REGOLA DELLA SEMPLIFICAZIONE DELLE AREE

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1 REGOLA DELLA SEMPLIFICAZIONE DELLE AREE Ogni formula di calcolo delle aree dei poligoni può essere espressa tramite una frazione avente al numeratore un prodotto di due valori e un unico valore al denominatore. Per tale motivo si possono semplificare i due numeri al numeratore con quello al denominatore fino a ottenere valore 1 al denominatore. Tale operazione permette di eliminare completamente la divisione della frazione. Si può operare in tale modo solo se al numeratore è presente un prodotto. Se vi è una somma NON si può semplificare Es:

2 AREA DEL RETTANGOLO E un parallelogramma avente quattro angoli retti, i lati opposti uguali e paralleli, le diagonali uguali non perpendicolari che si scambiano vicendevolmente a metà. Def. Area : moltiplico la misura della base (b) per quella dell altezza (h) A = b h b = A h h = A b Se si considera un rettangolo con base di 5 cm e l altezza di 4 cm, con unità di misura data dal cm, otteniamo la suddivisione del rettangolo in 0 quadrati di lato 1 cm: A = 5cm 4cm = 0cm 1+1 = 0cm ES 1 : formula diretta Un rettangolo ha il perimetro che misura 56 cm e la base è 5/ dell altezza. Calcola l area del rettangolo P ABCD = 56 cm AB = 5/ CD? = A ABCD n SU = 5 seg + seg + 5 seg + seg =14 seg SU = 56 : 14 = 4 cm AB = 5 4 = 0 cm CD = 4 = 8 cm A ABCD = b h = 0 8 = 160 cm ES : formula inversa Un rettangolo ha l area di 50 cm e la base misura 5 cm. Calcola l altezza del rettangolo. AB = 5 cm A ABCD = 50 cm? = CD CD = A/b = 50 / 5 = 10 cm

3 AREA DEL QUADRATO E un rettangolo avente i 4 lati uguali, le diagonali uguali e perpendicolari che si scambiano vicendevolmente a metà. E quindi equilatero ed equiangolo e per questo motivo è definito regolare. Il raggio r del cerchio inscritto equivale alla metà del lato del quadrato; il raggio R del cerchio circoscritto equivale alla metà della diagonale del quadrato. Il quadrato è considerato un rettangolo avente base ed altezza uguali Def. Area : moltiplico la misura di un lato (l) per quella dell altro lato (l) A = l l = l l = A ES 1 : formula diretta Un quadrato ha il perimetro che misura 64 cm. Calcola l area del quadrato. P ABCD = 64 cm? = A ABCD AB = P ABCD : 4 = 16 cm A ABCD = l l = = 56 cm ES 1 : formula inversa Un quadrato ha l area che misura 400 cm. Calcola l area di un rettangolo isoperimetrico al quadrato ed avente l altezza di 10 cm. A ABCD = 400 cm? = A EFGH AB = A = 400 = 0 cm P ABCD = 4 0 = 80 cm EF= 80 ( ) =30 cm A ABCD = b h = = 300 cm

4 (LASCIARE NEL QUADERNO UNO SPAZIO DI UNA FACCIATA) Il quadrato è considerato un rombo avente le due diagonali uguali Def. Area : moltiplico la misura di una diagonale (d) per quella dell altra diagonale (l) e poi divido per A = d d = d d = A ES 1 : formula alternativa diretta Un quadrato ha la diagonale che misura 1 cm. Calcola l area del quadrato AC = 1 cm? = A ABCD A ABCD = d = 1 = 144 = 7 cm ES 1 : formula alternativa inversa Un quadrato ha l area che misura 00 cm. Calcola l area di un rettangolo avente la base congruente alla diagonale del quadrato e l altezza di 1 cm. A ABCD = 00 cm? = A EFGH AC = A = 00 = 400 = 0 cm A A = b h = 1 0 = 40 cm

5 AREA DEL PARALLELOGRAMMA E un trapezio avente i lati obliqui paralleli e le basi congruenti e parallele. Gli angoli opposti sono uguali, le diagonali sono uguali ma non perpendicolari e si scambiano vicendevolmente a metà. Il parallelogramma è considerato un rettangolo avente la base spostata e l altezza interna (ogni lato ha una sua altezza in base a come è girato): Def. Area : moltiplico la misura della base (b) per quella dell altezza (h) A = b h b = A h h = A b Def. Area : moltiplico la misura del lato obliquo (l) per quella dell altezza laterale (h l ) A = l h l l = A h l h l = A l ES 1 : formula diretta Un parallelogramma ha la base che misura 15 cm e l altezza relativa alla base misura 1 cm. Calcola la misura del lato obliquo sapendo che l altezza relativa a essa misura 18 cm. DH = 1 cm AB = 15 cm DK = 18 cm? = BC A ABCD = b h = 15 1 = 180 cm BC = 180 : 18 = 10 cm ES : formula inversa Un rettangolo ha la base che misura 1 cm e l altezza che misura 0 cm ed è equivalente ad un parallelogramma avente la base che misura 40 cm. Calcola l altezza del parallelogramma. AB = 1 cm CD = 0 cm EF = 40 cm? = LH A ABCD =1 0 = 40 cm LH = A / b = 40 : 40 = 6 cm

