FAST FOURIER TRASFORM-FFT
|
|
- Valerio Franco
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 A p p e n d i c e B FAST FOURIER TRASFORM-FFT La tasfomata disceta di Fouie svolge un uolo molto impotante nello studio, nell analisi e nell implementazione di algoitmi dei segnali in tempo disceto. Come si è visto nel capitolo pecedente, è molto conveniente studiae i sistemi nel dominio di Fouie.. La tasfomata disceta di Fouie campiona ad intevalli egolai la tasfomata di Fouie del segnale ogni ω π/, questo implica calcolae punti della tasfomata disceta di Fouie. A livello computazionale queste opeazioni potebbeo isultae molto pesanti,infatti se ad esempio abbiamo campioni, la complessità di calcolo della tasfomata disceta di Fouie è di tipo quadatico nell odine. Pe questo è nata la necessità di avvalesi di algoitmi con complessità minoi, quali la FFT. In ealtà, l aconimo FFT indica una classe di algoitmi efficienti pe il calcolo della tasfomata disceta di una sequenza peiodica. Alcuni di questi algoitmi sono Goetzel,quello di "Decimation in time". B. Tasfomata di Fouie Disceta el capitolo pecedente è stata tattata la appesentazione di sequenze, si può vedee come nel caso in cui la sequenza da appesentae è di duata finita, cioè ha soltanto un numeo finito di valoi non nulli, è possibile sviluppae una appesentazione di Fouie altenativa, chiamata tasfomata di Fouie disceta DFT. La DFT è una appesentazione di Fouie di una sequenza di lunghezza finita cioè che è essa stessa una sequenza anziché una funzione continua, e coisponde a campioni egualmente spaziati in fequenza della tasfomata di Fouie del segnale.
2 B.. Rappesentazione di sequenze peiodiche la seie di Fouie disceta Si considei una sequenza ~ x n peiodica 8 con peiodo, cioè tale che sia ~ x n ~ x n pe ogni valoe inteo di. E possibile appesentae ~ x n pe mezzo di una seie di Fouie, cioè come somma di sequenze sinusoidali o cosinusoidali o, in modo equivalente, di sequenze esponenziali complesse con fequenze multipli intei della fequenza fondamentale π associata alla sequenza peiodica. A diffeenza della seie di Fouie valida pe funzioni peiodiche continue, esistono soltanto esponenziali complessi distinti il cui peiodo è un sottomultiplo inteo del peiodo fondamentale. Ciò deiva dal fatto che l esponenziale complesso π j n e n e B. è peiodico in con peiodo. Peciò e n e n, e n e ecc., e quindi n l insieme di esponenziali complessi appesentati nella. con,,,,- definisce tutti gli esponenziali complessi distinti con fequenze che sono multipli intei π di. Petanto, pe la appesentazione in seie di Fouie di una sequenza peiodica, ~ x n, bastano soltanto di questi esponenziali complessi e quindi essa può scivesi nella foma ~ x n ~ X e π j n B. La costante moltiplicativa è stata inseita pe convenienza e non ha nessun effetto ~ impotante sulla natua della appesentazione. I coefficienti X dalla sequenza peiodica ~ x n si ottengono: 8 Il simbolo indica sequenze peiodiche, è impotante pe distinguee inseguito le sequenze peiodiche da quelle apeiodiche
3 π j n, pe m, minteo e, altove n B.3 Peciò moltiplicando entambi i membi della elazione B. pe da n a n-, otteniamo π j n e e sommando e n π j n n ~ X e π j n j n x n e X n ~ π ~ n e π j n pe cui usando la.3 isulta n ~ x n e π j n ~ X ~ Peciò i coefficienti X nella B. sono dati da ~ X n ~ x n e π j n ~ La sequenza X appesentata dalla elazione B. è peiodica con peiodo, cioè ~ ~ ~ ~ X X, X X ecc. atualmente, ciò è in accodo col fatto che gli esponenziali complessi appesentati nell espessione B. sono distinti soltanto pe
4 ,,,,-, e peciò nella appesentazione di una sequenza peiodica in seie di Fouie possono essevi solo coefficienti distinti. I coefficienti della seie di Fouie possono essee consideati come una sequenza di lunghezza finita, data dall espessione B. pe,,,,- e zeo pe valoi divesi di, o come una sequenza peiodica definita pe ogni dalla elazione B.. Le due intepetazioni sono equivalenti. In geneale è più conveniente intepetae i ~ coefficienti della seie di Fouie X come una sequenza peiodica. Le elazioni B. e B. possono essee consideate una coppia di tasfomate e costituiscono la appesentazione di una sequenza peiodica in seie di Fouie disceta DFS. Pe comodità di appesentazione queste espessioni saanno genealmente scitte in temini di definito come e π j Quindi le fomule di analisi e sintesi della DFS si scivono come ~ ~ n X x n B. n ~ ~ n x n X B.5 ~ X che ~ x n sono sequenze peiodiche. B.. Rappesentazione di Fouie pe sequenze di duata finita la tasfomata di Fouie disceta el paagafo pecedente si è consideata la appesentazione di sequenze peiodiche in temini della seie di Fouie disceta. La stessa appesentazione può essee
5 applicata a sequenze di duata finita, puché la si intepeti coettamente. La appesentazione di Fouie che ne isulta veà indicata come la tasfomata di Fouie disceta DFT. Consideiamo una sequenza di duata finita xn di lunghezza in modo che xn eccetto nell intevallo n. Anche se la sequenza è di lunghezza M minoe di, può essee consideata di lunghezza con gli ultimi -M punti dell intevallo aventi valoe zeo. la coispondente sequenza peiodica di peiodo, di cui xn è un peiodo, saà indicata ~ x n ed è data da ~ x n x n B.6a Poiché xn è di lunghezza finita, non vi è sovapposizione ta i temini xn pe valoi di diffeenti. Peciò la elazione B.6 a può essee scitta nella foma altenativa ~ x n x n modulo B.6 b La sequenza di duata finita xn si icava da ~ x n estaendone un peiodo, cioè ~ x n, x n, n altove L impulso ettangolae disceto R n è definito come: ~ x n, R n, n altove La elazione pecedente può essee espessa come: x n ~ x n R n B.7
