Modulo 1 Algebra 2 A questo punto il prodotto x(ax b) deve essere nullo e quindi uno dei suoi fattori deve essere nullo. Si ha: x 0 oppure ax b 0 La prima equazione ha soluzione x 1 0, la seconda ha soluzione x 2 b a. L insieme soluzione dell equazione ax 2 bx 0 è S e 0, b a f. Esempio Risolviamo l equazione 3x 2 6x 0. Il M.C.D. fra 3x 2 e 6x è 3x. Mettiamo, allora, in evidenza 3x; abbiamo: 3x (x 2) 0. Per la legge di annullamento del prodotto deve essere: x 0 oppure x 2 0 La prima equazione ha soluzione x 1 0, la seconda ha soluzione x 2 2. L insieme soluzione dell equazione 3x 2 6x 0 è, dunque, S {0, 2}. Svolgiamo la verifica della soluzione x 2 2: 3 (2) 2 6 (2) 0 3 (4) L uguaglianza ottenuta è vera e, quindi, 2 è effettivamente soluzione dell equazione. Ora prova tu Risolvi le seguenti equazioni; poi svolgi la verifica per la soluzione che risulta diversa da 0. 5x 2 20x 0 6x 2 15x 0 9x 2 36x 0 x 2 8x 0 x 2 5x 0 7y 2 11yx 0 3x 2 4x 0 4x 2 14x 0 Esercizi p Raccoglimenti successivi a fattor comune Questo metodo di scomposizione in fattori (detto anche raccoglimento a fattor comune parziale) non è nient altro che l applicazione di successivi raccoglimenti a fattor comune. I passaggi da svolgere sono i seguenti: 1. si scompone il polinomio dato come la somma di polinomi parziali; 2. in ciascuno di questi polinomi si fa il raccoglimento a fattor comune; 3. se i termini così ottenuti hanno un polinomio in comune, lo si mette a sua volta in evidenza. Esempi 1. Scomponiamo in fattori il polinomio ax ay bx by. Seguiamo i tre passaggi indicati sopra. Scomponiamo il polinomio come la somma di polinomi: ax ay bx by (ax ay) (bx by) In ciascuno dei polinomi facciamo il raccoglimento a fattor comune: (ax ay) (bx by) a (x y) b (x y) I termini così ottenuti hanno il polinomio (x y) in comune; lo mettiamo in evidenza: a (x y) b (x y) (x y)(a b) Abbiamo, quindi: ax ay bx by (x y)(a b)

10 Capitolo 1 Scomposizione in fattori 7 2. Scomponiamo in fattori il polinomio 7x 2 2x 35xy 10y. 7x 2 2x 35xy 10y (7x 2 2x) (35xy 10y) (7x 2 2x) (35xy 10y) x (7x 2) 5y (7x 2) x (7x 2) 5y (7x 2) (7x 2)(x 5y) Abbiamo, quindi: 7x 2 2x 35xy 10y (7x 2)(x 5y) 3. Scomponiamo in fattori il polinomio mx nx ny my n m. mx nx ny my n m (mx my m) (nx ny n) (mx my m) (nx ny n) m (x y 1) n (x y 1) m (x y 1) n (x y 1) (x y 1)(m n) Abbiamo, quindi: mx nx ny my n m (x y 1)(m n) Nota bene Se il numero dei termini di un polinomio è un numero primo non è possibile la messa in evidenza parziale. Quindi per un polinomio formato da sette termini non è possibile usare tale metodo di scomposizione.! ATTENTI ALL ERRORE x 3 4x 2 3x 12 x(x 2 4x 3) 12 Questo errore mostra all insegnante che non solo non hai imparato il metodo della messa in evidenza parziale, ma che non ti è chiaro nemmeno che cosa significa scomporre un polinomio in fattori. Se, infatti, ricordi che scomporre un polinomio in fattori significa trovare dei polinomi che moltiplicati fra loro danno il polinomio stesso, ecco che ti rendi conto dell errore: x(x 2 4x 3) 12 non è il prodotto fra due polinomi, ma il prodotto fra un monomio e un polinomio più un terzo termine. La scomposizione corretta è la seguente: x 3 4x 2 3x 12 x 2 (x 4) 3(x 4) (x 4)(x 2 3) Adesso abbiamo scritto il polinomio dato come prodotto fra due polinomi! Esempio Applicazione alle equazioni Risolviamo l equazione x 3 x 2 4x 4 0. Possiamo scrivere: x 3 x 2 4x 4 (x 3 x 2 ) (4x 4) x 2 (x 1) 4(x 1) (x 1)(x 2 4) L equazione allora diventa (x 1)(x 2 4) 0. Per la legge di annullamento del prodotto deve essere: x 1 0 oppure x La prima equazione ammette come soluzione x 1 1; la seconda, come vedremo fra poco, ammette come soluzioni x 2 2 e x 3 2. L insieme soluzione è, pertanto, S {2, 1, 2}. Ora prova tu Trova almeno una soluzione per ciascuna delle seguenti equazioni. x 3 x 2 5x 5 0 x 3 x 2 16x x 3 5x 2 16x400 x 3 2x 2 9x x 3 x 2 8x 4 0 5x 3 x 2 5x10

11 8 Modulo 1 Algebra Scomposizione in fattori mediante i prodotti notevoli Riprendiamo le formule che abbiamo ottenuto per i prodotti notevoli e riscriviamole usando la proprietà simmetrica dell uguaglianza (se x y allora y x). (A B) 2 A 2 B 2 2AB A 2 B 2 2AB (A B) 2 (ABC) 2 A 2 B 2 C 2 2AB2AC 2BC A 2 B 2 C 2 2AB2AC 2BC (ABC) 2 (A B) 3 A 3 3A 2 B 3AB 2 B 3 A 3 3A 2 B 3AB 2 B 3 (A B) 3 (A B) 3 A 3 3A 2 B 3AB 2 B 3 A 3 3A 2 B 3AB 2 B 3 (A B) 3 (A B)(A B) A 2 B 2 A 2 B 2 (A B)(A B) (A B)(A 2 AB B 2 ) A 3 B 3 A 3 B 3 (A B)(A 2 AB B 2 ) Mentre le uguaglianze della prima colonna sono lo sviluppo dei vari tipi di prodotti notevoli, le uguaglianze della seconda colonna possono essere lette come la scomposizione in fattori di alcuni particolari tipi di polinomi. Nota bene Esercizi p. 27 Prima di addentrarci nei vari casi, vogliamo far presente quanto segue: affinché una potenza sia considerata come un quadrato è sufficiente che abbia esponente pari: a 6 è il quadrato di a 3, così come x 8 lo è di x 4 ; se si ha il prodotto di più potenze, questo può essere considerato come un quadrato solo se tutti i fattori hanno esponente pari. Per esempio, x 4 y 2 z 10 è formato da potenze aventi tutte esponente pari e, quindi, può essere considerato come un quadrato. La base della potenza è formata dagli stessi fattori i cui esponenti, però, sono stati divisi per 2. Nel nostro esempio la base è, allora, x 2 yz 5 ; risulta, infatti, x 4 y 2 z 10 (x 2 yz 5 ) 2. Qualora anche uno solo degli esponenti di un prodotto non fosse pari, quel prodotto non può essere considerato un quadrato: a 2 b 4 x 3 y 8 z 10 non è un quadrato per la presenza di x che non ha esponente pari; una potenza può considerarsi un cubo solo se l esponente è un multiplo di 3; se si ha un prodotto di più potenze, questo può essere considerato come un cubo solo se tutti i fattori hanno come esponente un numero divisibile per 3. Per esempio, il prodotto a 6 x 3 z 12 può essere considerato un cubo, essendo gli esponenti 6, 3 e 12 multipli di 3. La base della potenza è formata dagli stessi fattori i cui esponenti, però, sono stati divisi per 3. Quindi nel nostro esempio la base è a 2 xz 4. Risulta, cioè, a 6 x 3 z 12 (a 2 xz 4 ) 3 ; può accadere che una potenza possa essere considerata, contemporaneamente, sia come quadrato sia come cubo: un esempio è a 6 (a 3 ) 2 (a 2 ) 3. Di volta in volta si dovrà individuare in quale dei due esponenti sia la convenienza. A 2 B 2 2AB (A B) 2 Questo tipo di scomposizione prende il nome di trinomio quadrato di un binomio. Affinché sia possibile applicarlo è necessario che: 1. il polinomio sia composto soltanto da tre termini; 2. due termini dei tre che formano il trinomio devono essere dei quadrati; 3. i due quadrati devono avere lo stesso segno (anche negativo); se in un trinomio due termini sono dei quadrati, ma hanno segno opposto, è inutile perdere tempo: il trinomio non è scomponibile con questo metodo;