6 AREA DEL ROMBO E un parallelogramma equilatero, con le diagonali perpendicolari non congruenti che si scambiano a metà a vicenda, gli angoli opposti sono uguali e quelli adiacenti a uno stesso lato sono supplementari. Il rombo è considerato la metà di un rettangolo avente la base congruente a una diagonale e l altezza congruente all altra diagonale: Bisogna costruire i vertici del rombo nel punto medio dei lati del rettangolo. Def. Area : moltiplico la misura della diagonale minore (d) per quella della diagonale maggiore (D) e divido il risultato per A = D d d = A D D = A d Il rombo è considerato un parallelogramma che ha per base il lato (si appoggia su un lato) Def. Area : moltiplico la misura del lato (l) per quella dell altezza (h) A = l h l = A h h = A l

7 ES 1 : formula diretta (parallelogramma) Un rombo ha il lato che misura 15 cm e l altezza relativa ad esso che misura 1 cm. Calcola l area del rombo DH = 1 cm AB = 15 cm? = A ABCD A ABCD = b h = 15 1 = 180 cm ES : formula diretta (rombo) e inversa (parallelogramma) Un rombo ha le diagonali che misurano 4 cm e 18 cm. Sapendo che il lato misura 7,5 cm; calcola la misura dell altezza relativa al lato. AC = 4 cm BD = 18 cm AB = 7,5 cm? = DH A ABCD = D d = 4 18 = 16 cm DH = A l = 16 7,5 = 8,8 cm IMP - se l area nella formula diretta si divide per, nella formula inversa la prima cosa da fare è moltiplicare l area per

8 AREA DEL TRIANGOLO E una figura geometrica indeformabile, avente 3 lati, 3 angoli e nessuna diagonale. Sono classificati in base ai lati e ai vertici. Il triangolo è considerato la metà di un parallelogramma avente la base congruente alla base del parallelogramma e l altezza congruente all altezza del parallelogramma: Def. Area: moltiplico la misura della base (b) per quella dell altezza (h) e divido il risultato per. A = b h h = A b b = A h ES 1 : formula diretta e inversa Un triangolo isoscele acutangolo ha la base che misura 6/5 del lato obliquo e il perimetro che misura 48 cm. L altezza relativa alla base misura 1 cm. Calcola la base di un triangolo acutangolo scaleno equivalente al triplo del triangolo isoscele e avente l altezza di 4 cm. AB = 6/5 AC BD = 1 cm A ABC = 3A A B C P ABC = 48 cm? = A C n seg = 6 seg + 5 seg + 5seg = 16 seg SU = 48 :16 = 3 cm AB = 3 x 6 = 18 cm A ABCD = b h = 18 1 B D = A h = 34 = 7cm 4 = 108cm AA B C = = 34 cm

9 CASI PARTICOLARI DEI TRIANGOLI: TRIANGOLO RETTANGOLO Def. Area: moltiplico la misura del cateto maggiore (a) per quella del cateto minore (c) e divido il risultato per. A = C c C = A c c = A C ES 1 : formula diretta e inversa Un triangolo rettangolo ha il cateto maggiore che misura 1 cm e quello minore che misura 9 cm. Calcola l area e la misura dell altezza relativa all ipotenusa e del perimetro sapendo che l ipotenusa misura 15 cm AB = 1 cm AC = 9 cm BC = 15 cm? = AH? = P ABC A ABCD = C c = 1 9 = 48cm AH = A BC = 48 = 6, 4cm 15 P ABC = = 36 cm

10 AREA DEL TRAPEZIO E un quadrilatero avente due lati paralleli. Le diagonali non sono perpendicolari né congruenti, e non si scambiano a metà a vicenda. Gli angoli sono differenti ma quelli adiacenti ad uno stesso lato sono supplementari. Il trapezio è considerato un triangolo avente per base la somma delle basi e per altezza la stessa altezza. Per dimostrare tale equivalenza, si prolunga la base maggiore verso destra e poi si traccia la retta incidente ad essa passante per il punto medio del lato obliquo e uscente dal vertice non adiacente al lato obliquo stesso e alla base maggiore. b tria = B trap + b trap Def. Area : moltiplico la misura della somma delle basi per l altezza e divido il risultato per A = b h = (B + b) h h = A (B + b) (B + b) = A h IMP - le basi non possono essere mai calcolate separatamente attraverso queste formule, solo conoscendo i segmenti unitari o conoscendo la misura di una delle due io passo calcolarle separate. La parentesi tonda non mi permette di dividerle

11 ES 1 : formula diretta e inversa Due trapezi hanno l area uno il triplo dell altro e le altezze congruenti. Il primo (più piccolo) ha le basi che misurano rispettivamente 1 cm e 18 cm e l altezza misura 8 cm. Calcola le basi del secondo trapezio sapendo che sono una i 7/ dell altra. A EFGL = 3 A ABCD AB = 18 cm CD = 1 cm DH = LK = 8 cm EF = 7/ GL? = EF? = GL A ABCD = (B + b) h = (18 + 1) 8 = 10 cm A EFGL = A 3 = 10 3 = 360 cm (EF + GL) = A h = = 90 cm n SU = 7 seg + seg = 9 seg SU = 90 : 9 = 10 cm EF = 10 7 = 70 cm GL = 10 = 0 cm