6 ~ Da quanto visto nel paagafo pecedente, la elazione ta X ~ x n ~ ~ n X x n n ~ x n ~ X n Poiché le somme nelle due elazioni pecedenti B. e B.5 iguadano solo l intevallo ta e -, segue: X n x n n, altove n X n x n n B.9, altove La coppie di tasfomate B.8 e B.9 è chiamata tasfomata disceta di Fouie DFT, la B.8 è l equazione di analisi e la B.9 è l equazione di sintesi della sequenza xn. B. Algoitmo FFT el paagafo pecedente si è vista la tasfomata disceta di Fouie, questa icope un uolo impotante nell analisi, nel pogetto e nella ealizzazione di algoitmi e sistemi di elaboazione numeica dei segnali. elle elazioni B.8 e B.9 sia xn che X possono essee complesse. Poiché xn è in geneale complessa si può scivee
7 X n n n n n {Re[ x n]re[ ] Im[ x n]im[ ] jre[ x n]im[ ] Im[ x n]re[ ]},,,..,. Dall espessione pecedente isulta che il calcolo dietto di X ichiede moltiplicazioni eali e - addizioni eali pe ogni valoe di. Poiché occoe valutae X pe divesi valoi di, il calcolo dietto della tasfomata di Fouie disceta di una sequenza xn ichiede addizioni eali ovveo, in alti temini, moltiplicazioni eali e moltiplicazioni complesse e addizioni complesse.olte alle moltiplicazioni e alle addizioni contenute nella B. l esecuzione del calcolo della DFT su un calcolatoe numeico d impiego geneale o con dispositivo ad essa dedicato implica la necessità di memoizzae e di leggee i valoi della sequenza d ingesso xn e dei coefficienti n. Poiché negli algoitmi di calcolo numeico la quantità di opeazioni di lettua e scittua è popozionale al numeo di opeazioni aitmetiche, il numeo di moltiplicazioni e addizioni sono una misua significativa della complessità dell algoitmo tempo di ichiesto pe eseguie un algoitmo di calcolo. Quindi, pe il calcolo dietto della tasfomata di Fouie disceta, l efficienza del metodo si può valutae sulla base del fatto che sono necessaie moltiplicazioni eali e addizioni eali, Poiché la quantità e quindi il tempo dei calcoli è appossimativamente popozionale a gandi di il numeo di opeazioni pe calcolae la DFT diventa enome., pe valoi La maggio pate delle tecniche usate pe miglioae l efficienza del calcolo della DFT sfuttano una delle seguenti popietà delle quantità n. n n. n n n Pe esempio sfuttando la pima popietà, cioè la simmetia delle funzioni seno e coseno, si possono nella B. agguppae dei temini come
8 Re[ x n]re[ n ] Re[ x n]re[ Re[ x n] Re[ x n]re[ n ] n ] e Im[ x n]im[ n ] Im[ x n]im[ ] Im[ x n] Im[ x n] Im[ n n ] Analoghi agguppamenti si possono fae pe gli alti temini della B.. In questo modo si iesce a idue il numeo di moltiplicazioni cica di un fattoe. Si può anche sfuttae il fatto che pe ceti valoi del podotto n le funzioni seno e coseno valgono e, e non è quindi necessaio eseguie moltiplicazioni coispondenti. Tuttavia, dopo iduzioni di questo genee, esta sempe un numeo esiguo di calcoli da effettuae dell odine di complessa. Usando la seconda popietà, cioè la peiodicità della sequenza n, si ottiene una iduzione dei calcoli notevolmente maggioe. Algoitmi di calcolo che sfuttano sia la simmetia che la peiodicità della sequenza n eano noti già da molto tempo pima dell avvento dei calcolatoi numeici veloci. Runge e più tadi Danielson e Lanczos hanno descitto algoitmi la cui complessità ea all incica popozionale a log invece che a. Questa diffeenza non ea peò di gande impotanza, la possibilità di idue notevolmente il tempo di calcolo si ebbe soltanto veso il 965, quando Cooley e Tuey pubblicaono un algoitmo pe il calcolo della tasfomata di Fouie disceta che vale quando è un numeo composto, cioè il podotto di due o più intei. La pubblicazione di questo lavoo povocò un fioie di applicazioni della tasfomata di Fouie disceta all elaboazione dei segnali ed diede luogo alla scopeta di numeosi algoitmi di calcolo che divenneo noti come algoitmi pe la tasfomata di Fouie veloce o semplicemente FFT. Il pincipio fondamentale su cui si basano tutti questi algoitmi è la scomposizione del calcolo del tasfomata di Fouie disceta di una sequenza lunga in tasfomate di Fouie discete di dimensioni via via più piccole. Il modo in cui questo pincipio è
9 applicato dà luogo a una vaietà di algoitmi divesi, tutti caatteizzati da miglioamenti cica della stessa entità nella velocità di calcolo. Si esamineanno due classi di algoitmi, la pima, detta a decimazione nel tempo, la seconda, detta a decimazione in fequenza. La pima pende il nome dal fatto che nello scompoe il calcolo in tasfomate di dimensioni più piccole, la sequenza xn viene suddivisa in sequenze sempe più cote. ella seconda classe, la sequenza che viene scomposta in sottosequenze sempe più cote è quella dei coefficienti della tasfomata di Fouie disceta. Saanno esposti divesi tipi di algoitmi con divese complessità, il pimo ta questi saà l algoitmo di Goetzel con complessità popozionale a. B.. Algoitmo Goetzel L algoitmo di Goetzel è un pocedimento più efficiente del metodo dietto ed è un esempio di come si possa sfuttae la peiodicità della sequenza n pe idue i calcoli. Più pecisamente, vedemo che la tasfomata di Fouie disceta può essee consideata come la isposta i un filto numeico la cui stuttua può essee pogettata in modo da idue il numeo delle opeazioni aitmetiche. Pe icavae l algoitmo di Goetzel: n e π j e jπ Questa è una conseguenza immediata della peiodicità di n. In base alla B. possiamo moltiplicae il secondo membo della elazione B.8 pe alteae l uguaglianza. Quindi senza X x x
10 Intoducendo, pe comodità, la sequenza n n x y Dalle B. e B.3 segue che X y n n La elazione B.3 è la convoluzione disceta della sequenza di duata finita xn, n, con la sequenza. Di conseguenza, n n y n a un ingesso xn. In paticolae, X è il valoe pe n. Un sistema con isposta all impulso fig.. n è appesentato in Figua. Gafo di flusso pe un sistema del pimo odine pe il calcolo icosivo di X Poiché sia l ingesso xn ce il coefficiente sono complessi, il calcolo di ogni nuovo valoe di y n ichiede moltiplicazioni eali e quatto addizioni eali. Siccome poi occoe calcolae tutti i valoi intemedi y, y,... y pe