12 Capitolo 1 Scomposizione in fattori 9 4. considerate le basi dei due quadrati, si fa il loro prodotto e si moltiplica il risultato per 2: se si ottiene il terzo termine del trinomio, allora questo è, effettivamente, il quadrato di un binomio; 5. se il segno del doppio prodotto è positivo, allora i segni delle due basi del binomio sono concordi; se, invece, il segno del doppio prodotto è negativo, allora i segni delle due basi del binomio sono discordi. Esempi 1. Sia dato il polinomio 4x 2 4x 1. Verifichiamo se è il quadrato di un binomio. Seguiamo i passaggi sopra elencati: il polinomio è costituito da tre termini; due termini sono dei quadrati: 4x 2 (2x) 2 e 1(1) 2 ; i quadrati 4x 2 e 1 hanno lo stesso segno; le basi di 4x 2 e di 1 sono, rispettivamente, 2x e 1; calcoliamo il loro doppio prodotto: 2(2x)(1) 4x, che è esattamente il terzo termine del trinomio dopo 4x 2 e 1; nel polinomio dato, davanti al doppio prodotto (4x) c è il segno positivo: ciò vuol dire che le due basi hanno segno concorde; pertanto possiamo avere: 4x 2 4x 1 (2x 1) 2 oppure 4x 2 4x 1 (2x 1) 2 2. Sia dato il polinomio 9a 4 30a 2 b 25b 2. Verifichiamo se è il quadrato di un binomio: compaiono solo tre termini; due termini sono dei quadrati: 9a 4 (3a 2 ) 2 e 25b 2 (5b) 2 ; i quadrati hanno lo stesso segno; prese le basi dei quadrati, 3a 2 e 5b, calcoliamo 2(3a 2 )(5b) 30a 2 b: è il terzo termine del polinomio; nel polinomio dato, davanti al doppio prodotto (30a 2 b) c è il segno negativo: ciò vuol dire che le due basi hanno segno discorde; pertanto possiamo avere: 9a 4 30a 2 b 25b 2 (3a 2 5b) 2 oppure 9a 4 30a 2 b 25b 2 (3a 2 5b) 2 Possiamo scegliere quale delle due scomposizioni è più comoda per il prosieguo dell esercizio. 3. Sia dato il polinomio 16x 2 y 4 9x 4 y 2 24x 3 y 3. Verifichiamo se è il quadrato di un binomio. Prima di cominciare osserviamo che i due quadrati hanno segno negativo; mettiamo in evidenza 1 fra i termini del polinomio, ottenendo: 16x 2 y 4 9x 4 y 2 24x 3 y 3 (16x 2 y 4 9x 4 y 2 24x 3 y 3 ) compaiono solo tre termini; due termini sono dei quadrati: 16x 2 y 4 (4xy 2 ) 2 e 9x 4 y 2 (3x 2 y) 2 ; i quadrati hanno lo stesso segno; prese le basi dei quadrati, 4xy 2 e 3x 2 y, calcoliamo 2(4xy 2 )(3x 2 y) 24x 3 y 3 : è il terzo termine del polinomio; il doppio prodotto ha segno positivo: ciò vuol dire che le due basi sono concordi. Abbiamo, allora: 16x 2 y 4 9x 4 y 2 24x 3 y 3 (16x 2 y 4 9x 4 y 2 24x 3 y 3 ) (4xy 2 3x 2 y) 2 (4xy 2 3x 2 y) 2 Ora prova tu Scomponi in fattori i seguenti polinomi. a 2 12a 36 4a 2 12a 9 b 2 14b 49 x 2 22x 121 a 4 12a 2 36 a 2 b 2 6ab 9 9x 2 y 2 12xy 4 25a 4 c 2 10a 2 b 2 c b 4

13 10 Modulo 1 Algebra 2! ATTENTI ALL ERRORE Esercizi p. 27 Esempi 4x 2 1 (2x 1) 2 o, peggio, 4x 2 1 (2x 1) 2 L errore della prima scomposizione mette in evidenza che non hai imparato la regola per svolgere il quadrato di un binomio e, soprattutto, qual è la condizione fondamentale per avere il quadrato di un binomio: i termini del polinomio di partenza devono essere tre e tu ne hai solo due. Ma i termini del polinomio 4x 2 1 sono due quadrati che hanno lo stesso segno!. Non basta: manca il doppio prodotto; ricorda, inoltre, che la somma di due quadrati non si può mai scomporre. Nella seconda scomposizione, invece, gli errori sono tre: nello sviluppo del quadrato di un binomio i termini devono essere tre e qui ne abbiamo solo due; il segno dei due quadrati deve essere positivo e qui compare un segno negativo (1); 4x 2 1 si scompone, come vedremo in seguito, come (2x 1)(2x 1), essendo la differenza di due quadrati. Applicazione all equazione a 2 x 2 2abx b Risolviamo l equazione 4x 2 4x 1 0. Nel polinomio abbiamo 4x 2 (2x) 2, 1 (1) 2 e 4x 2(2x)(1): vi sono due quadrati (concordi) e il terzo termine è il doppio prodotto delle loro basi. Quindi risulta: 4x 2 4x 1 (2x 1) 2 L equazione diventa: (2x 1) 2 0 Poiché una potenza vale 0 solo se la base vale 0 deve essere 2x 1 0. Quindi risulta S e 1 2 f. Osserviamo che la soluzione non cambia se consideriamo la scomposizione: 4x 2 4x 1 (1 2x) 2 In questo caso, infatti, l equazione diventa: (1 2x) x 0 il cui insieme soluzione è ancora S e 1 2 f. 2. Risolviamo l equazione 9x 2 12x 4 0. Nel polinomio abbiamo 9x 2 (3x) 2, 4 (2) 2 e 12x 2(3x)(2): vi sono due quadrati (concordi) e il terzo termine è il doppio prodotto delle loro basi. Quindi risulta: 9x 2 12x 4 (3x 2) 2 L equazione diventa: (3x 2) 2 0 3x 2 0 Quindi risulta S e 2 3 f. Anche qui le soluzioni non cambiano se consideriamo la scomposizione: 9x 2 12x 4 (3x 2) 2 In questo caso l equazione diventa: (3x 2) 2 0 3x 2 0 il cui insieme soluzione è ancora S e 2 3 f.

