ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2007

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1 ESAME DI STAT DI LIE SIENTIFI RS DI RDINAMENT 7 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei quesiti i cui si articola il questioario. PRLEMA Si cosiderio i triagoli la cui base è A e il cui vertice varia i modo che l agolo Aˆ si matega doppio dell agolo Aˆ.. Riferito il piao ad u coveiete sistema di coordiate, si determii l equazioe del luogo geometrico descritto da.. Si rappreseti, teedo coto, ovviamete, delle prescritte codizioi geometriche.. Si determii l ampiezza dell agolo Aˆ che rede massima la somma dei quadrati delle altezze relative ai lati A e e, co l aiuto di ua calcolatrice, se e dia u valore approssimato i gradi e primi (sessagesimali). 4. Si provi che se Aˆ allora è A 5. PRLEMA Si cosideri u cerchio di raggio r.. Tra i triagoli isosceli iscritti i si trovi quello di area massima.. Si deoti co S l area del poligoo regolare di lati iscritto i. Si dimostri che S r se e si trovi u aaloga espressioe per l area del poligoo regolare di lati circoscritto a.. Si calcoli il limite di S per. 4. Si spieghi i che cosa cosista il problema della quadratura del cerchio e se, e i che seso, si tratti di u problema risolubile o meo. QUESTINARI La regioe R delimitata dal grafico di, dall asse e dalla retta (figura ) è la base di u solido S le cui sezioi, otteute tagliado S co piai perpedicolari all asse, soo tutte triagoli equilateri. Si calcoli il volume di S. = Le misure dei lati di u triagolo soo 4, e 8 cm. Si calcolio, co l aiuto di ua calcolatrice, le ampiezze degli agoli del triagolo approssimadole i gradi e primi sessagesimali. Si determii, al variare di k, il umero delle soluzioi reali dell equazioe: k. Figura. 4 U serbatoio di olio ha la stessa capacità del massimo coo circolare retto di apotema metro. Si dica quati litri di olio il serbatoio può coteere. Zaichelli Editore, 8

2 5 7 8 Si mostri che la fuzioe 8 soddisfa le codizioi del Teorema del valor medio (o Teorema di Lagrage) sull itervallo [; ]. Si determiio i valori medi foriti dal teorema e se e illustri il sigificato geometrico. Si sa che il prezzo p di u abito ha subìto ua maggiorazioe del % e, altresì, ua dimiuzioe del %; o si ha ricordo, però, se sia avveuta prima l ua o l altra delle operazioi. he cosa si può dire del prezzo fiale dell abito? Se f () è ua fuzioe reale dispari (ossia il suo grafico cartesiao è simmetrico rispetto all origie), defiita e itegrabile ell itervallo [; ], che dire del suo itegrale esteso a tale itervallo? Quato vale el medesimo itervallo l itegrale della fuzioe f ()? Si risolva l equazioe: Si calcoli l itegrale idefiito d e, successivamete, si verifichi che il risultato di d è i accordo co il suo sigificato geometrico. Per orietarsi sulla Terra si fa riferimeto a meridiai e paralleli, a latitudii e logitudii. Suppoedo che la Terra sia ua sfera S e che l asse di rotazioe terrestre sia ua retta r passate per il cetro di S, come si può procedere per defiire i termii geometrici meridiai e paralleli e itrodurre u sistema di coordiate geografiche terrestri? Durata massima della prova: ore. È cosetito soltato l uso di calcolatrici o programmabili. No è cosetito lasciare l Istituto prima che siao trascorse ore dalla dettatura del tema. Zaichelli Editore, 8

3 SLUZINE DELLA PRVA D ESAME RS DI RDINAMENT 7 PRLEMA. osideriamo il sistema di riferimeto cetrato i A e co gli assi cartesiai orietati come i figura. Idichiamo co ( ; ) le geeriche coordiate di e co l agolo Aˆ. Ne segue che Aˆ. sserviamo che il puto deve giacere el semipiao altrimeti l agolo Aˆ sarebbe miore o uguale ad Aˆ. Tale codizioe può essere migliorata, osservado che el primo quadrate è possibile costruire all itero del triagolo A il triagolo isoscele AA poiché di altezza D, come i figura. A L agolo ˆA è uguale ad i quato l agolo supplemetare di Aˆ è uguale a. Quidi A A. Ioltre, essedo A l ipoteusa del triagolo rettagolo AD co cateto DA, deve essere, cioè. Poiché il problema preseta ua simmetria rispetto all asse, limitiamoci a cosiderare il caso. Per trovare l equazioe del luogo geometrico possiamo procedere i due modi. Figura. Primo metodo osiderado i triagoli rettagoli otteuti tracciado l altezza relativa alla base A, risulta: tg tg() A D A' Figura. ell ipotesi che sia. Il caso è, comuque, geometricamete accettabile i quato si otterrebbe il triagolo rettagolo i A e isoscele, co di coordiate (; ). Suppoiamo, allora, (e quidi tg ). Dal sistema, ricordado la formula di duplicazioe della tagete, otteiamo: tg tg tg Zaichelli Editore, 8