11 ottenee, l uso dello schema in fig. - ichiede moltiplicazioni eali e addizioni eali pe icavae X pe un paticolae valoe di. Peciò questo schema è lievemente meno efficiente del metodo dietto L aspetto positivo dello schema è che non ichiede né la memoizzazione né il calcolo dei coefficienti vengono calcolati attaveso il pocedimento icosivo. n, in quanto questi E possibile mantenee questa semplificazione e idue la complessità. di un fattoe. La funzione di tasfeimento del sistema di fig.. è H B. z z Moltiplicando numeatoe e denominatoe pe il fattoe z, si ottiene z H z B.5 z z z π cos z z Pe ealizzae i poli del sistema coispondente alla B.5 sono necessaie solo due moltiplicazioni, in quanto i coefficienti sono eali e il coefficiente - non deve essee contato come moltiplicazione; il numeo di addizioni è invece sempe quatto. Poiché basta potae il sistema in uno stato in cui sia possibile calcolae y n la moltiplicazione complessa pe, coispondente allo zeo, non deve essee eseguita ad ogni iteazione dell equazione alle diffeenze, ma solo dopo l -esima. Quindi l ammontae totale di opeazioni è di moltiplicazioni eali e addizioni eali pe i poli, più quatto moltiplicazioni eali e quatto addizioni eali pe lo zeo. Il peso complessivo dei calcoli è di moltiplicazioni eali e addizioni eali, cioè cica la metà del numeo di moltiplicazioni eali ichieste pe il metodo
12 dietto. Putoppo usando l algoitmo di Goetzel, pe il calcolo di tutti gli punti la complessità è ancoa popozionale a come pe il calcolo dietto. el metodo dietto o in quello di Goetzel non occoe icavae tutti gli divesi valoi di X. Anzi, in geneale si può valutae X su M qualsiasi valoi di K. In questo caso il peso totale dei calcoli è popozionale a M. Queste tecniche sono convenienti quando M è piccolo; sono peò disponibili algoitmi più sofisticati pe i quali il numeo popozionale di opeazioni è popozionale a una potenza di. Quindi, quando M è minoe di quello dietto sono più efficienti. log log quando è, il metodo di Goetzel o B.. Algoitmi di FFT basati sulla decimazione nel tempo Pe ottenee un aumento di efficienza è necessaio scompoe il calcolo della DFT in calcoli di DFT di dimensioni sempe più piccole. Si sfutta sia la simmetia che la peiodicità dell esponenziale complesso π j n n e Gli algoitmi nei quali il pocedimento di scomposizione si attua suddividendo la sequenza xn in sottosequenze via via più piccole, si chiamano algoitmi a decimazione nel tempo. Consideiamo il caso paticolae di potenza intea di, cioè ν Poiché è un inteo pai, possiamo pensae di calcolae X dividendo xn in due sequenze di punti campioni ciascuna, costituite l una dai punti che hanno indice pai in xn, e l alta da quelli con indice dispai. Se nell espessione di X
13 ,,...,, n n n x X B.6 n dispai n pai n n n x n x X ponendo n pe n pai e n pe n dispai, x x x x X B.7 Ma è! j j e e π π Di conseguenza la.7 può essee iscitta come H G x x X Questa espessione è composta da due sommatoie entambe da punti, la pima sommatoia è una DFT lunga dei punti con indice pai della sequenza oiginaia. la seconda dei punti con indice dispai. Anche se l indice può assumee valoi,
14 ,,,-, occoe calcolae ogni somma solo pe ta e -, in quanto sia G che H sono peiodiche in con peiodo. Dopo che sono state calcolate le due DFT coispondenti alle due sommatoie della.8, esse devono essee combinate pe ottenee la DFT su punti,x. La fig.. illusta il tipo di calcoli ichiesto pe ottenee X in base alle.8 pe una sequenza di 8 punti, cioè pe 8. In questa figua, i ami che entano in un nodo si sommano pe podue la vaiabile nodo. Quando manca l indicazione del coefficiente di tasmissione del amo, il coefficiente è unitaio, negli alti ami il coefficiente di tasmissione è una potenza intea di. Figua. Gafo di flusso pe la scomposizione del calcolo di una DFT di / punti, con il metodo della decimazione nel tempo
15 Dalla fig... si vede che vengono calcolate due DFT di punti: G indica la DFT lunga quatto dei punti con indice pai e H indica la DFT lunga quatto dei punti dispai. X si ottiene poi moltiplicando H pe X si ottiene moltiplicando H pe ottiene moltiplicando H pe e sommando il isultato a G. e sommando il isultato a G. X si e sommando il isultato a G. Siccome peò G e H sono entambe peiodiche in con peiodo, isulta HHe GG. Peciò X si ottiene moltiplicando H pe e sommando il isultato a G. La B.8 ichiede il calcolo di due DFT su che a sua volta ichiede moltiplicazioni complesse e cica addizioni complesse. Le due DFT su punti devono poi essee combinate come indicato.8, il che ichiede alte moltiplicazioni complesse, coispondenti al podotto della seconda sommatoia pe, ed alte addizioni complesse, coispondenti alla somma di quel podotto con la pima sommatoia. Di conseguenza il calcolo della.8 pe tutti i valoi di ichiede, cioè complesse., moltiplicazioni complesse e addizioni L espessione B.8 coisponde a spezzae il calcolo oiginaio su punti in due calcoli su punti. Se è pai alloa il calcolo di ciascuna DFT su punti nella B.8 si può effettuae mediante il calcolo e la successiva combinazione di due DFT su punti. Petanto G e H della B.8 veebbeo calcolate così:
16 l l l l l g l g g G oppue l l l l l g l g G B.9 Analogamente l l l l l h l h H B. Figua.3 Gafo di flusso pe la scomposizione del calcolo di una DFT di / punti, con il metodo della decimazione nel tempo. 8 Pe il caso paticolae della fig..3, se ne deduce che, se le due DFT su punti vengono calcolate seguendo le B.9 e B., i loo schemi di calcolo coispondenti
17 vengono ad essee come quelli indicati nella figua.. Quindi il calcolo di tasfomata disceta di Fouie su 8 punti si è idotto al calcolo di due DFT su punti. nella figua.5 si può vedee il gafo di flusso completo. Figua. Gafo che si ottiene intoducendo nella figua. gli schemi della figua.3 Pe il caso più geneale in cui è una potenza di due con esponente maggioe di 3, si pocede componendo le tasfomate su punti delle B.9e B. in tasfomate su, e così di seguito finché non si iduce tasfomate su punti.. Ciò ichiede ν stadi 8 di calcolo, dove ν log. Pimo si è visto come la scomposizione di una tasfomata punti in due tasfomate su punti, ichieda ta moltiplicazioni e addizioni complesse. Quando le tasfomate su punti vengono