14 Ora prova tu Risolvi le seguenti equazioni. Capitolo 1 Scomposizione in fattori 11 x 2 10x x 2 12x x 2 12x 2 0 x 2 6x 9 0 9x 2 12x 4 0 5x 2 10x 5 0 Esercizi p. 28 Nota bene A 2 B 2 C 2 2AB 2AC 2BC (A B C) 2 Questo tipo di scomposizione prende il nome di polinomio quadrato di un trinomio. Affinché sia possibile applicarlo è necessario che: 1. il polinomio sia composto soltanto da sei termini; 2. tre termini dei sei che formano il polinomio devono essere dei quadrati; 3. i tre quadrati devono avere lo stesso segno (anche negativo); se uno dei tre quadrati ha segno diverso dagli altri due è inutile perdere tempo: il polinomio non è scomponibile con questo metodo; 4. considerate le basi A, B, C dei tre quadrati, si fanno i tre doppi prodotti possibili (2AB, 2AC, 2BC): se si ottengono gli altri tre termini del polinomio, allora questo è, effettivamente, il quadrato di un trinomio. Particolare attenzione deve essere rivolta ai segni dei doppi prodotti: può capitare, infatti, che un polinomio di sei termini presenti tutte e quattro le caratteristiche citate, ma che non venga rispettata la regola del prodotto dei segni. Esempio Esercizi p. 28 Dato il polinomio 9x 2 4y 2 z 2 12xy 6xz 4yz, verifichiamo se è il quadrato di un trinomio. I primi tre termini sono i quadrati rispettivamente di 3x, 2y e z e hanno lo stesso segno. Il doppio prodotto fra 3x e 2y (12xy) è positivo: 3x e 2y devono essere concordi. Il doppio prodotto fra 3x e z (6xy) è positivo: 3x e z devono essere concordi. 2y e z, essendo concordi con 3x, devono essere anch essi concordi: il loro doppio prodotto è positivo, ma nel polinomio abbiamo 4yz. Il polinomio non è dunque il quadrato di un trinomio. A 2 B 2 (A B)(A B) Questo tipo di scomposizione prende il nome di differenza di due quadrati. Come si vede dalla formula, per poterlo applicare devono verificarsi le seguenti condizioni: 1. il polinomio deve essere composto soltanto da due termini (uno può anche essere il quadrato di un polinomio); 2. devono essere entrambi dei quadrati; 3. i due termini devono avere segni discordi (nell eventualità che sia A 2 B 2, applicando la proprietà commutativa si ha B 2 A 2 ). Nota bene La somma di due quadrati non è mai scomponibile! Per poter applicare questo tipo di scomposizione non è necessario che gli esponenti dei due termini siano uguali a 2, ma è sufficiente che siano entrambi pari. Infatti a 6 b 8 (a 3 ) 2 (b 4 ) 2 risulta comunque essere la differenza di due quadrati anche se nessuno dei due termini ha come esponente 2.

15 12 Modulo 1 Algebra 2 Per scomporre in fattori la differenza di due quadrati dobbiamo quindi: 1. vedere se i due termini sono discordi; 2. vedere se i due termini sono dei quadrati (cioè se entrambi hanno esponente pari) e cercare le basi di questi quadrati; 3. scrivere il binomio come il prodotto della somma delle basi per la loro differenza. Esempi 1. Scomponiamo in fattori 4a 4 25b 2. Vediamo se sono verificate le condizioni descritte: i due termini sono discordi; 4a 4 (2a 2 ) 2 e 25b 2 (5b) 2 ; i due termini del binomio sono, allora, dei quadrati e le basi sono 2a 2 e 5b; possiamo scomporre il binomio come: 4a 4 25b 2 (2a 2 5b)(2a 2 5b) 2. Scomponiamo in fattori 81x y 4 : i due termini sono discordi: scriviamo il binomio come 16y 4 81x 10 ; 16y 4 (4y 2 ) 2 e 81x 10 (9x 5 ) 2 ; quindi i due termini del binomio sono dei quadrati e le basi sono 4y 2 e 9x 5 ; possiamo scomporre il binomio come segue: 81x 10 16y 4 16y 4 81x 10 (4y 2 9x 5 )(4y 2 9x 5 ) 3. Scomponiamo in fattori (2x 3y) 2 9a 2 : i due termini sono discordi; i due termini sono dei quadrati e le basi sono (2x 3y) e 3a; possiamo scomporre il binomio come segue: (2x 3y) 2 9a 2 [(2x 3y) 3a][(2x 3y) 3a] 4. Scomponiamo in fattori 12ax 4 48ay 6. Il polinomio non si presenta come la differenza di due quadrati, non essendo tali né 12ax 4 né 48ay 6. Però possiamo mettere in evidenza il fattore comune 12a: 12ax 4 48ay 6 12a(x 4 4y 6 ) Come esercizio, completa la scomposizione in fattori. Ora prova tu Verifica se i seguenti polinomi sono scomponibili e, laddove è possibile, effettua la scomposizione (ricorda di verificare prima se è possibile il raccoglimento a fattor comune). 100a 2 49b 4 16c 2 9a 2 c 4 4x 4 y 2 y 4 9p 2 36q 4 36a 2 b 2 x 4 y 6 18a 3 c 2 50ax 4 16x 2 y 2 9x 4 y 4 (2x 5) 2 9a 4 9a 6 b 4 16a 4 b 6 16b 12 (3x 2 4x) 2 (5a 8b) 4 c 2 a 4 b 4! ATTENTI ALL ERRORE 4x 2 1 (2x 1) 2 Qui gli errori sono due, e gravi: nello sviluppo del quadrato di un binomio i termini devono essere tre e qui ne abbiamo solo due; il segno dei due quadrati deve essere positivo e qui compare un segno negativo (1).

16 Capitolo 1 Scomposizione in fattori 13 Le osservazioni che dovevano essere fatte, invece, sono le seguenti: i termini sono due (questo basta per escludere il quadrato di un binomio); sono due quadrati le cui basi sono 2x e 1; hanno segni discordi (questo elimina la possibilità di avere la somma di due quadrati che, come abbiamo detto più di una volta, non è scomponibile). Il prodotto notevole cui far riferimento è, allora, il prodotto di una somma di due espressioni per la loro differenza: 4x 2 1 (2x 1)(2x 1) Esercizi p. 30 Esempio Applicazione all equazione a 2 x 2 b 2 0 Risolviamo l equazione 4x Il binomio al primo membro risulta essere la differenza di due quadrati: 4x 2 (2x) 2 e 25 (5) 2 ; possiamo, allora, scrivere: 4x 2 25 (2x 5)(2x 5) e l equazione diventa: (2x 5)(2x 5) 0 Per la legge di annullamento del prodotto deve essere: 2x 5 0 oppure 2x 5 0 La prima equazione ha soluzione 5 5, la seconda ha soluzione 2 2. L insieme soluzione dell equazione 4x è, allora, S e 5 2 ; 5 2 f. Ora prova tu Risolvi le seguenti equazioni. x x x x x x x x Esercizi p. 31 x 2 (a b)x ab (x a)(x b) Dati due numeri a e b, calcoliamo il prodotto (x a)(x b): (x a)(x b) x 2 bx ax ab x 2 (a b) x ab (5) Possiamo riscrivere la (5) nel modo seguente: x 2 (a b)x ab (x a)(x b) (6) Quindi un trinomio di secondo grado P(x) x 2 sx p può essere scomposto in fattori se esistono due numeri a e b per i quali risulta: s a b p ab La (6) risulta, dunque, una scomposizione in fattori di un trinomio di secondo grado. Vediamo quali sono le condizioni che il trinomio deve rispettare perché essa possa essere applicata: 1. il coefficiente di x 2 deve essere 1; 2. il coefficiente di x deve essere uguale alla somma di due numeri a e b; 3. il termine noto deve essere uguale al prodotto dei due stessi numeri a e b.