4 Svolgedo i calcoli e portado il tutto a forma ormale otteiamo 4. Questa equazioe comprede ache il caso, poiché la curva passa per il puto (; ), e i casi simmetrici. Questi ultimi corrispodoo a valori egativi di. Essa rappreseta, duque, l equazioe del luogo geometrico richiesto, cosiderado però la limitazioe. Secodo metodo sserviamo che la figura rappreseta il caso i cui. Il caso i cui, ivece, si ha è rappresetato i figura 4. I questo caso è possibile costruire u triagolo isoscele AA, estero al triagolo A, di altezza D. L agolo AˆA è uguale a, i quato l agolo supplemetare Aˆ è uguale a. Ne segue che ache il triagolo A è isoscele, i quato Aˆ Aˆ. osideriamo il triagolo rettagolo DˆA, i cui D ; vale ioltre che AD e A A. I etrambi i casi, applicado il teorema di Pitagora al triagolo DA, otteiamo che A' D A ( ) che è l equazioe del luogo cercato. Figura 4.. Riscrivedo, co il metodo del completameto dei quadrati, l equazioe ella forma 9 è facile ricooscere che tale curva è l iperbole che si ottiee dalla traslazioe rispetto al vettore v ; dell iperbole di equazioe 9 che ha vertici i ; (figura 5). e asitoti Teedo coto delle limitazioi geometriche, è il ramo siistro di tale iperbole traslata. Figura 5. 4 Zaichelli Editore, 8

5 . Siao H e K i piedi delle altezze relative ai lati e A, e segue che AH se e K se(). Ioltre, vale agoli iteri di uo stesso triagolo). perché (i quato due Suppoiamo, quidi, e cerchiamo il massimo i tale domiio della fuzioe f () se se (). Per farlo calcoliamo la derivata prima della fuzioe f (): H f () se cos 4 se() cos() f () se() 4 se() cos() K A f () se()[ 4 cos()]; se() è sempre positivo i ;, quidi f () se 4 cos(). Figura. 4( se ) se 5 8 arcse 5 8. Riportiamo l adameto della fuzioe i figura 7. Quidi l ampiezza dell agolo Aˆ che rede massima la somma dei quadrati delle altezze AH e K è Aˆ arcse Per si ottiee u triagolo isoscele A di agoli Aˆ Aˆ 7 e lati A. Tracciado la bisettrice dell agolo Aˆ che iterseca il lato el puto M si ottiee il triagolo AM simile al triagolo A poiché equiagoli, come mostrato i figura 8. Se chiamiamo A risulta AM, M e M. Per similitudie otteiamo: M A A, cioè, e quidi, la cui la cui soluzioe positiva è 5. PRLEMA. osideriamo il triagolo isoscele A iscritto ella circofereza, co A. Sia AˆH, come i figura 9. Ne segue che. Per il teorema della corda, A r se(). Possiamo supporre H. Ifatti, se fosse H (figura ), esisterebbe u triagolo isoscele iscritto co base A A e altezza H H, quidi di area maggiore. Ne segue che i triagoli isosceli co altezza miore del raggio o soo di area massima. A f'() f() 7 + arcse 5 8 ma 7 M A r H Figura 7. Figura 8. Figura 9. 5 Zaichelli Editore, 8