18 scomposte in tasfomate su ", così che il calcolo complessivo ichiede ν moltiplicazioni e addizioni complesse. Se, Ciò può essee al massimo ν log volte, quindi si conclude che dopo ave iteato al massimo la scomposizione, il numeo di moltiplicazioni e addizioni complesse diventa log. B..3 Algoitmi di FFT basati sulla decimazione in fequenza Gli algoitmi di FFT basati sulla decimazione nel tempo sono stati sviluppati componendo il calcolo della DFT attaveso la fomazione di sottosequenze della sequenza di ingesso xn sempe più piccole. In altenativa si può pensae di dividee in modo analogo la sequenza di uscita, X, in sottosequenza sempe più piccole. Gli algoitmi FFT oiginati da questo pocedimento si dicono basati sulla decimazione in fequenza. Pe deivali, nel caso in cui è una potenza di, si può innanzitutto dividee la sequenza di ingesso nella pima metà e nella seconda metà dei suoi punti, in modo da scivee X n x n n n x n n oppue n n n X x n x n n
19 La B. contiene due sommatoie su, ciascuna di esse non è una DFT su punti, in quanto nelle sommatoie appae n e non n. Mettendo insieme le due sommatoie nella. e utilizzando il fatto che, si ottiene X n x n xn n Dividendo in pai e dispai, si ottiene; n X x n xn n n n X x n xn n con,,, Queste due espessioni dono due DFT su punti, nel caso della B.3 si tatta della DFT della somma della pima metà e della seconda metà della sequenza di ingesso, e nel caso della. si tatta della DFT del podotto di n con la diffeenza fa la pima metà e la seconda metà della sequenza di ingesso. Diffeentemente dal caso della B., le sommatoie nelle B.3 e B. coispondono a delle DFT su punti in quanto n n
20 Petanto, sulla base delle B.3 e B., ponendo g n x n x n e h n x n x n, la DFT può essee calcolata fonendo innanzitutto le sequenze gn e hn, poi calcolando hn n e infine calcolando la DFT su punti di queste due sequenze, icavandone ispettivamente i valoi di uscita di posto pai e quelli di posto dispai. In figua.5 è illustato il pocedimento nel caso di una DFT su 8 punti. Figua.5 Gafo di flusso pe la scomposizione del calcolo di una DFT di punti in due DFT di / punti, con il metodo della decimazione in fequenza 8 Pocedendo in modo simile a quello usato pe deivae gli algoitmi basati sulla decimazione del tempo, dato che è una potenza di, è pai quindi la DFT su punti possono essee effettuate calcolando sepaatamente pe ciascuna di esse i valoi di uscita di posto pai e quelli di posto dispai. Come nel caso della B.3 e B.,
21 ciò si ealizza combinando la pima metà dei punti e la seconda metà dei punti di ingesso pe ognuna delle DFT su punti e calcolando quindi delle DFT su punti. Lo schema di flusso isultante nel caso dell esempio su 8 punti è mostato in fig..6. In questo paticolae caso il calcolo si è idotto a quello di alcune DFT su punti, le quali si calcolano sommando e sottaendo i punti di ingesso. Petanto le DFT su punti della figua.6 possono essee sostituite con lo schema di calcolo mostato in fig..7, così che il calcolo complesso della DFT su 8 punti diventa quello mostato in fig..8. Figua.6 Gafo di flusso pe la scomposizione del calcolo di una DFT di 8 punti nel calcolo di DFT di punti, con il metodo della decimazione in fequenza.
22 Figua.7 Gafo di flusso su punti del tipo ichiesto all ultimo stadio di calcolo di una scomposizione basata sulla decimazione in fequenza. Figua.8 Gafo di flusso
23 Contando il numeo di opeazioni aitmetiche nella fig..8, e genealizzando al caso ν, il calcolo della DFT ichiede log moltiplicazioni complesse e log addizioni complesse. Petanto il numeo complessivo di opeazioni è lo stesso pe gli algoitmi basati sulla decimazione in fequenza e sulla decimazione nel tempo. B. Esempi In questo paagafo si popoanno alcuni esempi sull utilizzo della FFT, fonendo anche spiegazioni sull utilizzo di tale algoitmo in Matlab. All inteno di Matlab, l algoitmo è gia implementato nella funzione y fftx,n la funzione accetta anche alti paameti, ma a noi non inteessano, dove: x è il segnale d ingesso n è il numeo di punti utilizzati del calcolo della DFT; se n è maggioe del numeo di campioni del segnale, si effettua lo zeo padding su x, mente se n è minoe x viene tagliato y appesenta la DFT del segnale d ingesso x La funzione invesa della fft, ossia quella che calcola il segnale a patie dalla DFT, è la y ifftx,n, dove:
24 x appesenta la DFT del segnale calcolata attaveso la FFT n è il numeo di punti utilizzati del calcolo della IDFT y appesenta la IDFT del segnale di x In questo caso, se il segnale iniziale è eale, l opeazione ifftfftx può dae alcune componenti complesse, quindi è conveniente consideane la sola pate eale. Il umoe viene geneato sotto Matlab con la funzione awgn; un esempio di chiamata pe questa funzione è: x awgnx, SR, measued dove: x è il segnale da sommae con umoe gaussiano bianco a media nulla SR è il appoto segnale umoe da impostae espesso in db measued è la stinga che passata come paameto indica alla funzione di calcolae la potenza di x pima di sommae il umoe Si considea il segnale xt sin.t 3sin.5t 5sin.t sin.t
25 appesentato in figua. Il segnale è scelto appositamente complesso pe dimostae le potenzialità dell algoitmo FFT. Figua.6. Segnale xt pima e dopo l'applicazione del umoe Come appae evidente, il segnale cootto da umoe SR 5dB semba non ave più niente a che vedee con il segnale oiginaio. Vogliamo vedee se applicando l algoitmo FFT è possibile estapolae qualche infomazione utile. I test vengono eseguiti al vaiae del numeo di campioni della FFT; in paticolae si utilizzeanno ispettivamente 8, 56, 5 campioni.