17 Nota bene 14 Modulo 1 Algebra 2 Non è detto che i numeri a e b esistano. Qualora il coefficiente di x 2 non sia 1, si può mettere in evidenza nel trinomio tale coefficiente e poi cercare di applicare la suddetta scomposizione. Il fatto che sia p ab fornisce un utilissimo strumento di ricerca dei numeri a e b: essi devono essere cercati tra i possibili divisori del termine noto. Nella ricerca dei numeri a e b bisogna tener conto del segno del termine noto: se questo è positivo a e b devono essere concordi, se è negativo a e b devono essere discordi. Esempi 1. Scomponiamo in fattori il trinomio x 2 5x 6. Dobbiamo trovare due numeri a e b per cui risulti a b 6ea b 5. Tenendo conto che: 6 è positivo e, quindi, a e b devono essere concordi, 5 è positivo e, quindi, a e b devono essere entrambi positivi (se fossero negativi la loro somma sarebbe negativa), bisogna considerare solo le scomposizioni di 6 in cui entrambi i fattori sono positivi: (6) (1) (2) (3) Fra queste scomposizioni, quella per cui risulta a b 5 è a 2 e b 3; il trinomio, allora, è così scomponibile: x 2 5x 6 (x 2)(x 3) Ora prova tu 2. Scomponiamo in fattori il trinomio y 2 9y 20. Dobbiamo trovare due numeri a e b per cui risulti a b 20 e a b 9. Tenendo conto che: 20 è positivo e, quindi, a e b devono essere concordi, 9 è negativo e, quindi, a e b devono essere entrambi negativi (se fossero positivi la loro somma sarebbe positiva), bisogna considerare solo le scomposizioni di 20 in cui entrambi i fattori sono negativi: (1) (20) (2) (10) (4) (5) Fra queste scomposizioni, quella per cui risulta a b 9 è a 4 e b 5; il trinomio, allora, è così scomponibile: y 2 9y 20 (y 4)(y 5) 3. Scomponiamo in fattori il trinomio 2x 2 6x 8. Il coefficiente di x 2 è 2: mettiamolo in evidenza. Otteniamo: 2x 2 6x 8 2(x 2 3x 4) Dobbiamo trovare, così, due numeri a e b per cui risulti ab 4ea b 3. Le scomposizioni possibili di 4 sono (1) (4), (4) (1), (2) (2). Fra queste scomposizioni, quella per cui risulta a b 3 è a 4 e b 1; il trinomio, allora, è così scomponibile: 2x 2 6x 8 2(x 2 3x 4) 2(x 4)(x1) Scomponi in fattori i seguenti trinomi di secondo grado. x 2 4x 3 3x 2 18x 21 x 2 3x 10 5x 2 5x 150 x 2 7x 12 x 2 2x 24 2x 2 20x 32 x 2 11x 10 4x 2 8x 60 6x 2 54x 84

18 Capitolo 1 Scomposizione in fattori 15 Esercizi p. 31 Esempio Applicazione all equazione x 2 (a b)x ab 0 Risolviamo l equazione x 2 7x Tenendo conto che: 12 è positivo e, quindi, i numeri a e b devono essere concordi, 7 è negativo e, quindi, a e b devono essere negativi (se fossero positivi la loro somma sarebbe positiva), le scomposizioni di 12 che consideriamo sono: (1) (12), (2) (6), (3) (4). Fra queste, quella per cui risulta a b 7 è a 3 e b 4. Il polinomio si può scrivere x 2 7x 12 (x 3)(x 4) e quindi l equazione può essere espressa nella forma (x 3)(x 4) 0; deve essere, allora, x 3 0 oppure x 4 0. L insieme soluzione è, dunque, S {3, 4}. Ora prova tu Risolvi le seguenti equazioni. x 2 4x 3 0 3x 2 18x 21 0 x 2 3x x 2 54x 84 0 x 2 2x x 2 20x 32 0 x 2 11x x 2 8x 60 0 Esercizi p. 31 A 3 B 3 3A 2 B 3AB 2 (A B) 3 Affinché sia possibile utilizzare questo tipo di scomposizione devono essere verificate le seguenti condizioni: 1. il polinomio deve essere composto da quattro termini; 2. due termini (A 3 e B 3 ) devono essere dei cubi; individuati i cubi, si cercano le loro basi (cioè il monomio del quale il termine è cubo); 3. il terzo termine (3A 2 B) deve essere il prodotto del triplo del quadrato della prima base (3A 2 ) per la seconda base (B); 4. il quarto termine (3AB 2 ) deve essere il prodotto del triplo della prima base (3A) per il quadrato della seconda (B 2 ). In questo tipo di scomposizione è necessario fare particolarmente attenzione ai segni; a volte, infatti, un polinomio può apparire come il cubo di un binomio mentre, invece, non lo è. Consideriamo, per esempio, il quadrinomio 125u 3 150u 2 60u 8 e vediamo se è possibile scomporlo in fattori: abbiamo due cubi: 125u 3 (5u) 3 e 8 (2) 3 ; le basi sono 5u e 2; calcoliamo il triplo del quadrato della prima base per la seconda: 3(5u) 2 (2) 3(25u 2 )(2) 150u 2 calcoliamo il triplo della prima base per il quadrato della seconda: 3(5u)(2) 2 3(5u)(2) 2 60u Come possiamo notare, il primo dei due prodotti che abbiamo calcolato (150u 2 ) è uguale al secondo termine del quadrinomio, mentre il secondo prodotto (60u) non ha lo stesso segno del terzo termine del quadrinomio. Questo vuol dire che 125u 3 150u 2 60u 8 non è il cubo di un binomio.

19 16 Modulo 1 Algebra 2 Esempi 1. Scomponiamo il polinomio 125s 3 150s 2 60s 8: il polinomio è composto da quattro termini; presenta due cubi: 125s 3 (5s) 3 e 8 (2) 3 ; quindi le basi sono 5s e 2; il prodotto del triplo del quadrato della prima base per la seconda è 3(5s) 2 (2) 3 25s s 2 e coincide con il secondo termine del polinomio; il prodotto del triplo della prima base per il quadrato della seconda è 3(5s)(2) 2 60s e coincide con il terzo termine del polinomio. Allora possiamo affermare che: 125s 3 150s 2 60s 8 (5s 2) 3 2. Scomponiamo il polinomio 8u 3 36u 2 54u 27: il polinomio è composto da quattro termini; presenta due cubi: 8u 3 (2u) 3 e 27 (3) 3 (qui occorre stare attenti al segno); le basi sono, allora, 2u e 3; il prodotto del triplo del quadrato della prima base per la seconda è 3(2u) 2 (3) 3(4u 2 )(3) 36u 2 e coincide con il secondo termine del polinomio; il prodotto del triplo della prima base per il quadrato della seconda è 3(2u)(3) 2 3(2u)(9) 54u e coincide con il terzo termine del polinomio. Possiamo scrivere allora: 8u 3 36u 2 54u 27 (2u 3) 3 Esercizi p. 32 Esempi Applicazione all equazione a 3 x 3 3(a 2 x 2 )b 3(ax)b 2 b Risolviamo l equazione 64x 3 144x 2 108x Prendiamo in considerazione il polinomio 64x 3 144x 2 108x 27: ha quattro termini; presenta due cubi: 64x 3 (4x) 3 e 27 (3) 3 ; le loro basi sono 4x e 3; il prodotto del triplo del quadrato della prima base per la seconda è 3(4x) 2 (3) 3 16x x 2 e coincide con il secondo termine del polinomio; il prodotto del triplo della prima base per il quadrato della seconda è 3(4x)(3) 2 3 4x 9 108x e coincide con il terzo termine del polinomio. Possiamo affermare, allora, che 64x 3 144x 2 108x 27 (4x 3) 3 ; l equazione di partenza può essere scritta come: (4x 3) 3 0 e poiché una potenza vale 0 solo se la sua base è 0, deve essere: 4x 3 0 x 3 quindi S e f