6 ra, poiché A r, si ha che AĈ Aˆ, quidi AÔH. Ne segue che H r cos(), perciò H r r cos(). La fuzioe che descrive l area del triagolo A è, perciò, A H f () A H r se() [r r cos()] f () r [se() cos()se()]. Studiamoe la derivata ell itervallo ; : f () r [ cos() se () cos ()] r [cos () cos() ]. A H Figura. Essa è o egativa se cos() oppure cos(). La prima disequazioe è impossibile el domiio, metre la secoda è verificata per, cioè per. Riportiamo l adameto ella figura. L area massima si ottiee, quidi, per, che corrispode a u triagolo equilatero. f'() f() + ma Figura.. U poligoo regolare di lati iscritto si può scomporre i triagoli isosceli cogrueti co vertice i comue el cetro del cerchio. Essi hao agolo al vertice di ampiezza e lato r. Sia A u triagolo siffatto, come i figura. A H A' H' ' Figura. Per il teorema della corda si ha che A r se. Per il teorema di Pitagora si ha: H r r s e r se. L area del poligoo iscritto cercata è quidi: S A A A H r se cos r se. Zaichelli Editore, 8

7 Aalogamete, per il poligoo regolare di lati circoscritto, cosideriamo il triagolo A della precedete figura. Tale triagolo ha r come altezza e agolo al vertice. Ne segue che H r tg e, quidi, l area del poligoo vale: A A A r tg.. lim S lim r se lim r se variabile t e si è ricordato che lim se t. t t r. Nell ultimo passaggio si è effettuato il cambio di 4. Il problema della quadratura del cerchio cosiste el costruire u quadrato di area pari a quella di u cerchio di raggio assegato co riga e compasso. Dal puto di vista algebrico, idicati co r il raggio del cerchio e co l il lato del quadrato da trovare, vale la relazioe: r l l r. Assuto per semplicità r, si tratta di costruire u lato di misura. Nel 88 vee dimostrata l impossibilità di tale costruzioe attraverso le regole euclidee equivaleti all uso di riga e compasso. QUESTINARI I figura è riportata la regioe R del piao compresa tra il grafico della fuzioe e l asse, co. Si costruisce il solido S co base R avete come sezioi perpedicolari all asse dei triagoli equilateri. = z R S Figura. Figura 4. Il volume V del solido S è l itegrale, per compreso tra e, della fuzioe che rappreseta l area di u triagolo equilatero di lato, cioè () (somma itegrale di prismi triagolari retti): 4 V d. 7 Zaichelli Editore, 8

8 Fissiamo l uità di misura i cetimetri. È assegato il triagolo di lati a 4, b, c 8 e agoli,,. alcoliamo il coseo rispettivamete degli agoli, e utilizzado il teorema di arot: cos b c a 8 4 bc ( 4 ) a c Figura 5. b cos a c b a 4 8 c 4 ( 8 4 ) 4 8 cos a b c a 4 8 c 4 ( 4) 4 4 Le ampiezze degli agoli del triagolo, approssimate i gradi e primi sessagesimali, valgoo quidi: 8 57, 4 4, 4 9. Per determiare al variare di k le soluzioi reali dell equazioe: = + k, studiamo l equazioe k L equazioe cosiderata è equivalete all equazioe risolvete il sistema che descrive le itersezioi tra la curva fissa descritta da = k e il fascio di rette parallele all asse delle ascisse k, k reale: k Studiamo la fuzioe. I particolare, e determiiamo i puti di miimo e massimo relativo. Studiamoe la derivata prima: 7. Essa è o egativa se oppure se, quidi (; ) è u massimo relativo e ; 7 è u miimo relativo. Figura. 8 Zaichelli Editore, 8

9 4 Fissiamo l uità di misura i metri. Si vuole determiare la capacità del massimo coo circolare retto di apotema. Poiamo la misura del raggio della circofereza di base del geerico coo. I limiti geometrici soo. L altezza del coo vale e quidi il volume del coo è V. Al fie di trovare il massimo coo circolare retto, è ecessario massimizzare la fuzioe f(), la cui derivata prima vale: f () 4 ( ). Tale derivata è positiva quado, quidi, poiché, quado. Riportiamo l adameto di f () ella figura 7. f'() + f() ma Figura 7. Pertato il puto di massimo è e il corrispodete valore massimo è il volume del massimo coo circolare retto di apotema, ossia V c. 7 Ricordiamo di aver fissato l uità di misura i metri, da cui segue che il serbatoio può coteere m dm 4, Figura 8. 5 Per mostrare che la fuzioe 8 soddisfa le codizioi del teorema del valor medio (o teorema di Lagrage) sull itervallo [; ] occorre verificare che si tratta di ua fuzioe cotiua i [; ] e derivabile i ]; [. Etrambe le codizioi soo verificate i quato si tratta di ua fuzioe razioale itera. alcoliamo il valore c [; ] tale che f (c) f (b ) f (a) b a dove a e b. Ricaviamo la derivata prima f () e impoiamo che c e otteiamo c, etrambe accettabili. Il sigificato geometrico di questo teorema ci dice che la tagete alla curva data ei puti di ascissa è parallela alla corda cogiugete i puti aveti per ascissa gli estremi dell itervallo [; ]. 9 Zaichelli Editore, 8