26 I isultati ottenuti sono evidenziati in tabella: Fequenze eali ad/sec.5... Fequenze stimate ad/sec con punti FFT Fequenze stimate ad/sec con punti FFT Fequenze stimate ad/sec con punti FFT Sebbene ad occhio nudo non si iesca più nemmeno ad associae il segnale umooso a quello oiginaio, mediante la FFT è possibile icostuie il segnale ipulito dal umoe. Utilizzando un numeo di punti pe la FFT pai alla lunghezza del segnale in modo da avee la IDFT pai alla lunghezza del segnale oiginaio, in questo caso 5, la icostuzione è quasi pefetta: #$
27 Appae evidente come la FFT possa essee utilizzata con successo in molti campi dove si ichiede la cancellazione del umoe su un segnale anche fotemente cootto. In patica, pe aivae al isultato della figua sopa, sono possibili almeno due stade: La pima possibilità consiste nel pecoee i seguenti passi: a calcolae la FFT ad punti del segnale di patenza, ottenendo l uscita y b calcolae lo spetto, valutando pe ogni campione la potenza come y.* conjy / c conoscendo il numeo di componenti fequenziali p di cui è composto il segnale di patenza p componenti, identificae le fequenze coispondenti ai p picchi in potenza più elevati d nel vettoe y, annullae tutte le componenti tanne quelle elative alle fequenze ottenute e calcolae la IDFT di y come iffty, ottenendo il segnale icostuito La seconda stada pecoibile consiste in: a come nel punto -a, calcolae la FFT ad punti del segnale di patenza, ottenendo l uscita y b come nel punto -b, valutae la potenza spettale c impostae una soglia s, il cui valoe dipende dall influenza del umoe sul segnale d pe il vettoe y, azzeae tutte le componenti che pesentano potenza infeioe a s*p max, dove P max è la potenza massima e calcolae il segnale icostuito mediante la funzione iffty
28 La funzione FFT è stata utilizzata all inteno di questa tesi ponendo il numeo di punti pai al numeo di campioni ottenuti dalla simulazione.
Investimento. 1 Scelte individuali. Micoreconomia classica
Investimento L investimento è l aumento della dotazione di capitale fisico dell impesa. Viene effettuato pe aumentae la capacità poduttiva. ECONOMIA MONETARIA E FINANZIARIA (5) L investimento In queste
DettagliREALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO
REALTÀ E MDELLI SCHEDA DI LAVR La clessida ad acqua Ipotizziamo che la clessida ad acqua mostata in figua sia fomata da due coni pefetti sovapposti La clessida impiega,5 minuti pe svuotasi e supponiamo
DettagliCAPITOLO 10 La domanda aggregata I: il modello IS-LM
CAPITOLO 10 La domanda aggegata I: il modello IS-LM Domande di ipasso 1. La coce keynesiana ci dice che la politica fiscale ha un effetto moltiplicato sul eddito. Infatti, secondo la funzione di consumo,
DettagliV. SEPARAZIONE DELLE VARIABILI
V SEPARAZIONE DEE VARIABII 1 Tasfomazioni Otogonali Sia u = u 1, u 2, u 3 una tasfomazione delle vaiabili in R 3, dove x = x 1, x 2, x 3 sono le coodinate catesiane, u j = u j x 1, x 2, x 3 j = 1, 2, 3
DettagliREALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO
REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO 1 La siepe Sul eto di una villetta deve essee ealizzato un piccolo giadino ettangolae di m, ipaato da una siepe posta lungo il bodo Dato che un lato del giadino è occupato
DettagliSIMULAZIONE - 22 APRILE 2015 - QUESITI
www.matefilia.it Assegnata la funzione y = f(x) = e x 8 SIMULAZIONE - APRILE 5 - QUESITI ) veificae che è invetibile; ) stabilie se la funzione invesa f è deivabile in ogni punto del suo dominio di definizione,
DettagliEnergia potenziale e dinamica del punto materiale
Enegia potenziale e dinamica del punto mateiale Definizione geneale di enegia potenziale (facoltativo) In modo geneale, la definizione di enegia potenziale può esee pesentata come segue. Sia un punto di
DettagliFrancesca Sanna-Randaccio Lezione 8. SCELTA INTERTEMPORALE (continua)
Fancesca Sanna-Randaccio Lezione 8 SELTA INTERTEMPORALE (continua Valoe attuale nel caso di più peiodi Valoe di un titolo di cedito Obbligazioni Obbligazioni emesse dalla Stato. Relazione ta deficit e
DettagliDisequazioni. 21.1 Intervalli sulla retta reale
Disequazioni 1 11 Intevalli sulla etta eale Definizione 11 Dati due numei eali a e b, con a < b, si chiamano intevalli, i seguenti sottoinsiemi di R: a, b) = {x R/a < x < b} intevallo limitato apeto, a
DettagliValore finanziario del tempo
Finanza Aziendale Analisi e valutazioni pe le decisioni aziendali Valoe finanziaio del tempo Capitolo 3 Indice degli agomenti. Concetto di valoe finanziaio del tempo 2. Attualizzazione di flussi futui
DettagliCAPITOLO 11 La domanda aggregata II: applicare il modello IS-LM
CPITOLO 11 La domanda aggegata II: applicae il modello - Domande di ipasso 1. La cuva di domanda aggegata appesenta la elazione invesa ta il livello dei pezzi e il livello del eddito nazionale. Nel capitolo
DettagliIl candidato risolva uno dei due problemi e 4 degli 8 quesiti scelti nel questionario.