20 Capitolo 1 Scomposizione in fattori Risolviamo l equazione 8x 3 60x 2 150x Prendiamo in considerazione il polinomio 8x 3 60x 2 150x 125: ha quattro termini; presenta due cubi: 8x 3 (2x) 3 e 125 (5) 3 ; le loro basi sono 2x e 5; il prodotto del triplo del quadrato della prima base per la seconda è 3(2x) 2 (5) 3 4x 2 (5) 60x 2 e coincide con il secondo termine del polinomio; il prodotto del triplo della prima base per il quadrato della seconda è 3(2x)(5) 2 3 2x x e coincide con il terzo termine del polinomio. Possiamo affermare, allora, che 8x 3 60x 2 150x 125 (2x 5) 3 ; l equazione di partenza può essere scritta come: (2x 5) 3 0 e poiché una potenza vale 0 solo se la sua base è 0, deve essere: 2x 5 0 x 5 2 quindi S e 5 2 f Esercizi p. 32 Nota bene Esempi A 3 B 3 (A B)(A 2 AB B 2 ) A 3 B 3 (A B)(A 2 AB B 2 ) Questi due tipi di scomposizione in fattori vengono detti, rispettivamente, somma e differenza di cubi. Come si vede, i termini che devono comparire sono solo due. Le due formule di scomposizione si possono così enunciare. La somma di due cubi A 3 B 3 è scomponibile come il prodotto tra: il binomio (A B) costituito dalla somma delle basi A e B; il trinomio (A 2 AB B 2 ) costituito da: il quadrato della prima base (A 2 ); più l opposto del prodotto delle basi (AB); più il quadrato della seconda base (B 2 ). La differenza di due cubi A 3 B 3 è scomponibile come il prodotto tra: il binomio (A B) costituito dalla differenza delle basi A e B; il trinomio (A 2 AB B 2 ) costituito da: il quadrato della prima base (A 2 ); più il prodotto delle basi (AB); più il quadrato della seconda base (B 2 ). Per poter applicare questo tipo di scomposizione non è necessario che gli esponenti dei due termini siano uguali a 3, ma è sufficiente che siano divisibili per 3; a 6 b 15 può essere considerata come la differenza dei cubi di a 2 e di b 5 : a 6 b 15 (a 2 ) 3 (b 5 ) Scomponiamo in fattori il binomio 8a Possiamo considerare 8a 6 e 27 come due cubi: 8a 6 (2a 2 ) 3 e Abbiamo, così: 8a 6 27 (2a 2 3)[(2a 2 ) 2 2a ] (2a 2 3)(4a 4 6a 2 9) 2. Scomponiamo in fattori il binomio x 3 125y 9. Possiamo considerare 125y 9 come il cubo di 5y 3 : (5y 3 ) 3 125y 9. Abbiamo, così: x 3 125y 9 (x 5y 3 )[x 2 x(5y 3 ) (5y 3 ) 2 ] (x 5y 3 )(x 2 5xy 3 25y 6 )

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DEL DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 2015/2016 Classi Prime

PROGRAMMAZIONE DEL DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 2015/2016 Classi Prime PROGRAMMAZIONE DEL DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 2015/2016 Classi Prime Metodi e strumenti Nelle lezioni in aula si farà uso: [] della lezione dialogata (utilizzata di norma, e che prevede lo sviluppo anche

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo grado.. IL PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano.

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 LIBRO DI TESTO:L. Sasso Nuova Matematica a colori Algebra e Geometria 1 edizione Azzurra ed. Petrini TEMA A I numeri e linguaggio della Matemati Unità 1

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

ISTITUTO D'ISTRUZIONE SUPERIORE A. MOTTI PROGRAMMAZIONE ANNUALE ANNO SCOLASTICO 2014 /2015

ISTITUTO D'ISTRUZIONE SUPERIORE A. MOTTI PROGRAMMAZIONE ANNUALE ANNO SCOLASTICO 2014 /2015 ISTITUTO D'ISTRUZIONE SUPERIORE A. MOTTI PROGRAMMAZIONE ANNUALE ANNO SCOLASTICO 2014 /2015 A047 MATEMATICA CLASSE PRIMA PROFESSIONALE DOCENTI : CARAFFI ALESSANDRA, CORREGGI MARIA GRAZIA, FAZIO ANGELA,

Dettagli

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO Così come avviene per i numeri ( 180 = 5 ), la scomposizione in fattori di un polinomio è la trasformazione di un polinomio in un prodotto di più polinomi irriducibili

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

DISCIPLINA: MATEMATICA INDIRIZZO: FINANZA E MARKETING CLASSE: 1 FM DOCENTE : MARINA MARTINELLI. Testo in adozione Settembre Ottobre

DISCIPLINA: MATEMATICA INDIRIZZO: FINANZA E MARKETING CLASSE: 1 FM DOCENTE : MARINA MARTINELLI. Testo in adozione Settembre Ottobre Pagina 1 di 5 DISCIPLINA: MATEMATICA INDIRIZZO: FINANZA E MARKETING CLASSE: 1 FM DOCENTE : MARINA MARTINELLI Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi 1 I numeri Naturali, Interi e Razionali Addizione,

Dettagli

M. Cerini - R. Fiamenghi - D. Giallongo. Quaderno operativo. Trevisini Editore

M. Cerini - R. Fiamenghi - D. Giallongo. Quaderno operativo. Trevisini Editore M. Cerini - R. Fiamenghi - D. Giallongo Quaderno operativo Trevisini Editore La pubblicazione di un libro è un operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni

Dettagli

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica Programma svolto di MATEMATICA Anno scolastico 2013/14 ELEMENTI DI RACCORDO CON LA SCUOLA MEDIA GLI INSIEMI CALCOLO LETTERALE GEOMETRIA - Ordinamento, proprietà,

Dettagli

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree MODULO DI MATEMATICA di accesso al triennio Abilità interessate Utilizzare terminologia specifica. Essere consapevoli della necessità di un linguaggio condiviso. Utilizzare il disegno geometrico, per assimilare

Dettagli

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA Istituto Istruzione Superiore A. Venturi Modena Liceo artistico - Istituto Professionale Grafica Via Rainusso, 66-41124 MODENA Sede di riferimento (Via de Servi, 21-41121 MODENA) tel. 059-222156 / 245330

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Sistemi di primo grado

Dettagli

ISTITUTO D'ISTRUZIONE SUPERIORE A. MOTTI PROGRAMMAZIONE ANNUALE ANNO SCOLASTICO 2014 /2015 COMPETENZE ABILITA /CAPACITA CONOSCENZE

ISTITUTO D'ISTRUZIONE SUPERIORE A. MOTTI PROGRAMMAZIONE ANNUALE ANNO SCOLASTICO 2014 /2015 COMPETENZE ABILITA /CAPACITA CONOSCENZE ISTITUTO D'ISTRUZIONE SUPERIORE A. MOTTI PROGRAMMAZIONE ANNUALE ANNO SCOLASTICO 2014 /2015 A047 MATEMATICA CLASSE PRIMA/SECONDA PROFESSIONALE CORSO SERALE DOCENTE: LUBRANO LOBIANCO ANIELLO Legenda: In

Dettagli

LICEO ARTISTICO BOCCIONI A.S. 2013-2014. Programma di MATEMATICA svolto nella Classe Prima L