10 Il prezzo fiale dell abito o dipede da quale delle due operazioi sia avveuta prima ed è pari a: p p,94, p,994. Ifatti se il prezzo viee prima maggiorato del %, idicato co p il prezzo dopo la maggiorazioe e co p f il prezzo fiale, si ha: p p ; p f p p. Se il prezzo subisce dapprima la miorazioe del %, idicato co p il prezzo dimiuito del % e co p f il prezzo fiale, si ha: p p ; p f p e risulta p f p f. p 7 Per defiizioe, se la fuzioe f () è dispari si ha che f () f () per ogi el domiio di f () ed i particolare per. Utilizzado l additività dell itegrale, si può scrivere: f () d f () d f () d. Ioltre: f () d f () d [ f ()] d. La disparità di f () implica: [ f ()] d f () d. Se si effettua il cambio di variabile t, l ultimo itegrale diveta f () d f (t ) dt pertato f () d f ( ) d f ( ) d. Per la liearità dell itegrale, si ha: ( f () ) d f () d d []. Zaichelli Editore, 8

11 8 Ricordiamo che il coefficiete biomiale può essere scritto come k ( ) ( k ), co k. k! Pertato 4 4 ( )( )( ) ( )( )( ) 4, co 4 4!! e 5 ( )( )( 4) 5, co, cioè 5.! Affiché abbiao seso etrambe le espressioi precedeti, dobbiamo supporre 5. Impoiamo l uguagliaza: ( )( )( ) ( )( )( 4) 5.!! Semplificado i deomiatori otteiamo: ( )( )[ ( ) 5( 4)] ( )( )( ), che ammette come soluzioi,, e, dove per la codizioe 5, soo accettabili le soluzioi e. 9 Effettuiamo il cambio di variabile se t; quidi d cos tdt e l itegrale può essere riscritto come d se t cos tdt cos tdt. Applicado la formula di bisezioe cos t c os t, oppure itegrado per parti, otteiamo d t se t cos t c, dove c è la costate di itegrazioe. Sostituedo t co la rispettiva espressioe i, otteiamo arcse d c. alcoliamo ora l itegrale defiito d. tteiamo arcse d arcse arcs e 4. Siccome e l equazioe della semicircofereza situata el semipiao delle ordiate positive, relativa alla circofereza di equazioe, osserviamo che calcolare d equivale a calcolare l area di u quarto di cerchio di raggio. Zaichelli Editore, 8

12 Si osservi la figura 9. Per defiire i meridiai, cosideriamo il fascio di piai coteeti l asse di rotazioe r. iascuo di tali piai iterseca la superficie della sfera lugo ua circofereza massima passate per i poli, cioè i puti i cui l asse iterseca la superficie della sfera. iascua delle due semicircofereze defiite dai poli è u arco di meridiao. Fissato come riferimeto l arco di meridiao passate per l osservatorio di Greewich (Lodra), si defiisce logitudie del puto P la misura i gradi dell agolo covesso compreso tra il semipiao coteete l arco di meridiao passate per P e il semipiao coteete il meridiao di Greewich, specificado se l agolo sia percorso verso E o verso rispetto a Greewich (logitudie ). Per defiire la latitudie si immagii il fascio di piai perpedicolari all asse r : ciascuo «taglia» la superficie della sfera lugo ua circofereza detta parallelo. Il parallelo defiito dall uico piao del fascio che cotiee il cetro della sfera terrestre è l equatore: Figura 9. si defiisce latitudie (ord o sud) di u puto P la misura i gradi dell agolo acuto PÔE, dove E è il puto di itersezioe tra l equatore e l arco di meridiao passate per P. (L equatore è ovviamete l isieme dei puti a latitudie zero.) Pertato la posizioe di u puto P sulla superficie terrestre è uivocamete determiata assegado due agoli orietati, per esempio: log. E, 45 lat. N. r N Greewich S P E Zaichelli Editore, 8