LICEO SCIENTIFICO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (AMERICHE) SESSIONE ORDINARIA Il candidato isolva uno dei due poblemi e degli 8 quesiti scelti nel questionaio. N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo
DettagliGrandezze cinematiche angolari (1)
Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. MOTO CIRCOLARE UNIFORME FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Genealità () Moto di un punto mateiale lungo una ciconfeenza
DettagliI principi della Dinamica. L azione di una forza è descritta dalle leggi di Newton, possono fare Lavoro e trasferire Energia
I pincipi della Dinamica Un oggetto si mette in movimento quando viene spinto o tiato o meglio quando è soggetto ad una foza 1. Le foze sono gandezze fisiche vettoiali che influiscono su un copo in modo
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
DettagliLa seconda prova scritta dell esame di stato 2007 Indirizzo: GEOMETRI Tema di TOPOGRAFIA
La seconda pova scitta dell esame di stato 007 Indiizzo: OMTRI Tema di TOPORI Claudio Pigato Membo del Comitato Scientiico SIT Società Italiana di otogammetia e Topogaia Istituto Tecnico Statale pe eometi
DettagliMagnetostatica: forze magnetiche e campo magnetico
Magnetostatica: foze magnetiche e campo magnetico Lezione 6 Campo di induzione magnetica B() (nomenclatua stoica ; in ealtà si dovebbe chiamae, e spesso lo è, campo magnetico) è un campo di foze vettoiale
DettagliApprofondimento 7.5 - Altri tipi di coefficienti di correlazione
Appofondimento 7.5 - Alti tipi di coefficienti di coelazione Il coefficiente di coelazione tetacoico e policoico Nel 900 Peason si pose anche il poblema di come misuae la coelazione fa caatteistiche non
DettagliCorrente elettrica. Definizione. dq i = dt. Unità di misura. 1Coulomb 1 Ampere = 1secondo. Verso della corrente
Nome file j:\scuola\cosi\coso fisica\elettomagnetismo\coente continua\coenti elettiche.doc Ceato il 05/1/003 3.07.00 Dimensione file: 48640 byte Elaboato il 15/01/004 alle oe.37.13, salvato il 10/01/04
Dettagli5. CAMBIO. 5.1. descrizione
ambio powe - shift 5. AMBIO 5.. descizione Tattasi di cambio meccanico a te velocità avanti e te velocità indieto, ealizzate mediante cinque iduttoi epicicloidali vaiamente collegati ta loo. Tutte le cinque
DettagliC8. Teoremi di Euclide e di Pitagora
8. Teoemi di uclide e di Pitagoa 8.1 igue equiscomponibili ue poligoni sono equiscomponibili se è possibile suddivideli nello stesso numeo di poligoni a due a due conguenti. Il ettangolo e il tiangolo
DettagliAlessandro Pellegrini
Esercitazione sulle Rappresentazioni Numeriche Esistono 1 tipi di persone al mondo: quelli che conoscono il codice binario e quelli che non lo conoscono Alessandro Pellegrini Cosa studiare prima Conversione
DettagliCORRENTI ELETTRICHE E CAMPI MAGNETICI STAZIONARI
CORRENT ELETTRCHE E CAMP MAGNETC STAZONAR Foze magnetiche su una coente elettica; Coppia magnetica su una coente in un cicuito chiuso; Azioni meccaniche su dipoli magnetici; Applicazione (Galvanometo);
DettagliSISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI
SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI Il Sistema di Numerazione Decimale Il sistema decimale o sistema di numerazione a base dieci usa dieci cifre, dette cifre decimali, da O a 9. Il sistema decimale è un sistema
DettagliCorso di Elettrotecnica 1 - Cod. 9200 N Diploma Universitario Teledidattico in Ingegneria Informatica ed Automatica Polo Tecnologico di Alessandria
Schede di lettotecnica Coso di lettotecnica - Cod. 900 N Diploma Univesitaio Teledidattico in Ingegneia Infomatica ed utomatica Polo Tecnologico di lessandia cua di Luca FRRRIS Scheda N Sistemi tifase:
DettagliClassificazione delle linee di trasmissione
Classificazione delle linee di tasmissione Linee TEM (Tansvese Electic Magnetic) Coassiale Bifilae (doppino) Stipline Linee quasi_tem Micostip Linee a due conduttoi con mezzo non unifome Linee non-tem
DettagliSTRUTTURE ALGEBRICHE
STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione
DettagliCAPITOLO 3 Il reddito nazionale: da dove viene e dove va
CAPITOLO Il eddito nazionale: da dove viene e dove va Domande di ipasso. I fattoi di poduzione e la tecnologia di poduzione deteminano il livello della poduzione aggegata di un sistema economico. I fattoi
DettagliLaborCare. Care. protection plan
Cae potection plan ocae Il Potection Plan è stato studiato pe gaantie la massima efficienza di oview e pe questo i clienti che non vogliono avee poblemi nel futuo, si affidano al nosto pogamma di potezione
DettagliFORZA AGENTE SU UN TRATTO DI FILO RETTILINEO. Dispositivo sperimentale
FORZA AGENTE SU UN TRATTO DI FILO RETTILINEO 0 Dispositivo speimentale Consideiamo pe semplicità un campo magnetico unifome, le linee di foza sono paallele ed equidistanti. Si osseva una foza di oigine
Dettagli4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0
Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice
DettagliREALIZZAZIONE DIGITALE DI ALGORITMI DI CONTROLLO DIRETTO DI COPPIA PER MOTORI ASINCRONI
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PARMA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE Dottoato di Riceca in Tecnologie dell Infomazione XXIV Ciclo Andea Rossi REALIZZAZIONE DIGITALE DI ALGORITMI DI CONTROLLO DIRETTO
Dettaglidurante lo spostamento infinitesimo dr la quantità data dal prodotto scalare F dr
4. Lavoo ed enegia Definizione di lavoo di una foza Si considea un copo di massa m in moto lungo una ceta taiettoia. Si definisce lavoo infinitesimo fatto dalla foza F duante lo spostamento infinitesimo
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
Dettagli12 L energia e la quantità di moto - 12. L impulso
L enegia e la quantità di moto -. L impulso Il momento angolae e il momento d inezia Il momento angolae nalizziamo alcuni moti di otazione. Se gli attiti sono tascuabili, una uota di bicicletta messa in
DettagliIL MOMENTO ANGOLARE E IL MOMENTO D INERZIA
. L'IMPULS 0 DI MT IL MMENT NGLRE E IL MMENT D INERZI Il momento angolae nalizziamo alcuni moti di otazione. Se gli attiti sono tascuabili, una uota di bicicletta messa in otazione può continuae a giae
DettagliMateriale didattico. Organizzazione del modulo IL CALCOLO FINANZIARIARIO. Programma Struttura logica
IL CALCOLO FINANZIARIARIO You do not eally undestand something unless you can explain it to you gandmothe (A.Einstein) Calcolo finanziaio Intoduzione Economia dell impesa foestale: Bilancio Pianificazione
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
DettagliQuando troncare uno sviluppo in serie di Taylor
Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in
DettagliMagnetostatica: forze magnetiche e campo magnetico
Magnetostatica: foze magnetiche e campo magnetico Lezione 6 Campo di induzione magnetica () (nomenclatua stoica ; in ealtà si dovebbe chiamae, e spesso lo è, campo magnetico) è un campo di foze vettoiale
DettagliSiamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.
DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti
Dettagli4 Polarizzazione elettrica nel dominio del tempo
4 Polaizzazione elettica nel dominio del tempo Intoduzione Atomi, molecole e ioni sono talmente piccoli che da un punto di vista macoscopico una piccola egione di un solido contiene un numeo molto elevato
DettagliBus di campo. Cosa sono i bus di campo. Bus di campo. M. Parvis 1
Maco Pavis Politecnico di Toino Dipatimento di Elettonica Coso Duca degli Abuzzi, 24 10129 Toino Tel. + 39 11 564 4114 Fax + 39 11 564 4099 E-mail: maco.pavis@polito.it 1 Cosa sono i bus di campo Bus pensati
DettagliI sistemi di numerazione
I sistemi di numerazione 01-INFORMAZIONE E SUA RAPPRESENTAZIONE Sia dato un insieme finito di caratteri distinti, che chiameremo alfabeto. Utilizzando anche ripetutamente caratteri di un alfabeto, si possono
DettagliINDIRIZZI IP ARCHITETTURA GENERALE DEGLI INDIRIZZI IP FORME DI INDIRIZZI IP CINQUE FORME DI INDIRIZZI IP
INDIRIZZI IP ARCHITETTURA GENERALE DEGLI INDIRIZZI IP Un indirizzo IP è composto da 32 bit. Generalmente, per convenienza, è presentato in decimale: 4 ottetti (bytes) separati da un punto. Ogni rete fisica
DettagliSuccessioni e Progressioni
Successioi e Pogessioi Ua successioe è ua sequeza odiata di umei appateeti ad u isieme assegato: ad esempio, si possoo avee successioi di umei itei, azioali, eali, complessi Il pimo elemeto della sequeza
DettagliComplementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013
Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013? ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito
DettagliDinamica. Se un corpo non interagisce con altri corpi la sua velocità non cambia.
Poblema fondamentale: deteminae il moto note le cause (foze) pe oa copi «puntifomi» Dinamica Se un copo non inteagisce con alti copi la sua velocità non cambia. Se inizialmente femo imane in quiete, se
DettagliIl concetto di valore medio in generale
Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo
DettagliIl criterio media varianza. Ordinamenti totali e parziali
Il citeio media vaianza Il citeio media vaianza è un alto esemio di odinamento aziale ta lotteie definito da a M b se la lotteia b domina la lotteia a se ha media sueioe e vaianza infeioe a b eσ a σ b
DettagliSOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.
SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno
DettagliCapitolo 1 ANALISI COMPLESSA
Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi
DettagliIniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:
Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione
DettagliIl teorema di Gauss e sue applicazioni
Il teoema di Gauss e sue applicazioi Cocetto di flusso Cosideiamo u campo uifome ed ua supeficie piaa pepedicolae alle liee di campo. Defiiamo flusso del campo attaveso la supeficie la uatità : = (misuata
Dettagli11-09-2014. ü Fondi per rischi e oneri. ü Esempio. ü Trattamento di Fine Rapporto. ü Destinazione del TFR differenti modalità (scelta del dipendente)
1 ü Fondi pe ischi e onei ü Esempio ü Tattamento di Fine Rappoto ü Destinazione del TFR diffeenti modalità (scelta del dipendente) ü Rappesentazione in bilancio ü Liquidazione del TFR 2 1 STATO PATRIMONIALE
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
DettagliMATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.
MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un
DettagliTransitori del primo ordine
Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli
DettagliFunzioni in C. Violetta Lonati
Università degli studi di Milano Dipartimento di Scienze dell Informazione Laboratorio di algoritmi e strutture dati Corso di laurea in Informatica Funzioni - in breve: Funzioni Definizione di funzioni
DettagliCapitolo 16. La teoria dell equilibrio generale. Soluzioni delle Domande di ripasso
eanko & aeutigam icoeconomia anuale delle oluzioni Capitolo 16 La teoia dell equilibio geneale Soluzioni delle Domande di ipao 1. L analii di equilibio paziale tudia la deteminazione del pezzo e della
DettagliLezioni di Matematica 1 - I modulo
Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può
Dettaglila scienza della rappresentazione e della elaborazione dell informazione
Sistema binario Sommario informatica rappresentare informazioni la differenza Analogico/Digitale i sistemi di numerazione posizionali il sistema binario Informatica Definizione la scienza della rappresentazione
DettagliLogica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo
Logica Numerica Approfondimento E. Barbuto Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore Il concetto di multiplo e di divisore Considerato un numero intero n, se esso viene moltiplicato per un numero
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
Dettagli5.1 Determinazione delle distanze dei corpi del Sistema Solare
5.1 Deteminazione delle distanze dei copi del istema olae 5.1.1 Distanza ea-pianeti aallassi equatoiali Questo è il metodo più peciso ma anche quello più delicato da eseguie. Esso si basa sul fatto che
DettagliMatematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva
DettagliCome visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)
Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre
DettagliCapitolo 2. Operazione di limite
Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A
DettagliONDE ELETTROMAGNETICHE
ONDE ELETTROMAGNETICHE Teoia delle onde EM e popagazione (B. Peite) mecoledì 8 febbaio 1 Coso di Compatibilità Elettomagnetica 1 Indice degli agomenti Fenomeni ondulatoi La matematica dell onda La legge
DettagliAppunti sulla Macchina di Turing. Macchina di Turing
Macchina di Turing Una macchina di Turing è costituita dai seguenti elementi (vedi fig. 1): a) una unità di memoria, detta memoria esterna, consistente in un nastro illimitato in entrambi i sensi e suddiviso
DettagliVALORI PERIODICI O RENDITE
VALORI PERIODICI O RENDITE LE RENDITE SONO VALORI PERIODICI CHE SI RIPETONO AD INTERVALLI REGOLARI DI TEMPO POSSONO ESSERE: ATTIVE: I I PRODOTTI DI DI UNA AZIENDA IL IL CANONE DI DI AFFITTO GLI STIPENDI