LICEO ARTISTICO BOCCIONI A.S. 2013-2014. Programma di MATEMATICA svolto nella Classe Prima L LICEO ARTISTICO BOCCIONI A.S. 2013-2014 Programma di MATEMATICA svolto nella Classe Prima L I numeri naturali e i numeri interi Che cosa sono i numeri naturali. L insieme dei numeri naturali N. Le quattro

Dettagli

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane)

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane) 1/7 PRIMO ANNO Testo consigliato: BERGAMINI TRIFONE BAROZZI, Matematica.azzurro, vol. 1, Zanichelli Obiettivi minimi. Acquisire il linguaggio specifico della disciplina; sviluppare espressioni algebriche

Dettagli

Alla pagina successiva trovate la tabella

Alla pagina successiva trovate la tabella Tabella di riepilogo per le scomposizioni Come si usa la tabella di riepilogo per le scomposizioni Premetto che, secondo me, questa tabella e' una delle pochissime cose che in matematica bisognerebbe "studiare

Dettagli

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ED INFORMATICA 1

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ED INFORMATICA 1 SEDE LEGALE: Via Roma, 125-04019 - Terracina (LT) - Tel. +39 0773 70 28 77 - +39 0773 87 08 98 - +39 331 18 22 487 SUCCURSALE: Via Roma, 116 - Tel. +39 0773 70 01 75 - +39 331 17 45 691 SUCCURSALE: Via

Dettagli

Classe: 1 a A AFM...2 Classe: 1 a B AFM...3 Classe: 2 a A AFM...4 Classe: 3 a A AFM...5 Classe: 4 a A IGEA...6

Classe: 1 a A AFM...2 Classe: 1 a B AFM...3 Classe: 2 a A AFM...4 Classe: 3 a A AFM...5 Classe: 4 a A IGEA...6 Classe: 1 a A AFM...2 Classe: 1 a B AFM...3 Classe: 2 a A AFM...4 Classe: 3 a A AFM...5 Classe: 4 a A IGEA...6 Classe: 1 a A AFM GLI INSIEMI NUMERICI E LE OPERAZIONI Ripasso del calcolo numerico: espressioni

Dettagli

Programmazione del dipartimento di MATEMATICA per il quinquennio

Programmazione del dipartimento di MATEMATICA per il quinquennio IPIA C. CORRENTI Programmazione del dipartimento di MATEMATICA per il quinquennio FINALITA DELL INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Promuovere le facoltà intuitive e logiche Educare ai processi di astrazione

Dettagli

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3 livello A1 modulo A1.1 modulo A1.2 matematica livello A2 modulo A2.1 modulo A2.2 livello A insiemi e appartenenza interpretazione grafica nel piano traslazioni proprietà commutatività associatività elemento

Dettagli

Pre Test 2008... Matematica

Pre Test 2008... Matematica Pre Test 2008... Matematica INSIEMI NUMERICI Gli insiemi numerici (di numeri) sono: numeri naturali N: insieme dei numeri interi e positivi {1; 2; 3; 4;...} numeri interi relativi Z: insieme dei numeri

Dettagli

ESERCIZI DI PREPARAZIONE E

ESERCIZI DI PREPARAZIONE E ESERCIZI DI PREPARAZIONE E CONSOLIDAMENTO PER I FUTURI STUDENTI DEL PRIMO LEVI si campa anche senza sapere che cos è un equazione, senza sapere suonare uno strumento musicale, senza conoscere il nome del

Dettagli

PROGRAMMAZIONE MODULARE DI MATEMATICA CLASSE SECONDA INDIRIZZI: AMMINNISTRAZIONE FINANZA E MARKETING - TURISMO SEZIONE TECNICO

PROGRAMMAZIONE MODULARE DI MATEMATICA CLASSE SECONDA INDIRIZZI: AMMINNISTRAZIONE FINANZA E MARKETING - TURISMO SEZIONE TECNICO PROGRAMMAZIONE MODULARE MATEMATICA CL SECONDA INRIZZI: AMMINNISTRAZIONE FINANZA E MARKETING - TURISMO SEZIONE TECNICO MODULO 1 : Frazioni algebriche ed equazioni fratte C1, M1, M3 Determinare il campo

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

COGNOME... NOME... Classe... Data... 1.a Calcolare le seguenti espressioni: 3. 220 245

COGNOME... NOME... Classe... Data... 1.a Calcolare le seguenti espressioni: 3. 220 245 Capitolo I radicali Risoluzione algebrica erifica per la classe seconda Espressioni numeriche Equazioni lineari Esistenza Operazioni Espressioni letterali.a Calcolare le seguenti espressioni:. 5. 8 3.

Dettagli

PIANO DI LAVORO DEL DOCENTE prof. Tomasetig Laura A.S. 2014/2015 CLASSE 1ACAT MATERIA: Matematica

PIANO DI LAVORO DEL DOCENTE prof. Tomasetig Laura A.S. 2014/2015 CLASSE 1ACAT MATERIA: Matematica PIANO DI LAVORO DEL DOCENTE prof. Tomasetig Laura A.S. 2014/2015 CLASSE 1ACAT MATERIA: Matematica Modulo n. 1: Insiemi Collocazione temporale: settembre-dicembre Strategie didattiche: L insegnamento dei

Dettagli

STANDARD MINIMI DI RIFERIMENTO MATEMATICA LICEO TECNICO

STANDARD MINIMI DI RIFERIMENTO MATEMATICA LICEO TECNICO STANDARD MINIMI DI RIFERIMENTO MATEMATICA LICEO TECNICO CLASSE 1^ CONOSCENZE Insiemi numerici N, Z, Q, R; rappresentazioni, operazioni, ordinamento Espressioni algebriche; principali operazioni Equazioni

Dettagli

Aritmetica: operazioni ed espressioni

Aritmetica: operazioni ed espressioni / A SCUOLA DI MATEMATICA Lezioni di matematica a cura di Eugenio Amitrano Argomento n. : operazioni ed espressioni Ricostruzione di un abaco dell epoca romana - Museo RGZ di Magonza (Germania) Libero da

Dettagli

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Addizione: PROPRIETA' COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. 1) a + b = b + a PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si

Dettagli

Sallustio Bandini. Matematica. Istituto Tecnico Statale Programmatori Ragionieri Geometri Lingue Straniere

Sallustio Bandini. Matematica. Istituto Tecnico Statale Programmatori Ragionieri Geometri Lingue Straniere FINALITA DELL INSEGNAMENTO Sallustio Bandini Istituto Tecnico Statale Programmatori Ragionieri Geometri Lingue Straniere Agenzia Formativa Accreditata dalla Regione Toscana Matematica La Matematica, parte

Dettagli

PROGRAMMAZIONE ANNUALE

PROGRAMMAZIONE ANNUALE Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca I.I.S. CATERINA CANIANA Via Polaresco 19 24129 Bergamo Tel:035 250547 035 253492 Fax:035 4328401 http://www.istitutocaniana.it email: canianaipssc@istitutocaniana.it

Dettagli

Programma di MATEMATICA

Programma di MATEMATICA MINISTERO DELL ISTRUZIONE, DELL UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA UFFICIO SCOLASTICO REGIONALE PER IL LAZIO ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE Via Silvestri, 301 00164 ROMA - Via Silvestri, 301 Tel. 06/121127660 Fax

Dettagli

PROGRAMMA CONSUNTIVO

PROGRAMMA CONSUNTIVO PAGINA: 1 PROGRAMMA CONSUNTIVO A.S.2014-15 SCUOLA: Liceo Linguistico Teatro alla Scala DOCENTE: BASSO RICCI MARIA MATERIA: MATEMATICA- INFORMATICA Classe 2 Sezione A CONTENUTI Sistemi lineari numerici

Dettagli

I sistemi lineari. 1. I sistemi di due equazioni in due incognite CAPITOLO

I sistemi lineari. 1. I sistemi di due equazioni in due incognite CAPITOLO I sistemi lineari CAPITOLO 0 TEORIA Internet Più della metà delle famiglie in Italia dispone di una connessione ADSL e il numero è in continua crescita. L offerta di tariffe e tecnologie dei gestori telefonici

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009

ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009 ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali v.scudero www.vincenzoscudero.it novembre 009 1 1 Funzioni algebriche fratte 1.1 Esercizio svolto y = x 1 x 11x + 10 (generalizzazione)

Dettagli

Nel seguito, senza ulteriormente specificarlo, A indicherà un anello commutativo con identità.

Nel seguito, senza ulteriormente specificarlo, A indicherà un anello commutativo con identità. 1 ANELLI Definizione 1.1. Sia A un insieme su cui sono definite due operazioni +,. (A, +, ) si dice Anello se (A, +) è un gruppo abeliano è associativa valgono le leggi distributive, cioè se a, b, c A

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15 Materia: FISICA 1) INTRODUZIONE ALLA SCIENZA E AL METODO SCIENTIFICO La Scienza moderna. Galileo ed il metodo sperimentale. Grandezze

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE I.T.C. GEOMETRI L. EINAUDI - MURAVERA - CLASSE 4A AFM

ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE I.T.C. GEOMETRI L. EINAUDI - MURAVERA - CLASSE 4A AFM ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE I.T.C. GEOMETRI L. EINAUDI - MURAVERA - CLASSE 4A AFM MATEMATICA DOCENTI Marina Pilia Enrico Sedda PROGRAMMA A.S. 2014/2015 PROGRAMMA DI MATEMATICA CLASSE 4A AFM ANNO SCOLASTICO

Dettagli

SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI

SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI I numeri relativi sono l insieme dei numeri negativi (preceduti dal segno -) numeri positivi (il segno + è spesso omesso) lo zero. Valore assoluto di un numero relativo

Dettagli

I.T.G. <> Battipaglia (SA) PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CORSO SERALE SIRIO RELAZIONE

I.T.G. <<G.C.Gloriosi>> Battipaglia (SA) PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CORSO SERALE SIRIO RELAZIONE I.T.G. Battipaglia (SA) PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CORSO SERALE SIRIO Prof. Lucia D Aniello, CLASSI 3 A, 4 A, 5 A GEOMETRI- SIRIO RELAZIONE Premesse La programmazione è stata redatta

Dettagli

Corso di recupero di Matematica per Biologia. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di recupero di Matematica per Biologia. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di recupero di Matematica per Biologia Tutor: Pancaldi Francesco Università di Ferrara Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali 30 dicembre 2009 INDICE 1 Indice 1 Numeri 1 1.1 Numeri Naturali

Dettagli

il test di Ingegneria al Politecnico di Milano Maurizio Verri Marco Bramanti

il test di Ingegneria al Politecnico di Milano Maurizio Verri Marco Bramanti il test di Ingegneria al Politecnico di Milano Maurizio Verri Marco Bramanti Maurizio Verri Marco Bramanti POLItest il test di Ingegneria al Politecnico di Milano Quesiti svolti di Logica, Matematica,

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

Generalità sulle funzioni

Generalità sulle funzioni Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni

Dettagli

VALLAURI L ASSE MATEMATICO

VALLAURI L ASSE MATEMATICO Istituto Professionale di Stato per l Industria e l Artigianato Giancarlo Vallauri Via B. Peruzzi, 13 41012 CARPI (MO) VALLAURI www.vallauricarpi.it Tel. 059 691573 Fax 059 642074 vallauri@vallauricarpi.it

Dettagli

PROGRAMMAZIONE MATEMATICA BIENNIO A.S. 2014-2015

PROGRAMMAZIONE MATEMATICA BIENNIO A.S. 2014-2015 PROGRAMMAZIONE MATEMATICA BIENNIO A.S. 2014-2015 - Finalità della matematica - Promuovere le facoltà intuitive e logiche - Educare a procedimenti sperimentali oltre che di astrazione e di formazione dei

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica

Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Ercole Suppa Liceo Scientifico A. Einstein, Teramo e-mail: ercolesuppa@gmail.com Teramo, 3 dicembre 2014 USR Abruzzo - PLS 2014-2015,

Dettagli

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni 2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi

Dettagli

ISTITUTO COMPRENSIVO VALLE DI SCALVE

ISTITUTO COMPRENSIVO VALLE DI SCALVE ISTITUTO COMPRENSIVO VALLE DI SCALVE Scuola dell Infanzia Scuola Primaria Scuola Secondaria 1 e 2 grado 24020 VILMINORE DI SCALVE (BG) 0346-51066 - 0346-50056 - ic.vallescalve@tiscali.it MATERIA: MATEMATICA

Dettagli

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI 119 4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI Indice degli Argomenti: TEMA N. 1 : INSIEMI NUMERICI E CALCOLO

Dettagli

Raccolta di Esercizi di Matematica. Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem)

Raccolta di Esercizi di Matematica. Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem) Raccolta di Esercizi di Matematica Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem) Contenuti: 8-1. L ordine Algebrico delle Operazioni 8-2. Problemi sulle Percentuali 8-3. Le Forme Standard e Point-Slope

Dettagli

Matematica 3. Dipartimento di Matematica. ITIS V.Volterra San Donà di Piave. Versione [2015-16]

Matematica 3. Dipartimento di Matematica. ITIS V.Volterra San Donà di Piave. Versione [2015-16] Matematica 3 Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [05-6] Indice I Numeri e Funzioni Numeri 3. Premessa............................................. 3. Tipi di numeri..........................................

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Questionario per casa 6 Febbraio 2012

Questionario per casa 6 Febbraio 2012 1 Il numero 4 2004 + 2 4008 è uguale a a) 4 4012 b) 4 4008 c) 4 2004 d) 2 4009 e) 2 2012 Questionario per casa 6 Febbraio 2012 2 La statura media dei 20 studenti di una certa classe è 163,5 cm. Se ciascuno

Dettagli

Competenze. -Saper semplificare le frazioni algebriche -Saper eseguire le operazioni con le frazioni algebriche

Competenze. -Saper semplificare le frazioni algebriche -Saper eseguire le operazioni con le frazioni algebriche Disciplina MATEMATICA Secondo biennio e anno conclusivo Liceo Economico sociale Classe terza Finalità Conoscenze Obiettivi minimi Finalità della matematica nel corso del secondo biennio è di proseguire

Dettagli

E solo questione di metodo:

E solo questione di metodo: E solo questione di metodo: problemi e algoritmi di matematica elementare Progetto Lauree Scientifiche Scuola Estiva di Matematica (4092015) Stefano Finzi Vita Dipartimento di Matematica - Sapienza Università

Dettagli

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE POLO COMMERCIALE ARTISTICO GRAFICO MUSICALE

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE POLO COMMERCIALE ARTISTICO GRAFICO MUSICALE a.s.2011/2012 A CURA DEL RESPONSABILE DI AMBITO CAGNESCHI FEDERICA / IMPERATORE DOLORES L AMBITO DISCIPLINARE DI MATEMATICA STABILISCE CHE: 1. I docenti prevedono un congruo numero di ore per il recupero

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Liceo Scientifico Statale. Leonardo da Vinci. Fisica. Programma svolto durante l anno scolastico 2012/13 CLASSE I B. DOCENTE Elda Chirico

Liceo Scientifico Statale. Leonardo da Vinci. Fisica. Programma svolto durante l anno scolastico 2012/13 CLASSE I B. DOCENTE Elda Chirico Liceo Scientifico Statale Leonardo da Vinci Fisica Programma svolto durante l anno scolastico 2012/13 CLASSE I B DOCENTE Elda Chirico Le Grandezze. Introduzione alla fisica. Metodo sperimentale. Grandezze