DettagliSistemi inerziali Forza centripeta e forze apparenti Forza gravitazionale. 03/11/2011 G. Pagnoni 1
Sistemi ineziali Foza centipeta e foze appaenti Foza gavitazionale 03/11/011 G. Pagnoni 1 Sistemi ineziali Sistema di ifeimento ineziale: un sistema in cui è valida la pima legge di Newton (I legge della
DettagliAnalisi Matematica di circuiti elettrici
Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto
DettagliIl Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione. 1 e prende il nome frequenza di
Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione Il campionamento consente, partendo da un segnale a tempo continuo ovvero che fluisce con continuità nel tempo, di ottenere un segnale a tempo discreto,
Dettagli3. La velocità v di un satellite in un orbita circolare di raggio r intorno alla Terra è v = e,
Capitolo 10 La gavitazione Domande 1. La massa di un oggetto è una misua quantitativa della sua inezia ed è una popietà intinseca dell oggetto, indipendentemente dal luogo in cui esso si tova. Il peso
DettagliGEOMETRIA 3D MODELLO PINHOLE
http://imagelab.ing.unimo.it Dispense del coso di Elaboazione di Immagini e Audio Digitali GEOMETRIA 3D MODELLO PINHOLE Pof. Robeto Vezzani Calibazione della telecamea: a cosa seve? Obiettivo: pote calcolae
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliFunzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y
Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione
DettagliNumeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali
1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata
DettagliEX 1 Una cassa di massa m=15kg è ferma su una superficie orizzontale scabra. Il coefficiente di attrito statico è µ s
STATICA EX Una cassa di massa m=5kg è fema su una supeficie oizzontale scaba. Il coefficiente di attito statico è µ s = 3. Supponendo che sulla cassa agisca una foza F fomante un angolo di 30 ispetto al
DettagliUn modello di ricerca operativa per le scommesse sportive
Un modello di iceca opeativa pe le commee potive Di Citiano Amellini citianoamellini@aliceit Supponiamo di dove giocae una ceta omma di denao (eempio euo ulla patita MILAN- JUVE Le quote SNAI ono quelle
DettagliIl principio di induzione e i numeri naturali.
Il principio di induzione e i numeri naturali. Il principio di induzione è un potente strumento di dimostrazione, al quale si ricorre ogni volta che si debba dimostrare una proprietà in un numero infinito
DettagliESEMPIO 1: eseguire il complemento a 10 di 765
COMPLEMENTO A 10 DI UN NUMERO DECIMALE Sia dato un numero N 10 in base 10 di n cifre. Il complemento a 10 di tale numero (N ) si ottiene sottraendo il numero stesso a 10 n. ESEMPIO 1: eseguire il complemento
DettagliProof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme
G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero
DettagliINTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI
INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI Prima di riuscire a scrivere un programma, abbiamo bisogno di conoscere un metodo risolutivo, cioè un metodo che a partire dai dati di ingresso fornisce i risultati attesi.
DettagliSCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI
SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI I numeri relativi sono l insieme dei numeri negativi (preceduti dal segno -) numeri positivi (il segno + è spesso omesso) lo zero. Valore assoluto di un numero relativo
Dettagli4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano
Dettaglib. Che cosa succede alla frazione di reddito nazionale che viene risparmiata?
Esercitazione 7 Domande 1. L investimento programmato è pari a 100. Le famiglie decidono di risparmiare una frazione maggiore del proprio reddito e la funzione del consumo passa da C = 0,8Y a C = 0,5Y.
DettagliAnalisi della varianza (anova) a due vie
Analisi della varianza (anova) a due vie Andrea Onofri 27 marzo 2014 Indice 1 Il concetto di interazione 1 2 Tipi di interazione 2 3 Descrizione del caso studio 3 4 Analisi dei dati 4 Sommario Scopo di
Dettagli2. Leggi finanziarie di capitalizzazione
2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M
DettagliSISTEMI INFORMATIVI AVANZATI -2010/2011 1. Introduzione
SISTEMI INFORMATIVI AVANZATI -2010/2011 1 Introduzione In queste dispense, dopo aver riportato una sintesi del concetto di Dipendenza Funzionale e di Normalizzazione estratti dal libro Progetto di Basi
DettagliPolitecnico di Milano. Dipartimento di Fisica. G. Valentini. Meccanica
Politecnico di Milano Dipatimento di Fisica G. Valentini Meccanica I INDICE LA FISICA ED IL METODO SPERIMENTALE. INTRODUZIONE. IL METODO SPERIMENTALE GRANDEZZE FISICHE ED INDICI DI STATO 4. DEFINIZIONE
DettagliSchemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana
Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana Al-giabr wa al-mukabalah di Al Khuwarizmi scritto approssimativamente nel 820 D.C. Manuale arabo da cui deriviamo due nomi: Algebra Algoritmo
DettagliLezione 28 Maggio I Parte
Lezione 28 Maggio I Parte La volta scorsa abbiamo fatto un analisi dei fenomeni di diafonia e avevamo trovato che per la diafonia vicina il valore medio del quadrato del segnale indotto dalla diafonia
DettagliSISTEMI DI NUMERAZIONE IL SISTEMA DECIMALE
SISTEMI DI NUMERAZIONE IL SISTEMA DECIMALE La base del sistema decimale è 10 I simboli del sistema decimale sono: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Il sistema di numerazione decimale è un sistema posizionale. L aggettivo
DettagliRelazioni statistiche: regressione e correlazione
Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica
DettagliFisica Generale A. Gravitazione universale. Scuola di Ingegneria e Architettura UNIBO Cesena Anno Accademico 2015 2016. Maurizio Piccinini
A.A. 015 016 Mauizio Piccinini Fisica Geneale A Gavitazione univesale Scuola di Ineneia e Achitettua UNIBO Cesena Anno Accademico 015 016 A.A. 015 016 Mauizio Piccinini Gavitazione Univesale 1500 10 0
Dettagli