Dettagli

Programmazione Annuale di Matematica della Scuola Secondaria di Primo Grado Caccia

Programmazione Annuale di Matematica della Scuola Secondaria di Primo Grado Caccia Programmazione Annuale di Matematica della Scuola Secondaria di Primo Grado Caccia L'educazione matematica ha il compito di avviare l'alunno verso una maggiore consapevolezza e padronanza del pensiero

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

ISTITUTO OMNICOMPRENSIVO STATALE DI SAN DANIELE DEL FRIULI

ISTITUTO OMNICOMPRENSIVO STATALE DI SAN DANIELE DEL FRIULI ISTITUTO OMNICOMPRENSIVO STATALE DI SAN DANIELE DEL FRIULI ------------------------------------------- Piazza IV Novembre 33038 SAN DANIELE DEL FRIULI (prov. di Udine) Telefono n. 0432 955214 Fax n. 0432

Dettagli

I.P.S.S.S E. DE AMICIS - ROMA

I.P.S.S.S E. DE AMICIS - ROMA I.P.S.S.S E. DE AMICIS - ROMA PROGRAMMAZIONE DIDATTICA DI MATEMATICA a.s. 2015-2016 Indirizzo Servizi Socio Sanitari Classe 4 sezione B Docente : Prof.ssa Maria Diomedi Camassei FINALITÀ EDUCATIVE Si perseguono

Dettagli

Monomi e Polinomi. Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione.

Monomi e Polinomi. Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione. Monomi e Polinomi Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione. ) Sono monomi: 5 a 3 b 2 z; 2 3 a2 c 9 ; +7; 8a b 3 a 2. Non sono monomi: a + 2; xyz

Dettagli

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica a.a. 2006/2007 Docente Ing. Andrea Ghedi Lezione 2 IL PIANO CARTESIANO 1 Il piano cartesiano In un piano

Dettagli

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza

Dettagli

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Ministero dell istruzione, dell università e della ricerca Istituto d Istruzione Superiore Severi-Correnti IIS Severi-Correnti 02-318112/1 via Alcuino 4-20149 Milano 02-33100578 codice fiscale 97504620150

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

I.I.S. "MARGHERITA DI SAVOIA" a.s. 20014-2015 LICEO LINGUISTICO classe I BL Programma di MATEMATICA

I.I.S. MARGHERITA DI SAVOIA a.s. 20014-2015 LICEO LINGUISTICO classe I BL Programma di MATEMATICA classe I BL Numeri naturali L insieme dei numeri naturali e le quattro operazioni aritmetiche. Le potenze. Espressioni. Divisibilità, numeri primi. M.C.D. e m.c.m. Numeri interi relativi L insieme dei

Dettagli

PIANO DI LAVORO a.s. 2014-2015

PIANO DI LAVORO a.s. 2014-2015 PIANO DI LAVORO a.s. 2014-2015 MATERIA: MATEMATICA APPLICATA CORSO: INTERO CORSO 1. obiettivi didattici 2. contenuti 3. metodi e strumenti 4. criteri di valutazione CLASSE PRIMA 1.OBIETTIVI DIDATTICI Gli

Dettagli

B9. Equazioni di grado superiore al secondo

B9. Equazioni di grado superiore al secondo B9. Equazioni di grado superiore al secondo Le equazioni di terzo grado hanno una, due o tre soluzioni, risolvibili algebricamente con formule molto più complesse di quelle dell equazione di secondo grado.

Dettagli

2. Matematica. V. Matematica e scienze sperimentali 143

2. Matematica. V. Matematica e scienze sperimentali 143 V. Matematica e scienze sperimentali 143 2. Matematica 2.1. Obiettivi generali della materia e incidenze su quelli dell area di studio «matematica e scienze sperimentali» L insegnamento della matematica

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Istituto Comprensivo Caposele (Av) Curricolo verticale d istituto a.sc. 2013-2014

Istituto Comprensivo Caposele (Av) Curricolo verticale d istituto a.sc. 2013-2014 CURRICOLO DI MATEMATICA SCUOLA PRIMARIA CLASSE PRIMA 1. Contare oggetti o eventi, a voce e mentalmente, in senso progressivo e regressivo e per salti di due, tre, 2. Leggere e scrivere i numeri naturali

Dettagli

CLASSI PRIME Scienze Applicate 5 ORE

CLASSI PRIME Scienze Applicate 5 ORE CLASSI PRIME Scienze Applicate 5 ORE Settembre Ottobre Somministrazione di test di ingresso. Novembre dicembre Insiemi numerici Operazioni negli insiemi N, Q Operazioni negli insiemi Z, Q. Potenze con

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2 Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6

Dettagli

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti 4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE PIANO ANNUALE a.s. 2012/2013 CLASSI PRIME tecnico 4 ORE Settembre Ottobre Novembre dicembre dicembre gennaio- 15 aprile 15 aprile 15 maggio Somministrazione di test di ingresso. Insiemi numerici Operazioni

Dettagli

Centro Professionale Commerciale di Bellinzona Programma d istituto. Obiettivi principali: Atteggiamenti (Saper essere)

Centro Professionale Commerciale di Bellinzona Programma d istituto. Obiettivi principali: Atteggiamenti (Saper essere) Centro Professionale Commerciale di Bellinzona Programma d istituto Maturità Professionale Commerciale - MATERIA :MATEMATICA 1 anno maturità integrata Ore-lezione settimanali: 3 X 3 (Corso base) + 2,5

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

IL NUMERO. PRIMO BIENNIO: 1a - 2a elementare COMPETENZE ABILITA' CONOSCENZE

IL NUMERO. PRIMO BIENNIO: 1a - 2a elementare COMPETENZE ABILITA' CONOSCENZE IL NUMERO PRIMO BIENNIO: 1a - 2a elementare Utilizzare i numeri naturali fino a 100 per contare e per eseguire operazioni aritmetiche di addizione e sottrazione, sia nel calcolo mentale che scritto. Raggruppare

Dettagli

PIANO DI LAVORO a.s. 2013-2014

PIANO DI LAVORO a.s. 2013-2014 PIANO DI LAVORO a.s. 2013-2014 1. obiettivi didattici 2. contenuti 3. metodi e strumenti 4. criteri di valutazione MATERIA: MATEMATICA APPLICATA CORSO: INTERO CORSO CLASSE PRIMA 1.OBIETTIVI DIDATTICI Gli

Dettagli

PIANO DI LAVORO A.S. 2013/14. Liceo SCIENTIFICO GOBETTI OMEGNA

PIANO DI LAVORO A.S. 2013/14. Liceo SCIENTIFICO GOBETTI OMEGNA PIANO DI LAVORO A.S. 2013/14 Liceo SCIENTIFICO GOBETTI OMEGNA Professoressa LILIANA PIZZI Disciplina MATEMATICA Classe PRIMA sezione B Data: 12 Ottobre 2013 A. LIVELLI DI PARTENZA TEST E/O GRIGLIE DI OSSERVAZIONE

Dettagli

Scheda I. 3 La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso.

Scheda I. 3 La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso. Scheda I. La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso. Dopo Menecmo, Archita, Eratostene molti altri, sfidando gli dei hanno trovato interessante dedicare il loro tempo per trovare una

Dettagli

ESTRAZIONE DI RADICE

ESTRAZIONE DI RADICE ESTRAZIONE DI RADICE La radice è l operazione inversa dell elevamento a potenza. L esponente della potenza è l indice della radice che può essere: quadrata (); cubica (); quarta (4); ecc. La base della

Dettagli

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli